人教版必修五含参不等式和恒成立问题(含答案)

f(x)minm；（2）f(x)m对任意x都成立mf(x)max。简单计作：“大

一、一元二次不等式含参问题

含参不等式的解法：由于解含参数不等式的主要目的是求未知数的取值集合，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式时，把参数看成

是常数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行转化；但

在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不

确定性影响，若有不确定性则进行分类讨论，否则不予讨论。

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：

(1)按x2项的系数a的符号分类，即a0,a0,a0;

(2)按判别式的符号分类，即0,0,0；

(3)按方程ax2bxc0的根x1,x2的大小来分类，即x1x2,x1x2；

例题1：解x的不等式：（1）x2ax40。 (2) 2ax2a10(aR)

例题2：解关于x的不等式：（1）ax2(a1)x10. （2）

kx2(k1)x0(kR)

例题3：解不等式（1）x2(a1)x10 (a0). （2） ax2ax2（2aR） 二、一元二次不等式恒成立问题

1、不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，

它的解集为R的条件为a＞0a＜0

Δ＜0 ；ax2＋bx＋c＜0的解集为R的条件为Δ＜0

；ax2bxc0的解集为R的条件为a0a0 ；ax2bxc0的解集为R的条件为0.

02、对于一般恒成立问题：

方法一：转化为函数的最值（或值域）（1）f(x)m对任意x都成立

的大于最大的，小的小于最小的”。

方法二：数形结合，如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图

形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.

方法三：分离参数，把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，

将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题；（1）对于取

值范围内的任一个数都有恒成立，则；（2）对于取值范围内的任一个数都有

恒成立，则

例题1：若ylg(x25xb)的定义域为R,求b范围。

例题2：已知关于x的不等式(a2)x2(a2)x10恒成立，试求a的取值范围.

例题3：已知f(x)x2ax1，求使不等式f(x)0对任意x[1,2]恒成立的a的取值范围。

【巩固训练】

1、解不等式x25ax6a20

2、解关于x的不等式x2(a1)xa0 3、解关于x的不等式：ax22(a1)x40

4、不等式x2xp1p2x 对x(1,)恒成立，求p的范围。

5、已知函数f(x)ax4xx2,x(0,4]时f(x)0恒成立，求实数a的取值范围。

含参不等式专题答案

三、一元二次不等式含参问题

例题1：解：(1)当a4,4即0，解集R；当a4即Δ＝0，解集

xxRa且x2； 当a4即0,此时两根分别为xaa2a4或1612，

xaa21622， 显然xaa216aa2161x2, ∴不等式的解集为xx或x〈22

(2)当a0，解集为R；当a1，解集为；当1a0，解集a1a12a,2a 例题2：解：（1）当a0时，解集为{xx1a或x1}；当a0时，解集为{xx1}；

当0a1时，解集为{x1x1a}；当a1时，解集为；当a1时，解集为

{x1ax1}.

（2）当k0，解集是(,0)；当0k1，解集是(,0)(1kk,)；当k1，

解集是 (,1kk)(0,)；当k0，解集是(1kk,0)。 例题3：解：（1）当a1或0a1时，原不等式的解集为1x|axa；

当a1或a1时，可得其解集为；当1a0或a1时, 解集为x|1axa。 （2）当a1时，{x|2x2a2}；当a1时，；当1四、一元二次不等式恒成立问题

例题1：解：ylg(x25xb)的定义域为R,即x25xb0恒成立 一元二次不等式x25xb0的解集为R.

例题2：解：由题意知：

①当a20，即a2时，不等式化为10，它恒成立，满足条件. ②当a20，即a2时，原题等价于 综上：

例题3：解法1：数形结合

结合函数f(x)的草图可知f(x)0,x[1,2]时恒成立

f(1)2a02a0得5f(2)5a52。所以a的取值范围是(2,)。 解法2：转化为最值研究

① 当a322即a3时,f(x)在[1,2]上的最大值

f(x)f(2)52a0,得a55max2,所以2a3。

②当a232即a3时,f(x)在[1,2]上的最大值f(x)maxf(1)2a0，得a2，所以

a3。

综上：a的取值范围是(52,)。

注：1. 此处是对参数a进行分类讨论，每一类中求得的a的范围均合题意，故对每一类中所求得的a的范围求并集。

2. f(x)m,xI恒成立f(x)maxm(m为常数)；

f(x)m,xI恒成立f(x)minm(m为常数)

解法3：分离参数

x2ax10,x[1,2]ax11x,x[1,2]。设g(x)xx,ag(x)max，

当x[1,2]时g(x)55maxg(2)2，所以a的取值范围是(2,)。

注：1. 运用此法最终仍归结为求函数g(x)的最值，但由于将参数a与变量x分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“x[1,2]”改为“x(1,2)”可类似上述三种方法完成。

【巩固训练】

1、解：因式分解，得:(x3a)(x2a)0，方程(x3a)(x2a)0的两根为3a,2a ①当3a2a 即a0时，解集为：{x︱x3a 或x2a}; ②当3a2a即a0时，解集为：{x︱xR 且x0};

③当3a2a即a0时，解集为：{x︱x2a 或x3a}. 综上，

①a0时，解集为：{x︱x3a 或x2a};②a0时，解集为：{x︱xR 且x0}; ③a0时，解集为：{x︱x2a 或x3a}.

3、解:∵ax22(a1)x40 ∴(ax2)(x2)0 ∴①当a0时，x2；

②a0时，原不等式变为(ax2)(x2)0; ③a0时，2ax2;

④0a≤1时，x2，或x2a; ⑤a1时，x2a或x2. 注意：该分类讨论就分类讨论!

4、解：原不等式可转化为x2(p2)x1p0对x(1,)恒成立。

①当(p2)24(1p)0时，即8p0时，对一切x(0,)，f(x)0恒成立；

②当(p2)24(1p)0时

0f(1)0 ，解得p0； 综上，p的范围为p(8,)。

（你还有其他p221方法吗？）

5、解： f(x)0即ax4xx20，x(0,4]

不等式可转化为4xx24xx2ax对x(0,4]恒成立，令g(x)x，则

ag(x)min

由(x)4xx2g4xx1可知g(x)在(0,4]上为减函数，故g(x)ming(4)0 ∴a0即a的取值范围为(,0)。