元氏县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 设、是两个非零向量，则“（+）2=||2+||2”是“⊥”的（ A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

）

11232． 设a，b为正实数，22，(ab)4(ab)，则logab=（

abA.0

B.1　　

C.1

D.1或0）

【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力.

ax－1，x≤1

3． 已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），若f（1）＝1，f（b）＝－3，则f（5－b）＝1loga＋，x＞1

x1

{)（ ）

A．－1 B．－142C．－3 D．－544

4． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ A．64 C．80

B．72 D．112

）

【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.5． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）

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A．

B． C． D．

6． 设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ 2）

7． 以下四个命题中，真命题的是（ A．xR,xx2 B．“对任意的xR，x2x10”的否定是“存在x0R，x02x010 C．R，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数

D．已知m，n表示两条不同的直线，，表示不同的平面，并且m，n，则“”是 “m//n”的必要不充分条件

【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．

8． 已知定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当

2）

C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，

A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

）

x[2,3]时，f(x)2x212x18.若函数yf(x)loga(x1)在(0,)上至少有三个零点，则

实数的取值范围是（ A．(0,）111]

B．(0,2) 23) 3C．(0,5) 5D．(0,6)69． 如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP∥BD；②EP⊥AC；③EP⊥面SAC；④EP∥面SBD中恒成立的为（

）

A．②④B．③④C．①②D．①③

）

10．已知直线l1 经过A（﹣3，4），B（﹣8，﹣1）两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2（ A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直

11．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ A．

B．y=x2C．y=﹣x|x|

D．y=x﹣2

=2（+i），则z=（

））

12．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若zA．﹣1﹣i　

B．1+iC．﹣1+iD．1﹣i

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二、填空题

13．若log2（2m﹣3）=0，则elnm﹣1=　　　　　　．　

14．方程4xkx23有两个不等实根，则的取值范围是 2．15．在直角梯形ABCD,ABAD,DC//AB,ADDC1,AB2,E,F分别为AB,AC的中点，

点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动（如图所示）．若APEDAF，其中,R，则2的取值范围是___________．

16．下列四个命题申是真命题的是　　　　　　（填所有真命题的序号）①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；

②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；

④动圆P过定点A（﹣2，0），且在定圆B：（x﹣2）2+y2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．

17．已知a、b、c分别是ABC三内角A、B、C的对应的三边，若csinAacosC，则

3sinAcos(B转化思想．

3)的取值范围是___________．4【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、18．已知函数f(x)xax3x9，x3是函数f(x)的一个极值点，则实数a 32．三、解答题

19．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{

}的前n项和．

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20．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

21．如图，在四边形ABCD中,ADDC,ADABC,AD3,CD2,AB22,DAB45, 四边形绕着直线AD旋转一周.

第 4 页，共 18 页

（1）求所成的封闭几何体的表面积；（2）求所成的封闭几何体的体积.

22．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

上是增函数．若

23．已知椭圆（Ⅰ）求椭圆

的方程；

交于

、

的离心率，且点在椭圆上．

（Ⅱ）直线与椭圆面积的最大值．

两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点)

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24．（本小题满分12分）

成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示.

（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；

（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）

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元氏县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：设a、b是两个非零向量，“（a+b）2=|a|2+|b|2”⇒（a+b）2=|a|2+|b|2+2ab=|a|2+|b|2⇒a•b=0，即a⊥b；a⊥b⇒a•b=0即（a+b）2=|a|2+|b|2所以“（a+b）2=|a|2+|b|2”是“a⊥b”的充要条件．故选C．　

2． 【答案】B.

11ab2222【解析】(ab)4(ab)(ab)4ab4(ab)，故

abab2323(ab)24ab4(ab)3111184(ab)8ab2，而事实上ab2ab2，

(ab)2(ab)2abababab∴ab1，∴logab1，故选B.3． 【答案】

【解析】解析：选C.由题意得a－1＝1，∴a＝2.若b≤1，则2b－1＝－3，即2b＝－2，无解．∴b＞1，即有log21＝－3，∴1＝1，∴b＝7.

b＋1b＋18

∴f（5－b）＝f（－2）＝2－2－1＝－3，故选C.

4

4． 【答案】C.【

解

析

】

5． 【答案】B

【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性【试题解析】若函数是奇函数，则对C：

在（-和（

故排除A、D；

上单调递增，

但在定义域上不单调，故C错；故答案为：B6． 【答案】A

【解析】解：设g（x）=g′（x）=

，

，则g（x）的导数为：

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∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，即当x＞0时，g′（x）＜0，

∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，又∵g（﹣x）=

=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是增函数，又∵g（﹣2）=

=0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2，x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选：A．　

7． 【答案】D

8． 【答案】B【解析】

试题分析：f(x2)fxf1，令x1，则f1f1f1，fx是定义在R上的偶函数,

f10fxfx2．则函数fx是定义在R上的，周期为的偶函数，又∵当x2,3时，

fx2x212x18，令gxlogax1，则fx与gx在0,的部分图象如下图，

yfxlogax1在0,上至少有三个零点可化为fx与gx的图象在0,上至少有三个交点，0a13，解得：0a故选A．gx在0,上单调递减，则log323a第 8 页，共 18 页

考点：根的存在性及根的个数判断.

【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得图象与函数ylogax1的图象在0,上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.

9． 【答案】 A

【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．在①中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；

在②中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．

∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M，

∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，

若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．故选：A．

fx是周期函数,其周期为,要使函数yfxlogax1在0,上至少有三个零点,等价于函数fx的

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【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　

10．【答案】A

【解析】解：由题意可得直线l1的斜率k1=

又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1，显然满足k1•k2=﹣1，∴l1与l2垂直故选A　

11．【答案】D【解析】解：函数

为非奇非偶函数，不满足条件；

=1，

函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件；函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；

函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件；故选：D

【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．　

12．【答案】B

【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a﹣bi，由z

=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，

整理得a2+b2=2a+2（b﹣1）i．则

所以z=1+i．故选B．

，解得

．

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【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．　

二、填空题

13．【答案】　　．

【解析】解：∵log2（2m﹣3）=0，∴2m﹣3=1，解得m=2，∴elnm﹣1=eln2÷e=．故答案为：．

【点评】本题考查指数式化简求值，是基础题，解题时要注意对数方程的合理运用．　

14．【答案】【解析】

试题分析：作出函数y53,1244x2和ykx23的图象，如图所示，函数y4x2的图象是一个半圆，

直线ykx23的图象恒过定点2,3，结合图象，可知，当过点2,0时，k303，当直线224k(02)30553ykx23与圆相切时，即2，解得k，所以实数的取值范围是,.111]

121241k2考点：直线与圆的位置关系的应用．

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.15．【答案】1,1【解析】

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考

点：向量运算．

【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．

16．【答案】　①③④　

【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，

当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；

②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，

③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=∵侧棱长为2，∴

在直角△POC中，tan∠PCO=∴侧棱与底面所成角的正切值为

，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，

④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，

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故答案为：①③④

17．【答案】(1, 【

解

析

】

62)218．【答案】5【解析】

试题分析：f(x)3x2ax3,f(3)0,a5．考点：导数与极值．

'2'三、解答题

19．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=由条件可知各项均为正数，故q=

．

．

．

由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=故数列{an}的通项式为an=

．

（Ⅱ）bn=故则

=﹣+

+…+

++…+=﹣2（=﹣2=﹣

﹣，．

）

=﹣（1+2+…+n）=﹣，

所以数列{}的前n项和为﹣

【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．　

20．【答案】（1）3,2,1；（2）【解析】111]

试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有10种情况，其中第组的名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果. 1

7 .10（2）记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3，第4组的2名志愿者为B1,B2，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，共10种，其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，

(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为

考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式.

7.10第 14 页，共 18 页

21．【答案】（1）842；（2）203．【解析】

点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积.22．【答案】

【解析】解：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，等价于a≥x2﹣x在x∈[2，4]恒成立，而函数g（x）=x2﹣x在x∈[2，4]递增，其最大值是g（4）=4，∴a≥4，

若p为真命题，则a≥4；f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数，

对称轴x=≤，∴a≤1，若q为真命题，则a≤1；由题意知p、q一真一假，

当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．　

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考

23．【答案】

【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】（Ⅰ）由已知 点

在椭圆上，

，，解得

．

所求椭圆方程为(Ⅱ)设当直线

，的斜率

时，

，

的垂直平分线过点

,

的斜率存在．

当且仅当当直线

的斜率

消去

由

．

时， 设得： ①

时，

．

， ，

的中点为

由直线的垂直关系有，化简得 ②

由①②得又

到直线

的距离为

，

时，

．

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由即综上：

，时，

；

，解得

；

；

24．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.

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