华南理工大学继续教育学院

华南理工大学继续教育学院 《数字信号处理》习题集 一、单项选择题：

1. 对-1.5V到1.5V的电压量化到一个字节上，则量化步长为( C ) V A. 1.5 B. 3.0 C. 0.01171875 D. 0.0234375

2. 一个数字通信系统的子带频率为1200Hz至2800Hz，系统的采样频率为8000Hz，那么，该子带的数字频率范围为（ A ）。 A. 0.3π 至0.7π B. 0.6π 至1.4π C. 0.03π至0.07π D. 0.06π 至0.14π

t)采样获得，则，系统的3. 一个数字信号x[n]cos(n4)是由模拟信号x(t)cos(5000采样频率为（ B ）Hz A.40000 B.20000 C.80000 D.10000

4. 离散系统的单位冲击响应h(n)满足下列关系，则（ A ）一定是稳定系统。 A. h(n)0.35n[u(n)u(n8)] B. h(n)1.75n[u(n)u(n6)] C. h(n)2.5nu(n) D. h(n)0.35nu(n1)

5. 已知某系统的单位冲击响应h(n)=0.8nu(n)，则该系统是（ A ） A.因果稳定系统 B.因果非稳定系统 C.非因果稳定系统 D.非因果非稳定系统

6. 下列系统(其中y(n)是输出序列，x(n)是输入序列) 中 ( C )属于线性系统。 A. y(n)=3x(n)-5 B. y(n)=x3(n) - 5 C. y(n)=3x(n-5) D. y(n)=ex(n)

7. 系统输入序列x(n)和输出序列y(n)满足差分方程：y(n)=nx(n)，则该系统是（ D ） A.线性移不变系统 B.非线性移不变系统 C.线性移变系统 D.非线性移变系统

8. 已知某序列x(n)的z变换为z -2+z-3，则x(n-2)的z变换为( C )。 A. z -2+z-3 B. -2z -1-2z-3 C. z -4+z -5 D. z+1

9. 一个长度为256点的序列，利用FFT来计算其频谱的计算量为（ B ）次复数乘法。

A. 256 B. 1024 C. 2048 D. 65536

10. 一个系统的单位冲击响应h(n)(n6)，则系统的频率响应H(ej)为( B )。

A. e B. e C. e D. e

11. 一个线性时不变系统的单位冲击响应为h(n)(n2)，系统的输入为

。 x(n)0.35nR3(n)时，系统的输出y(n)为（ B ）

jnj6jnj6《数字信号处理》 第 1 页 （共 页）

A. y(n)0.35nR1(n) B. y(n)0.35n2R3(n2)

C. y(n)0.35n2R3(n2) D. y(n)0.35n2R1(n2)

12. 序列x(n)(nn0)的频谱X(ej)为（ B ）。

0A. e B. e C. e D. e0

13. 设h(n)0.25(n)0.85(n1)1.2(n2)0.85(n3)0.25(n4)是一个线性相位FIR系统的单位冲击响应，则序列通过这个系统的群延迟为（ A ）。 A.2 B.3 C.4 D.5

14. 一个线性时不变系统，其单位冲击响应和系统函数分别为h[n], H(z)，其逆系统的单位冲击响应和系统函数分别为hi[n], Hi(z)，逆系统的定义是满足H(z)Hi(z)1 的系统。则，这两个系统串联起来总的系统的单位冲击响应为（ ）。 A.0 B.1 C.[n] D.1/[n]

15. 一个线性相位系统其单位冲击响应的长度为50，则信号通过系统后将延迟（A）

jnjnjnjnA. 25 B.50 C. 100 D. 200

16. 快速傅立叶变换（FFT）能够实现快速计算的主要原因是：（ D ）。 A. 正弦余弦函数的周期性 B. 正弦余弦函数的对称性

C. 正弦余弦函数的周期性和对称性 D. 将一个长的DFT化为较短的DFT进行计算

17. 线性相位系统的优势是：（ B ）。

A. 系统频率响应是线性的 B. 保证群延迟是一个常数 C. 使相移最小 D. 具有平坦的幅度特征

18. 某FIR滤波器的系统函数为H(z)=1+0.9z－1－0.9z－3－z－4，则该系统属于( D )。 A.N为奇数的偶对称线性相位滤波器

B.N为偶数的偶对称线性相位滤波器

C.N为奇数的奇对称线性相位滤波器 D.N为偶数的奇对称线性相位滤波器

19. 利用基2的FFT计算长度为2048点的序列的DFT时，其复数乘法的优化比是（ B ）。

A. 186.18 B. 372. 36 C. 0.005371 D. 0.002685

20. 一个稳定的模拟滤波器通过冲击响应不变法映射为数字滤波器，可能会有（ ）问题。 A. 数字滤波器不一定稳定 B. 频率畸变

C. 混叠效应 D. 低通滤波器变成了高通滤波器

21. 利用窗函数法设计FIR滤波器时，过渡带的宽度近似等于( A ） A.窗函数频谱幅度函数的主瓣宽度

B.窗函数频谱幅度函数的主瓣宽度的一半 C.窗函数频谱幅度函数的第一个旁瓣宽度

D.窗函数谱幅幅度函数的第一个旁瓣宽度的一半

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22. 利用窗函数法设计FIR滤波器时，与矩形窗相比，汉明窗的优势为滤波器（ B ）。 A. 过渡带更窄 B. 阻带衰减更好 C. 通带波动更大 D. 没有混叠效应

23. 与微处理器相比，DSP芯片不具有的优势是（ ）。 A. 采用哈佛总线结构 B. 具有众多事务处理中断

C. 具有高速的片内数据存储器和程序存储器 D. 具有高速阵列乘法器等专用硬件

24. DSP芯片的哈佛总线结构的主要特点是（ A）。 A. 采用流水线作业 B. 具有高速的I/O接口

C. 具有高速的片内数据存储器和程序存储器 D. 具有高速阵列乘法器等专用硬件

二、判断题：

1、采样频率大于信号最高频率时，即不会发生欠采样问题。（X ） 2、如果一个系统的输入x(n)与输出y(n)满足y(n)g(n)x(n)，则这个系统一定稳定。（ X ）

3、FIR滤波器基本结构与IIR滤波器基本结构具有相同的基本运算单元类型。（ √ ） 4、离散线性系统的输出序列是输入序列和系统单位冲击响应的卷积和。（X ） 5、系统的传递函数即系统单位冲击响应的Z变换。（ √ ） 6、系统的频率响应即系统传递函数在单位圆上的特例。（ √ ）

7、设h(n)0.5(n)0.55(n1)0.55(n2)0.5(n3)是一个系统的单位冲击响应，则这个系统是广义线性相位的。（√） 8、FIR滤波器不一定总是稳定的。（X ）

9、利用DFT进行序列频谱分析时，由于信号截短产生了栅栏效应。（X） 10、系统的频率响应即系统单位冲击响应的离散时间傅立叶变换（√）。

11、IIR滤波器基本结构与FIR滤波器基本结构具有不同的基本运算单元类型。（ X ） 12、序列x(n)的N点按时间抽取基2-FFT与按频率抽取基2-FFT的计算次数相同。( √ )

13、离散卷积的快速算法一般是通过FFT来实现的。（ √ ）

14、快速傅立叶变换（FFT）主要是利用正弦余弦函数的周期性和对称性实现的。（X） 15、利用DFT进行信号频谱分析，由于在时域要将信号截短，在频域即会产生频谱泄漏问题。( √ )

16、FIR滤波器的差分方程是递归的。（ X ）

17、线性相位FIR滤波器的线性相位结构可以节省一半的乘法器。（√ ）

18、由于混叠效应，用冲击响应不变法设计IIR滤波器不能将模拟的高通滤波器和带阻滤波器转化为数字滤波器。（√）

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19、线性相位滤波器能够保证不同频率的信号具有相同的群延迟。（ √ ） 20、用窗口函数法设计FIR滤波器时，在相同的窗函数的长度下，汉宁窗比矩形窗能产生更优化的过渡带。 （ X ）

21、用窗函数法设计FIR滤波器时，最小阻带衰减由窗函数的长度决定。（X ） 22、滤波性能相似的IIR滤波器和FIR滤波器，IIR滤波器的阶数高于FIR滤波器。（X） 23、IIR滤波器不能利用FFT改善运算速度（√ ）。

24、用双线性变换法设计IIR数字滤波器时存在频率混叠失真。( X )

三、证明及计算题：

1、当系统为线性平移不变系统时，试证明输入信号x(n)、系统的单位冲击响应h(n)以及输出信号y(n)之间的关系为y(n)x(n)*h(n)。（10%）

x[n]kx[k][nk]ky[n]T{x[n]}T{x[k][nk]}From principle of superposition, we have

y(n)

On another hand, h(n)= T{n)}, if the system is time-invariant, h(n – k)=T{(n – k)}

kx(k)T{(nk)}y[n]x[k]h[nk]So,

kThis equation is commonly called the Convolution Sum。

2、证明z变换的时移性质，即，如果X(z)为序列x(n)的z变换，y(n)x(nk)，其中k为一整数，则，Y(z)X(z)zk 证明：X(z)nx(n)znn

而y(n)x(nk)

Y(z)则

ny(n)zx(nk)znn(nk)knx(nk)zknkn(nk)x(nk)zzkX(z)(nk)kz

z

x(nk)z《数字信号处理》 第 4 页 （共 页）

3、证明Z变换的卷积定理，即，如果y(n)x(n)*h(n)，则Y(z)X(z)H(z)，其中，Y(z),X(z)和H(z)分别是y(n),x(n)和h(n)的Z变换。 证明：

X(z)nx(n)zn,H(z)nh(n)zn,Y(z)ny(n)zn

另一方面，离散卷积的定义为：y(n)x(n)*h(n)两边取z变换，有：

kx(k)h(nk)

Y(z)nk{x(k)h(nk)}zknnkx(k)zh(nk)z(nk)X(z)H(z)

故Y(z)X(z)H(z)

4、计算序列 x(n)(2)nu(n1)的z变换，并给出其收敛域。 解：根据z变换的定义有

X(z)  nnx(n)z nnn(2)u(n1)zn1nnmm(2)z(0.5)zm1|0.5z|1 收敛域为：

0.5z110.5z12z1即|z|2

5、一个线性时不变系统的单位冲击响应h(n)R18(n)，求系统的频率响应并给出幅度响应和相位响应。

解：系统的频率响即单位冲击响应的离散时间傅立叶变换：

H(e)jnh(n)ejnejnn0171ej18ej9(ej9ej9) j/2j/2j/2j 1ee(ee) j8.5sin(9) e,[0,2)sin(/2)sin(9),[0,2)

sin(/2) 系统的相位响应为arg[H(ej)]8.5,[0,2)

（还有另一种解法，你自己能做出来吗？参见下一题。）

因此： 系统的幅度响应为|H(ej)|《数字信号处理》 第 5 页 （共 页）

6、一个线性移不变系统可以用下列差分方程表示，且系统是因果系统：

511y(n1)y(n2)x(n)x(n1)662(1) 利用z变换求系统的传递函数H(z)和单位脉冲响应h(n)；

y(n)(2) 求系统的频率响应H(e)；

(3) 画出系统一阶级联形式结构图. (15%) 解：（1）差分方程两边取z变换，有：

Y(z)(151121zz)X(z)(1z1) 662j因此，系统的传递函数为

Y(z)(10.5z1)H(z)X(z)(11z1)(11z1)32因此，系统的单位冲击响应为：

56 111-z11-z13211h(n)[6()n5()n]u(n)

23（2）系统的频率响应为：

H(ej)H(z)|zexp(jw)[10.5exp(j)]

51[1exp(j)exp(j2)]66（3）系统的一阶级联形式结构图（信号流图）如下：

x[n] z-1 1/3 0.5 1/2 z-1 y[n]

7、一个线性移不变系统可以用下列差分方程表示，且系统是因果系统：

y(n)0.2y(n1)x(n)0.8x(n1)

(1) 利用z变换求系统的传递函数H(z)和单位冲击响应h(n)； (2) 求系统的频率响应H(e)；

(3) 画出系统直接I型和直接II型结构图. 解：（1）方程两边取z变换，有：

j《数字信号处理》 第 6 页 （共 页）

Y(z)(10.2z1)X(z)(10.8z1)Y(z)(10.8z1)因此, 传递函数：H(z) 1X(z)(10.2z)单位冲击响应: h(n)z1{H(z)}(0.2)nu(n)0.8(0.2)n1u(n1)

j(2)频率响应为：H(e)(10.8exp(j))

(10.2exp(j))（3）直接I型和直接II型结构图如下

x(n)0.8Σ-0.2y(n)x(n)Σ0.8Σz1-0.2y(n)z1z1

8、如果一个线性时不变系统的系统函数为H(z)1.23.2z13.2z21.2z3。 （1）求其单位冲击响应；

（2）求系统的频率响应并给出幅度响应和相位响应； （3）画出系统的线性相位结构图。（12%） 解:

(1) 对H(z)进行逆z变换，系统单位冲击响应为：

h(n)1.2(n)3.2(n1)3.2(n2)1.2(n3) （2）系统的频率响应为

H(ej)H(z)|zej1.23.2ej3.2ej21.2ej3ej2(1.2ej23.2ej3.2ej1.2ej2)ej2[2.4jsin(2)6.4jsin()]

因此，系统的幅度响应和相位响应分别为

|H(ej)|2.4sin(2)6.4sin()arg[H(e)]j22

（3）系统的线性相位型结构为： 1z1x[n] z

-  -  1

z1z

1.2 2.4 y[n]

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9、一个有限单位脉冲响应系统为线性相位系统，即它的相频特征为：()，试证明系统的单位冲激响应对称。 证明：

HejΩAejΩejΩjβAejΩcosβΩαjAejΩsinβΩα

sinβΩαcosβΩαnhncosΩnnnhnsinΩn

nhncosΩnsinβΩαhnsinΩncosβΩα0nn整理后，有：hnsinβΩαΩnhnsinβΩnα0nhnsinβΩnα0由于sin是对称的，所以：

10、对于一个冲击响应长度为N的有限冲击响应（FIR）滤波器，如果其单位脉冲响应满足偶对称，即，

h(n)h(N1n)

假设N为奇数，试证明这个滤波器是一个线性相位系统。 证明：

N1, If h[n]h[N1n], where N is odd，and the center is 2h2nhn

H(z)h[n]zn0N1nzN12{(h[n]zn0N112N1n2h[N1n]zN1(N1n)2)h[N21]}

 h[n]zh[N1n]zthe frequency response is:

H(e)e

jN12jN1j2N1n2N1(N1n)2h[n]( zN1n2z(N1n)2)

{h[n](en0N112N112j(N1n)2ej(N1n)2)h[N1]}2N1

jN1N12 e{h[n]cos(n)h[]}eA()22n0N1  |H(ej)||A()| arg(H(ej))2

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11、按时间抽选的方法，证明基2的FFT算法。即证明一个长为N的序列的DFT可以分解为两个N/2的DFT进行计算。

证明：对x[n]的DFT按n为奇数和n为偶数进行划分，有：

Substitute variables n=2r for n even and n=2r+1 for odd

Xkx[n]ej2/Nknn0N1n evenx[n]eN1j2/Nknnoddj2/Nknx[n]eN1Xk N/21r0x[2r]W2rkNN/21x[2r1]Wr0N/21r02r1kNN/21r0x[2r]WN2rkN/2WkNx[2r1]WN2rkN/2X1[k] and X2[k] are the N/2-point DFT’s of each subsequence

k X1kWNX2kX1(k)x1(r)WNrkx(2r)WNrkr0N2211r0N22X2(k)x2(r)WNrkx(2r1)WNrkX(kNNNkN)X1(k)WN2X2(k)22k2Nr0211r02X1(k)WNX2(k), k0,1,,21

N点的DFT可由两个N/2点的DFT来计算。 The process may be repeated to attain yet further improvement.

12、按照512点和1024个点，分析FFT相对DFT的复数乘法的优化程度。 解：对x[n]的DFT按n为奇数和n为偶数进行划分，有： 解：对于长度为N的序列，DFT的计算量为N2，而FFT的计算量化比为1Nlog2N。所以优22N log2N当N=512时，r=128 倍，当N=1024时，r=204.8 倍。计算规模越大，优化比越大。

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13、用双线性法设计一个截止频率为200Hz的二阶低通Butterworth滤波器，设系统的

1采样频率F s =500Hz ，已知原形低通模拟滤波器为： HaL。

11.414ss2解：变换到原型滤波器频率坐标：

ctg(HaL(c2)tg(2200)tg(0.4)3.07768 rad/sec

500s1 )ssc11.414()()2cc双线性变换：

1z1s1z114、基于窗口函数法，利用矩形窗，设计一个一线性相位低通滤波器，要求c0.3 且 N=25。求出系统的单位冲击响应。 解:

H(z)H(s)|0.0680.134z10.068z2 1211.142z0.413z于是

1hdn2hd[n]ejHd(e)0jccc,c

Hdejejn1d2cejejndc

csin[c(n)]c(n)

这里 N112 且 c0.3, 则系统单位冲击响应为 2sin(0.3n), 0n24h[n]hd[n]w[n](n12)

 其他0,

15、试用频率抽样法设计一个FIR线性相位数字低通滤波器，已知 c0.5，N=51

求系统的传递函数和频率响应。 解：根据题意有

Nc1, 0kint122H(k) N10, 13k2《数字信号处理》 第 10 页 （共 页）

则，传递函数为：

1zNN1H(k)H(z)k1Nk01WNz51121z1k1Nk01W51z滤波器的频率响应为：

1121ej51jH(e)H(z)|zej51k01e2k/Nej 

112ej51/2ej51/2112sin(51/2)j51/2j(2k/51)/2 j(2k/51)/2j(2k/51)/2eeej(51k/51)/251k0ee51k0sin[(2k/N)/2]

16、试用一个流程图说明窗口函数法设计FIR滤波器的过程，并说明矩形窗带来的问题及改进方法.

解：窗口函数法设计FIR滤波器的过程如下图所示：

选择合适的窗口函滤波要求

数w(n)

理想滤波器频响特征理想滤波器单位脉冲加窗截短，平移 （H（exp(jw)) 响应（hd(n)) h(n)=hw(n-(N-1)/2)=hd(n)w(n)

矩形窗带来的问题：设计过程中在时域将理想滤波器乘上窗口函数得到实际滤波器。由于矩形窗的频谱在频域主瓣宽度较宽，且能量没有集中在主瓣内，造成：

（1）实际滤波器的频率响应的过渡带变宽了，宽度由窗口函数的主瓣宽度决定，矩形窗造成过渡带较宽；

（2）实际滤波器的频率响应由于窗口函数旁瓣的影响，通带和阻带都出现了波动（Gibbs效应），矩形窗的Gibbs效应较大。

改进：

（1）减小窗口函数频谱的主瓣宽度，以减小实际滤波器的过渡带； （2）使能量尽量集中于窗口函数频谱的主瓣内，以减少Gibbs效应。

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17、用蝶形算法画出四元素序列x(n){1, 2, -1, 4 }的频谱X(k).

解：由于：W124exp(j4)j x(0)=1

0

6

x(2)= -1

W0 -1

2

2+2j

x(1)=2 6 W0 -1 -6 x(3)=4

-2

2-2j

W0 -1

W1 =-j -1

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