有理数 教案

一、知识要点

本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。 二、基础知识：

1、正数（position number）：大于0的数叫做正数。例如，1,2,3 2、负数（negation number）：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。例如，-1，-2，零下3度=-3度

温度由－５℃下降３℃后，结果可记为＿＿＿＿＿

3、0既不是正数也不是负数。 4、有理数（rational number）：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。（划图理解） 5、数轴（number axis）：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴满足以下要求：（图形解释）

（1） 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）；

（2） 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）

为负方向； （3） 选取适当的长度为单位长度。

例如，在数轴上表示-3和它的相反数，-2的绝对值，最大的负整数，最小的正整数，绝对值等于0的数，并把这些数由小到大用“<”连接起来 6、相反数（opposite number）：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数

7、绝对值（absolute value）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记做|a|。

由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 例如，绝对值大于1而小于4的整数有_____________________________________，其和为___________. －1/3的相反数是_______，绝对值是_______,倒数是_______. 正数–a的绝对值为__________；负数–b的绝对值为________

8、倒数

1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。

例如，一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ）

A.1 B.-1 C. ±1 D. ±1和0 1--8点总结：

学会在数轴上表示有理数，以及其相反数，倒数和绝对值，并区分大小。

提升题

实数a、b、c在数轴上的位置如图：化简|a－b|+|b－c|-|c－a|.

9、有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如，（-2）+（-5） （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。例如，150+

（-20），10+（-10）

（3）一个数同0相加，仍得这个数。例如，9+0,0+（-5）

加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。表达式：a+b=b+a。

例如，2+3=3+2，(-3）+（-7）=(-7)+(-3)

加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。表达式：（a+b）+c=a+（b+c） 例如，[10+（-10）]+（-5）=10+[（-10）+（-5）] 提升训练：（-301）+125+301+（-75） （-25）+34+156+（-65） 10、有理数减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数。表达式：a-b=a+（-b） 例如，15-（-5），（-3）-（-7）（理解负负得正） 加减混合运算训练： （-3/5）+1/5-4/5 （-11.5）-（-4.5）-3 11、有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如，2/3×（-5/4） 任何数同0相乘，都得0.

乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。表达式：ab=ba例如，-7×8=8×（-7）

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。表达式：（ab）c=a（bc）例如，（-4）×（-6）×5=(-4)×[(-6)×5] 乘法分配律：一般地，一个数同两个的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。表达式：a（b+c）=ab+ac例如，5×[（-7）+（-4/5）]=5×(-7)+5×(-4/5)

12、有理数除法法则：两数相除，同号得负，异号得正，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

例如，（-3）÷[（-2/5）÷（-1/4）] （-0.75）÷5/4÷（-0.3）

13、有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）。an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。例如（-2）2，（-2）3，（-32/4）

若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则（a+b）3-3（cd）4=________. 14、有理数的混合运算顺序

（1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；

（2）同级运算，从左到右进行；

（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 混合运算训练：

（-48）×(-3/4+1/6-5/8＋7/12)

-52 -[（-2）3+（1-0.8×3/4）÷（-2）] -32-|（-5）3|×（-2/5）2-18÷|-（-3）2|

15、科学技术法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数（即016、近似数：用四舍五入法把3.1415926精确到千分位 是 ，近似数3.0× 精确到 位。

17、有理数可以写成m/n（m、n是整数，n≠0）的形式。另一方面，形如m/n（m、n是整数，n≠0）的数都是有理数。所以有理数可以用m/n（m、n是整数，n≠0）表示。 三、拓展知识：

1、数集：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。

（1） 所有有理数组成的数集叫做有理数集； （2） 所有的整数组成的数集叫做整数集。

2、任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示，体现了数形结合的数学思

想。

3、根据绝对值的几何意义知道：|a|≥0，即对任何有理数a，它的绝对值是非负数。

4、比较两个有理数大小的方法有：

（1） 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；

（2） 根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负

数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；

（3） 做差法：a-b>0 ⇔a>b;

（4） 做商法：a/b>1，b>0 ⇔a>b.

四、典型题

1.若（a-1）+|b+2|=0，那么a+b=_____________________. 2.先化简，再求值

1/2a-（2a-2/3b）+(-3/2a＋1/3b),其中a=-1/4,b=-1/2 3.计算：1+2+3+„+2002+2003=__________.

2

2

2

4.已知：

2aa22334422,332,442,...10102bb（a,b均为33881515若

整数）则a+b=

5.观察下列等式，你会发现什么规律：1312，2413，3514，。。。请将你发现的规律用只含一个字母n（n为正整数）的等式表示出来

222|a|b|ab|0a|b|6.已知，则ab___________

27.已知a是整数，3a2a5是一个偶数，则a是 （奇，偶）

8.已知1+2+3+„+31+32+33==17×33，求1-3+2-6+3-9+4-12+„+31-93+32-96+33-99的值。 9.如果规定符号“*”的意义是a*b=ab/（a+b），求2*（-3）*4的值。 10.已知|x+1|=4，（y+2）=4，求x+y的值。

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