江苏省南通市海安高级中学2023届高三下学期一模数学试题

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合A1,0,1，Bxx11，则AB的元素个数为（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

2．若复数z满足1iz1i，则z的虚部为（ ） A．2i

B．2 C．2i 2D．2 2rrrr3．设向量a3,5,2，b2,1,3，当数m与n满足下列哪种关系时，向量manb与x轴垂直（ ）

A．3m2n B．3mn C．m2n

D．mn

4．如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）

15A．,

6612B．,

3312C．,

2311D．,

625．已知p：xy0，q：lnA．充分不必要条件 C．充要条件

x21xlny21y0，则p是q的（ ）

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）

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A．

16 81B．

20 81C．

8 27D．

10 277．已知等边VABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，PEAC，垂

uuuruuuruuur2足为E，当PBPC时，PE（ ）

3r2uuur1uuuA．ABAC

33r1uuur1uuuC．ABAC

63r1uuur1uuuB．ABAC

36ur1uuur2uuD．ABAC

338．双曲线C:x2y24的左，右焦点分别为F1,F2，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点，VAF1F2,VBF1F2,VF1AB的内切圆圆心分别为O1,O2,O3，则VOOO123的面积是（ ） A．628

B．624

C．842 D．642

二、多选题

9．李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ） A．P(X＞32)＞P(Y＞32) B．P(X≤36)＝P(Y≤36)

C．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车 D．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车

10．CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝2，如图的六面体中，则（ ）

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A．CD⊥平面ABC

πB．AC与BE所成角的大小为

3C．CE＝3D．该六面体外接球的表面积为3π

sinxcosx11．已知函数fxee，其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（ ）

A．fx在0,是增函数

2B．fx是奇函数

4C．fx在0,上有两个极值点 D．设gxfxnn1的正整数n的最小值是2 ，则满足gg44x12．已知函数fxasinxcosxa0,0的部分图象如图所示，其中BC2，且VABC的面积为2，则下列函数值恰好等于a的是（ ）

1A．f

35B．f

6C．f1 D．f2

三、填空题

13．x2y1展开式中含x2y项的系数为______．

14．定义在R上的函数fx,gx，满足f2x3为偶函数，gx51为奇函数，若

5f1g13，则f5g9__________.

15．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球O1，球O2的半径分别为4和2，球心距离O1O2210，截面分别与球O1，球O2相切于点E,F（E,F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.

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16．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X~Bn,p，记

kkpkCnp1pnk，k0,1,2,,n.在研究pk的最大值时，小组同学发现：若n1p为

正整数，则kn1p时，pkpk1，此时这两项概率均为最大值；若n1p为非整数，当k取n1p的整数部分，则pk是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为____________的概率最大.

四、解答题

sinBAD:sinCAD1:3，17．△ABC中，D是线段BC上的点，△ADC的面积是VADB面积的2倍． (1)求

sinB； sinC2，求DC和AB的长． 2(2)若AD1，BD18．已知数列an满足2anan1an1n2，且a12,a2a3a418 (1)求an的通项公式； (2)设bn2an1000，求数列bn的前15项和T15（用具体数值作答）.

19．如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.

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（1）证明：PB//平面AEC；

（2）设二面角DAEC为60°，AP1，AD3，求直线AC与平面ECD所成角的正弦值.

20．EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、如图所示，AB2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．

(1)若OE3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值； (2)若椭圆的离心率为3OMN的面积最大？ ，当线段OG长为何值时，游乐区域V221．已知抛物线C:y22px(p0)的焦点F到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合. (1)求抛物线C和圆M的方程；

(2)设Px0,y0x02为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点Ax1,y1,Bx2,y2和点Qx3,y3,Rx4,y4.且y1y2y3y416，证明：点P在一条定曲线上.

x222．已知函数fxaex,a0且a1.

(1)设gxfxxex，讨论gx的单调性；

(2)若a1且fx存在三个零点x1,x2,x3. 1）求实数a的取值范围；

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2）设x1x2x3，求证：x13x2x3

2e1. e试卷第6页，共6页