数值分析

绝对误差，相对误差，有效数字。大数吃小数。（填空）

三角分解（大题）杜利脱尔分解，克洛脱分解，乔列斯基分解，平方根法，追赶法， 例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度为 a  312 mm , b  24 mm ，问： ( r( a ) ,  r (b ) 各是多少？两直杆的实际长度 a ) ,  ( b ) , 在什么范围内？ (a)(b)0.5mm, (a)0.5 r(a)0.16%, a312 (b)0.5 r(b)2.08%, b24 311.5mmx312.5mm, 23.5mmy24.5mm例2 设 a   2 .18 , b  2 . 1200 是分别由准确值 经过四舍五入而得到的近似值， 问：  ( a ) ,  ( b ) ,  r ( a ) ,  r ) 各是多少？ (b (a)0.005,(b)0.00005

(a)0.005 r(a)0.23%,

a2.18

(b)0.00005  r(b)0.0024%b2.1200

例3 下列近似值的绝对误差限都是0.005， a1.38,b0.0312,c0.86104 问：各个近似值有几位有效数字？

求和时从小到大相加，可使和的误差减小。

1、下列各近似值均有四位有效数字，试指出它们的绝对误差限和相对误差限。 a0.01347,b12.341,c1.2002、下列近似值的绝对误差限都是0.0005，试指出它们有几位有效数字。

,b0.042,c0.00032 a1.00031 3、在四位十进制的下，试选择精确度最高的算法，计算下式的值。

u134010240506090

答案：

1、0.000005,0.03712%;0.005,0.04052%;0.0005,0.04167%. 2、4、2、0 3、134200

1114、4 ynyn1,yn(yn1)n4n 高斯消去法步骤：

(1) 首先将增广阵 [ A, b ] 化为上三角阵； (2) 用三角方程组，回代求解 。

例1在四位十进制的下，分别用不选主元高斯消去法与列选主元高斯消去法求解下列方程组。

0.012x1 0.010x20.167x30.6781x10.8334x25.910x312.13200x1200x 4.2x981123

解：用顺序消去法的消元过程：

0.0100.01200.0100.16700.67810.01201.0000.83345.91012.10030.10001012004.200981.01467320000.0100.0120300.100010000.16708.01011751050.678144.41567100.67818.01044.41244101798100.1670回代后，得

x35.6,x2100.0,x1104.0

12000.45840.5500102981.05.90911.790.16700.67444.200列选主元高斯消去法的消元过程：

0.01200.0100.16700.67813200 01.0000.83345.91012.10 12004.200981.032000  4.200981.032001200 00.45845.90911.79

00.096090.53290

回代后，得

x35.6,x245.76,x117.46

杜利脱尔分解：如果方程组 Ax =b 的系数阵 A 能分解为A =LU， 其中，L 是下三角矩阵，U 是上三角矩阵.

1lA21ln101ln20u110010u12u220u1nu2nunn

例1.3 用矩阵的杜利脱尔（Doolittle）分解解方程组

123x114 252x18.2

315x320

解：设 1231u11u12u13  2 5 2    1   u 22 u 23   比较两边系数得: l21LU u33315l31l321

u111u122u133 3112l2l331 21于是L21U14u221u234l532u332435124

1y114

y18 解方程组Ly212解得y114,y210,y372, 351y320

3x11412 解得x33,x22,x11.x10再解方程组Ux142

24x372

练习： 用矩阵的杜利脱尔（Doolittle）分解 A=LU解方程组。

1123x13 0212x12

1122x33

2259 x47答案： y13,y21,y31,y40x40,x31,x20,x11

算法1.5 给定对称正定矩阵A ，用乔列斯基分解求解线性代数方程组 Ax=b 的平方根法.

下三角阵 L 与上三角阵 LT 的求解 a1nl1100l11l21ln1a11a12l0la aal0l212222n221222nˆLˆTLA  aaalll00lnnnnn2nnn1n1n2

i1 2liiaiilis s1i1 lall(ki1,i2,...,n)kikiks/lii,is s1

例1.6：用矩阵A 的乔列斯基（Cholesky）分解解方程组 11x16414.252.75x0.5

2 12.753.5x31.25

11ll4l l解: 设 11 11 21 31 比较两边系数得:

14.252.75lLLTlll21222232 l33 12.753.5l31l32l33 l112l210.5l310.52 l l 于是 L0.52222321.5 l3310.51.51

解方程组 Ly  b 解得 y13,y20.5,y31,T 解得 再解方程组 L x31,x21,x12.xy练习：用矩阵A 的乔列斯基（Cholesky）分解解方程组

8x1414x354 2x310  8  4229答案： y11,y22,y36,x32,x24,x1.算法1.7 求解三对角方程组的追赶法

b1c1l1

abmc222 2A

an1bn1cn1 anbn 4l2mn1ln1mn1u11lnu21un11例1.7：试用“追赶法”求解线性代数方程组：

21x11131x2

2

111x32 21x40

1解：设 2100l11310m l22 0111m3l3 ml002144

u11u21LUu31比较两边系数得:

1 l2u11212 12525m21l2u2 12521 353于是LUm31l3u31 53577 m2l244 33 2y11 51 213y22解得y,y,y33解方程组12 y212535

7y40 23

11 1002x12 3210x2解得x2,x1x1, 再解方程组4325x5 5371 3x431 2第二章：迭代法

雅可比迭代法，高斯—塞德尔迭代法（收敛的条件，计算式，收敛性） 范数（向量，矩阵），条件数，谱半径（填空）。

2515317,3y42x10. 定理 Jacobi 迭代法收敛充要条件是(BJ)< 1.

定理2.2 若方程组 Ax=b 的系数阵 A 是按行(或按列)严格对角占优阵或者按行(或按列)弱

对角占优且为不可约矩阵，则用 Jacobi 迭代法求解必收敛。

定理2.2*若A 对称正定，则Jacobi 迭代收敛的充分必要条件是矩阵2D-A也对称正定。 定理 GS 迭代法收敛的充要条件是  (Bgs) < 1. 例2.2 对 Rn 中的任一向量x(x1,x2,||x||2,xn)

i1nxi2||x||1|xi||x|||x||max1inii1n 练习:计算向量 x   4 ,  8 , 2 , 1 T 的各种范数.

 几种常用的范数（矩阵）

n 当 p1,2,时||A||1max|aij|(列范数)1jni1

||A||2＝max(ATA)(2范数)

其中，max(ATA)表示ATA的最大特征值。n ||A||max|aij|(行范数)1inj1

练习:计算矩阵  1  2  的各种范数.

52A210T(3,5,1)382

p

A341补例 设 求

xxp,A(p1,2,)

以及

AF.

解

x1|3||5||1|9,

xmax{|3|,|5|,|1|}5,

152 |1||5||2|,122232A210 Amax|2||1||0|,213,22382A518 F|3||8||2|222 202

定义 对于可逆矩阵 A，称 ||A|| • ||A-1|| 为 A 的条件数，记作

cond(A) = || A || • || A-1 || .矩阵的条件数与所取的范数有关，常用的条件数是

cond(A)∞ = || A || ∞ • || A-1 || ∞ ，

cond(A)1 = || A || 1 • || A-1 || 1， cond(A)2 = || A || 2 • || A-1 || 2 . 补例 设线性方程组 Ax = b 为 11.0001x121 1x22(1) 求 cond(A)∞ 和 Ax = b 的解 x 。

(2) 设 b +△b =(2.0001, 2)T, 求 A( x +△x) = b +△b 的解 x +△x

bx232(5)21235|1||2||3|,A1max|5||1||8|,14,|2||0||2|112,(3) 计算

b和xx

1041.0001104解 (1) A441010 4 cond(A)AA12.0001(2.0001104)40004.00014101

Axb的解为x(2,0)T; T(2) A(xx)bb的解为xx(1,1);

(3) b(0.0001,0)T,x(1,1)T;b0.005%, bxx50%,补例 设线性方程组 Ax = b 为

0.21610.1441x10.1441.29690.82x0.82 2(1) 求 cond(A)∞

(2) 在八位十进制的下，用列主元素消去法求解.

88解 (1) 0.88100.144110181cond(A)AA3.2710A8 0.21611081.296910 2.16171.5131083.27108

r1 0.21610.14410.144r1r2,r20.21611.29690.820.821.2960（2） 10811081.29690.820.82

补例1 证明：用 Jacobi 迭代法求解下方程组必收敛。 10x1 2x22x31

2x110x2 x30.5 x 2x3x1231

解: 迭代矩阵为 1/1002

GJD1(LU)1/10

1/31

2213GJ1110315因 ,故 J-迭代法收敛

220.20.200.20100.1201/32/30(k)(k)x1(k1)0.2x2分量形式的迭代公式为 0.2x30.1(k1)(k)(k)

x20.2x10.1x30.05

(k1)1(k)2(k)1 x33x13x23 (0)(0)(0)x,x,x123 任选补例2 判断用 GS 迭代法求解补例1中的方程组是否收敛 10x1 2x22x31

2x110x2 x30.5 x 2x3x1231

06060解: GS 迭代矩阵为 11G(DL)U01242 30002848因为

G11501300

, 所以 GS 法收敛

迭代公式为

(k)(k)x1(k1)0.2x20.2x30.1(k1)(k1)(k)x20.2x10.1x30.05(k1)1(k1)2(k1)1x33x13x23(0)(0)(0)x,x,x123任选补例3 证明： 用 J-迭代法求解下方程组不收敛.

证明: 迭代矩阵为 00.50.5 GJ101 2x1x2 x31x1 x2 x31x x2x12310.50.50GJ 的特征值为0,1.25i,1.25i,(GJ)1.251,因而, J-法不收敛.

补例6 判断用 Jacobi 迭代法和GS 迭代法求解方程组是否收敛，如果收敛，比较哪

种方法收敛较快. 302xb11 021xb22

212x3b3

解： 因为A对称正定，2D-A也对称正定，所以两种迭代法均收敛。 迭代矩阵为：

2 003 111BJ00,(BJ)0.95741

212 110 2

200 133002 11Bgs(DL)U0200100,

2212000 1100 12 11(B)0.91671J

12B因为  ( B gs )   ( J ) ，故GS 迭代法比Jacobi 迭代法收敛快。

第三章：二分法（填空），牛顿法格式（填空），（收敛阶）。 简单迭代法（大题或证明收敛性），弦截法格式（填空）。

f(xk)xx(4.7) k1kf(xk)

此即著名的牛顿公式。

第四章：乘幂法，反幂法（按模最大或最小特征值特征向量）（填空）。 乘幂法的基本思想：

任取一非零的初始向量v0，由矩阵A构造一向量序列

v1Av0

v2Av1A2v0  k 称为迭代向量。

vk1AvkA1v0

反幂法迭代格式:

任取初始值 v0u00,

vkA1uk1 vkuk max(vk)

第五章：代数插值 插值法（填空）（表达式---牛顿，拉格朗日插值公式）。 埃尔米特插值（大题），插值与导数的关系（填空）。

 一、构造基函数 (xx0)(xx1)(xxj1)(xxj1)(xxn) lj(x) (xjx0)(xjx1)(xjxj1)(xjxj1)(xjxn) nxxi ,j0,1,...,n.xxi0,ijji

例5.1：给定函数表 求三次拉格朗日插值多项式L 3(x). xi 0 1 yi

0 1 2 5 3 14 1L3(x)(2x33x2x)61 x(x1)(2x1)6

例：已知 f(0)=1，f(1)=2，f(2)=4，求 f(x)的二次插值多项式并求f(1.5). 12L(x)(xx2)2 2 f(1.5)L2(1.5)2.875

一般地, k 阶差商定义为

f[x1,x2,,xk]f[x0,x1,,xk1] f[x0,x1,,xk1,xk]xkx0

性质3 (差商与导数的关系) 设f(x)在[a,b]上有n1阶导数且,x0,x1,,xn,x[a,b],

则存在[a,b]使得 f(n1)()fx0,x1,...,xn,x. (n1)!

Nn(x) f(x0) f[x0,x1](xx0) f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)  f[x0,x1,,xn](xx0)(xx1)(xxn1)

第六章：最佳平方逼近多项式法方程（大题） 正交多项式（定义，权函数，区间……）（填空）。 曲线拟合的最小二乘法（大题）。 1、切比雪夫 (Chebyshev) 多项式 T(x)cos(narccosx),1x1.n1(1) {Tn(x)}是 [-1,1]上带权 1x 的正交多项式系. (2) Tn(x) 满足递推公式

T0(x)1,

T1(x)x

T2(x)2x21

T3(x)4x33x

T4(x)8x48x1

T5(x)16x520x35x T6(x)32x648x418x21(3) n为奇数时, Tn(x)为奇函数; n为偶数时, Tn(x)为偶函数 2k1xkcos,k1,2,...,n(4) 当 n 1时, Tn(x) 在 (1, 1) 内有n个互异的实零点 2n(6) Tn(x)是 x 的 n 次多项式, 并且当n 1时, Tn(x)的最高次项 系数为 a2n1.n2、勒让德 (Legendre) 多项式

n1dn

pn(x)nnx21 2n!dx2

 勒让德多项式性质

(1) { pn(x) }是 [-1,1]上的正交多项式. (2n)!a.nn2(2) { pn(x) }的最高次项系数是 2(n!)(3) n为奇数时, pn(x)为奇函数; n为偶数时, pn(x)为偶函数;

p0(x)1,

p1(x)x,

1 p2(x)(3x21),2

1

p3(x)(5x33x),2

1

p4(x)(35x430x23), 8法方程的矩阵形式是： (0,0)(0,1)(0,n)a0(f,0)(,)(,)(,)a(f,)

111n1110  (,)(,)(,)a(f,)n1nnnnn0 1例6.4 定义内积 (f,g)1f(x)g(x)dx4试在 H1=Span {1, x} 中寻求对于 f(x)= 的最佳平方逼近多项式 p1(x). 解 法方程为 315a7108832012 4解得a,a0121a1311527135 8032

10881所求的最佳平方逼近多项式为p(x)x.x1 12713

例6.5 求函数 f (x) ex 在 [-1,1] 上的 Legendre 三次最 佳平方逼近多项式. 解：前4个Legendre 多项式为

11

L0(x)1,L1(x)x,L2(x)(3x21),L3(x)(5x33x). 2211 x(f,L0)edx2.30,(f,L1)xexdx0.7358,

11 11112x(3x1)edx0.1431,(f,L3)(5x33x)exdx0.02013. (f,L2)2211

c由

(L)k(f,Lk)2k11Lk(x)f(x)dx,(Lk,Lk)2

1111 (L)(f,L0)201c0L0(x)f(x)dx1exdx1.1752 (L0,L0)2121

(f,L1)3 c1(L)(f,L1)1.1036(L1,L1)2

(f,L3)7(f,L2)5 (L)(L)c2(f,L2)0.3578,c3(f,L3)0.07046. (L2,L2)2(L3,L3)2所求三次最佳平方逼近多项式为：

p(x)c(L)c(L)L(x)c(L)L(x)c(L)L(x)L0112233 231x10.99630.9979x0.5367x0.1761x

例6.6 求f(x)= x 在区间[0,1] 上的一次最佳平方逼近多项式. 解 1令x(1t) 2 1则f(x)1tg(t),1t1

2先求g(t)在区间[-1,1]的一次最佳平方逼近多项式.

11112由a(g,L)1tdt, 0022123

331t2a1(g,L1)1tdt.

22125 2222可知q(t)L(t)L(t)t,1t1101

3535把 t=2x-1 代入 q1(t)，就得 x 在区间[0,1]的一次最佳平方逼近多项式:

44p(x)x.0x1 1155补例1：已知一组实验数据如下，求它的线性拟合曲线。 x f(x) W 1 4 2 2 4.5 1 3 6 3 4 8 1 5 8.5 1

解:令 s 1  x   a 0  a 1 x 这里 m5,n1,0x1,1xx,

(0,0)(0,1)a0(f,0)相应的法方程 (,)(,)a(f,)111110

0,0i8,0,11,0ixi22,i15i1551,1ixi274i10,fifi47,1,fixifi145.5i1i155解方程组

8a022a14722a074a1145.5a02.58,a11.20于是所求拟合曲线为 s1 x2.581.20x定义7.1 若一个求积公式 (7.1) 满足: 对于所有的次数不高于 m 的多项式时, (7.1) 都精确成立; 而对于某一个 m+1 次多项式, 式(7.1) 不能精确成立, 则称该求积公式具有 m 次代数精度.

例: 判别以下两个求积公式的代数精度。

11 (1)f(x)dx[f(1)2f(0)f(1)];12

111 (2)f(x)dxf()f().133

（1）代数精度 = 1；（2）代数精度 = 3。 定理7.1 ：形如(7.1)的求积公式至少有 n 次代数精度的充要条件是它是插值型的求积公式. 证明 (充分性) 因为, 当 f (x) 为次数不高于 n 的多项式时, 有 f (n+1)(x) 0, 故, 由 (7.5) 知, Rn[ f ]  0. 依代数精度定义, 知结论成立.

(必要性) 若求积公式 (7.1) 至少有n 次代数精度, 这时公式(7.1) 对插值基函数 lk(x) 准

nb确成立 (它是 n 次多项式). 即有,

l(x)dxAjlk(xj),ak j0注意到, lk(xj) = ij , 上式右端实际上等于 Ak , 因而, Ak

dx1、梯形公式 f ( x )   f ( a )  f ( b )   T 代数精度 = 1 a222,、Simpson 公式 2211(2)11(2)14C(2)t(t1)dt.当 n =2 时， C0(t1)(t2)dt,C1t(t2)dt,2460406206 bbaabf(x)dxf(a)4ff(b) a 6  2   S 称为Simpson (辛普生)公式，又叫

抛物线公式。代数精度 = 3 3、Cotes 求积公式 当 n = 4 时， N-C 求积公式为

b ba3ababa3bf(x)dx7f(a)32f12f32f7f(b) 90424a

代数精度 = 5

当 n 为偶数时， n+1 个节点的 n 阶Newton-Cotes 求积公式的代数精度至少是 n+1 次 例 分别用梯形公式、辛普生（Simpson）公式、柯特斯（Cotes）公式计算积分： 332I(x2x7x5)dx. 1解：由梯形公式有： 31bbabakl(x)dx.T2f1f326.由辛普生公式有： 3162Sf14f2f320.66667 63由柯特斯公式有：

62 31C[7f(1)32f(1.5)12f(2)32f(2.5)7f(3)]20.66667 903