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江苏省南通市海安高级中学2023届高三下学期一模数学试题

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江苏省南通市海安高级中学2023届高三下学期一模数学试

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、单选题

1.已知集合A1,0,1,Bxx11,则AB的元素个数为( ) A.0

B.1

C.2

D.3

2.若复数z满足1iz1i,则z的虚部为( ) A.2i

B.2 C.2i 2D.2 2rrrr3.设向量a3,5,2,b2,1,3,当数m与n满足下列哪种关系时,向量manb与x轴垂直( )

A.3m2n B.3mn C.m2n

D.mn

4.如图,一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水,若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,则V的取值范围是( )

15A.,

6612B.,

3312C.,

2311D.,

625.已知p:xy0,q:lnA.充分不必要条件 C.充要条件

x21xlny21y0,则p是q的( )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.将一个顶角为120°的等腰三角形(含边界和内部)的底边三等分,挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形,得到与原三角形相似的两个全等三角形,再对余下的所有三角形重复这一操作.如果这个操作过程无限继续下去…,最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线,如图所示已知最初等腰三角形的面积为1,则经过4次操作之后所得图形的面积是( )

试卷第1页,共6页

A.

16 81B.

20 81C.

8 27D.

10 277.已知等边VABC的边长为2,D为BC的中点,P为线段AD上一点,PEAC,垂

uuuruuuruuur2足为E,当PBPC时,PE( )

3r2uuur1uuuA.ABAC

33r1uuur1uuuC.ABAC

63r1uuur1uuuB.ABAC

36ur1uuur2uuD.ABAC

338.双曲线C:x2y24的左,右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点,VAF1F2,VBF1F2,VF1AB的内切圆圆心分别为O1,O2,O3,则VOOO123的面积是( ) A.628

B.624

C.842 D.642

二、多选题

9.李明每天7:00从家里出发去学校,有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30分钟,样本方差为36;自行车平均用时34分钟,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,则( ) A.P(X>32)>P(Y>32) B.P(X≤36)=P(Y≤36)

C.李明计划7:34前到校,应选择坐公交车 D.李明计划7:40前到校,应选择骑自行车

10.CA=CB=CD=1,AB=BD=AD=AE=BE=DE=2,如图的六面体中,则( )

试卷第2页,共6页

A.CD⊥平面ABC

πB.AC与BE所成角的大小为

3C.CE=3D.该六面体外接球的表面积为3π

sinxcosx11.已知函数fxee,其中e是自然对数的底数,下列说法中,正确的是( )

A.fx在0,是增函数

2B.fx是奇函数

4C.fx在0,上有两个极值点 D.设gxfxnn1的正整数n的最小值是2 ,则满足gg44x12.已知函数fxasinxcosxa0,0的部分图象如图所示,其中BC2,且VABC的面积为2,则下列函数值恰好等于a的是( )

1A.f

35B.f

6C.f1 D.f2

三、填空题

13.x2y1展开式中含x2y项的系数为______.

14.定义在R上的函数fx,gx,满足f2x3为偶函数,gx51为奇函数,若

5f1g13,则f5g9__________.

15.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切,设图中球O1,球O2的半径分别为4和2,球心距离O1O2210,截面分别与球O1,球O2相切于点E,F(E,F是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率等于__________.

试卷第3页,共6页

16.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中,立德中学高三某小组的学生表现优异,发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X~Bn,p,记

kkpkCnp1pnk,k0,1,2,,n.在研究pk的最大值时,小组同学发现:若n1p为

正整数,则kn1p时,pkpk1,此时这两项概率均为最大值;若n1p为非整数,当k取n1p的整数部分,则pk是唯一的最大值.以此为理论基础,有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时,记录到此时点数1出现5次,若继续再进行80次投掷试验,则当投掷到第100次时,点数1总共出现的次数为____________的概率最大.

四、解答题

sinBAD:sinCAD1:3,17.△ABC中,D是线段BC上的点,△ADC的面积是VADB面积的2倍. (1)求

sinB; sinC2,求DC和AB的长. 2(2)若AD1,BD18.已知数列an满足2anan1an1n2,且a12,a2a3a418 (1)求an的通项公式; (2)设bn2an1000,求数列bn的前15项和T15(用具体数值作答).

19.如图,四棱锥PABCD,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.

试卷第4页,共6页

(1)证明:PB//平面AEC;

(2)设二面角DAEC为60°,AP1,AD3,求直线AC与平面ECD所成角的正弦值.

20.EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园,某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、如图所示,AB2千米,O为AB的中点,OD为椭圆的长半轴,在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN,其中M,N在椭圆上,且MN的倾斜角为45°,交OD于G.

(1)若OE3千米,为了不破坏道路EF,求椭圆长半轴长的最大值; (2)若椭圆的离心率为3OMN的面积最大? ,当线段OG长为何值时,游乐区域V221.已知抛物线C:y22px(p0)的焦点F到准线的距离为2,圆M与y轴相切,且圆心M与抛物线C的焦点重合. (1)求抛物线C和圆M的方程;

(2)设Px0,y0x02为圆M外一点,过点P作圆M的两条切线,分别交抛物线C于两个不同的点Ax1,y1,Bx2,y2和点Qx3,y3,Rx4,y4.且y1y2y3y416,证明:点P在一条定曲线上.

x222.已知函数fxaex,a0且a1.

(1)设gxfxxex,讨论gx的单调性;

(2)若a1且fx存在三个零点x1,x2,x3. 1)求实数a的取值范围;

试卷第5页,共6页

2)设x1x2x3,求证:x13x2x3

2e1. e试卷第6页,共6页

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