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全国2卷理科2007年普通高等学校招生全国统一考试(高考数学试卷)

来源:小侦探旅游网


2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)

理科数学(必修+选修II)全解全析

注意事项:

1. 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.共4页,总分150分考试时间

120分钟.

2. 答题前,考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置

上。

3. 选择题的每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑,如需

改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上。 4. 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写,字体工整,笔迹清楚。 5. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,超出答题区域或在其

它题的答题区域内书写的答案无效;在草稿纸、本试题卷上答题无效。 6. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题)

本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的。 参考公式:

如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式

2S=4R P(A+B)=P(A)+P(B)

其中R表示球的半径, 如果事件A、B相互,那么

球的体积公式 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么

n次重复试验中恰好发生k次的概率

-kPn(k)=CnPk(1-P)nk

一.选择题 1.sin2100 = (A)

V=R, 其中R表示球的半径

4333 2 (B) -

3 2 (C)

1 2 (D) -

1 22.函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是

3,) (B) (,) 444412i3.设复数z满足=i,则z =

z(A)(-

(A) -2+i (B) -2-i 4.以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)

2

(C) (,

33) (D) (,2) 22 (C) 2-i (D) 2+i

(B) ln(ln2)

(C) ln2

(D) ln2

5.在∆ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=CACB,则=

13第 1 页 共 11 页

(A)

2 3 (B)

1 3 (C) -

1 3 (D) -

2 36.不等式:

x1>0的解集为 2x4(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞) (C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)

7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于 (A)

6 4 (B)

102 (C) 42 (D)

3 2x21

3lnx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为 8.已知曲线y4(A)3

(B) 2

(C) 1

1 (D)

2

9.把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移,得到y=f(x)的图象,则f(x)= (A) ex-3+2 (B) ex+3-2 (C) ex-2+3 (D) ex+2-3

10.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种

x2y211.设F1,F2分别是双曲线221的左、右焦点。若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90º,

ab且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为 (A)

5 2 (B)

10 2 (C) 15 2 (D)

5

12.设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若FAFBFC=0,则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6

(C) 4 (D) 3

第II卷(非选择题)

本卷共10题,共90分。 二.填空题

1

13.(1+2x2)(x-)8的展开式中常数项为 。(用数字作答)

x

14.在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,2)(>0),若在(0,1)内取值的概率为0.4,则在(0,2)内取值的概率为 。 15.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为 cm2.

16.已知数列的通项an=-5n+2,其前n项和为Sn, 则lim

第 2 页 共 11 页

Sn= 。

nn2

三.解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.在 ∆ABC中,已知内角A=

,边 BC=23,设内角B=x, 周长为y 3(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域; (2)求y的最大值

18. 从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件A:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)=0.96

(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;

(2)若该批产品共有100件,从中任意抽取2件,表示取出的件产品中二等品的件数,求的分布列

19.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥ 底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点 (1) 求证:EF∥ 平面SAD

(2) 设SD = 2CD,求二面角A-EF-D的大小

20.在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线:x-3y=4相切 (1)求圆O的方程

(2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求PAPB的取值范围。

21.设数列{an}的首项a1∈ (0,1), an=(1)求{an}的通项公式;

(2)设bnan32an,求证bn22.已知函数f(x)=x3-x

(1)求曲线y=f(x)在点M(t, f(t))处的切线方程

(2)设a>0,如果过点(a, b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-aA D B E

P F C 3an1,n=2,3,4… 2第 3 页 共 11 页

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参

评分说明:

1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主

要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度.可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 D 5 A 6 C 7 A 8 A 9 C 10 B 11 B 12 B 1.sin2100 =sin301,选D。 23),选C。 22.函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(,3.设复数z=abi, (a,b∈R)满足选C。

a212i

=i,∴ 12iaib,,∴ z =2i,zb12

4.∵ 0ln21,∴ ln(ln2)<0,(ln2)< ln2,而ln2=选D。

1ln213uuuruuuruuuruuur2uuuruuur2uuuruuur1uuur2uuur2CDCAADCAABCA(CBCA)CACB,=,选A。

333336.不等式:

x1x10,原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞),选C。 >0,∴ 2(x2)(x2)x47.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,取A1C1的中点D1,连接BD1,

36AD1,∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角,sinB1AD12,选A。

42x21311

3lnx的一条切线的斜率为2,y'x=,解得x=3或x=-2,8.已知曲线y42x2由选择项知,只能选A。

r9.把函数y=e的图象按向量a=(2,3)平移,即向右平移2个单位,向上平移3个单位,平

x

第 4 页 共 11 页

移后得到y=f(x)的图象,f(x)= ex23,选C。

10.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求

22星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有C5A360种,

选B。

x2y211.设F1,F2分别是双曲线221的左、右焦点。若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90º,

ab且|AF1|=3|AF2|,设|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中2a|AF1||AF2|2,

2c|AF1|2|AF2|210,∴ 离心率e10,选B。 212.设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若FAFBFC=0,则F为△ABC的重心,∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍,即等于3,

∴ |FA|+|FB|+|FC|=(xA1)(xB1)(xC1)6,选B。 二、填空题 题号 答案 13 14 15 16 42 0.8 242 5 2143313.(1+2x2)(x-)8的展开式中常数项为1C82C8(1)=-42。

x

14.在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,2)(>0),正态分布图象的对称轴为x=1,在(0,1)内取值的概率为0.4,可知,随机变量ξ在(1,2)内取值的概率于在(0,1)内取值的概率相同,也为0.4,这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8。

15.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径,现正四棱柱底面边长为1cm,设正四棱柱的高为h,∴ 2R=2=1212h2,解得h=2,那么该棱柱的表面积为2+42cm2. 16.已知数列的通项an=-5n+2,其前n项和为Sn三、解答题

17.解:(1)△ABC的内角和ABC,由A

应用正弦定理,知

n(5n1)5S,则limn=-。 2n22n2,B0,C0得0B. ACBC23sinBsinx4sinx,

sinAsin第 5 页 共 11 页

ABBC2sinC4sinx. sinA

因为yABBCAC, 所以y4sinx4sin

22x230x, 3

(2)因为y4sinx1cosxsinx23 2523x, 

43sinx

所以,当x,即x时,y取得最大值63. 18.解:(1)记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”,

A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”.

则A0,A1互斥,且AA0A1,故

P(A)P(A0A1)

P(A0)P(A1)

(1p)C2p(1p)

211p2

于是0.961p.

解得p10.2,p20.2(舍去). (2)的可能取值为01,,2.

若该批产品共100件,由(1)知其二等品有1000.220件,故

2C80316. P(0)2C1004951C116080C20. P(1)2C1004952

C219. P(2)220C100495第 6 页 共 11 页

所以的分布列为

 P 0 1 2 316 495160 49519 495S

19.解法一:

(1)作FG∥DC交SD于点G,则G为SD的中点.

∥连结AG,FG 1∥AB, CD,又CD 2F

G H D A

E

B

∥AE,AEFG为平行四边形. 故FG EF∥AG,又AG平面SAD,EF平面SAD. 所以EF∥平面SAD.

(2)不妨设DC2,则SD4,DG2,△ADG为等

腰直角三角形.

取AG中点H,连结DH,则DH⊥AG.

又AB⊥平面SAD,所以AB⊥DH,而ABIAGA, 所以DH⊥面AEF.

取EF中点M,连结MH,则HM⊥EF. 连结DM,则DM⊥EF.

故DMH为二面角AEFD的平面角

M C

tanDMHDH22. HM1z S 所以二面角AEFD的大小为arctan2. 解法二:(1)如图,建立空间直角坐标系Dxyz.

设A(a,0,,0)S(0,0,b),则B(a,a,,0)C(0,a,,0)

F aabEa,,0,F0,,, 222uuurbEFa,0,.

2uuurbb0,,则AGa,0,. 取SD的中点G0,22A x G M D E B A C y uuuruuurEFAG,EF∥AG,AG平面SAD,EF平面SAD,

所以EF∥平面SAD.

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,,,0)C(0,1,,0)S(0,0,,2)E1,,0,F0,,1. (2)不妨设A(1,0,0),则B(11ur111uuuruuuuruuur111uuuMD,,,EF(1,0,,1)MDgEF0,MD⊥EF EF中点M,,,2222221212uruuuruuur1uu,0,EAgEF0,EA⊥EF, 又EA0,2uuuuruuur所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角.

uuuuruuuruuuuruuurMDgEA3cosMD,EAuuu . uruuur3MDgEA所以二面角AEFD的大小为arccos3. 320.解:(1)依题设,圆O的半径r等于原点O到直线x3y4的距离,

即 r42. 1322

得圆O的方程为xy4.

0)B(x2,,0)x1x2.由x24即得 (2)不妨设A(x1,,

A(2,,0)B(2,0).

设P(x,y),由PA,PO,PB成等比数列,得

(x2)2y2g(x2)2y2x2y2,

22即 xy2.

uuuruuurPAgPB(2x,y)g(2x,y)

x24y22(y1).2

22xy4,由于点P在圆O内,故2 2xy2.由此得y1.

第 8 页 共 11 页

2

uuuruuur所以PAgPB的取值范围为[2,0).

21.解:(1)由an

3an1 ,n2,3,4,…,21整理得 1an(1an1).

2又1a10,所以{1an}是首项为1a1,公比为1的等比数列,得 2

1an1(1a1)2n1

(2)方法一: 由(1)可知0an那么,bn1bn

22an1(32an1)an(32an)223,故bn0. 2

3an23an 32an(32an)

229an(an1)2.42

22又由(1)知an0且an1,故bn1bn0,

因此

bnbn1,n为正整数.

方法二:

由(1)可知0an因为an13,an1, 23an, 2(3an)an.

23所以

bn1an132an13an由an1可得an(32an),

23an2即 an(32an)gan

2两边开平方得

2an32an3angan. 2即 bnbn1,n为正整数.

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22.解:(1)求函数f(x)的导数;f(x)3x1.

曲线yf(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为: 即

2yf(t)f(t)(xt), y(3t21)x2t3.

(2)如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使

b(3t21)a2t3.

于是,若过点(a,b)可作曲线yf(x)的三条切线,则方程

2t33at2ab0

有三个相异的实数根. 记 g(t)2t3atab, 则 g(t)6t6at

6t(ta).

232当t变化时,g(t),g(t)变化情况如下表:

t g(t) (,0)  0 0 极大值ab (0,a) a 0 极小值bf(a) (a,)   ] g(t) Z Z 由g(t)的单调性,当极大值ab0或极小值bf(a)0时,方程g(t)0最多有一个实数根;

当ab0时,解方程g(t)0得t0,t数根;

当bf(a)0时,解方程g(t)0得t,ta,即方程g(t)0只有两个相异的实数根.

综上,如果过(a,b)可作曲线yf(x)三条切线,即g(t)0有三个相异的实数根,

3a,即方程g(t)0只有两个相异的实2a2第 10 页 共 11 页

则ab0,

bf(a)0.即 abf(a).

第 11 页 共 11 页

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