完整版勾股定理及其逆定理复习典型例题

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勾股定理及其逆定理复习典型例题

1. 勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方。（即：a2+b2=c ）

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边

长:

a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个

三角形是直角三角形。

2. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 3. 如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形

（1 ）首先确定最大边（如： C，但不要认为最大边一定是 （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，

C）

若c2=a2+b2，则△ ABC是以/ C为直角

的三角形。（若c2>a2+b2则^ ABC是以/ C为钝角的三角形，若c2va2+b2则^ ABC 是以/ C为锐角三角形）

二、例题分析

例1、若直角三角形两直角边的比是 解：设此直角三角形两直角边分别是

3： 4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。 3X, 4X,根据题意得:

(3x) 2+(4x) 2=202 化简得X2=16 ；

二直角三角形的面积 =! X3XX4X=6X2=96

2

注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求 解。 例2、等边三角形的边长为 2，求它的面积。 解：如图，等边△ ABC，作 AD丄BC于D

1

则：=丄BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）

BD

2

••• AB=AC=BC=2 （等边三角形各边都相等） ••• BD=1

在直角三角形 ABD 中 AB2=AD 2+BD 2，即：AD 2=AB 2 — BD2=4- 1=3 ••• AD=爲

1

$△ ABC=^BC・AD= J3

L

2

2

注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 例3、直角三角形周长为

a,则其面积为刀a

4

12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

x，y,根据题意得:

解：设此直角三角形两直角边分别是

x y 5

2 2

12 (1) 52⑵

x+y=7 ,

x y

由(1)得：

222

(x+y) =49 , x+2xy+y=49

⑶

⑶一(2),得：xy=12 •••直角三角形的面积是

例 4、在锐角△ ABC中，已知其两边

—xy= — X12=6 (cm)

2 2

2

a=1, b=3，求第三边的变化范围。

分析：显然第三边 b— avcvb+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却 不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求△ ABC为直角三角形时第三边的值。

解：设第三边为 C,并设△ ABC是直角三角形 ①当第三边是斜边时，c2=b2+a2,.・.(=116 ②当第三边不是斜边时，则斜边一定是b, b=a+c,.・. =272 (即 48)

2

2

2

c

•••△ ABC为锐角三角形

所以点A应当绕着点 B旋转，使/ ABC成 为锐角(如图)，但当移动到点 A2位置时/ ACB

成为直角。故点 A应当在A讶口 A2间移动，此时 2 J2 注：此题易忽视①或②中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角 边，所以有两种情况要考虑。

例5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(

A、 8, 15, 17 B、 4, 5, 6 C、 5, 8, 10

D、 8, 39, 40

c2=a2+b2 的变

此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用 形：b=c— = (c — a) (c+a)来判断。例如：对于选择支 —39), •以8 , 39, 40为边长不能组成直角三角形。

答案：A

2

2

a2

D , v 82工(40+39) x(40

例 6、四边形 ABCD 中，/ B=90° , AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13，求四边形 ABCD

3

的面积。

解：连结AC

•••/ B=90° , AB=3 , BC=4

••• AC2=AB2+BC2=25 (勾股定理) ••• AC=5

••• AC2+CD2=169 , AD2=169 •- AC2+CD2=AD 2

•••/ ACD=90 （勾股定理逆定理）

1 2

1 2

••- S 四边形 ABCD =SAABC +S △ ACD = 丄 AB-BC+ 丄AC-CD=36

本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。 例7、若直角三角形的三边长分别是 分析：首先要确定斜边（最长的边）长

n+1，n+2，n+3,求n。

n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

解：此直角三角形的斜边长为 n+3，由勾股定理可得:

(n+1) 2+ (n+2) 2= (n+3) 2

2

化简得: n=4

但当••• n=±2. n = - 2 时，n+1= - 1<0 ,••• n=2

三、练习题

1、等 腰三角形的两边长为

4和2,则底边上的高是

，面积是

2、 一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为 3、 一个直角三角形一条直角边为

16cm，它所对的角为 60 °则斜边上的高为

7,24,25

4、

四个三角形的边长分别是① 3, 4，5②4，7，8丄③④,4丄,5丄其中是直角

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2

三角形的是

①② B、①③ C、①④ D、①②③

5、如果线段 a、

c能组成直角三角形，则它们的比可以是（

13

B=90° ，

b、

C、3： 4： 7 D、5： 12： 1 : 4 B、： 3： 5

6、已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24， 2： 求证：/ A+ / C=180。

7已知直角三角形中，两边的长为 3、4,求第三边长。

、

8 △ ABC 中，/ C=90° a=5, c — b=1，求 b, c 的长。 、

9如图：△ ABC中，AD是角平分线， AD=BD，AB=2AC。

、 求证：△ ACB是直角三角形。

三、练习题解答 1、 用，vT5 2、 6, 8, 10 3、 8 cm 4、 5、

本题类似于例 6，需连结 AC证岀△ ACD也是直角三角形, 6、从而/ 1 + / 2=90°/ 3+ / 4=90° •••/ DAB+ / DCB=180

4

C

B

7、解：设第三边长为

X,

①当第三边是斜边时：X2=32+42=25，即x=5 ②当第三边不是斜边时，则斜边长为

4: x2=42- 32，即

8、此题类似于例 3

2解：根据题意得:

c b2

(c b)(c b) 25 . c b 1

9、证明：作 DE丄AB于 •/ AD=BD,DE 丄 AB

••• 2AE=AB （等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合） / DEA=90° （垂直的定义） 又••• AB=2AC ••• AE=AC ••• AD是角平分线

在^ ACD和^ AED中

AC AE

AD

AD

•••△ ACD r AED ( SAS)

•••/ C= / AED=90 （全等三角形对应角相等） •••△ ACB是直角三角形

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