解三元一次方程组的消元技巧

解三元一次方程组的基本思想和解二元一次方程组一样也是消元,化三元为二元、一元,最终求出各未知数的值，完成解题过程.但是，在具体解题过程中，许多同学却难以下手,不清楚先消去哪个未知数好.下面就介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考。

一、当方程组中有一个方程缺省某未知数时，可以从其余方程中消去所缺少的未知数。

3x4z7， ①1、解方程组2x3yz9， ②

5x9y7z8. ③分析：因为方程①中缺少未知数y项，故而可由②、③先消去y，再求解. 解:②×3+③，得11x10z35，④ 解由①、④组成的方程组,得 把⑤代入②,得yx5， ⑤

z21， 3x51 所以原方程组的解为y。

3z2二、当方程组中有两个方程缺省不同的未知数时,可将其中一个与剩余方程消去另一个所缺少的未知数；或则可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元.

y2x7， ①1、解方程组5x3y2z2， ②

3x4z4. ③分析：很明显，在方程①、③中，分别缺少未知数z、y的项，而都含有未知数x的项，从而可用含x的代数式分别表示y、z，再代入②就可以直接消去y、z了。

解：由③，得z3x1， ④ 4把①、④代入②，得x2， ⑤ 把⑤代入①,得y3， ⑥ 把⑤代入③，得z1， 2x2所以原方程组的解是y3。

1z22、

x16解答：y8

z3三、当方程组中三个方程都缺省不同的未知数时，可从中挑选两个消去相同的未知数

四、当方程组中某个未知数的系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数

2x4y3z9，①1、解方程组3x2y5z11，②

5x6y7z13. ③分析:方程组中含y的项系数依次是4，－2，－6，且4=－2×（－2），－6=－2×3。由此可先消去未知数y.

解：①+②×2,得8x13z31，④ ②×3-③,得4x8z20， ⑤ 解由④、⑤组成的方程组，得把⑥代入①，得yx1，⑥ z31， 2x1所以原方程组的解是y3.

1z23xy4z132、5xy3z5；

xyz3x2解答：y1；

z2

3xy2z33、2xy3z11

xyz12

4、

x4解答：y6．

z85、解方程组

分析：若考虑用加减法，三个方程中，z的系数比较简单，可设法先消去z，① + ③可以消去z，得到一个只含x，y的方程，进一步② + ③×2,也可以消去z得到一个只含x，y的方程,这样,就得到了一个关于x、y的二元一次方程组，实现了消元．

解:①+③ ，得5x + 5y = 25 ④ ②+③×2得5x + 7y = 31 ⑤

解由④、⑤组成的二元一次方程组得

把x = 2,y = 3代入①得3×2 + 2×3 + z = 13， 解得z = 1

x2∴原方程组的解是y3

z1技巧提升:本题选用了加减法,也可以使用代入法，比如将方程②变形为x7y2z,分别代入方程①③就可以消去未知数x.可见消元仍是解三元（或多元)一次方程组的基本思想，代入法和加减法仍是三元（或多元）一次方程组基本方法．