三角函数求最值教学设计

高三数学组 李 伟

一、 教材分析：

三角函数的最值（值域）是历年高考重点考查的内容之一，是对三角

函数的概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数间的关系、两角和与差公式的综合考查，是函数最值的一个重要组成部分.它不仅与三角变换直接相关，而且与二次函数、解不等式等知识密切相关，是数形结合思想，函数和方程的思想的具体体现.由于三角函数的知识占了高一（下）教材一个大的章节，所以在中学数学中占有重要的地位和广泛的应用，而三角函数最值问题的求解又恰好是对其综合能力的运用.对高一学生来说是一个难点.要克服它，首先得要求学生将基本知识点掌握牢固，然后教师应求解三角函数最值的方法进行归纳整理，并引导学生综合运用所学过的知识，总结解题规律，提高分析问题的能力，培养其创新能力. 二、教学目的：

1．认知目标：正确理解三角函数的有关概念，掌握三角函数的基本概念、公

式、图象及性质，并能综合运用这些概念，公式及性质解决实际问题.

2．能力目标：在教学过程中，让学生学会运用数形结合思想、函数和方程的

数学思想来分析解决数学问题；培养学生的观察能力、动手能力、创新能力和归纳能力.

3．情感目标：通过例题的分析，方法的归纳，激发学生主动参与、主动探索

的意识，使学生始终在动态过程中去感受知识、巩固知识、运用知识，提高40分钟的效率.

三、重点、难点分析：

1． 教学重点：求三角函数的最大、最小值.

2． 教学难点：针对各题，会观察题中特点，正确运用相应方法求三角函

数最值.

四、课型及课时安排：

高三复习课，2课时：第1课时. 五、教学方法：

综合启发教学，边教边让学生参与，学会对知识的归纳；强调教师为主导、学生为主体的互动原则，充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性和创造性. 六、学生情况分析：

（1）高三学生对三角函数这部分知识比较熟悉.但学生对知识的前后联系，有

效方法的选择，分析问题的内涵，综合运用知识的能力还很薄弱. （2）学生对知识的归纳整理能力比较欠缺，所以对三角函数最值的几个基本

类型需要进行归纳和整理，以便学生能够更好的掌握. 七、 教学设想：

为了讲清重点、突破难点，本节课准备充分调动学生积极参与.如何

求三角函数最值问题是一综合性的知识.怎样将普遍性的方法熟练掌握，并

灵活运用，这个能力是学生较为欠缺的.本节课准备的例题、习题是遵循学生的认知规律，让学生学会运用数学思想“数形结合的思想”，“函数和方程的思想”主动思考问题，积极参与，培养学生的相关的归纳能力，争取实现本节课的预定教学目标. 课题：“三角函数求最值”复习教学设计 八、教学过程 引入 本节课将对试卷上及练习中出现的三角函数最值问题进行一下归纳，请同学们回顾思考总结我们都用过哪些方法？ 1.利用|sinx|≤1; |cosx|≤1求解; 2.利用yasinxbcosxa2b2sin(x),（a,b≠0,其中tanb）求解 a教学方法和手段 共同思考 3.yasin2xbcos2x 型,可先降次，整理转化为含有cos2x的函数式求解 asinxbacosxb4.y或（y）型,可用分离常csinxdccosxd数转化为分母只含sinx(或cosx)的函数式，利用sinx(或cosx)的有界性求解 回顾旧知：要求学生回答结论，老师补充为学生解5. yasin2xbcosxc型,可转化为cosx的二次函题作好铺垫 数式，然后通过配方求解 6.y知识 储备 asinxbacosxb(或y)型,可化归为ccosxdcsinxdsin(x)g(y)去处理；或用万能公式换元后利用判别式法去处理，特别ac时，还可以利用数形结合法去处理。 例题 讲解 一， 利用三角函数的有界性|sinx|≤1，|cosx|≤1. 先让学生观察其cosx例1. 求y的最大、最小值. 特点，思2cosx1考.注：此分析：利用有界性有两种变换：（１）用y表示cosx,类题是分即反解出cosx；（２）分离常数. 式形式已接触过，此cosx解：（ 法一）由y可得 次主要是2cosx1让他们和其他的进行对比，加深印象. [法一]是学生通y2 cosx1 cosx1 cosx常想出的12y方法.[法二]是又一y2y2即()1， 种简便的212y(12y)方法。都利用了三角12即3y4y10,y或y1。 函数的有3界性，学生板演， cosx1故函数y的值域为,1, 一题多解2cosx13拓宽学生（ 法二） 分离常数（略） 思维. 二、配方法yasin2xbsinxc(或板书示范. ycos2xcosxc)型 基本思路：可令 tsinx(或tcosx) t1化归为闭区间上的二 次函数的最值问题。 例2：求函数ysin2x2cosx3的值域。 2分析：此类题目可以转化为ycosxcosxc型的三 角函数的最值问题。 2解：由于ysinx2cosx3 . 1cos2x2cosx3 运用活动2cosx2cosx2， 原理,使学生对上面令tcosx t1则原式转化为： 的知识有一定的印yt22t2 t1 象,便于例题的分析,2对上式配方得：y(t1)1 t1 运用反馈原理，巩固从而当t1时，ymin5 加深 112ycosxy y， 2当t1时，ymax1 所求函数的值域为5,1 三、利用辅助角公式.形如y=asinx+bcosx可转化为y=sin(x+φ)(a,b≠0,其中tanφ=),再利用三角函数的有界性. 例3. 求函数y4sinx3cosx的值域。 解：由y4sinx3cosx得：3y4232sin(x)5sin(x) (其中tan)4由|sin(x)|1得y5,5。 四、换元法.若表达式中出现sinx＋cosx，sinxcosx函数，应考虑到其内在关系,即sin2x+cos2x=1，(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx利用换元来求函数最值. 例4. 求函数y(sinx1)(cosx1)的值域。 分析：由于上式展开后为： ysinxcosxsinxcosx1恰好为上述形式的三角函数的最值问题。所以可令t解。 解：由sinxcosx,t2去求y(sinx1)(cosx1)展开得：ysinxcosxsinxcosx1， 设tsinxcosx,t2， t21则sinxcosx， 2t211此时：yt(t1)2 222322y0,。 2 共同思考 此类问题单独说其内在联系学生平时都了解，但是到具体实际问题就不会应用，所以进一步强调，总结. 1.求函数y2.求函数yasinxb的最大值。 sinx2的值域。 cosx3课堂 练习 巩固所学知识.运用反馈原理，了解学生的课堂掌握情况. 其 它 思考：由练习2引发的特殊题型的求解方法-一题多解的思想 小结与作业 让同学来总结这节课中求三角函数最值的常用方法. 梳理一下所学知识，加深学生的印象. 运用反馈原理，了解学生的课堂掌握情况. 课堂 小结 本课 作业 1.对本节课小结. 2.课时作业. 九、 板书设计： 求三角函数的最值 性质： 题型一 题型一 1 ------------ 例1 ------------ 例4------------ 2.------------ 题型二 练习 3.------------ 例2.------------ 1 ------------ 4.------------ 题型三 2 ------------ 5.------------ 例3 ------------ 6.------------ 十、板书设计说明： 本节课内容主要是围绕如何求三角函数最值展开，所以将其主要依据写在黑板上，利于学生有理可循。黑板上大部分地方是分析例题的，书写力求整齐、规范，作好示范.另外也留了一部分地方给练习题，便于分析和解答. 十一、本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）教学过程设计说明： 教学过程是一种建构过程，对于数学知识的学习，应让学生领悟其发生、发展过程。教师在教学中，应从学生原有的认知结构出发，通过观察、类比、联想、猜测等一系列思想活力的展现。因此，教师及时提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题的解决，一个问题解决后，及时提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生思维步步引向深入，直至完成本节课的教学任务.总之，本节课的教学安排是让学生思维从问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态，并教会学习的方法要学会对一个知识点进行归纳.从一道练习的解决，通过学生的不同的方法给老师以很大的启迪，起 到了“教学相长”效果.