2011年广东高考文科数学试题(免费下载)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填

写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多

涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体体积公式V13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

na中系数计算公式b线性回归方程ybx(xi1nix)(yiy)x)2ybx， ，a(xi1i样本数据x1,x2,,xn的标准差，s其中x，y表示样本均值． n是正整数，则ab(ab)(annn11n[(x1x)(x2x)(xnx)]，

222an2babn2bn1)．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的． 1．设复数z满足iz1，其中i为虚数单位，则z

A．i B．i C．1 D．1 1．（A）．z1iii(i)i

2．已知集合A{(x,y)|x,y为实数，且xy1}，B{(x,y)|x,y为实数，且xy1}，则AB的元素个数为

祝各位考出好成绩！

22A．4 B．3 C．2 D．1

2．（C）．AB的元素个数等价于圆x2y21与直线xy1的交点个数，显然有2个交点 3．已知向量a(1,2),b(1,0),c(3,4)．若为实数，(ab)∥c，则

A．

14 B．

12 C．1 D．2

123．（B）．ab1(2,)

4．函数f(x)11x，由(ab)∥c，得64(1)0，解得

lg(1x)的定义域是

A．(,1) B．(1,) C．(1,1)(1,) D．(,)

1x0x1且x1，则f(x)的定义域是(1,1)(1,) 4．（C）．1x0

5．不等式2x2x10的解集是

A．(12,1) B．(1,) C．(,1)(2,) D．(,212)(1,)

12)(1,)

0(x2()1)10xx5．（D）．2xx112或x1，则不等式的解集为(,

0≤x≤26．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组y≤2给定．若M(x,y)为D上的动点，点A

x≤2y的坐标为(2,1)，则zOMOA的最大值为

A．3 B．4 C．32 D．42 6．（B）．z2xy，即y2xz，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y2xz经

2224

过点(2,2)时，z取得最大值，zmax

7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱

对角线的条数共有 A．20 B．15 C．12 D．10 7．（D）．正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱

对角线的条数共有5210条

8．设圆C与圆x(y3)1外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为

22 祝各位考出好成绩！

A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆

8．（A）．依题意得，C的圆心到点(0,3)的距离与它到直线y1的距离相等，则C的圆心轨迹为抛物线 9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形

和菱形，则该几何体的体积为 A．43 B．4 C．23 D．2

俯视图 图3

1222323，四棱锥的高为3，

2 23 正视图 图1

2 侧视图 图2

9．（C）．该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积S则该几何体的体积V

13Sh1323323

10．设f(x),g(x),h(x)是R上的任意实值函数，如下定义两个函数(fg)(x)和(fg)(x)：对任意

xR，(fg)(x)f(g(x))；(fg)(x)f(x)g(x)，则下列等式恒成立的是

h)(x)((fh)　A．((fg)　　(gh))(x)

B．((fg)　h)(x)((fh)　　(gh))(x) C．((fg)h)(x)((f　(g　g)　h))(x) D．((fg)　h)(x)((fg)　　(gh))(x)

h)(x)(fg)(x)h(x)f(g(x))h(x) 10．（B）．对A选项 ((fg)　　(gh))(x)(fh)((gh)　(x))(fh)((g(x)h(x)) ((fh)　f(g(x)h(x))h(g(x)h(x))，故排除A

对B选项 ((fg)　h)(x)(fg)(h(x))f(h(x))g(h(x))

　(gh))(x)(fh)(x)(gh)(x)f(h(x))g(h(x))，故选B ((fh)　对C选项 ((fg)h)(x)(fg)(h(x))f(g(h(x)))

(g　g)　h))(x)(fg)((g　h)(x))(fg)(g(h(x))) ((f　f(g(g(h(x))))，故排除C

祝各位考出好成绩！

对D选项 ((fg)　h)(x)(fg)(x)h(x)f(x)g(x)h(x)

　(gh))(x)(fg)(x)(gh)(x)f(x)g(x)g(x)h(x)，故排除D ((fg)　

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（9 ~ 13题）

11．已知{an}是递增的等比数列，若a22，a4a34，则此数列的公比q ． 11．2．

a4a34a2q2a2q42q22q402(q2)(q1)0q2或q1

∵{an}是递增的等比数列，∴q2

12．设函数f(x)x3cosx1．若f(a)11，则f(a) ． 12．9

f(a)acosa111，即f(a)acosa10，

33则f(a)(a)3cos(a)1a3cosa11019

13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天

打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：

时间x 命中率y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ． 13．0.5；0.53

小李这5天的平均投篮命中率yn15(0.40.50.60.60.4)0.5

x3，b(xi1nix)(yiy)(xix)20.2000.1(0.2)(2)(1)0122222ybx0.47 0.01，ai1∴线性回归方程y0.01x0.47，则当x6时，y0.53

祝各位考出好成绩！

∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53

（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）

52xtx5cos14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为(0≤)和4

ytysin(tR)，它们的交点坐标为___________． 25514．(1,)．

2xx5cos2表示椭圆y1(5x5ysin524xt25且0y1)，4表示抛物线yx

5ytx22y1(5x5y24x55且0y1)2， x4x50x1或x5（舍去）

又因为0y1，所以它们的交点坐标为(1,

255)

15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，

AB4，CD2，E,F分别为AD,BC上的点，且EF3， EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．

D

C

E

F

15．

75

P A

图4

B

如图，延长AD,BC，ADBCP

CDEFCDAB2324 ∵，∴

SPCDSPEFSPCDSPEF494

D C ∵，∴16

E F ∴

S梯形ABEFS梯形EFCD75

A

B

祝各位考出好成绩！

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)2sin(x316)，xR．

（1）求f(0)的值；

106（2）设,0,，f(3)，f(32)，求sin()的值．

2213516．解：（1）f(0)2sin(（2）f(36)1

1105)2sin[(3)]2sin，即sin 23261313163f(32)2sin[(32)]2sin()，即cos

36255∵,0,，

2∴cos1sin21213，sin1cos51335245

456365∴sin()sincoscossin

17．（本小题满分13分）

1213

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n1,2,,6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下： 编号n 成绩xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72 （1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；

（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率． 17．解：（1）

16(7076727072x6)75，解得x690

标准差s16[(x1x)(x2x)(x6x)]22216(5135315)7

222222（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为(a,b)，a,b{1,2,3,4,5}且ab

则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种

祝各位考出好成绩！

这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中

设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”

则A中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种，则P(A)41025

18．（本小题满分13分）

图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右

D,DD,CE的中点，O,O,O,O分别为CD,CD, E,D水平平移后得到的．A,A,B,B分别为C1122DE,DE的中点．

（1）证明：O1,A,O2,B四点共面；

（2）设G为AA中点，延长AO1到H，使得O1HAO1．证明：BO2平面HBG．

18．证明：（1）连接BO2,O2O2,

依题意得O1,O1,O2,O2是圆柱底面圆的圆心 ∴CD,CD,DE,DE是圆柱底面圆的直径

D,DE的中点 E,D∵A,B,B分别为CA A C H O1 D O2 E

G B A C O1 D B O2 E

图5

A C H O1 D O2 E

B G ∴AO1DBO2D90

C ∴AO1∥BO2

H O1 D B O2 E

∵BB//O2O2，四边形O2O2BB是平行四边形 ∴BO2∥BO2

祝各位考出好成绩！

∴AO1∥BO2

∴O1,A,O2,B四点共面

（2）延长AO1到H，使得O1HAO1，连接HH,HO1,HB ∵O1HAO1

∴O1H//O2B，四边形O1O2BH是平行四边形 ∴O1O2∥HB

∵O1O2O2O2，O1O2BO2，O2O2BO2O2 ∴O1O2面O2O2BB

∴HB面O2O2BB，BO2面O2O2BB ∴BO2HB

易知四边形AAHH是正方形，且边长AA2 ∵tanHO1HHHOAHGAG1H2，tanAH12

∴tanHO1HtanAHG1

∴HO901HAHG

∴HO1HG

易知O1O2//HB，四边形O1O2BH是平行四边形 ∴BO2∥HO1

∴BO2HG，HGHBH ∴BO2平面HBG． 祝各位考出好成绩！

19．（本小题满分14分）

设a0，讨论函数f(x)lnxa(1a)x22(1a)x的单调性． 19．解：函数f(x)的定义域为(0,)

1x2a(1a)x2(1a)x1x2f(x)2a(1a)x2(1a)

令g(x)2a(1a)x22(1a)x1

4(1a)8a(1a)12a16a44(3a1)(a1)

1322 ① 当0a时，0，令f(x)0，解得x1a(3a1)(a1)2a(1a)

则当0x1a(3a1)(a1)2a(1a)或x1a(3a1)(a1)2a(1a)时，f(x)0

当1a(3a1)(a1)2a(1a)1ax1a(3a1)(a1)2a(1a)1a时，f(x)0

则f(x)在(0,(3a1)(a1)2a(1a))，((3a1)(a1)2a(1a),)上单调递增，

在(131a(3a1)(a1)1a(3a1)(a1),)上单调递减

2a(1a)2a(1a)② 当a1时，0，f(x)0，则f(x)在(0,)上单调递增

③ 当a1时，0，令f(x)0，解得x1a(3a1)(a1)2a(1a)

∵x0，∴x1a(3a1)(a1)2a(1a)

则当0x1a(3a1)(a1)2a(1a)时，f(x)0

当x1a(3a1)(a1)2a(1a)时，f(x)0

祝各位考出好成绩！

则f(x)在(0,

1a(3a1)(a1)2a(1a))上单调递增，在(1a(3a1)(a1)2a(1a),)上单调递减

20．（本小题满分14分）

设b0，数列{an}满足a1b，annban1an1n1(n≥2)．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，2an≤bn11． 20．（1）解：∵anannnannban1an1n1

∴ban1an1n1

∴1n11 ban1bnann1an11，则{nan}是以1为首项，1为公差的等差数列

① 当b1时，

∴

nan1(n1)1n，即an1

② 当b0且b1时，

nan11b11n11() ban11b当n1时，

nan11bb(1b)

∴{nan11b1}是以

1b(1b)为首项，

1b为公比的等比数列

∴

nannan1b11n() 1bb11b1bnn1∴(1b)bn(1b)b

∴ann(1b)b1bnn

祝各位考出好成绩！

n(1b)bn,　b0且b1综上所述an1bn

1，　 　b1　　　（2）证明：① 当b1时，2anbn112；

② 当b0且b1时，1bn(1b)(1bbn2bn1)

2n(1b)b1bnn要证2anb即证即证

n11，只需证bn11，

2n(1b)1bnb2n1bn

bn21bn1bb1bnn2bn1

)2n 1bn1即证(b)(1bbn1b1bn1即证(bbb∵(bbb(b1b)(b22n12b)(nnn1bn21b21bn1b)

)2n

b)(1bn1bn11bn1b)(b2n11b)(bn1)

2b1b2b21b22bn11bn12b1bn2n，∴原不等式成立

∴对于一切正整数n，2an≤bn11．

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy上，直线l：x2交x轴于点A．设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPOAOP．

（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；

（2）已知T(1,1)，设H是E上动点，求HOHT的最小值，并给出此时点H的坐标； （3）过点T(1,1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的

取值范围．

21．解：（1）如图所示，连接OM，则PMOM

l ∵MPOAOP，

∴动点M满足MPl或M在x的负半轴上，设M(x,y) ① 当MPl时，MPx2，OMxy

22y M P M A O x x2 祝各位考出好成绩！

x2xy，化简得y24x4(x1)

22② 当M在x的负半轴上时，y0(x1)

综上所述，点M的轨迹E的方程为y24x4(x1)或y0(x1)

（2）由（1）知M的轨迹是顶点为(1,0)，焦点为原点的抛物线和x的负半轴y0(x1) ① 若H是抛物线上的动点，过H作HNl于N

由于l是抛物线的准线，根据抛物线的定义有HOHN 则HOHTHNHT

当N,H,T三点共线时，HNHT有最小值TN3 求得此时H的坐标为(34H l N y H ,1)

 N O H T x ② 若H是x的负半轴y0(x1)上的动点 显然有HOHT3

综上所述，HOHT的最小值为3，此时点H的坐标为(（3）如图，设抛物线顶点A(1,0)，则直线AT的斜率kAT∵点T(1,1)在抛物线内部，

3412,1)

x2

y l1 ∴过点T且不平行于x,y轴的直线l1必与抛物线有两个交点 则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论： ① 当k② 当1212l1 l1 A O T x 时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点

k0时，直线l1与轨迹E有且只有三个不同的交点 ③ 当k0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点 ④ 当k0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点 综上所述，直线l1的斜率k的取值范围是(,

祝各位考出好成绩！

12](0,)

祝各位考出好成绩！