全国2卷理科2007年普通高等学校招生全国统一考试(高考数学试卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)

理科数学(必修+选修II)全解全析

注意事项:

1． 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共4页,总分150分考试时间

120分钟.

2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置

上。

3． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。 4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。 5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其

它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。 6． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

2S=4R P（A+B）=P（A）+P（B）

其中R表示球的半径， 如果事件A、B相互，那么

球的体积公式 P（A·B）=P（A）·P（B） 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次重复试验中恰好发生k次的概率

－kPn(k)=CnPk(1－P)nk

一．选择题 1．sin2100 = (A)

V=R， 其中R表示球的半径

4333 2 (B) -

3 2 (C)

1 2 (D) -

1 22．函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是

3，） (B) （，） 444412i3．设复数z满足=i，则z =

z(A)（－

(A) -2+i (B) -2-i 4．以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)

2

(C) （，

33） (D) （，2） 22 (C) 2-i (D) 2+i

(B) ln(ln2)

(C) ln2

(D) ln2

5．在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=CACB,则=

13第 1 页 共 11 页

(A)

2 3 (B)

1 3 (C) -

1 3 (D) -

2 36．不等式:

x1>0的解集为 2x4(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞) (C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)

7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于 (A)

6 4 (B)

102 (C) 42 (D)

3 2x21

3lnx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为 8．已知曲线y4(A)3

(B) 2

(C) 1

1 (D)

2

9．把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，得到y=f(x)的图象，则f(x)= (A) ex-3+2 (B) ex+3－2 (C) ex-2+3 (D) ex+2－3

10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种

x2y211．设F1，F2分别是双曲线221的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，

ab且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为 (A)

5 2 (B)

10 2 (C) 15 2 (D)

5

12．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FAFBFC=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6

(C) 4 (D) 3

第II卷（非选择题）

本卷共10题，共90分。 二．填空题

1

13．（1+2x2）(x－)8的展开式中常数项为 。（用数字作答）

x

14．在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（>0），若在（0，1）内取值的概率为0.4，则在（0，2）内取值的概率为 。 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.

16．已知数列的通项an=－5n+2,其前n项和为Sn, 则lim

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Sn= 。

nn2

三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.在 ∆ABC中，已知内角A=

,边 BC=23,设内角B=x, 周长为y 3（1）求函数y=f(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值

18. 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96

(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;

（2）若该批产品共有100件，从中任意抽取2件，表示取出的件产品中二等品的件数，求的分布列

19.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥ 底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点 （1） 求证：EF∥ 平面SAD

（2） 设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小

20．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x-3y=4相切 （1）求圆O的方程

（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PAPB的取值范围。

21．设数列{an}的首项a1∈ (0,1), an=（1）求{an}的通项公式；

（2）设bnan32an，求证bn22.已知函数f(x)=x3－x

（1）求曲线y=f(x)在点M(t, f(t))处的切线方程

（2）设a>0,如果过点（a, b）可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：－aA D B E

P F C 3an1，n=2,3,4… 2第 3 页 共 11 页

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参

评分说明：

1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 D 5 A 6 C 7 A 8 A 9 C 10 B 11 B 12 B 1．sin2100 =sin301，选D。 23)，选C。 22．函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(，3．设复数z=abi, (a，b∈R)满足选C。

a212i

=i，∴ 12iaib，，∴ z =2i，zb12

4．∵ 0ln21，∴ ln(ln2)<0，(ln2)< ln2，而ln2=选D。

1ln213uuuruuuruuuruuur2uuuruuur2uuuruuur1uuur2uuur2CDCAADCAABCA(CBCA)CACB，=，选A。

333336．不等式:

x1x10，原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞)，选C。 >0，∴ 2(x2)(x2)x47．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接BD1，

36AD1，∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，sinB1AD12，选A。

42x21311

3lnx的一条切线的斜率为2，y'x=，解得x=3或x=－2，8．已知曲线y42x2由选择项知，只能选A。

r9．把函数y=e的图象按向量a=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平

x

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移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ex23，选C。

10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求

22星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有C5A360种，

选B。

x2y211．设F1，F2分别是双曲线221的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，

ab且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a|AF1||AF2|2，

2c|AF1|2|AF2|210，∴ 离心率e10，选B。 212．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FAFBFC=0，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，

∴ |FA|+|FB|+|FC|=(xA1)(xB1)(xC1)6，选B。 二、填空题 题号 答案 13 14 15 16 42 0.8 242 5 2143313．(1+2x2)(x－)8的展开式中常数项为1C82C8(1)=－42。

x

14．在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（>0），正态分布图象的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率于在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。

15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=1212h2，解得h=2，那么该棱柱的表面积为2+42cm2. 16．已知数列的通项an=－5n+2，其前n项和为Sn三、解答题

17．解：（1）△ABC的内角和ABC，由A

应用正弦定理，知

n(5n1)5S，则limn=－。 2n22n2，B0，C0得0B． ACBC23sinBsinx4sinx，

sinAsin第 5 页 共 11 页

ABBC2sinC4sinx． sinA

因为yABBCAC， 所以y4sinx4sin

22x230x， 3

（2）因为y4sinx1cosxsinx23 2523x， 

43sinx

所以，当x，即x时，y取得最大值63． 18．解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

则A0，A1互斥，且AA0A1，故

P(A)P(A0A1)

P(A0)P(A1)

(1p)C2p(1p)

211p2

于是0.961p．

解得p10.2，p20.2（舍去）． （2）的可能取值为01，，2．

若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220件，故

2C80316． P(0)2C1004951C116080C20． P(1)2C1004952

C219． P(2)220C100495第 6 页 共 11 页

所以的分布列为

 P 0 1 2 316 495160 49519 495S

19．解法一：

（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．

∥连结AG，FG 1∥AB， CD，又CD 2F

G H D A

E

B

∥AE，AEFG为平行四边形． 故FG EF∥AG，又AG平面SAD，EF平面SAD． 所以EF∥平面SAD．

（2）不妨设DC2，则SD4，DG2，△ADG为等

腰直角三角形．

取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG．

又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而ABIAGA， 所以DH⊥面AEF．

取EF中点M，连结MH，则HM⊥EF． 连结DM，则DM⊥EF．

故DMH为二面角AEFD的平面角

M C

tanDMHDH22． HM1z S 所以二面角AEFD的大小为arctan2． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz．

设A(a，0，，0)S(0，0，b)，则B(a，a，，0)C(0，a，，0)

F aabEa，，0，F0，，， 222uuurbEFa，0，．

2uuurbb0，，则AGa，0，． 取SD的中点G0，22A x G M D E B A C y uuuruuurEFAG，EF∥AG，AG平面SAD，EF平面SAD，

所以EF∥平面SAD．

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，，，0)C(0，1，，0)S(0，0，，2)E1，，0，F0，，1． （2）不妨设A(1，0，0)，则B(11ur111uuuruuuuruuur111uuuMD，，，EF(1，0，，1)MDgEF0，MD⊥EF EF中点M，，，2222221212uruuuruuur1uu，0，EAgEF0，EA⊥EF， 又EA0，2uuuuruuur所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角．

uuuuruuuruuuuruuurMDgEA3cosMD，EAuuu ． uruuur3MDgEA所以二面角AEFD的大小为arccos3． 320．解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x3y4的距离，

即 r42． 1322

得圆O的方程为xy4．

0)B(x2，，0)x1x2．由x24即得 （2）不妨设A(x1，，

A(2，，0)B(2，0)．

设P(x，y)，由PA，PO，PB成等比数列，得

(x2)2y2g(x2)2y2x2y2，

22即 xy2．

uuuruuurPAgPB(2x，y)g(2x，y)

x24y22(y1).2

22xy4，由于点P在圆O内，故2 2xy2.由此得y1．

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2

uuuruuur所以PAgPB的取值范围为[2，0)．

21．解：（1）由an

3an1 ，n2，3，4，…，21整理得 1an(1an1)．

2又1a10，所以{1an}是首项为1a1，公比为1的等比数列，得 2

1an1(1a1)2n1

（2）方法一： 由（1）可知0an那么，bn1bn

22an1(32an1)an(32an)223，故bn0． 2

3an23an 32an(32an)

229an(an1)2.42

22又由（1）知an0且an1，故bn1bn0，

因此

bnbn1，n为正整数．

方法二：

由（1）可知0an因为an13，an1， 23an， 2(3an)an．

23所以

bn1an132an13an由an1可得an(32an)，

23an2即 an(32an)gan

2两边开平方得

2an32an3angan． 2即 bnbn1，n为正整数．

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22．解：（1）求函数f(x)的导数；f(x)3x1．

曲线yf(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为： 即

2yf(t)f(t)(xt)， y(3t21)x2t3．

（2）如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使

b(3t21)a2t3．

于是，若过点(a，b)可作曲线yf(x)的三条切线，则方程

2t33at2ab0

有三个相异的实数根． 记 g(t)2t3atab， 则 g(t)6t6at

6t(ta)．

232当t变化时，g(t)，g(t)变化情况如下表：

t g(t) (，0)  0 0 极大值ab (0，a) a 0 极小值bf(a) (a，)   ] g(t) Z Z 由g(t)的单调性，当极大值ab0或极小值bf(a)0时，方程g(t)0最多有一个实数根；

当ab0时，解方程g(t)0得t0，t数根；

当bf(a)0时，解方程g(t)0得t，ta，即方程g(t)0只有两个相异的实数根．

综上，如果过(a，b)可作曲线yf(x)三条切线，即g(t)0有三个相异的实数根，

3a，即方程g(t)0只有两个相异的实2a2第 10 页 共 11 页

则ab0，

bf(a)0.即 abf(a)．

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