曲线方程的表示方法

第一章 曲线论

§1.1 曲线方程的表示方法

曲线的概念：曲线是点按照某一规律在空间中运动的轨迹。

现实中的各种轨迹曲线图形。

在空间直角坐标系Oxyz中， 点P的坐标表示为(x,y,z)，x轴、y轴、z轴上的单位向量分别记为

i,j,k。

为r(x,y,z)。

向量rOPxiyjzk，可简记

222rxyz。

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对任意向量a,b，成立三角形不等式

||ab||||a||||b||，

a||b||ab 。

补充知识：

（1） 向量的内积

设a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)， 定义ab||a||||b||cos，称为向量a

与b的内积；记为ab或(a,b)，其中是向量a与b的夹角。

可以证明：aba1b1a2b2a3b3 。

||a||(a,a)a1a2a32222；

||ab||(ab,ab) ||a||2(a,b)||b|| 。

222

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（2） 向量的外积（或叉积） 定义向量c的大小为

||a||||b||sin，(0)，

且c与a,b垂直，方向为使a,b，c恰成右手坐标系，此向量c称为a与b的外积，记为ab；

在直角坐标系中，可以证明： 设a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，

ijaba1a2则

b1b2a2b2a3b3i(b1ka3b3

a1a3a1a2)jk b3b1b2a2b2a3b3,a1b1a3b3,a1b1a2b2。 

外积的大小除了按上面的方法计

算外，还有下面简便的计算

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||ab||2||a||2||b||2sin2

||a||2||b||2(1cos2)

||a||2||b||2(a,b)2。

设a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，c(c1,c2,c3) 。

混合积

a1a2a3a(bc)b1b2b3c

1c2c，3记a(bc)(a,b,c)，

显然有a(bc)(ab)c(ca)b几何意义

.

。 .

二重外积展开式

a(bc)(ac)b(ab)c，

(ab)cc(ab)

(ac)b(bc)a 。

Lagrange恒等式

(ab)(cd)acbcadbd 。

(ab)(cd)(a,b,d)c(a,b,c)d

(c,d,a)b(c,d,b)a。

定理 设T(,,)为三阶正交矩阵，

123a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，

则有(aT)(bT)sgn(detT)(ab)T。

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证明

，

bTb(,,)(b,b,b)， 由外积的计算公式，并利用Lagrange恒等式， 可得

(aT)(bT)

aTa(1,2,3)(a1,a2,a3)123123(a2b2a3b3,a1b1a3a1a2,)b3b1b2

((ab)(23),(ab)(13),(ab)(12))(ab)(23,(13),12)(ab)sgn(detT)(1,2,3)sgn(detT)(ab)T

，

这是由于 ,,构成右手系，或构成左手系。

123求z值. 解

x2y22x4y9x2y26x2y11的最小x2y22x4y9x1y222022

是点Px,y,0与点A1,2,2的距离，

.

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又xy6x2y1122x3y101222

是点Px,y,0与点B3,1,1的距离也是点Px,y,0与点

C3,1,1的距离，

由于

ABPAPB,故z的最小值为AB22.

注意点A1,2,2与点C3,1,1同在xOy平面的一侧,在xOy平x,y,0,使PAPC最小, 点B3,1,1是点

面上寻找一点PC3,1,1关于xOy平面的对称点, PCPB,AC14, 此题的几何意义是经典熟知的.

一、 平面曲线的几种表示方法 1° 显表达：yf(x)，函数

yf(x)的图象G(f)说成

是一段曲线。yf(x)是该曲线的表达式，如果某曲线是函数yf(x)的图象，则yf(x)称为该曲线的显表达式。 2°隐表达式：如果曲线上的点是

由方程F(x,y)0的解(x,y)所构成，则方程F(x,y)0.

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表示该曲线。

例如：

F(x,y)x2y2a20

表示一个圆的曲线，

F(x,y)axbyc0，

(a2b20)

表示一个直线。

3°曲线的参数表示： 如果曲线上的点可由

xx(t)yy(t),t[,]的点(x,y)22来描绘， 则称它为曲线的参数方程。 例如:单位圆xy1有参数表达式

xsin,,

ycos[0,2]；

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1t2x,21tt或 2t y1t2(,) .

2tan22在

xsin1tan1tan2222 ycos1tan2中,

令ttan2,(即是万有代换),

2t1t2则有x1t2 , y1t2.



单位圆的参数方程的几何意义： 过(1,0)作斜率为k的直线与单位圆的交点坐标。

设斜率为k，则过点(1,0)的直线方程为 yk(x1)，求它与圆

x2y2=1的交点，

联立得

k(x+1）+x=1，

.

222.

(k+1)x2kxk10,

1k2利用求根公式解得，x1k2,

2222

2k从而 y1k2,

1k2x,21k y2k, 为单位圆的参数方程。

1k2

xy122例如：椭圆a有参数表达b式

xasint,t[0,2]。 ,

ybcost22 例

1、 由参数方程

xa(tsint),ya(1cost)0t2所确定的曲

线称为旋轮线（也称为摆线）。

来源背景，它的几何意义是：

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当一个圆沿着一条直线无滑动地滚动时，圆上一个固定点P所描绘出的路径（曲线）叫做旋轮线（也称为摆线）。

方程建立的过程。 手工操作运动法。

课外搜索阅读：摆线、最速降线的文献资料。

4°曲线的极坐标表示：

rr(),.

 O

极坐标表示与直坐标表

示可以互化，

xr()cos，

yr()sin

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几种表示的优缺点。

二、空间曲线的表示方法 1°参数表示法：

xx(t)yy(t)t[,] ， zz(t)所形成的点(x(t),y(t),z(t)),描绘出空间中的一条曲线，称为曲线的参数表示。 例如：

xacostyasintt(,),(a0,b0) zbt由于xya，

它的几何意义：它的图形是圆柱螺线。

圆柱螺线的产生方式：将平面上的矩形图形卷成圆柱，矩形的对角线在圆柱上就是圆柱螺线。

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222.

螺线的运动产生方式。列举常见的螺线。

2° 曲线的向量表示法

向量：既有大小又有方向的量称为向量。

在选定坐标系下 向量的表示：rxe1ye2ze3， 或r(x,y,z) 。

xx(t)yy(t)t[,] 把参数曲线， zz(t) 改写成向量形式

rr(t)(x(t),y(t),z(t)) ，t[,]，

两者表示的是同样一条曲线，

rr(t)(x(t),y(t),z(t)) ，t[,]称为该曲线的向量方程。

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定义 1.1

如果xx(t),yy(t),zz(t)都是区间[,]上的连续函数，那么曲线

xx(t)yy(t)t[,]， zz(t)称为连续曲线。

空间曲线的一般定义: 设I是一个区间，定义在I上的向量

值函数rr(t)(x(t),y(t),z(t))，在空间R3中构成的点集，称为一条曲线，

称rr(t)为曲线的向量方程。

多种多样的曲线已被人们所发

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现所认识，满足各种条件的曲线也被人们寻找出来。

练习：试列举你所知道的曲线名称、曲线方程、曲线的来源、曲线的用处，用数学软件绘制出曲线的图形。

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