八年级数学培优——因式分解及其应用

考点·方法·破译

1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式；

2．因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等； 3．因式分解的基本原则:有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；

4．竞赛中常出现的因式分解问题,常用到换元法、主元法、拆项添项法、配方法和待定系数法等方法、另外形如x2pxq的多项式，当p＝a＋b,q＝ab时可分解为（x＋a）（x＋b）的形式；

5．利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.

经典·考题·赏析

【例１】

⑴若x2kxy9y2是完全平方式，则k＝______________ ⑵若x25xyky2是完全平方式，则k＝______________

【变式题组】

01．若m2kmn9n2是一个完全平方式,则k＝________

02．若x2y26x10y340,求x、y的值.

03．若a2a2b24abb210，求a、b的值。

04．已知a、b、c满足|2a4||b2|(a3)b2a2c222ac，求abc的值。

【例2】⑴把x32x2yxy2分解因式，结果正确的是(

A．x(xy)(xy) B．x(x22xyy2)

）

C．x(xy)2

D．x(xy)2

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⑵在实数范围内分解因式x44＝____________

⑶因式分解a2b22b1＝_______________

【变式题组】

⑴3x3y26x2y312x2y2 ⑵2a(x21)22ax2

⑶20a2bx45bxy2

⑸(a25)28(5a2)16

⑷49(ab)216(ba)2

【例3】要使二次三项式x25xp在实数范围内能进行因式分解，那么整数P的取值可能有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数多个

【变式题组】

⑴已知x2ax12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

⑵在1～100间,若存在整数n，使x2xn能分解为两个整系数的一次因式的乘积,则这样的n有__个

【例4】分解因式：⑴2x211x12 ⑵x24y2z24yz

⑶(x25x2)(x25x3)12 ⑷x2xy6y2x13y6

【变式题组】 01．分解因式:

⑴x24y29z212yz

⑶ab2a3b6

⑸6y219y10

【例5】⑴求方程6xy4x9y70的整数解;

⑵设x、y为正整数,且x2y24y960，求xy的值

【变式题组】

2x2xyy201。设x、y是正整数，并且yx2132，则代数式的值是___________

xy22 ⑵4x24xy24y3

⑷(x1)(x2)(x3)(x4)1

02.已知a、b为整数，则满足a＋b＋ab＝2008的有序数组（a，b）共有__________

03．将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有（

A．16种 B．14种 C．12种 D．10种

04．方程x3y3x2yxy232的正整数解的个数为( ）

A．0个 B．1个

C．2个

D．不少于3个

）

05．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数:如果加上168则是另外一个完全平方数，

求这个正整数。

【例6】已知k、a都是正整数,2004k＋a、2004（k＋1）＋a都是完全平方数 ⑴请问这样的有序正整数（k、a）共有多少组？ ⑵试指出a的最小值，并说明理由。

【变式题组】

01．已知a是正整数，且a22004a是一个正整数的平方，求a的最大值.

02．设x、y都是整数，yx524x500,求y的最大值

演练巩固 反馈提高

01．如果分解因式81xn(9x2)(3x)(3x)，那么n的值为（

）

A．2 B．4 C．6 D．8

02．若多项式x2pxyqy2(x3y)(x3y)，则p、q的值依次为（

A．12，9 B．6，9 C．9,9 D．0,9 03．下列各式分解因式正确的是( ）

A．9x21(9x1)(9x1) B．a41(a21)(a21)

C．81a2b2(9ab)(9ab) D．(a)3ab2a(ab)(ab) 04．多项式(xyz)(xyz)(yzx)(zxy)的公因式是( ）

A．xyz B．xyz C．yzx D．不存在 05．(mn)24m(mn)4m2分解因式的结果是（ ）

A．(mn)2 B．(m2n)2 C．(mn)2 D．(m2n)2 06．若x2ax18能分解成两个因式的积,则整数a的取值可能有（ A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个 07．已知a2b24a2b50，则

abab的值为（ ） A．3 B．13

C．3

D．13

08．分解因式:(x2)(x4)x24＝__________________ 09．分解因式：a2b24a2b3＝__________________ 10．分解因式:x3y32x2y2xy＝___________________

11．已知ab5，ab4，那么a2b3a2b2ab2的值等于____________ 12．分解因式：x24y2x2y＝_______________

13．分解因式：(ab)26(ba)9＝_________________ 14．分解因式：(4a21)216a2＝___________________

15．已知m2n0,则m32mn(mn)4n3的值为_____________ 16．求证：817279913能被45整除

17．已知296－1可被在60到70之间的两个整数整除，求这两个整数

）

）

培优升级 奥赛检测

01．使得3n81为完全平方数的正整数n的值为( ）

A．2 B．3 C．4 D．5

02．设m、n是自然数,并且19n298nm0，则m＋n的最小值是（ ）

A．100 B．102 C．200 D．不能确定

03．满足方程x36x25x27y39y29y1的正整数对(x,y)有（ ） A．0对 B．1对 C．3对 D．无数对 04．方程x36x25xy3y2的整数解(x，y)的个数是（

）

A．0 B．1 C．3 D．无穷多

05．已知Mp4(p2q1)，其中p、q为质数,且满足qp29，则M＝（) A．2009 B．2005 C．2003 D．2000 06．不定方程2(xy)xy7的所有整数解为_________________

m3107．已知多项式2x3xy2yx8y6可以分解为(x2ym)(2xyn)的形式，那么2的

n122值是______

08．对于一个正整数n，如果能找到a、b，使得n＝a＋b＋ab，则称n为一个“好数\"，例

如：3＝1＋1＋1×1，3就是一个好数，在1～20这20个正整数中，好数有_______个

09．一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方,则称正整数a为完全平方数,如6482,64

就是一个完全平方数;若a29922299222993229932，求证a是一个完全平方数

10．已知实数a、b、x、y满足abxy2，axby5，求(a2b2)xyab(x2y2)的值

11．若a为自然数，则a43a29是质数还是合数？请你说明理由

12．正数a、b、c满足ababbcbccaca3，求(a1)(b1)(c1)的值

13．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班有m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的

9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是(mn＋9m＋11n＋145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.