猎狗追兔子问题

一． 实验问题

1. 有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地

方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全

速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用计

算机仿真法等多种方法完成下面的实验： (1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？

(2) 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？ (3) 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。

(4) 假设在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的距离为30米时，兔子由于

害怕, 奔跑的速度每秒减半，而猎狗却由于兴奋奔跑的速度每秒增

加0.1倍，在这种情况下，再按前面的（1）—（3）完成实验任务。

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二．问题的分析 涉及Matlab的知识：

If-and循环，while-and循环，绘图。 数学建模与求解的方法：

1．兔子的起始位置是O（0,0）,狗的初始位置是B（-1002，-1002）。 兔子沿OA直线跑动，OA的方程是y=-x，兔子的速度是8米每秒，所

xk,~yk)=以任意时刻t,兔子的位置是(~（-42，42）,狗以匀速追赶兔子，

速度大小不变，方向时刻指向兔子。

xk,~yk)，则有题意可设任意时刻t，狗的位置是(xk,yk),兔子的位置是(~知:cosα=

42x42x)2(4,sinα=2y)2)42y42x)2(42y)2)，设狗的速度大小为

v，在t+dt时，兔子的位置变为（-42（t+dt）, 42*(t+dt)）,狗的位置的横坐标x′=x+v*cosα*dt,纵坐标y′=y+v*sinα*dt.

xk1)2(yk1~yk1)2，,当dk=0时，狗追狗和兔子之间的距离dk(xk1~到兔子，但如果在dk=0之前，兔子到达A点，即兔子跑进了洞穴，则狗追不到兔子，兔子跑进洞穴所需时间为t=120/8=15秒，所以狗以最小速度追赶兔子时，在洞口初，恰好追到兔子。在运算时，可以任意给狗一速度v,在此速度下，狗能否在洞口处恰好追到兔子，如果在到达洞口之前就追到了，则取比v小的一速度，在进行运算。如兔子进入洞穴时仍未追上，则在取一比v大的速度进行运算，直到取到一速度使狗在洞口处追到了兔子。

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2．当狗与兔子的距离大于30时，运算过程与1相同，当距离小于30时，兔子的速度每秒减半，而狗的速度每秒增加0.1倍，取间隔dt，当二者距离小于30时，兔子的速度为v=8/(2^dt),狗的速度v=v*1.1^dt,由此可以写出任意时刻t，兔子和狗的位置坐标。其他过程与1相同。 三． 程序设计

根据以上，编写程序如下：

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四． 问题求解结果与结论

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其中直线为兔子的运动轨迹，曲线为狗的轨迹。由于二者在相距30米时，才开始变速，所以两图的差别不十分明显。

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在Matlab运行后，得结果，狗的最小速度为v=17.081,跑过的路程为s=256.18;当狗和兔子的速度发生变化时，狗的最小速度v=15.5872,跑过路程s=253.2291.

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五． 实验总结与体会

实验过程比较繁琐，一开始并没有找到适合的运行程序方法，经过仔细的分析探讨研究，类比缉私艇追击走私船的三种解决方法，逐渐摸索出一套较为可行的方案。通过亲身体验，体会到了数学实验在解决现实问题时的方便快捷，精确无误。

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）

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