一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合𝐴={4,5，7，9}，𝐵={3,4，7，8，9}，全集𝑈=𝐴∪𝐵，则集合∁𝑈(𝐴∩𝐵)中的元素共有
( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 在复平面内，复数(1−𝑖)2对应的点位于( )
1+𝑖
A. 第一象限 A. |𝑎|>|𝑏|
B. 第二象限 B. 𝑎−𝑏>𝑎
1
1
C. 第三象限 C. 𝑎>𝑏
1
1
D. 第四象限 D. 𝑎2>𝑏2
3. 若𝑎<𝑏<0下列不等式中不成立的是的是( )
4. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 3204 6572 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481 A. 08 B. 07 C. 02 D. 01
5. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠2𝑥+√3𝑠𝑖𝑛2𝑥+1，则下列判断错误的是( )
A. 𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋 B. 𝑓(𝑥)的值域为[−1,3]
C. 𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=6对称
𝜋
D. 𝑓(𝑥)的图象关于点(−4,0)对称
𝜋
6. 已知平面𝛼内一条直线l及平面𝛽，则“𝑙⊥𝛽”是“𝛼⊥𝛽”的( ) A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 𝑥−2,(𝑥≥10)7. 设𝑓(𝑥)={，则𝑓(5)的值为( )
𝑓[𝑓(𝑥+6)],(𝑥<10)
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，则𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) 8. 在直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=2，𝐴𝐵=4，𝐴𝐶=2，若𝐴𝐷2
A. −18 B. −6√3 C. 18 D. 6√3
9. 图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在
圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是( )
A. 2
1
B. 3
1
C. 𝜋−1
4
D. 2−𝜋
4
10. 函数𝑓(𝑥)=2|𝑥|⋅𝑠𝑖𝑛2𝑥的图象大致是( )
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A.
B.
C.
D.
B两点，BF的长分别为m，n，11. 直线l过抛物线𝑦2=4𝑥的焦点F且与抛物线交于A，若线段AF，
则4𝑚+𝑛的最小值 是( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
12. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥+5，𝑔(𝑥)=𝑎𝑥−𝑙𝑛𝑥，若对∀𝑥∈(0,𝑒)，∃𝑥1，𝑥2∈(0,𝑒)且𝑥1≠𝑥2，
使得𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥𝑖)(𝑖=1,2)，则实数a的取值范围是( )
A. (𝑒,𝑒)
1
16
B. [𝑒,𝑒)
1
74C. [𝑒,𝑒)
6
74D. (0,𝑒]∪[𝑒,𝑒)
16
74二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (1+𝑥2)(1+𝑥)6展开式中𝑥2的系数为______．
B，C的对边分别是a，b，c，14. 在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，若𝑎2−𝑏2=√3𝑏𝑐，则𝐴=______． 𝑠𝑖𝑛𝐶=2√3𝑠𝑖𝑛𝐵，
15. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传**新时代中国特色社会主义思想
为主要内容，立足全体、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门𝑎𝑝𝑝.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块．某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种．
𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶，𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=3，16. 已知三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的四个顶点都在球O的球面上，𝐵𝐶=√5，
E，F分别为AC，PB的中点，𝐸𝐹=，则球O的体积为______．
2三、解答题（本大题共7小题，共84.0分） 17. 设等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎3=−9，𝑎10=5．
(Ⅰ)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
(Ⅱ)求{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛及使得𝑆𝑛最小的n的值．
18. 如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥底面ABCD，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，点E在线段AD上，且𝐶𝐸//𝐴𝐵．
(Ⅰ)求证：𝐶𝐸⊥平面PAD；
(Ⅱ)若𝑃𝐴=𝐴𝐵=1，𝐴𝐷=3，𝐶𝐷=√2，∠𝐶𝐷𝐴=45°，求二面角𝑃−𝐶𝐸−𝐵的正弦值．
3
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19. 眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节
肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．
(1)若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；
(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？
(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
是否做操 是否近视 近视 不近视 附：𝐾2=(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)
𝐾2≥𝑘 k 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2
不做操 44 6 做操 32 18 第3页，共15页
20. 如图，椭圆
𝑥2
+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A为椭圆的𝑎2
𝑦2
右端点，BC过中心O，且|𝐵𝐶|=2|𝐴𝐵|，𝑆△𝐴𝐵𝐶=3．
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设P，Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A，𝐶)，且满足∠𝑃𝐵𝐶=∠𝑄𝐵𝐴，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值．
21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+(𝑎−2)𝑥2−2𝑎𝑥，𝑎∈𝑅．
(1)讨论𝑓(𝑥)的单调性；
(2)若𝑓(𝑥)在定义域内是增函数，𝑥2使得𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=−3，且存在不相等的正实数𝑥1，证明：𝑥1+𝑥2>2．
1
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𝑥=1+
Cl 𝜌=4𝑐𝑜𝑠𝜃{22.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为1
𝑦=2𝑡
√3𝑡2(𝑡为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
(2)已知点𝑀(1,0)，直线l与曲线C交于A、B两点，求||𝑀𝐴|−|𝑀𝐵||．
23. 已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−𝑎|+𝑎．
(1)当𝑎=2时，求不等式𝑓(𝑥)≤6的解集；
(2)设函数𝑔(𝑥)=|2𝑥−1|，当𝑥∈𝑅时，𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)≥3，求a的取值范围．
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：𝐴∪𝐵={3,4，5，7，8，9}，
𝐴∩𝐵={4,7，9}∴∁𝑈(𝐴∩𝐵)={3，5，8}故选A． 也可用摩根律：∁𝑈(𝐴∩𝐵)=(∁𝑈𝐴)∪(∁𝑈𝐵) 故选：A．
根据交集含义取A、B的公共元素写出𝐴∩𝐵，再根据补集的含义求解． 本题考查集合的基本运算，较简单． 2.答案：B
解析：解：(1−𝑖)2=−2𝑖=
1+𝑖
1+𝑖
(1+𝑖)𝑖−2𝑖⋅𝑖
=−+𝑖对应的点(−,)位于第二象限．
2222
1111
故选：B．
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题． 3.答案：B
解析：解：∵𝑎<𝑏<0， ∴𝑎<𝑎−𝑏<0， ∴
<． 𝑎−𝑏𝑎
1
1
因此B不正确． 故选：B．
由𝑎<𝑏<0，可得𝑎<𝑎−𝑏<0，可得𝑎−𝑏<𝑎.即可判断出．
本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 4.答案：D
解析：【分析】
本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．
从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论． 【解答】
解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读， 第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件， 第三个数为08，符合条件，
以下符合条件依次为：08，02，14，07，01， 故第5个数为01． 故选：D．
1
1
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5.答案：D
解析：解：𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠2𝑥+√3𝑠𝑖𝑛2𝑥+1=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+6)+1， 对于选项A，由于𝑓(𝑥)的最小正周期为2=𝜋，故正确；
对于选项B，由于sin(2𝑥+6)∈[−1,1]，可得𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+6)+1∈[−1,3]，故正确； 对于选项C，由于𝑓(6)=2𝑠𝑖𝑛(2×6+6)+1=3为𝑓(𝑥)最大值，故正确； 对于选项D，由于𝑓(−4)=2𝑠𝑖𝑛(−2×4+6)+1=1−√3≠0，故错误． 故选：D．
利用两角和的正弦公式对已知函数进行化简可得𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+6)+1，然后结合正弦函数的性质进行判断即可得解．
本题主要考查了两角和的正弦公式在三角函数式化简中的应用及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． 6.答案：B
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
2𝜋
𝜋
解析：解：由面面垂直的定义知，当𝑙⊥𝛽”时，“𝛼⊥𝛽”成立， 当𝛼⊥𝛽时，𝑙⊥𝛽不一定成立，
即“𝑙⊥𝛽”是“𝛼⊥𝛽”的充分不必要条件， 故选：B．
根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面垂直的判定定理和性质是解决本题的关键． 7.答案：B
解析：【分析】
本题主要考查了分段函数、求函数的值．属于基础题．
欲求𝑓(5)的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求𝑥≥10内的函数值即可求出其值． 【解答】
𝑥−2(𝑥≥10)
解：∵𝑓(𝑥)={，
𝑓[𝑓(𝑥+6)](𝑥<10)
∴𝑓(5)=𝑓[𝑓(11)]=𝑓(9)=𝑓[𝑓(15)]
=𝑓(13)=11． 故选：B． 8.答案：C
解析：解：在直角三角形ABC中，∠𝐶=90°，𝐴𝐵=4，𝐴𝐶=2， cos∠𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐵=2，
𝐴𝐶
1
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⃗⃗⃗⃗⃗ ，则𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )=⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 2 𝐴𝐷=2𝐴𝐵若⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷⋅𝐴𝐵𝐴𝐷⋅𝐴𝐶
3
⃗⃗⃗⃗⃗ 2−3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3×16−5×4×2×1+4=18． =𝐴𝐵2
2
2
2
2
3
故选：C．
在直角三角形ABC中，求得cos∠𝐶𝐴𝐵的值，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值． 本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题 9.答案：C
解析：【分析】
本题考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题．
设圆的半径为1，利用几何概型的概率公式计算所求的概率即可． 【解答】
解：设圆的半径为1，将图形平均分成四个部分，如下图，
则每个图形空白处的面积为2×(4×𝜋−2×1×1)=2×(4−2)=2−1， 阴影部分的面积为𝜋×12−4×(2−1)=4−𝜋， 利用几何概型的概率公式，计算所求的概率为故选：C． 10.答案：D
．
𝜋
11𝜋1𝜋
解析：解：根据题意，𝑓(𝑥)=2|𝑥|⋅𝑠𝑖𝑛2𝑥，其定义域为R，有𝑓(−𝑥)=−(2|𝑥|⋅𝑠𝑖𝑛2𝑥)=−𝑓(𝑥)，即函数𝑓(𝑥)为奇函数，排除A、B，
区间(2,𝜋)上，𝑠𝑖𝑛2𝑥<0，有𝑓(𝑥)<0，排除C； 故选：D．
根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除A、B，进而分析可得区间(2,𝜋)上，𝑓(𝑥)<0，排除C，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与特殊值的分析，属于基础题． 11.答案：B
𝜋
𝜋
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解析：解：抛物线𝑦2=4𝑥的焦点𝐹(1,0)，准线方程为𝑥=−1， 如图所示，过B点作𝐵𝐷⊥𝐴𝐷，作𝐴𝑀⊥𝑀𝑁，𝐵𝑁⊥𝑀𝑁， 由抛物线的定义可得𝐴𝑀=𝐴𝐹=𝑚，𝐵𝑁=𝐵𝐹=𝑛， 𝐴𝐷=𝑚−𝑛，𝐸𝐹=2−𝑛， ∴
2−𝑛𝑚−𝑛
=
，化简得：𝑛+𝑚=1， 𝑚+𝑛
11∴4𝑚+𝑛=(4𝑚+𝑛)⋅1=(4𝑚+𝑛)⋅(+)
𝑛𝑚
𝑛11
=
4𝑚𝑛
+
𝑛𝑚
+5≥2√
4𝑚𝑛
⋅
𝑛𝑚
+5=9，
当且仅当𝑛=2𝑚时等号成立． 所以4𝑚+𝑛的最小值为9． 故选：B．
n的式子，先画出抛物线，作出辅助线，利用三角形相似得出关于m、化简得到𝑛+𝑚=1，则4𝑚+𝑛=(4𝑚+𝑛)⋅1=(4𝑚+𝑛)⋅(𝑛+𝑚)，从而利用基本不等式求出最小值．
本题考查了抛物线的性质，基本不等式的性质及运算，找出m与n的关系是关键，属于中档题．
12.答案：C
1
1
1
1
解析：【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，难度较大． 对∀𝑥∈(0,𝑒)，𝑓(𝑥)的值域为[4,5)，𝑔′(𝑥)=
11
𝑎𝑥−1𝑥
，推导出𝑎>0，𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔(𝑎)=1+𝑙𝑛𝑎，作出
1
函数𝑔(𝑥)在(0,𝑒)上的大致图象，数形结合由求出实数a的取值范围． 【解答】
解：∵函数𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥+5，𝑔(𝑥)=𝑎𝑥−𝑙𝑛𝑥，𝑥∈(0,𝑒)， ∴𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓()=−+5=
2
4
2
3
9
9
11411
；𝑥→0,𝑓(𝑥)→5
∴对∀𝑥∈(0,𝑒)，𝑓(𝑥)的值域为[4,5)， 𝑔′(𝑥)=𝑎−=
𝑥1
𝑎𝑥−1𝑥
，
当𝑎≤0时，𝑔′(𝑥)<0，与题意不符， ∴𝑎>0，
令𝑔′(𝑥)=0，得𝑥=𝑎，则𝑎∈(0,𝑒)， ∴𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔(𝑎)=1+𝑙𝑛𝑎，
作出函数𝑔(𝑥)在(0,𝑒)上的大致图象，如图，
1
1
1
第9页，共15页
观察图形得到： {
1+𝑙𝑛𝑎<
114
𝑔(𝑒)=𝑎𝑒−1≥5
，解得≤𝑎<𝑒4．
𝑒6
7
6
7
∴实数a的取值范围是[,𝑒4).
𝑒故选：C． 13.答案：30
解析：【分析】
本题考查了二项式定理的运用，属于基础题．
关键是明确展开式得到𝑥2的两种情况．分析展开式中𝑥2的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数． 【解答】
22
解：当(1+𝑥2)选择1时，(1+𝑥)6展开式选择𝑥2的项为𝐶6𝑥； 4当(1+𝑥2)选择𝑥2时，(1+𝑥)6展开式选择为𝐶 46𝑥， 24所以(1+𝑥2)(1+𝑥)6展开式系数为𝐶6+𝐶6=30；
11
11
故答案为30．
14.答案：30°
解析：【分析】
本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
已知𝑠𝑖𝑛𝐶=2√3𝑠𝑖𝑛𝐵利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数． 【解答】
解：将𝑠𝑖𝑛𝐶=2√3𝑠𝑖𝑛𝐵利用正弦定理化简得：𝑐=2√3𝑏， 代入得𝑎2−𝑏2=√3𝑏𝑐=6𝑏2，即𝑎2=7𝑏2， ∴由余弦定理得：𝑐𝑜𝑠𝐴=∵𝐴为三角形的内角， ∴𝐴=30°． 故答案为30° 15.答案：432
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
=
𝑏2+12𝑏2−7𝑏2
4√3𝑏2=
√3， 2
第10页，共15页
解析：【分析】
本题主要考查排列组合的知识，考查了合情推理的能力，本题属中档题．
本题要将相邻的情况和“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的情况分别思考，用排列组合的知识分别计算，最后相加即得结果． 【解答】
5
解：由题意，可知“阅读文章”与“视听学习”相邻的方法数为𝐴22𝐴5=240种；
124
“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的方法数为𝐶4𝐴2𝐴4=192种； 共有240+192=432种方法． 故答案为：432．
16.答案：4√3𝜋
解析：解：如图所示：
由已知可得∠𝐴𝐵𝐶=90°，因𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶， 所以点P在△𝐴𝐵𝐶内的投影为△𝐴𝐵𝐶的外心E， 所以𝑃𝐸⊥平面ABC，𝑃𝐸⊥𝐵𝐸， 所以𝑃𝐵=2𝐸𝐹=3，
所以𝑃𝐸=√𝑃𝐵2−𝐵𝐸2=√32−()2=
23
3√32
，
3
又球心O在PE上，设𝑃𝑂=𝑟，则(所以𝑟=√3，
3√3
−2
𝑟)2+(2)2=𝑟2，
所以球O体积，𝑉=3𝜋𝑟3=4√3𝜋，
故答案为：4√3𝜋．
由已知可得∠𝐴𝐵𝐶=90°，因𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶，所以点P在△𝐴𝐵𝐶内的投影为△𝐴𝐵𝐶的外心E，所以𝑃𝐸⊥平面ABC，𝑃𝐸⊥𝐵𝐸，所以𝑃𝐵=2𝐸𝐹=3，所以𝑃𝐸=√𝑃𝐵2−𝐵𝐸2=√32−()2=
23
3√3
，再利用勾2
4
股定理求出𝑟=√3，从而求出球O体积． 本题主要考查了三棱锥的外接球，是中档题．
17.答案：解：(1)𝑑=
𝑎10−𝑎310−3
=2，
𝑎1=−13，
𝑎𝑛=−13+(𝑛−1)×2=2𝑛−15； (2)𝑆𝑛=
𝑛(−13+2𝑛−15)
2
=𝑛2−14𝑛，
由于是二次函数， 𝑛=7，𝑆𝑛最小．
解析：(1)求出首项，公差，再求𝑎𝑛，
(2)先求𝑆𝑛，再根据二次函数性质计算最小值． 本题考查等差数列性质，属于基础题．
18.答案：(1)证明：∵𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐶𝐸//𝐴𝐵，∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐷 ∵𝑃𝐴⊥平面ABCD，𝐶𝐸⊂平面ABCD， ∴𝑃𝐴⊥𝐶𝐸，
第11页，共15页
又∵𝑃𝐴∩𝐴𝐷=𝐴，∴𝐶𝐸⊥平面PAD
(2)解：由(1)可知，∠𝑃𝐸𝐴为二面角𝑃−𝐶𝐸−𝐵的平面角， ∵𝐶𝐸=𝐴𝐵=1，𝐶𝐷=√2，且⊥𝐴𝐷，得𝐸𝐷=1． 又𝐴𝐷=3，∴𝐴𝐸=2， 又𝑃𝐴=1，∴𝑃𝐸=√5， 则sin∠𝑃𝐸𝐴=
𝑃𝐴𝑃𝐸
=
1√5=
√5． 5
∴二面角𝑃−𝐶𝐸−𝐵的正弦值为√5．
5
解析：(1)由平行线的性质，结合题设𝐴𝐵⊥𝐴𝐷且𝐶𝐸//𝐴𝐵，证出𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，利用线面垂直的定义证出𝑃𝐴⊥𝐶𝐸，再根据线面垂直判定定理可得𝐶𝐸⊥平面PAD；
(2)由(1)可得，∠𝑃𝐸𝐴为二面角𝑃−𝐶𝐸−𝐵的平面角，再由已知求解三角形得答案．
本题考查线面垂直的判定，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 19.答案：解：(1)由直方图可知，第一组有100×0.15×0.2=3(人)， 第二组有100×0.35×0.2=7(人)， 第三组有100×1.35×0.2=27(人)；
因为后三组的频数成等差数列，共有100−(3+7+27)=63(人)， 所以后三组频数依次为24，21，18； 所以视力在5.0以上的频率为0.18，
估计全年级视力在5.0以上的人数约为800×0.18=144(人)； (2)由列联表中数据，计算𝐾2=
100×(44×18−32×6)2
50×50×76×24
=
15019
≈7.5>7.879，
所以能在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系； (3)在(2)中调查的100名学生中，不近视的学生有24人，从中抽取8人，
抽样比例为24=3，这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人， 所以坚持做眼保健操的学生人数X可能取值为0，1，2； 计算𝑃(𝑋=0)=𝑃(𝑋=1)=𝑃(𝑋=2)=
1⋅𝐶1𝐶622𝐶8
0⋅𝐶2
𝐶622𝐶8
81
=28，
1
=7， =28；
1 1 28115
3
2⋅𝐶0𝐶622𝐶8
所以X的分布列为； X P 0 2 3 73
15 2815
数学期望为𝐸(𝑋)=0×28+1×7+2×28=1.5．
解析：(1)由直方图求出第一、二、三组的人数，再求后三组频数和频率，由此估计总体数据； (2)由列联表中数据计算𝐾2，对照临界值得出结论；
(3)利用分层抽样法求出抽取的人数，得出随机变量X的可能取值，
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计算对应的概率值，写出分布列，求得数学期望值．
本题考查了频率分布直方图与性检验应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题．
20.答案：解：(Ⅰ)∵|𝐵𝐶|=2|𝐴𝐵|, ∴𝑆△𝑂𝐴𝐵=2𝑆△𝐴𝐵𝐶=2…2 分
又△𝑂𝐴𝐵是等腰三角形，所以𝐵(1, 2)…3 分 把B点带入椭圆方程∴椭圆方程为
𝑥24
𝑥24
3
13
+𝑏2=1，求得𝑏2=3.…4 分
𝑦2
+
𝑦23
=1…5 分
(Ⅱ)由题易得直线BP、BQ斜率均存在， 又∠𝑃𝐵𝐶=∠𝑄𝐵𝐴，所以𝑘𝐵𝑃=−𝑘𝐵𝑄…7 分 设直线𝐵𝑃：𝑦−2=𝑘(𝑥−1)代入椭圆方程
3
3
𝑥24
+
𝑦23
=1，
化简得(3+4𝑘2)𝑥2−8𝑘(𝑘−2)𝑥+4𝑘2−12𝑘−3=0…9 分 其一解为1，另一解为𝑥𝑃=可求𝑦𝑝=
−12𝑘2−6𝑘3+4𝑘232
4𝑘2−12𝑘−33+4𝑘2…10 分
+…11 分
3+4𝑘2用−𝑘代入得𝑥𝑄=
𝑦−𝑦
4𝑘2+12𝑘−3
,𝑦𝑄=
−12𝑘2+6𝑘3+4𝑘2+…12 分
2
3
∴𝑘𝑃𝑄=𝑥𝑃−𝑥𝑄=2为定值．…13 分
𝑃𝑄
解析：(Ⅰ)先求出B的坐标，代入椭圆方程，求出b，即可求椭圆的标准方程； (Ⅱ)设直线𝐵𝑃：𝑦−2=𝑘(𝑥−1)代入椭圆方程
4𝑘2+12𝑘−33+4𝑘23
𝑥24
1
+
𝑦23
=1，求出P的坐标，用−𝑘代入得𝑥𝑄=
,𝑦𝑄=
−12𝑘2+6𝑘3+4𝑘2+2，利用斜率公式，即可求证直线PQ的斜率为定值．
3
本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率的计算，正确求出P，Q的坐标是关键．
21.答案：解：(1)𝑓(𝑥)的定义域为(0,+∞)，因为𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+(𝑎−2)𝑥2−2𝑎𝑥，
所以𝑓′(𝑥)=+(2𝑎−1)𝑥−2𝑎=
𝑥
1
(2𝑎−1)𝑥2−2𝑎𝑥+1
𝑥
1
=
(𝑥−1)[(2𝑎−1)𝑥−1]
𝑥
，
1𝑓′(𝑥)>0𝑓′(𝑥)<0当𝑎≤2时，令{，得0<𝑥<1，令{，得𝑥>1，
𝑥>0𝑥>0111𝑓′(𝑥)>0
当2<𝑎<1时，则2𝑎−1>1，令{，得0<𝑥<1，或𝑥>2𝑎−1，
𝑥>01𝑓′(𝑥)<0
令{，得1<𝑥<2𝑎−1， 𝑥>0
当𝑎=1时，𝑓′(𝑥)≥0，
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11𝑓′(𝑥)>0
当𝑎>1时，则0<2𝑎−1<1，令{，得0<𝑥<2𝑎−1，或𝑥>1，
𝑥>01𝑓′(𝑥)<0
令{，得2𝑎−1<𝑥<1， 𝑥>0
综上，当𝑎≤2时，𝑓(𝑥)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)上递减，
当2<𝑎<1时，𝑓(𝑥)在(0,1)，(2𝑎−1,+∞)单调递增，在(1,2𝑎−1)上递减， 当𝑎=1时，𝑓(𝑥)在(0,+∞)单调递增，
当𝑎>1时，𝑓(𝑥)在(0,2𝑎−1)，(1,+∞)单调递增，在(2𝑎−1,1)上递减， (2)证明：𝑓(𝑥)在定义域内是增函数，由(1)可知𝑎=1， 此时𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+2𝑥2−2𝑥，设𝑥1<𝑥2，
因为𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=−3=2𝑓(1)，则0<𝑥1<1<𝑥2， 设𝑔(𝑥)=𝑓(2−𝑥)+𝑓(𝑥)+3，𝑥∈(0,1)， 则𝑔′(𝑥)=−𝑓′(2−𝑥)+𝑓′(𝑥)=−
(1−𝑥)22−𝑥
1
1
1
1
1
1
1
+
(𝑥−1)2
𝑥
=
2(1−𝑥)3𝑥(2−𝑥)
>0，对任意𝑥∈(0,1)恒成立，
所以𝑔(𝑥)在(0,1)是增函数，
所以对任意𝑥∈(0,1)，有𝑔(𝑥)<𝑔(1)=2𝑓(1)+3=0， 即对任意𝑥∈(0,1)，有𝑓(2−𝑥)+𝑓(𝑥)+3<0， 因为0<𝑥1<1，所以𝑓(2−𝑥1)+𝑓(𝑥1)+3<0， 即有𝑓(𝑥2)>𝑓(2−𝑥1)，又𝑓(𝑥)在(0,+∞)单调递增， 所以𝑥2>2−𝑥1，即𝑥1+𝑥2>2．
解析：(1)定义域为(0,+∞)，求导得𝑓′(𝑥)=
(𝑥−1)[(2𝑎−1)𝑥−1]
𝑥
，分三种情况当𝑎≤2时，当2<𝑎<1时，
11
当𝑎=1时，当𝑎>1时，讨论函数𝑓(𝑥)的单调性．
(2)由(1)可知𝑎=1，此时𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+2𝑥2−2𝑥，设𝑥1<𝑥2，𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=−3=2𝑓(1)，则0<𝑥1<1<𝑥2，设𝑔(𝑥)=𝑓(2−𝑥)+𝑓(𝑥)+3，𝑥∈(0,1)，求导得𝑔′(𝑥)=
2(1−𝑥)3𝑥(2−𝑥)
1
>0，对任意𝑥∈(0,1)
恒成立，所以𝑔(𝑥)在(0,1)是增函数，所以对任意𝑥∈(0,1)，有𝑔(𝑥)<𝑔(1)=2𝑓(1)+3=0，即对任意𝑥∈(0,1)，有𝑓(2−𝑥)+𝑓(𝑥)+3<0，因为0<𝑥1<1，所以𝑓(2−𝑥1)+𝑓(𝑥1)+3<0，即有𝑓(𝑥2)>𝑓(2−𝑥1)，又𝑓(𝑥)在(0,+∞)单调递增，所以𝑥2>2−𝑥1，即可得出结论． 本题考查导数的综合应用，属于中档题．
22.答案：解：(1)曲线C的极坐标方程为𝜌=4𝑐𝑜𝑠𝜃，转换为直角坐标方程为𝑥2+𝑦2−4𝑥=0． 𝑥=1+
直线l的参数方程为{1
𝑦=2𝑡
√3𝑡2(𝑡为参数).转换为直角坐标方程为𝑦
𝑥−1
=
√3，整理得𝑦3
=
√3(𝑥3
−1)．
𝑥=1+
(2)把直线l的参数方程为{1
𝑦=2𝑡所以𝑡1+𝑡2=√3，𝑡1𝑡2=−3．
√3𝑡
2(𝑡为参数)代入圆的方程整理为2
𝑡−√3𝑡−3=0．
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||𝑀𝐴|−|𝑀𝐵||=√(𝑡1+𝑡2)2−4𝑡1𝑡2=√15．
解析：(1)直接把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：解：(1)当𝑎=2时，𝑓(𝑥)=|2𝑥−2|+2， ∵𝑓(𝑥)≤6，∴|2𝑥−2|+2≤6， |2𝑥−2|≤4，|𝑥−1|≤2， ∴−2≤𝑥−1≤2， 解得−1≤𝑥≤3，
∴不等式𝑓(𝑥)≤6的解集为{𝑥|−1≤𝑥≤3}; (2)∵𝑔(𝑥)=|2𝑥−1|，
∴𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)=|2𝑥−1|+|2𝑥−𝑎|+𝑎≥3， 2|𝑥−|+2|𝑥−|+𝑎≥3，
2
2
1
𝑎
|𝑥−|+|𝑥−|≥
2
2
1𝑎3−𝑎2
，
当𝑎≥3时，成立，
当𝑎<3时，|𝑥−2|+|𝑥−2|≥2|𝑎−1|≥
1
𝑎
1
3−𝑎2
>0，当且仅当(𝑥−)(𝑥−)≤0时等号成立，
22
1𝑎
∴(𝑎−1)2≥(3−𝑎)2，
解得2≤𝑎<3，
∴𝑎的取值范围是[2,+∞)．
解析：本题考查含绝对值不等式的解法及绝对值不等式的三角不等式，同时考查不等式恒成立问题，是简单题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．
(1)当𝑎=2时，由已知得|2𝑥−2|+2≤6，由此能求出不等式𝑓(𝑥)≤6的解集． (2)由𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)=|2𝑥−1|+|2𝑥−𝑎|+𝑎≥3，得|𝑥−2|+|𝑥−2|≥围．
1
𝑎
3−𝑎2
，由此能求出a的取值范
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