一、知识点归纳
知识点一 元素与集合的相关概念
1.元素：一般地，把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 3.集合相等：构成两个集合的元素是一样的． 4.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 知识点二 元素与集合的关系及常用数集
1.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.
2.数学中一些常用的数集及其记法
名称 符号 知识点三 列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 知识点四 描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
自然数集 N 正整数集 N*或N＋ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 二、题型分析
题型一 集合的基本概念
【例1】考察下列每组对象，能构成集合的是( ) ①中国各地最美的乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数；
④第23届冬季奥运会金牌获得者． A．③④ C．②③ 【规律总结】
B．②③④ D．②④
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【变式1】．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合； (2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合； (3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．
题型二 元素与集合的关系
【例2】(1)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*. A．1 B．2 C．3
D．4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( ) A．2 C．4 【规律总结】
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6【变式2】．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
3－x
B．2或4 D．0
题型三 集合中元素的特性及应用
【例3】已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
【规律方法】
____________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________ 【变式3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
题型四 用列举法表示集合
【例4】用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
【规律方法】
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【变式4】．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
2x＋y＝8，(3)方程组的解组成的集合B；
x－y＝1
(4)15的正约数组成的集合N.
题型五 用描述法表示集合
【例5】用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合； (3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
【规律方法】
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【变式5】.用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； (2)不等式2x－3<5的解组成的集合； (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．
题型六 集合表示方法的综合应用
【例6】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
【规律方法】
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【变式6】(2019-2020学年·铜仁思南中学高一期中)已知集合M＝{－1，0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，a≠b}，则集合N中所有元素之和为( ) A．－1 C．1
B．0 D．2
三、课堂达标检测
1.已知集合A由x<1的数构成，则有( ) A．3∈A C．0∈A
B．1∈A D．－1∉A
2．下列各组对象不能构成一个集合的是( ) A．不超过20的非负实数
B．方程x2－9＝0在实数范围内的解 C.3的近似值的全体
D．某校身高超过170厘米的同学的全体
3．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( ) A．{x|－3 A．{1，－2} C．{(－2,1)} B．{x＝1，y＝－2} D．{(1，－2)} 5.（2019-2020学年•城关区校级期中）考察下列每组对象，能组成一个集合的是（ ） ①某高中高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点 ③不小于3的正整数 ④A．①② B．③④ 的近似值． C．②③ D．①③ 6.（2019-2020学年•湖北期中）下列表示正确的是（ ） A．0∈N B． C．π∉R D．0.333∉Q 7.（2019-2020学年•浦东新区期末）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，用列举法可表示为A＝ ． 8.（2019-2020学年•普陀区校级月考）被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为 ． 9.已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值． 10.（2019-2020学年•镜湖区校级月考）用适当的方法表示下列集合． （1）方程组 ，的解集； （2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合； （3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合； （4）所有三角形构成的集合． 四、课后提升作业 【基础锤炼】 一、选择题 1．下列各组对象不能构成集合的是( ) A．拥有手机的人 C．所有有理数 B．2020年高考数学难题 D．小于π的正整数 2.已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式不成立的是( ) A．0∈A C．－1∉A B．1.5∉A D．6∈A 3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( ) A．3.14 3C. 7 x＋y＝1， 4．方程组22的解集是( ) x－y＝9 B．－5 D.7 A．(－5,4) C．{(－5,4)} B．(5，－4) D．{(5，－4)} 5．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( ) A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 6．下列集合的表示方法正确的是( ) A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B．不等式x－1<4的解集为{x<5} C．{全体整数} D．实数集可表示为R 7.（多选）（2019-2020学年•天津期末）由实数﹣a，a，|a|，A．1 B．2 C．3 所组成的集合可以含有（ ）个元素 D．4 二、填空题 8．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________． 9．用符号“∈”或“∉”填空： (1)设集合B是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B； (2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C,5________C； (3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1,1)________D. 10．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________. 11．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________. 12.若集合A＝{1，2}，B＝{x|x∈A}，C＝{x|x⊆A}用列举法表示集合B＝_________；C＝_________． 三、解答题 13．已知集合AxZ4Z. 3x(1)用列举法表示集合A； (2)求集合A的所有元素之和． 14．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值． 15.已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3， n∈Z}． (1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？ (2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论． 【能力提升】 1．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是( ) A．1∈M B．0∈M C．－1∈M D．－2∈M 3 2．由实数x，－x，|x|，x2，－x3所组成的集合，最多含元素( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a＝5，则有( ) A．a∈A C．{a}∈A B．－a∉A D．{a}∉A 4．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 }表示成列举法，正确的是（ ） D．（2，3） 5．（2019-2020学年•东宝区校级期中）将集合{（x，y）|A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x＝2，y＝3} 6．（2019-2020学年•榆社县校级月考）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（ ） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 7．（多选）（2019-2020学年•北镇市校级月考）已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（ ） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．1 8．已知集合P中元素x 满足：x∈N，且2 ab10．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________. 11．已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,10}，若－3∈A，则a＝______. 12.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}． (1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值； (2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围； (3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 1 13.数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)． 1－a(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素； (2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素； (3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容