第３１卷第５期 大 学 数 学 Ｖｏ１．３１，№．５ ２Ｏ１５年１０月 Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｏｃｔ．２０１５ 哈密尔顿一凯莱定理在多项式矩阵上的推广 胡建华， 王资敏， 曾博文 （上海理工大学理学院，上海２０００９３） ［摘要］哈密尔顿一凯莱定理是高等代数中一个经典的结论，它揭示了方阵和它对应的特征多项式之间 的关系．本文将此定理推广至多项式矩阵上，给出了多项式矩阵及其行列式之间的一种关系，使经典的哈密 尔顿一凯莱定理成为本文中定理的一种特殊情况． ［关键词］哈密尔顿一凯莱定理；多项式矩阵；伴随矩阵 ［中图分类号］Ｏ１５１．２１ ［文献标识码］Ｃ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１５）０５—００８９—０４ １ 引 言 哈密尔顿一凯莱定理是高等代数中一个经典的结论，它揭示了方阵和它对应的特征多项式之间的 关系，是特征多项式所具有的一个重要性质．它在线性空间的直和分解、计算逆矩阵、矩阵多项式等方面 有重要的应用．在教材［１］Ｐ２９７中给出了此定理的内容和证明．定理可简洁地概括为：任意数域上的方 阵满足其特征方程．即设Ａ是数域 上的一个 阶方阵，，（ｚ）＝＝：ｄｅｔ（ｘＥ—Ａ）为Ａ的特征多项式，则 ，（Ａ）一Ｏ（零矩阵）．在文献［２，３，４］中，Ｋａｃｚｏｒｅｋ将此定理推广至ｍ Ｘ 矩阵、Ｂｌｏｃｋ矩阵上；文献Ｅｓ－１ 中ｗｅｉ Ｘｉｎｇ将哈密尔顿一凯莱定理推广至多元有理矩阵上．这里我们将此定理推广至多项式矩阵上， 给出了多项式矩阵及其行列式之间的一种关系，使经典的哈密尔顿一凯莱定理成为本文中定理的一种特 殊情况． ２主要结果 设 是数域， ［ｚ］表示域 上的多项式环，ｄｅｇ（ｆ（ｘ））表示多项式的次数，约定零多项式的次数 为一。。． 设Ｇ（ ）一Ｅａ （ｚ）］ 表示关于变量Ｘ的 阶多项式矩阵，其中元ａ （ ）∈ ］．约定下面的 Ｇ（ ）表示每个元的次数不超过ｍ的 阶多项式矩阵． 引理１ 存在（ ＋１）个７ｚ阶常数矩阵Ａ。，Ａ ，Ａ ，…，Ａ 使得 Ｇ（ ）一Ａｏ＋Ａ１Ｘ＋Ａ２ｚ ＋…＋Ａ ． 证 不妨设Ｇ（ｚ）一Ｅａ （ｚ）］ ，其中 ｎ （ｚ）＝＝＝Ⅱ 。＋ａｉｊｌ Ｘ＋ａｉ／２ ｚ ＋…＋（２ｉｊ ｚ ∈ ［ ］， ｉ，Ｊ＝＝：１，２’…， ， 由矩阵加法和数乘运算的线性性，只需取Ａ ：Ｅａ ］ ，ｋ一０，１，２，…，ｍ． 注１在引理１中 Ｇ（ｚ）一Ａ０＋Ａ１ｚ＋Ａ２ｚ ＋…＋Ａ ｚ ， 实际上Ｇ（ ）也可表示成 ［收稿日期］２０１５—０８—０２ ［基金项目］沪江基金（Ｂ１４００５）；上海理工大学横向项目（１３１２３４１００１） ９０ 大 学 数 学 Ｇ（ ）一Ａ０＋ １＋ Ａ２＋…＋ Ａ 第３１卷 的形式．这里采用 Ｇ（ｚ）一Ａｏ＋Ａ１ ＋Ａ２ｚ。＋…＋Ａ ｚ 这种形式．这样任意给定 阶方阵Ａ，Ｇ（Ａ）一Ａ。＋Ａ Ａ＋Ａ Ａ。＋…＋Ａ Ａ 为ｎ阶方阵． 记厂（ｚ）一ｄｅｔ（Ｇ（ｘ））表示多项式矩阵Ｇ（ｚ）的行列式． 引理２ ｆ（３ｃ）∈ ［ ］且次数不超过ｍｎ． 证 不妨设Ｇ（ｚ）：＝＝［ａ （ ）］ ，由行列式的定义 －厂（ ）一∑（一１）“ … 。 （ ）ｎ （ ）…ｎ （ ）， ＪｌＪｚ…Ｊ 其中ｊｌＪ …Ｊ 表示１２３…”的全排列，ｒ（ｊ Ｊ。… ）为排列 ｉ１３２…ｉ …Ｊ 的逆序数．显然，（ｚ）∈ ［ ］且 ｄｅｇ（ｆ（ｘ））≤ｍａｘ｛ｄｅｇ（ａｌＪ （ｘ）ａｚＪ，（ｚ）…ａｗ （１ｚ））） ≤ｍａｘ｛∑ｄｅｇ（ａ （ ）））≤枷． Ｊ１ Ｊ２… 一１ 记Ｇ （ｚ）表示多项式矩阵Ｇ（ ）的伴随矩阵， 引理３伴随矩阵Ｇ （ｚ）是域 上的多项式矩阵，且其每个元的次数不超过 （ 一１）． 证 由伴随矩阵的定义，Ｇ （ｚ）一［Ａ （－ｚ）］ ，其中符号 表示矩阵的转置．代数余子式 ａｌｌ（ｚ） … ａｌ，ｊ－１（ ） ａｌ，汁１（ｚ） … ａｌ （ ） Ａ （ ）一（一１）斗 ａ １。ｌ（Ｌｚ） …ａ汁１，１ａｉ－－１，ｊ－１（ｚ）ａｉ １，ｊ＋１（１ｚ） …ａ件１． １（Ｉｚ）ａ斗１．什１（ ） …ａ １． （ｚ） ， （ ） …ａ斗１， （ｚ） ｉ，Ｊ一１，２，…，ｎ ａｎｌ，（１ｚ） ・・・ ａｎ，ｊ－ｌ（ ） 口 ． ＋１（ｚ） … ａ埘（ ） 是元为ａ （ｚ）的 一１阶行列式，类似引理２的证明知Ａ （ ）∈ ［ｚ］且次数不超过ｍ（ｎ一１）． 定理设Ｇ（ ）是一个关于变量 的 阶多项式矩阵，其每个元的次数不超过ｍ，，（ ）一ｄｅｔ（Ｇ（ｘ））． ＋…＋Ａ ．７Ｃ ．由引理３不妨设 若存在一个 阶常数方阵Ａ使得Ｇ（Ａ）一Ｏ，则，（Ａ）一０． 证 由引理１，不妨设Ｇ（ ）一Ａ。＋Ａ ｚ＋Ａ Ｇ （ｚ）一Ｂ０＋Ｂｌ ＋Ｂ２ 。＋…＋Ｂ （ 一１）．２Ｃ ‘ ”． 由引理２，不妨设厂（ｚ）一ｋ。十ｋ ＋ｋｚ 。＋…＋惫 其中Ｅ为ｎ阶单位矩阵．即 ∈ ［ ］．因为 Ｇ （ ）Ｇ（ ）一ｄｅｔ（Ｇ（ ））Ｅ—ｆ（ｘ）Ｅ， （Ｂｏ＋Ｂ１ ＋Ｂ２ 。＋…＋Ｂ （ ） ‘ ’）（Ａ０＋Ａｌ ＋Ａ２ ＋…＋Ａ 一） （ｋｏ＋ｋ１．７２＋ｋ２ ＋…＋忌 ）Ｅ． 比较上面等式两边 ，ｋ一０，ｌ，２，…，ｍｎ的系数矩阵，得 ｋｏＥ：＝＝Ｂ０Ａｏ， ｋ１Ｅ—ＢｏＡ１＋Ｂ１Ａｏ， ｋ２Ｅ—ＢｏＡ２＋Ｂ１Ａ１＋Ｂ２Ａ０， ｋ３Ｅ—ＢｏＡ３＋Ｂ１Ａ２＋Ｂ２Ａｌ＋Ｂ３Ａｏ， ｋ Ｅ＝＝＝ＢｏＡ ＋Ｂ１Ａ一１＋…＋Ｂ一１Ａｌ＋Ｂ Ａ ｏ， 忌卅＋ｌＥ—Ｂ１Ａ ＋Ｂ２Ａ一１＋…＋Ｂ Ａ１＋Ｂ １Ａｏ， 志…Ｅ—Ｂ 一２ Ａ ＋Ｂ ＋１Ａ 一ｌ＋…十Ｂ 一１Ａｌ＋Ｂ 一 Ａｏ， ｌ＋２Ａ一．１＋…＋Ｂ 一 一１Ａ２＋Ｂ 一 Ａ１， 是 一，计１Ｅ—Ｂ 一２ｍ＋１Ａ ＋Ｂ 是 一３Ｅ—Ｂ…３Ａ ＋Ｂ一 一２Ａ 一ｌ＋Ｂ～１Ａ ２＋Ｂ 一Ａ 一３， 第５期 胡建华，等：哈密尔顿一凯莱定理在多项式矩阵上的推广 愚 一２ Ｅ—Ｂ 一 一２Ａ ＋Ｂ 一 一１ Ａ 一１＋Ｂ 一 Ａ 一２， 忌 一１ Ｅ—Ｂ 一 一１Ａ ＋Ｂ…Ａ 一１， 愚 Ｅ—Ｂ 一 Ａ ． 以上各式依次右乘矩阵 Ｅ，Ａ，Ａ ，Ａ。，…，Ａ ，Ａｍ十 ，…，Ａ ， 然后将所有等式相加，得 志。Ｅ＋是１Ａ＋是ｚＡ ＋ ３Ａ。＋…＋愚 ＋忌 ＋１Ａ ＋…＋ｋ．￣ＡＴＭ ＝ＢｏＡ０＋（ＢｏＡ１＋Ｂ１Ａ。）Ａ＋（ＢｏＡ２＋Ｂ１Ａｌ＋Ｂ２Ａ１）Ａ。＋（ＢｏＡ３＋Ｂ１Ａ２十Ｂ２Ａ１＋Ｂ３Ａ０）Ａ。 ＋…＋（ＢｏＡ ＋Ｂ１Ａ 一１＋…＋Ｂ 一１Ａ１＋Ｂ舯Ａ ０）Ａ ＋（Ｂ１Ａ ＋Ｂ２Ａ 一ｌ＋…＋Ｂ １＋Ｂ ＋１Ａ０）Ａ －。 ＋…＋（Ｂ…．＝ｍＡ ＋Ｂ 一２ ＋ Ａ 一。＋…＋Ｂ … Ａ ＋Ｂ 一 。）Ａｎｎ一 ＋（Ｂ 一２ ＋１Ａ ＋Ｂ －－２ｍ＋２Ａ 一１＋…＋．Ｂ 一 一１Ａ２＋Ｂ 一 Ａ１）Ａ 一 ＋… ＋（曰枷一３Ａｍ＋Ｂ枷一２Ａｍ一１＋Ｂ删一１Ａ卅一２＋Ｂ蒯…ｍＡ ３）Ａ删一。 ＋（Ｂ枷一２Ａ卅＋Ｂ榭一１Ａｍ １＋Ｂ榭…Ａ一２）Ａ蒯一 ＋（Ｂ 一１Ａ ＋Ｂ 一， 一１）Ａ 一 ＋（Ｂ 一 ）Ａ ， 将上式整理得 ，（Ａ）一层ｏ（Ａｏ＋ＡｌＡ＋Ａ２Ａ。＋…＋Ａ Ａ ）＋Ｂ１（Ａ。＋Ａ。Ａ＋Ａ２Ａ。＋…＋Ａ ）Ａ ＋Ｂ２（Ａｏ＋Ａ１Ａ＋Ａ２Ａ。＋…＋ＡｍＡ ）Ａ ＋Ｂ３（Ａ。＋ＡｌＡ＋Ａ２Ａ ＋…＋Ａ ）Ａ。 ＋…＋Ｂ…（Ａ０＋Ａ１Ａ＋Ａ２Ａ。＋…＋ＡｍＡ ）Ａ 一 ， 即 ，（Ａ）一∑Ｂ Ｇ（Ａ）Ａ ． 又因为Ｇ（Ａ）一０，故－厂（Ａ）一０． 注２此定理的逆命题不成立，即满足，（Ａ）：０的ｎ阶方阵不一定使Ｇ（Ａ）一０． 例 取 Ｇｃｚ 一［ｚ ｚ辜 ］一［ ］＋［ ］ｚ， 厂ｃｚ，一｝ｚ ｚ； ｝一２ｚ十 ， 显然取Ａ一一＿去－Ｅ，有厂（Ａ）一０，但 ＧｃＡ ＝［ ］＋［ ］ｃ一 Ｅ ＝专［ －１ ］≠。． 注３经典的哈密尔顿一凯莱定理是此定理的一种特殊情况．对任意方阵Ａ，只需取多项式矩阵为 特征矩阵，即取Ｇ（ｚ）一ｘＥ—Ａ， （ｚ）＝ｄｅｔ（ｘＥ—Ａ）为Ａ的特征多项式，显然Ｇ（Ａ）一０，由定理知 厂（Ａ）一０． ［参 考 文 献］ 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２００５． Ｋａｃｚｏｒｅｋ Ｔ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｃａｙｌｅｙ－Ｈａｍｉｌｔｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ ｎｏｎ—ｓｑｕａｒｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｆ Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ ａｎｄ Ｃｉｒｃｕｉｔ Ｔｈｅｏｒｙ ＸＶＩＩＩＳＰＥＴＯ，Ｇｌｉｗｉｃｅ，１９９５：７７—８３． Ｋａｃｚｏｒｅｋ．Ｔ．Ａｎ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｃａｌｅｙ－Ｈａｍｉｌｔｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ ｎｏｎ－ｓｑｕａｒｅ ｂｌｏｃｋ ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｂｕｌｌｅｔｉｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｐｏｌｉｓｈ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，１９９５，４３（１）：４９—５６． Ｋａｃｚｏｒｅｋ．Ｔ．Ａｎ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｃａｙｌｅｙ－Ｈａｍｉｌｔｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ ａ ｓｔａｎｄａｒｄ ｐａｉｒ ｏｆ ｂｌｏｃｋ ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，１９９８，８（３）：５ｌ１—５１６． Ｗｅｉ Ｘｉｎｇ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉ０ｎ ｏｆ Ｃａｙｌｅｙ—Ｈａｍｉｌｔｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｒａｔｉｏｎａｌ ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，２００９，５４（３）：６３３—６３４． Ｒａｉ Ｋｕｍａｒ Ｋａｎｗａｒ，Ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｃａｙｌｅｙ－Ｈａｍｉｌｔｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｐｕｒｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１３，３： １０９—１１５． ９２ 大 学 数 学 第３１卷 ＧｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉＯｎ ｏｆ Ｃａｙｌｅｙ—Ｈａｍｉｌｔｏｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ Ｍａｔｒｉｃｅｓ Ｈ ｕ Ｊｉａｎ—ｈｕａ， ＷＡＮＧ Ｚｉ—Ｍｔｎ，ＺＥＮＧ Ｂｏ—ｗｅｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｈａｎｇｈａｉ ｆｏｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００９３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃａｙｌｅｙ＿Ｈａｍｉｌｔｏｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ａ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｉｎ ａｄｖａｎｃｅｄ ａｌｇｅｂｒａ．Ｉｔ ｒｅｖｅａｌｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｓｑｕａｒｅ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｐｏｌｙｎｏｍｉａ１．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｗｉｌｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｃａｙｌｅ Ｈａｍｉｌｔｏｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ ｐｏｌｙｎｏｍｉａ１ ｍａｔｒｉｘ．Ｏｎｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｉｔｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｇｉｖｅｎ．Ｓｏ ｉｔ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｃａｙｌｅｙ－Ｈａｍｉｌｔｏｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃａｙｌｅｙ－Ｈａｍｉｌｔｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ；ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｍａｔｒｉｃｅｓ；ａｄｊｏｉｎｔ ｍａｔｒｉｘ
