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勾股定理及其逆定理复习典型例题
1. 勾股定理:直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方。(即:a2+b2=c )
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边
长:
a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个
三角形是直角三角形。
2. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 3. 如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形
(1 )首先确定最大边(如: C,但不要认为最大边一定是 (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,
C)
若c2=a2+b2,则△ ABC是以/ C为直角
的三角形。(若c2>a2+b2则^ ABC是以/ C为钝角的三角形,若c2va2+b2则^ ABC 是以/ C为锐角三角形)
二、例题分析
例1、若直角三角形两直角边的比是 解:设此直角三角形两直角边分别是
3: 4,斜边长是 20,求此直角三角形的面积。 3X, 4X,根据题意得:
(3x) 2+(4x) 2=202 化简得X2=16 ;
二直角三角形的面积 =! X3XX4X=6X2=96
2
注:直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求 解。 例2、等边三角形的边长为 2,求它的面积。 解:如图,等边△ ABC,作 AD丄BC于D
1
则:=丄BC (等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)
BD
2
••• AB=AC=BC=2 (等边三角形各边都相等) ••• BD=1
在直角三角形 ABD 中 AB2=AD 2+BD 2,即:AD 2=AB 2 — BD2=4- 1=3 ••• AD=爲
1
$△ ABC=^BC・AD= J3
L
2
2
注:等边三角形面积公式:若等边三角形边长为 例3、直角三角形周长为
a,则其面积为刀a
4
12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。
x,y,根据题意得:
解:设此直角三角形两直角边分别是
x y 5
2 2
12 (1) 52⑵
x+y=7 ,
x y
由(1)得:
222
(x+y) =49 , x+2xy+y=49
⑶
⑶一(2),得:xy=12 •••直角三角形的面积是
例 4、在锐角△ ABC中,已知其两边
—xy= — X12=6 (cm)
2 2
2
a=1, b=3,求第三边的变化范围。
分析:显然第三边 b— avcvb+a,但这只是能保证三条边能组成一个三角形,却 不能保证它一定是一个锐角三角形,为此,先求△ ABC为直角三角形时第三边的值。
解:设第三边为 C,并设△ ABC是直角三角形 ①当第三边是斜边时,c2=b2+a2,.・.(=116 ②当第三边不是斜边时,则斜边一定是b, b=a+c,.・. =272 (即 48)
2
2
2
c
•••△ ABC为锐角三角形
所以点A应当绕着点 B旋转,使/ ABC成 为锐角(如图),但当移动到点 A2位置时/ ACB
成为直角。故点 A应当在A讶口 A2间移动,此时 2 J2 例5、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( A、 8, 15, 17 B、 4, 5, 6 C、 5, 8, 10 D、 8, 39, 40 c2=a2+b2 的变 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,对数据较大的可以用 形:b=c— = (c — a) (c+a)来判断。例如:对于选择支 —39), •以8 , 39, 40为边长不能组成直角三角形。 答案:A 2 2 a2 D , v 82工(40+39) x(40 例 6、四边形 ABCD 中,/ B=90° , AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13,求四边形 ABCD 3 的面积。 解:连结AC •••/ B=90° , AB=3 , BC=4 ••• AC2=AB2+BC2=25 (勾股定理) ••• AC=5 ••• AC2+CD2=169 , AD2=169 •- AC2+CD2=AD 2 •••/ ACD=90 (勾股定理逆定理) 1 2 1 2 ••- S 四边形 ABCD =SAABC +S △ ACD = 丄 AB-BC+ 丄AC-CD=36 本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。 例7、若直角三角形的三边长分别是 分析:首先要确定斜边(最长的边)长 n+1,n+2,n+3,求n。 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 解:此直角三角形的斜边长为 n+3,由勾股定理可得: (n+1) 2+ (n+2) 2= (n+3) 2 2 化简得: n=4 但当••• n=±2. n = - 2 时,n+1= - 1<0 ,••• n=2 三、练习题 1、等 腰三角形的两边长为 4和2,则底边上的高是 ,面积是 2、 一个直角三角形的三边长为连续偶数,则它的各边长为 3、 一个直角三角形一条直角边为 16cm,它所对的角为 60 °则斜边上的高为 7,24,25 4、 四个三角形的边长分别是① 3, 4,5②4,7,8丄③④,4丄,5丄其中是直角 31 2 三角形的是 ①② B、①③ C、①④ D、①②③ 5、如果线段 a、 c能组成直角三角形,则它们的比可以是( 13 B=90° , b、 C、3: 4: 7 D、5: 12: 1 : 4 B、: 3: 5 6、已知:如图,四边形 ABCD 中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24, 2: 求证:/ A+ / C=180。 7已知直角三角形中,两边的长为 3、4,求第三边长。 、 8 △ ABC 中,/ C=90° a=5, c — b=1,求 b, c 的长。 、 9如图:△ ABC中,AD是角平分线, AD=BD,AB=2AC。 、 求证:△ ACB是直角三角形。 三、练习题解答 1、 用,vT5 2、 6, 8, 10 3、 8 cm 4、 5、 本题类似于例 6,需连结 AC证岀△ ACD也是直角三角形, 6、从而/ 1 + / 2=90°/ 3+ / 4=90° •••/ DAB+ / DCB=180 4 C B 7、解:设第三边长为 X, ①当第三边是斜边时:X2=32+42=25,即x=5 ②当第三边不是斜边时,则斜边长为 4: x2=42- 32,即 8、此题类似于例 3 2解:根据题意得: c b2 (c b)(c b) 25 . c b 1 9、证明:作 DE丄AB于 •/ AD=BD,DE 丄 AB ••• 2AE=AB (等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合) / DEA=90° (垂直的定义) 又••• AB=2AC ••• AE=AC ••• AD是角平分线 在^ ACD和^ AED中 AC AE AD AD •••△ ACD r AED ( SAS) •••/ C= / AED=90 (全等三角形对应角相等) •••△ ACB是直角三角形 5 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
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