2018年高考概率与统计命题预测

2018年高考概率与统计命题预测

概率与统计包括必修3的第二章统计、第三章概率及统计案例.（理）选修2-3的第一章计数原理、第二章随机变量及其分布. 高考命题无论是文科还是理科一般都是 “两小一大”，总分22分.且这些内容的难度往往不是很大，对广大考生提高分数有一定的帮助.因此，注重抓好这一内容，几乎决定了高考数学的成败.下面从两个大方面谈谈2018年高考概率与统计的可能命题，希望对于你在最后的关键时刻起到重要作用.

一、客观性试题预测

客观性试题往往针对某一知识点的应用与简单联系进行设计，此类试题由于相对“单纯”，在设计时创新力度较大，试题较为新颖，求解时需认真分析、仔细揣摩.近年常命题的知识点有有以下八个方面.

1. 频率分布直方图

例1 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到4.9之间的学生数为b，则a，b的值分别为（ ）

A. 0.27，132 B. 0.27，166

C. 2.7， 132 D. 2.7， 166

解析 由图可知（4.3，4.4 ]，（4.4，4.5]的?l率分别为0.01，0.03，由于前四组的频数成等比数列，故前四组的频率也成等比数列，且公比为=3，所以前四组频率依次为：0.01，0.03，

0.09，0.27.设最后一组频率为x，则由后6组频数成等差数列知，后6组频率也成等差数列，所以×6=1-0.01-0.03-0.09，解得x=0.02.故后5组频率依次为：0.22，0.17，0.12，

0.07，0.02.

因此，a=0.27，b=200×（0.27+0.22+0.17）=132. 选A.

点评 本题主要考查频率分布直方图的应用，再结合频率分布直方图的性质产生结论.

2. 几何概型的应用

例2 某学校星期一至星期五上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟. 第一节课上课时间为7 ∶ 50～8 ∶ 30，课间休息10分钟. 某同学请假后返校，若他在8 ∶ 50～9 ∶ 30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不小于10分钟的概率是（ ）

A. B. C. D.

解析 该同学到达的时间总长度为40，其中在8 ∶ 50～9 ∶ 10进入教室时，听第二节课的时间不小于10分钟，其时间长度为20，故所求概率为=，选A.

点评 本题考查几何概型的概率求解问题，求解时抓住两个时间长度即可.

3. 线性回归的应用

例3 为了了解某种植物的生长年限与高度之间的关系，某研究人员随机统计了4次，并制作了对照表：

由表中数据，得到线性回归方程=x+.由此估计该植物生长15的高度为 .

解析 由于x=11，y=6，从而得=6-×11=.

即回归方程为=x+，当x=15时，=×15+≈7.43.

点评 本题考查线性回归方程的求解与应用，其中，回归直线必过样本中心点是考查的重点.

4. 样本的数字特征

例4 一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ）

A. 13，12 B. 13，13 C. 12，13 D. 13，14

解析 设等差数列{an}的公差为d（d≠0），a3=8，a1a7=a32=64，

即（8-2d）（8+4d）=64，也就是（4-d）（2+d）=8？圯2d-d2=0. 又d≠0故d=2.

故样本数据为：4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，平均数为==13，中位数

为=13，故选B.

点评 样本的数字特征的考查方式还可以借助于频率分布直方图.我们知道：平均数、众数及中位数都可以通过观察及利用频率分布直方图得到，你还记得这些数与图形的关系吗？

5. 古典概型

例5 连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量=（m，n）与向量=（1，0）的夹角记为？琢，则？琢∈（0，）的概率为

（ ）

A. B. C. D.

解析 依题意得，连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，可得到的向量=（m，n）共有6×6（个），其中满足向量=（m，n）与向量=（1，0）的夹角？琢∈（0，），即 那么P（F）=P（E|D）=.

由于P（ED）=×=，P（D）=×+×+×=.

那么P（F）=.

点评 条件概率及独立事件概率的应用问题，在近年高考命题中时有出现，一旦遇到有些考生瞬间会出现思维盲点，不知所措.

7. 排列、组合的应用

例7 设集A={（x1，x2，x3，x4）}，其xi∈{-1，0，1}，i=1，2，3，4，那么所有集合A中满足条件“1≤+2+3+4≤6”的元素个数为（ ）

A. 26 B. 24 C. 30 D.32

解析 对于1≤++3+4≤6有五种情况.

（1）+2+3+4=1，此时，x1=±1，x2=x3=x4=0，此时有=2.

（2）+2+3+4=2，此时，x2=±1，x1=x3=x4=0，此时有=2.

（3）+2+3+4=3，此时，x3=±1，x1=x2=x4=0，或x1=±1，x2=±1，x3=x4=0，此时，有+=6.

（4）+2+3+4=4，此时x4=±1，x1=x2=x3=0，或x1=±1，x3=±1，x2=x4=0，此时，有+=6.

（5）+2+3+4=5，此时，x1=x4=±1，x2=x3=0，或x2=x3=±1，x1=x4=0，此时，有+=8.

综上可得共有2+2+6+6+8=24，故选B.

点评 将集合、不等式与排列、组合结合在一起进行设计试题是近年高考高频考点之一，难度一般为中档偏上.此类问题的求解，首先要弄清题意，看看是先分类还是先分步，然后，

再处理每一类或每步.本题抓住x1，x2，x3，x4只能取相应的几个整数值的特点进行分类.

8. 二项式定理的应用

例8 求（x+ay-3z）9的展开式中含x4y2z3的系数为-13608，则实数a= .

解析 由（x+ay-3z）9=[x+（ay-3z）]9.

得Tr+1=?x9-r?（ay-3z）r=?x9-r??（ay）r-t（-3z）t

=?ar-t?（-3）t?x9-r?yr-t?zt.

Y合题设，得t=3，r-t=2，9-r=4？圯t=3，r=5，于是，含x4y2z3的系数为a2（-3）3，由?a2?（-3）3=-13608？圯a=2.

点评 本题考查二项式定理的应用，考查对二项式的合理组合与二项式通项公式的应用.

二、主观性试题预测

主观性试题，每年肯定有，且排列在解答题的第三题位置.从排列顺序上看，难度应该是中档偏上，理应是考生普遍得分之题，但实事上并非如此.从连续两年全国1卷此题的得分情况看，试题的难度偏大，且主要出在阅读理解上.对于2018年呢？我们思考可能要从下列几个角度进行设计.

1. 茎叶图的应用

例9 某人在从甲、乙两社区各经营一个小士多店，他记录了连续25所营业额（单位：拾元），结果茎叶图如右图：

（1）根据以上茎叶图，对甲、乙两店的营业额作比较，写出两个统计结论.

（2）若从两店营业额超过三仟三佰元的天中随机抽取四天作进一步分析，设抽到甲店的天数为X，求X的均值.

解析 （1）对茎叶图进行观察，可以发现如下结论：

1. 乙店营业额的平均数大于甲店营业额的平均数.

2. 甲店营业额较乙店营业额更分散.（或：乙店营业额较甲店营业额更集中（稳定）.甲店营业额分散程度比乙店营业额的分散程度更大）.

3. 甲店营业额的中位数为3070元，乙店营业额的中位数为3180元.

4. 乙店营业额基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲店营业额除一个特殊值（3520）外，也大致对称，其分布较均匀.

（2）由茎叶图可知，两店营业额超过3300元的天共有10天，其中，甲店有4天，乙店有6天.

由题意得X的可取值为0，1，2，3，4， 且：

P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==.

P（X=3）==，P（X=4）==.

于是，X的概率分布列表如下：

故X的均值为EX=0×+1×+2×+3×+4×=.

点评 本题考查茎叶图在生活中的应用，难度不大，但具有开放特点.对于第一问的回答，有的考生可能会摸不到头脑.其实，若对茎叶图的特点及应用性掌握清楚，正确的求解它也就不成问题了.

2. 考查线性回归与非线性回归

例10 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi，和年销售量yi（i=1，2，3，…，8）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中？棕i=，？棕=？棕i.

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）.

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.

（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（1）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？

（2）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

解析 （Ⅰ）由散点图可知y=c+d适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.

（Ⅱ）设ω=，则线性回归方程为y=c+dω，由公式得 ？茁==68，α=563-68×6.8=100.6，所以y=100.6+68ω.

所以y关于x的回归方程为y=100.6+68.

（Ⅲ）（1）当x=49时，年销售量的预报值y=100.6+68×7=576.6.

年利润的预报值z=0.2×576.6-49=66.32.

（2）因为z=0.2（100.6+68）-x=-（）2+13.6+20.12.

所以当=6.8，即宣传费x=46.24千元时，年利润的预报值最大.

点评 非线性拟合与线性回归方程一直都是高考命题的热点，不是命客观题就是命主观题，早在2015年全国卷中以解答题的形式出现，经过2016及2017年的“冷却”？到了2018年应该差不多了，因此，我建议大家还是注重为好.

3. 与频率分布直方图结合

例11 2017年“双十一”期间，某经销商试销M、N两种商品，为了调查顾客对M、N两种商品的满意程度，对顾客进行了问卷调查，已知参与调查的M、N两种商品件数相同，成绩分为A，B，C，D，E五个等级. 某M、N商品的调查成绩数据统计如下图所示，其中M商品的成绩为B的有10件.

（1）求该N调查问卷中成绩为D的件数，若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求M商品调查问卷的平均分.

（2）若从本次调查问卷的商品成绩为D的中任取2件，记这2件商品中M商品的个数为X，求X的分布列和数学期望.

解析 （1）因为M商品调查问卷中成绩等级为B的有10件，

所以参加问卷调查的商品共有件10÷0.25=40，

所以N商品调查问卷中成绩等级为D的件数为：

40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.

该M商品调查问卷中成绩的平均分为：

3×0.2+2×0.1+5×0.375+4×0.25+1×0.075=3.75.

（2）由题意知，M商品调查问卷中成绩等级为D的件数为：

40×（1-0.375-0.250-0.200-0.075）=40×0.010=4，又N商品?{查问卷中成绩等级

为D的件数为3，所以X的所有可能取值为0，1，2.

P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，

X的分布列为：

∴ EX=0×+1×+2×=.

点评 本题主要考查统计中平均数的相关概念， 离散型随机变量的分布列与数学期望等，考查考生的数据处理能力与运算求解能力.（1）由题中的统计图易得N商品调查问卷中成绩等级为D的件数，由平均数的概念求解M商品调查问卷中成绩的平均分即可.（2）关键是确定变量的取值，并求出相应的概率.

4. 与随机设计图、表结合

例12 如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率.

（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望.

（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）.

解析 设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，…，13）.根据题意，P（Ai）

=，且Ai∩Aj=？?J（i≠j）.

（1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B=A5∪A8.

所以P（B）=P（A5∪A8）=P（A5）+P（A8）=.

（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2， 且：

P（X=1）=P（A3∪A6∪A7∪A11）=P（A3）+P（A6）+P（A7）+P（A11）=.

P（X=2）=P（A1∪A2∪A12∪A13）=P（A1）+P（A2）+P（A12）+P（A13）=.

P（X=0）=1-P（X=1）-P（X=2）=.

所以X的分布列为：

故X的数学期望EX=0×+1×+2×=.

（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

点评 结合统计的有关数据，将随机变量的概率问题巧妙的溶解其中，重在考查考生捕捉信息与利用信息的能力.此类题，要善于通过图、表抓住信息.然后再充分利用信息是求解的关键.

5. 与独立性检验结合

例13 某企业为更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了100件产品进行分析，但由于工作人员不小心，丢失了部分数据：

工作人员从设备改造前生产的产品中随机抽取两件，合格品为？孜，从设备改造后生产的产品中随机抽取两件，合格品为？浊，经计算得：P（？孜=0）=P（？浊=0）.

（1）求列联表中x、y、M、N.

（2）求出？孜与？浊的数学期望，并比较大小，请解释你所得出结论的实际意义.

（3）能够以97.5%的把握认为设备改造有效吗？

参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量.

解析 （1）由已知：P（？孜=0）=P（？浊=0），得=?，解之得：x=10.

又由表可得：x+y=50，20+x=M，30+y=N，∴y=40，M=30，N=70.

（2）？孜的取值为：0，1，2.

则P（？孜=0）==，P（？孜=1）==，P（？孜=2）==.

？孜的分布列为： ∴E？孜=0?+1?+2?=.

？?岬娜≈滴?：0，1，2.

则P（？浊=0）==，P（？浊=1）==，P（？浊=2）==.

？浊的分布列为：

∴E？浊=0?+1?+2?=.

∵E？孜