一、知识要点
本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以利用数轴来认识、理解,同时,利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在具体运算时,要注意四个方面,一是运算法则,二是运算律,三是运算顺序,四是近似计算。 二、基础知识:
1、正数(position number):大于0的数叫做正数。例如,1,2,3 2、负数(negation number):在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。例如,-1,-2,零下3度=-3度
温度由-5℃下降3℃后,结果可记为_____
3、0既不是正数也不是负数。 4、有理数(rational number):正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。(划图理解) 5、数轴(number axis):通常,用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。
数轴满足以下要求:(图形解释)
(1) 在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点(origin);
(2) 通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)
为负方向; (3) 选取适当的长度为单位长度。
例如,在数轴上表示-3和它的相反数,-2的绝对值,最大的负整数,最小的正整数,绝对值等于0的数,并把这些数由小到大用“<”连接起来 6、相反数(opposite number):绝对值相等,只有负号不同的两个数叫做互为相反数
7、绝对值(absolute value)一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记做|a|。
由绝对值的定义可得:|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小。 例如,绝对值大于1而小于4的整数有_____________________________________,其和为___________. -1/3的相反数是_______,绝对值是_______,倒数是_______. 正数–a的绝对值为__________;负数–b的绝对值为________
8、倒数
1除以一个数(零除外)的商,叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数,那么这两个数的积等于1。
例如,一个数和它的倒数相等,则这个数是( )
A.1 B.-1 C. ±1 D. ±1和0 1--8点总结:
学会在数轴上表示有理数,以及其相反数,倒数和绝对值,并区分大小。
提升题
实数a、b、c在数轴上的位置如图:化简|a-b|+|b-c|-|c-a|.
9、有理数加法法则
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。例如,(-2)+(-5) (2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。例如,150+
(-20),10+(-10)
(3)一个数同0相加,仍得这个数。例如,9+0,0+(-5)
加法交换律:有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变。表达式:a+b=b+a。
例如,2+3=3+2,(-3)+(-7)=(-7)+(-3)
加法结合律:有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加或者先把后两个数相加,和不变。表达式:(a+b)+c=a+(b+c) 例如,[10+(-10)]+(-5)=10+[(-10)+(-5)] 提升训练:(-301)+125+301+(-75) (-25)+34+156+(-65) 10、有理数减法法则
减去一个数,等于加这个数的相反数。表达式:a-b=a+(-b) 例如,15-(-5),(-3)-(-7)(理解负负得正) 加减混合运算训练: (-3/5)+1/5-4/5 (-11.5)-(-4.5)-3 11、有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。例如,2/3×(-5/4) 任何数同0相乘,都得0.
乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。表达式:ab=ba例如,-7×8=8×(-7)
乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。表达式:(ab)c=a(bc)例如,(-4)×(-6)×5=(-4)×[(-6)×5] 乘法分配律:一般地,一个数同两个的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。表达式:a(b+c)=ab+ac例如,5×[(-7)+(-4/5)]=5×(-7)+5×(-4/5)
12、有理数除法法则:两数相除,同号得负,异号得正,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
例如,(-3)÷[(-2/5)÷(-1/4)] (-0.75)÷5/4÷(-0.3)
13、有理数的乘方:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power)。an中,a叫做底数(base number),n叫做指数(exponent)。 根据有理数的乘法法则可以得出:负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。例如(-2)2,(-2)3,(-32/4)
若a、b互为相反数,c、d互为倒数,则(a+b)3-3(cd)4=________. 14、有理数的混合运算顺序
(1)“先乘方,再乘除,最后加减”的顺序进行;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。 混合运算训练:
(-48)×(-3/4+1/6-5/8+7/12)
-52 -[(-2)3+(1-0.8×3/4)÷(-2)] -32-|(-5)3|×(-2/5)2-18÷|-(-3)2|
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