平面向量复习讲义

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段,为什么？(向量可以平移)。

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的; 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是AB);

|AB|4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性; 5．平行向量(也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行.

注:①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线， 但两条直线平行不包含两条直线重合;

③平行向量无传递性!（因为有0）；

AC共线; ④三点A、B、C共线AB、6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量是－a.

【练习】

1、下列命题：（1）若ab，则ab。(2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。（3)若ABDC，则ABCD是平行四边形.（4）若ABCD是平行四边形，则

（5）若ab,bc，则ac。(6）若a//b,b//c,则a//c。其中正确的是_______ ABDC。

二．向量的表示方法:

1．几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如AB，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,则平面内的任一向量a可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，

a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的

终点坐标相同。 三．平面向量的基本定理:如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内

的任一向量a，有且只有一对实数1、2,使a=1e1＋2e2。 【练习】

1、若a(1,1),b(1,1),c(1,2)，如何用a,b表示c？ 2、下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是

A。 e1(0,0),e2(1,2) B。 e1(1,2),e2(5,7)

D E C

F

A B 13 C. e1(3,5),e2(6,10) D。 e1(2,3),e2(,)

243、已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线，且ADa,BEb，则BC可用向量a,b24表示为_____ (答：ab）；

334、在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点，

且错误!＝m错误!＋n错误!，其中m,n∈R，则m＋n＝ 。

1

5、在边长为2的菱形ABCD中，BAD＝60，E为CD中点,AE与BD相交于点F,（1）用AB,AD表示AF.(2)求出错误!错误!．

四．实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1aa,2当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时,a0，注意:a≠0。

五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角:对于非零向量a,b，作OAa,OBb，AOB0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a,b同向，当＝时，a，b反向，当＝直.

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b,它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积(或内积或点积），记作：a•b，即a•b＝abcos。规定:零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量.如 【练习】

1、△ABC中,|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________

(答:－9）;

2、已知a(1,),b(0,),cakb,dab，c与d的夹角为3、已知a2,b5,ab3，则ab等于____

（答：23)；

4、已知a,b是两个非零向量,且abab，则a与ab的夹角为____

(答:30)

3．b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数,但不一定大于0。

练习：已知|a|3，|b|5，且ab12,则向量a在向量b上的投影为__（答：

4．a•b的几何意义：数量积a•b等于a的模|a|与b在a上的投影的积. 5．向量数量积的性质：设两个非零向量a,b，其夹角为，则:

①aba•b0;

②当a,b同向时，a•b＝ab，特别地，aa•aa,aa；当a与b反向

b不同向，ab0是为锐角的必要时,a•b＝－ab；当为锐角时，a•b＞0，且a、 b不反向，ab0是为钝角的必要非充非充分条件；当为钝角时，a•b＜0，且a、分条件；

a•b③非零向量a,b夹角的计算公式：cos；④|a•b||a||b|。

ab

2

222时，a,b垂21212，则k等于____ 4（答：1）;

12) 51、已知a(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角,则的取值范围是______

41（答：或0且)；

332、已知A(1，2），B（2,3）,C（-2，5）,则△ABC为( ）

A。直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D。不等边三角形

133、已知OFQ的面积为S，且OFFQ1,若S,则OF,FQ夹角的取值范

22围是_________（答：(,)）；

43六．向量的运算： 1．几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则\"进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设ABa,BCb,那么向量AC叫做a与

b的和,即abABBCAC；

②向量的减法：用“三角形法则”：设ABa,ACb,那么abABACCA,由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 【练习】

1、化简:①ABBCCD___;②ABADDC____;③(ABCD)(ACBD)_____ 2、若正方形ABCD的边长为1，ABa,BCb,ACc,则|abc|＝_____ 2．坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2),则： ①向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)。 ②实数与向量的积:ax1,y1x1,y1。

③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

【练习】

132、已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10),若APABAC(R)，则当＝____时,点P在第一、

1、设A(2,3),B(1,5)，且ACAB，AD3AB，则C、D的坐标分别是_____ 三象限的角平分线上

13、已知A(2,3),B(1,4),且AB(sinx,cosy)，x,y(,)，则xy 222④平面向量数量积：a•bx1x2y1y2。如

1、已知向量a＝(sinx，cosx), b＝（sinx，sinx）, c＝（－1,0)。（1）若x＝

a、c的夹角；(2）若x∈[，求向量331,]，函数f(x)ab的最大值为,求的值

2842⑤向量的模：|a|x2y2,a|a|2x2y2.如

1、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|＝_____

(答:13）；

3

2、（2009年广东卷）一质点受到平面上的三个力F1,F2，F3（单位:牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1,F2成60角，且F1,F2的大小分别为２和４,则F3的大小为

3、已知共面向量

11a,b，c均为单位向量,它们的夹角两两相同,求abc的值。 23⑥两点间的距离:若Ax1,y1,Bx2,y2，则|AB|七．向量的运算律：

x2x1y2y122。

2．结合律：abcabc,abcabc,a•ba•ba•b； 3．分配律：aaa,abab，ab•ca•cb•c。

1．交换律:abba，aa,a•bb•a;

练习：下列命题中：① a(bc)abac；② a(bc)(ab)c;③ (ab)|a|2

2|a||b||b|;④ 若ab0,则a0或b0；⑤若abcb,则ac;⑥aa；

2222⑦

aba2ba；⑧(ab)2ab;⑨(ab)2a2abb.其中正确的是______

2222注：(1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；（2)向量的“乘法\"不满足结合律，即a(b•c)(a•b)c，为什么？

八．向量平行（共线)的充要条件：a//bab(ab)2(|a||b|)2x1y2y1x2＝0. 【练习】

1、若向量a(x,1),b(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同 2、已知a(1,1),b(4,x)，ua2b，v2ab，且u//v,则x＝______ 3、设PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，则k＝_____时，A,B，C共线

九．向量垂直的充要条件：abab0|ab||ab| x1x2y1y20。 1、已知OA(1,2),OB(3,m)，若OAOB，则m 2、已知n(a,b),向量nm,且nm，则m的坐标是________

十一、向量中一些常用的结论:

(1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用；

b同向或有0|ab||a||b| （2）||a||b|||ab||a||b|，特别地,当a、 b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；当a、 b不共线||a||b|||ab|；当a、。 ||a||b|||ab||a||b|（这些和实数比较类似）

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