大物实验报告--振动的叠加

大学物理实验报告

1同方向不同频率的运动叠加 分振动 x1Acosw1tx2Acosw2t

合振动 x2Acos(212)tcos(212)t

例如不同频率的波能叠加形成方波

f1(x)k012024(2k1)4(2k1)sin[(2k1)x]f2(x)k0sin[(2k1)x]1.510.5f1(x)f2(x)00.511.51050x510

由上述图像我们可以得出结论：叠加的波数越多形成的图形越接近方波的图像。

现在我们来讨论一下是否各种频率下的不同波都可以合成方波？ 保持式子其它系数不变，改变上述方程的频率：

f1(t)k0242k1sin[(k1)t]5f1(t)051050t510f2(t)k0242k1sin[(1.5k1)t]105f2(t)05101050t510f3(t)k010242k1sin[(2.5k1)t]5f3(t)05101050t510

说明并不是所有频率的波都能合成方波，而仅仅只有当角频率说明方波是奇次=2k+1,即频率是奇数时才能合成得到方波的图像，谐波的叠加结果。

2垂直方向振动叠加

设有两个互相垂直的简谐运动。它们分别在x，y方向上运动，那么其合振动的图像和形式又是怎么样的呢？ （1） 两个同频率的简谐运动合成

xA1cos(wt1) yA 2cos(wt2) 将两式中消去t就可得到合振动的轨迹方程 x2 A2y222xycos(12)sin2(21) 1A2A1A2

例如

423cos(2t)024210122cos(2t)

0

423cos2t40242102cos(2t)12

423cos2t420242102cos(2t)12



2（2） 两个不同频率的简谐运动的合成

22cos(5t)02210122cos(3t)

0

22cos5t4022102cos(3t)12

24

2cos5t2022102cos(3t)12

2说明垂直方向的两个振动合成时，合成图形不再是简单的正余弦函数的图像，而是产生了更为复杂的图形。当频率相同时合成为椭圆，当频率不同时，合成图形是更复杂的。 3弹道方程 （1） 无阻尼的情况

Givend22y(t)9.8y(0)0y'(0)20dtyOdesolve(t5)20y(t)10002t4

没有阻力的情况下，其轨迹是一条抛物线。 （2） 有阻尼的情况

阻尼为速度的一次方的情况

k0.5Givend22y1(t)dtd9.8ky1(t)dty1(0)0y1'(0)20y1Odesolve(t5)1510y1(t)50012t34

阻尼为速度的二次方的情况

k0.5Givend22y2(t)dtd9.8ky2(t)y2(0)0dt2y2Odesolve(t0.8)44y2(t)2y2(t)2000.5t1

00.51 三种情况在同一坐标系中图像如下

t20y(t)y1(t)y2(t)10002t4

（3） 水平方向也满足微分方程的情况

x,y方向都无无阻尼的情况

Givend22x(t)5x(0)0x'(0)5dtxOdesolve(t5)20y(t)1003020x(t)100

x,y方向都有一次阻尼的情况

k0.5Givend22x(t)dtd5kx(t)dtx(0)0x'(0)5xOdesolve(t5)1510y1(t)50105x(t)05

x,y方向都有二次阻尼的情况

k0.5Givend22x(t)dtd5kx(t)dt2x(0)0x'(0)5xOdesolve(t0.8)4y2(t)2010x(t)12

说明实际中弹道的轨迹受到阻力的影响很大，当阻尼不存在时，弹道轨迹就是一条抛物线，当考虑阻力的作用时，弹道轨迹不再是一条抛物线，而是一条比抛物线复杂的曲线。在阻力不同的情况下，其轨迹方程大不相同。