云南省西双版纳景洪四中2015届高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．若集合A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( ) A．5 B．4 C．3 D．2
2．若复数z=1+i（i为虚数单位） 是z的共轭复数，则z2
+2
的虚部为( )
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2
3．设向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于 ( ) A．
B．
C．0
D．﹣1
4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于( A．
B．
C．
D．
5．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( A．
B．
C．
D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．
B．
C．200
D．240
7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( )
) )
A．
8．已知曲线y=x+ax+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=( ) A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6
4
2
B． C． D．
9．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a
的值为( ) A．或﹣1
10．直线l过抛物线C：x=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( ) A．
11．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ) A．
12．当x∈[﹣2，1]时，不等式ax﹣x+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．[﹣5，﹣3]
B．[﹣6，﹣]
C．[﹣6，﹣2]
D．[﹣4，﹣3]
3
2
2
B．2或 C．2或1 D．2或﹣1
B．2 C． D．
B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若
的展开式中x的系数为7，则实数a=__________．
4
14．设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是__________．
15．若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=__________．
16．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x+y=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为__________．
三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
*
17．数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N． （Ⅰ）证明：数列{（Ⅱ）设bn=3•
n
2
2
}是等差数列；
，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． （Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．
19．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．
20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．
21．已知函数f（x）=e（ax+b）﹣x﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
【选做题】（共1小题，满分10分） 22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： （Ⅰ）BE=EC；
2
（Ⅱ）AD•DE=2PB．
x
2
【选做题】（（共1小题，满分0分） 23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（
），圆C的参数方程
（θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．
【选做题】（（共1小题，满分0分）
24．已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a． （1）求a的值；
222
（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p+q+r≥3．
云南省西双版纳景洪四中2015届高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．若集合A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( ) A．5 B．4 C．3 D．2
考点：元素与集合关系的判断． 专题：集合．
分析：根据题意，计算元素的和，根据集合中元素的互异性，即可得到结论．
解答： 解：由题意，∵集合A={﹣1，1}，B={0，2}，﹣1+0=﹣1，1+0=1，﹣1+2=1，1+2=3 ∴{z|z=x+y，x∈A，y∈B}={﹣1，1，3}
∴集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3 故选C．
点评：本题考查集合的概念，考查集合中元素的性质，属于基础题．
2．若复数z=1+i（i为虚数单位） 是z的共轭复数，则z+的虚部为( ) A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2
考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念． 专题：计算题．
22
分析：由z+=（1+i）+（1﹣i）=2i﹣2i=0，由此得出结论．
22 2222
解答： 解：由题意可得 z+=（1+i）+（1﹣i）=2i﹣2i=0，故z+的虚部为0， 故选A． 点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
3．设向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于 ( ) A．
B．
C．0
D．﹣1
22 22
考点：二倍角的余弦；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题：计算题．
分析：由两向量的坐标，以及两向量垂直，根据平面向量的数量积运算法则得到其数量积为
22
0，得出2cosθ﹣1的值，然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将2cosθ﹣1的值代入即可求出值．
解答： 解：∵=（1，cosθ），=（﹣1，2cosθ），且两向量垂直，
∴•=0，即﹣1+2cosθ=0，
则cos2θ=2cosθ﹣1=0． 故选C
点评：此题考查了平面向量的数量积运算法则，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB= A．
B．
C．
D．
b，则角A等于( )
2
2
考点：正弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A． 解答： 解：∵在△ABC中，2asinB=b，
∴由正弦定理∴sinA=∴A=
．
==2R得：2sinAsinB=sinB，
，又△ABC为锐角三角形，
故选D．
点评：本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．
5．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A．
B．
C．
D．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题：概率与统计．
分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2
2
个，共有C4种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率． 解答： 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
2
试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C4=6种结果， 满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），
∴要求的概率是 =．
故选B． 点评：本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．
B．
C．200
D．240
考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离．
分析：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．
解答： 解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，
由图知V=故选C．
=200．
点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( )
A．
考点：程序框图．
B． C． D．
专题：图表型．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．
解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出S=++的值 ∵S=++=
．
故选D．
点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
8．已知曲线y=x+ax+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=( ) A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的综合应用．
分析：先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．
42
解答： 解：∵y=x+ax+1，
3
∴y′=4x+2ax，
42
∵曲线y=x+ax+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8， ∴﹣4﹣2a=8 ∴a=﹣6 故选：D．
点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
42
9．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a
的值为( ) A．或﹣1
B．2或
C．2或1
D．2或﹣1
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．
解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1， 综上a=﹣1或a=2， 故选：D
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．
10．直线l过抛物线C：x=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( ) A．
B．2
C．
D．
2
考点：定积分．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．
2
解答： 解：抛物线x=4y的焦点坐标为（0，1），
2
∵直线l过抛物线C：x=4y的焦点且与y轴垂直， ∴直线l的方程为y=1，
由 ，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．
∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为 故选：C．
=（ x﹣）|=．
点评：本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．
11．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ) A．
B．
C．
D．
考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角． 专题：综合题；压轴题；空间角；空间向量及应用．
分析：设AB=1，则AA1=2，分别以
的方向为x轴、y轴、z轴的正
方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ， 则sinθ=|
|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．
解答： 解：设AB=1，则AA1=2，分别以轴的正方向建立空间直角坐标系， 如下图所示：
的方向为x轴、y轴、z
则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2）， =（1，1，0），
=（1，0，﹣2），
=（1，0，0），
设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则﹣2，1），
设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=|
|=，
，即，取=（2，
故选A．
点评：本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．
12．当x∈[﹣2，1]时，不等式ax﹣x+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．[﹣5，﹣3]
B．[﹣6，﹣]
C．[﹣6，﹣2]
D．[﹣4，﹣3]
3
2
考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．
专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．
32
解答： 解：当x=0时，不等式ax﹣x+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax﹣x+4x+3≥0可化为a≥
32
，
令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6； 当﹣2≤x＜0时，ax﹣x+4x+3≥0可化为a≤
3
2
，
由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]． 故选：C．
点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若
的展开式中x的系数为7，则实数a=．
4
考点：二项式系数的性质． 专题：计算题．
分析：利用二项式定理的通项公式即可得出． 解答： 解：由通项公式Tr+1=
=
，
∵的展开式中x的系数为7，∴
4
，解得．
故答案为．
点评：熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键．
14．设sin2α=﹣sinα，α∈（
，π），则tan2α的值是
．
考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切． 专题：压轴题；三角函数的求值．
分析：已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．
解答： 解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（∴cosα=﹣，sinα=∴tanα=﹣则tan2α=
，
=
=
．
=
，
，π），
故答案为：
点评：此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
15．若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=﹣6．
考点：带绝对值的函数；函数单调性的性质． 专题：计算题．
分析：根据函数f（x）=|2x+a|关于直线即可求得a的值．
解答： 解：∵函数f（x）=|2x+a|关于直线∴∴a=﹣6
对称，单调递增区间是[3，+∞），可建立方程，
对称，单调递增区间是[3，+∞），
故答案为：﹣6
点评：本题考查绝对值函数，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的对称轴，属于基础题．
16．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆22
x+y=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为3．
考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程． 专题：直线与圆．
分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l
的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m+n的值，再由直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，由直线l的解析式分别令x=0及y=0，得出A的横坐标及B的纵坐标，确定出A和B的坐标，得出OA及OB的长，根据三角形AOB为直角三角形，表示出三角形
22
AOB的面积，利用基本不等式变形后，将m+n的值代入，即可求出三角形AOB面积的最小值．
22
解答： 解：由圆x+y=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
22
∵直线l与圆x+y=4相交所得弦CD=2， ∴圆心到直线l的距离d=
=
，
22
∴圆心到直线l：mx+ny﹣1=0的距离d==，
整理得：m+n=，
令直线l解析式中y=0，解得：x=， ∴A（，0），即OA=令x=0，解得：y=， ∴B（0，），即OB=
2
2
22
，
，
∵m+n≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号， ∴|mn|≤
，
又△AOB为直角三角形， ∴S△ABC=OA•OB=
≥
=3，当且仅当|m|=|n|=时取等号，
2
2
则△AOB面积的最小值为3． 故答案为：3．
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径
定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
*
17．数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N． （Ⅰ）证明：数列{（Ⅱ）设bn=3•
n
}是等差数列；
，求数列{bn}的前n项和Sn．
考点：数列的求和；等比关系的确定．
分析：（Ⅰ）将nan+1=（n+1）an+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得数列的定义得证． （Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=3•
n
，由等差
=n•3，利用错位相减求出数列{bn}的前n项和Sn．
n
解答： 证明（Ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1）， ∴∴∴数列{
， ，
}是以1为首项，以1为公差的等差数列；
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴bn=3•∴
n
， =n•3，
•3
n﹣1
n
+n•3①
n+1
n
•3+n•3
①﹣②得
3﹣n•3
n
n+1
n
②
=
=∴
点评：本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．
18．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． （Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．
考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件A1，A2的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；
（Ⅱ）写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列．根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）． 解答： 解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”
B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，
因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6， P（A2）=0.003×50=0.15，
P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，
（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
， ，
，
随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.064 0.288 0.432 因为X～B（3，0.6），
所以期望E（X）=3×0.6=1.8，
3 0.216
方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．
点评：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法． 19．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 专题：计算题；证明题；向量法；空间位置关系与距离． 分析：（1）结合已知由直线和平面垂直的判定定理可证PC⊥平面ADF，即得所求； （2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可． 解答： （1）证明：∵PD⊥平面ABCD， ∴PD⊥AD，
又CD⊥AD，PD∩CD=D， ∴AD⊥平面PCD，
∴AD⊥PC，又AF⊥PC， ∴PC⊥平面ADF， 即CF⊥平面ADF；
（2）设AB=1，在直角△PDC中，CD=1，∠DPC=30° 则PC=2，PD=，由（1）知，CF⊥DF，
则DF=即有CF=则
=
，AF==，
=，又EF∥CD，
=，则有DE=
，
同理可得EF=CD=，
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，1），E（
，0，0），F（
，，0），P（
，
，0，0），C（0，1，0）， ，
设=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则
则有，令x=4可得z=，则=（4，0，），
设平面ACF的一个法向量为=（k，l，r），则，，
则有，令l=4，可得r=4，k=，则=（，4，4），
设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ，则θ为钝角， 则cosθ=﹣|cos＜，＞|=﹣|
|=﹣
．
点评：本题考查空间直线与平面垂直的性质和判定，考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题．
20．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）由题意可得，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率kTF=﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程与椭圆方程可得根
与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得OPTQ的面积S=
．
，即可解得m．此时四边形
解答： 解：（Ⅰ）由题意可得，
解得c=2，a=，b=．
；
∴椭圆C的标准方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0）， 设T（﹣3，m），则直线TF的斜率
∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2． 设P（x1，y1），Q（x2，y2）． 联立
，化为（m+3）y﹣4my﹣2=0，
2
2
，
△＞0，∴y1+y2=，y1y2=
．
∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=
．
∵四边形OPTQ是平行四边形， ∴
，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2），
∴，解得m=±1．
此时四边形OPTQ的面积S=
═
=
．
点评：本题2015届中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交可得根与系数的关系及弦长问题、向量相等问题、平行四边形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合和转化能力，属于难题．
21．已知函数f（x）=e（ax+b）﹣x﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
专题：压轴题；导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．
x2
解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e（ax+b）﹣x﹣4x，
x
∴f′（x）=e（ax+a+b）﹣2x﹣4， ∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4 ∴f（0）=4，f′（0）=4 ∴b=4，a+b=8 ∴a=4，b=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e（x+1）﹣x﹣4x，f′（x）=4e（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e﹣），
令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2
∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0 ∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2） 当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e）．
点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．
【选做题】（共1小题，满分10分） 22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： （Ⅰ）BE=EC；
2
（Ⅱ）AD•DE=2PB．
﹣2
x2
x2xx
考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定． 专题：选作题；立体几何．
分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是
的中点，从而BE=EC；
（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB． 解答： 证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°， ∵PC=2PA，D为PC的中点， ∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA， ∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°， ∴OE⊥BC， ∴E是
的中点，
2
∴BE=EC；
（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C， ∴PA=PB•PC， ∵PC=2PA， ∴PA=2PB， ∴PD=2PB， ∴PB=BD，
∴BD•DC=PB•2PB， ∵AD•DE=BD•DC，
2
∴AD•DE=2PB．
2
点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
【选做题】（（共1小题，满分0分） 23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（
），圆C的参数方程
（θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．
考点：圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程． 专题：计算题；压轴题． 分析：（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．
解答： 解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，直线OP的平面直角坐标方程y=
；
2
），
），P为线段MN的中点（1，
），
（Ⅱ）圆C的参数方程（y+）=4，
圆的圆心坐标为（2，﹣
2
（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）+
），半径为2，
），
）y﹣6π=0．
直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（方程为y=
（x﹣2），即3πx+（12﹣4
圆心到直线的距离为：
=
＜2，
所以，直线l与圆C相交．
点评：本题考查圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．
【选做题】（（共1小题，满分0分）
24．已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a． （1）求a的值；
222
（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p+q+r≥3．
考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法． 专题：计算题；证明题；不等式的解法及应用． 分析：（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；
2222222
（2）由柯西不等式：（a+b+c）（d+e+f）≥（ad+be+cf），即可证得． 解答： （1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3， 当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立， ∴f（x）的最小值为3，即a=3；
（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，
2222222
∴由柯西不等式得，（p+q+r）（1+1+1）≥（p×1+q×1+r×1）
22
=（p+q+r）=3=9，
222
即p+q+r≥3．
点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
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