全国高中数学联赛第一试.doc

全国高中数学联赛第一试

一、选择题（每小题6分,满分36分）

1． 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003

项是

(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049

2． 设a, bR, ab≠0，那么，直线 axy+b=0和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是

y y O x x y y O O x O x

(A) (B) (C) (D)

3． 过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60的直线．若此直线与抛物线交于A,B两点，

弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于 163168 (B) (C) (D)83

333524． 若x[,]，则y= tan(x+)tan(x+)+cos(x+)的最大值是

312366(A)

(A)

121111122 (B)2 (C)3 3 (D)5656

5． 已知x,y都在区间(2,2)内，且xy＝1，则函数u=

(A)

94+的最小值是 4x29y28122412 (B) (C) (D) 557116． 在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为

面体ABCD的体积等于 (A)

3311 (B) (C) (D) 2323，则四3二、填空题(每小题9分,满分54分)

7． 不等式|x|32x24|x|+3＜0的解集是__________.

x2y28． 设F1,F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1，则△PF1F2

94的面积等于__________.

9． 已知A={x|x24x+3＜0,xR}, B={x|21xa≤0, x22(a+7)x+5≤0,xR}．若AB, 则实数

a的取值范围是____________.

10． 已知a,b,c,d均为正整数，且logab=

35, logcd=，若ac=9, 则bd=________. 2411． 将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球

相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________. 12．

设Mn={(十进制)n位纯小数0.a1a2an|ai只取0或1(i=1,2,…,n1)，an=1}，Tn是

Sn=_______.

nTnMn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则lim三、解答题(每小题20分，满分60分) 1. 已知

2. 设A、B、C分别是复数z0ai,z13x5,证2x12x3153x219 21 bi,z21ci(a,b,cR)对应的不共线三点。

24224证：曲线zz0cost2z1costsintz2sint(tR)与ABC中平行于AC的中位线

只有一个公共点，并求出此点。

3. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点

A刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。

第二试

1、过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使DAQPBC。求证：DBQPAC

3t3m3n2、设三角形的三边长分别是整数l,m,n且lmn,已知444，其中

101010{x}x[x]，求这种三角形周长的最小值。

3、由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中nqq1，

2l1q(q1)21,q2,qN，已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存2在一点至少有q+2条连线段。证明：图中必存在一个空间四边形（即由A,B,C,D和AB、BC、CD、DA组成的图形）。

全国高中数学联赛（答案）

13题解答：

证明三：

证明四：