高等代数(下)复习提纲.

课程考试大纲

一． 课程考核方法与命题要求：

本课程考核以笔试为主，一般采用闭卷形式，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力计算能力以及综合应用能力。平时成绩占30%，期末成绩占70%。

考试大纲根据教学目标，划分标准为 “识记、领会、简单应用、综合应用”四级，其中识记占20%，领会占30%，简单应用占40%，综合应用占10％，考试的试题应按照这四个层次，按比例命题。其中选择8个小题，填空5个小题，计算3个小题，证明2个小题。

本课程考试题型分为客观题和主观题两部分，其中客观题目有选择题（判断题）、填空题，主观题有解答题（计算题）、证明题等。

（第二学期考核第一至第五章部分；第三学期考核第六至第九章部分）

二．课程内容与考核要求：

第六章 向量空间

1．知识范围：

本章主要介绍了向量空间，子空间，向量的线性相关性，极大无关组，向量空间的基和维数，坐标等概念，并研究了基变换与坐标变换之间的关系，同时还介绍了关于子空间的几种运算，最后介绍了线性空间的同构概念，矩阵的秩和齐次线性方程组的解空间。 2．考核要求：

熟练掌握向量空间，子空间，生成元，子空间的和，子空间的直和，维数，基，坐标，过渡矩阵，基变换公式，坐标变换公式，同构映射，理解向量空间的性质，子空间的判定及性质，直和的判定，基变换与坐标变换理论，同构映射的性质，同构的判定。齐次线性方程组解的结构。 3．考核知识点：

向量空间，子空间，生成子空间维数的确定，向量的线性相关性，极大无关组的求法，求向量的坐标，过渡矩阵，基变换公式，坐标变换公式，同构映射，求齐次线性方程组的基础解系。

第七章 线性变换

1．知识范围：

本章主要介绍了线笥映射，线性变换的概念，运算，及线性变换的矩阵，一个线性变换的特征值与特征向量，化一个矩阵为对角矩阵的方法(若可以对角化)，矩阵的相似，不变子空间等知识。 2．考核要求：

深入理解线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，熟练掌握特征值与特征向量，线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对角矩阵的条件，矩阵的相似，理解不变子空间。 3．考核知识点：

线性变换的定义，运算，线性变换的矩阵，线性变换的像与核，特征值与特征向

量，线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对角矩阵的条件，相似矩阵，不变子空间，特征多项式与特征子空间。

第八章 欧氏空间

1．知识范围：

本章主要介绍了欧氏空间的概念，欧氏空间标准正交基的系列理论，标准正交基与正交变换之间的关系，最后还介绍了对称变换(实对称矩阵)的系列性质。 2．考核要求：

深入理解欧几里得空间的定义与基本性质，知道欧几里得空间的同构，欧几里得空间的子空间，熟练掌握Schmidt正交化法，正交变换与正交矩阵判定和性质，对称变换与对称矩阵判定和性质等。 3．考核知识点：

欧几里得空间，向量的内积计算，求向量的长度，两向量的夹角的计算标准，正交基，Schmidt正交化法，正交变换与正交矩阵，对称变换与对称矩阵，用正交变换化对称矩阵为标准形（即对角化）。

第九章 二次型

1．知识范围：

本章主要介绍了n元二次型的概念和对称矩阵的关系，用初等变换法化一个n元二次型为标准型，介绍了复数域和实数域上的二次型典范形式，正定二次型的概念及判定和主轴问题。 2．考核要求：

熟练掌握二次型的矩阵表示，二次型的标准形，正定二次型，惯性定律等，掌握两种数域（C和R）上二次型的典范形式，会用正交变换化一个二次型为标准形。 3．考核知识点：

可逆线性变换换，n元二次型，二次型的矩阵，标准形，规范形，秩、惯性指标和符号差，正定二次型，主轴问题。

课程考试总结

第六章 向量空间

一、单项选择题

1．设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r < n，则方程组（ ）． A．有r个解向量线性无关． B．基础解系由r个解向量组成

C．必有非零解． D．任意r个线性无关的解向量是它的基础解系． 2．设X1，X2，X3，X4是AX = b 的解，则下列向量（ ）仍是AX = b的解． A．X1X2X3X4 B．X1X2X3X4 C．3X1X22X33X4 D．X14X2X35X4 3．已知1,2,3是AX = 0 的基础解系，则（ ）

A．1,2,3线性相关 B．1,2,3线性无关

C．12,23,31线性相关． D．12,23,31不构成基础解系．

4．1,2,,s是AX = 0的基础解系．则r(A) = ( ).(A为mn矩阵) A．s B．ns C．ms D．mns 5．R3中下列子集（ ）不是R3的子空间．

A．w1{(x1,x2,x3)R3|x21} B．w4{(x1,x2,x3)R3|x1x2x3} C．w3{(x1,x2,x3)R3|x1x2x3} C．w2{(x1,x2,x3)R3|x30} 6．向量组1 ，2 ，…，r线性无关的充要条件是（ ） A．r1 B．r0

C．它有一个部分向量组线性无关 D．它的所有部分向量组线性无关 7．设矩阵A为n阶方阵且| A | = 0，则（ ） A．A中必有两行或两列的元素对应成比例． B．A中至少有一行或一列的元素全为零；

C．A中必有一行或一列向量是其余各行或各列向量的线性组合； D．A中任意一行或一列向量是其余各行或列向量的线性组合．

8．设有向量组(){1 ，2 ，…，r}和(){1,2,,s}，已知()线性无关，且组()中每一个向量都可由组()线性表示，则（ ）成立

A．rs B．rs C．()与()等价 D．以上都不对 9．已知向量组1(0,0,1)，2(0,1,1)，3(1,1,1)，4(1,0,0)，则dimL(1,2,3,4)=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 10．m>n是n维向量组1 ，2 ，…，m线性相关的（ ）条件 A．充分 B．必要 C．充分必要 D．必要而不充分

11．下列向量组（ ）是线性无关的. A．{0} B．{0,,} C．{1,2,,r},其中2m1

D．{1,2,,r}，其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合.

12．已知1(a1,a2),2(b1,b2)与1(c1,c2),2(d1,d2)是向量空间F 的两个

2基，则从基1,2到基1,2的过渡矩阵为（ ）.

a1A．a2a1C．b1b1c1b2c2a2c1b2d111d1c1 B．d2c2c2c1 D．d2d1nd1a1d2a2c2a1d2b111b1 b2a2 b2n13．下列子集（ ）作成向量空间Rn的子空间. A．{(a1,a2,,an)|ai1} B．{(a1,a2,,an)|ai0}

i1i1C．{(a1,a2,,an)|aiZ,i1,2,,n} D．{(a1,a2,,an)|ai1}

i1n二、判断说明题

1．设1，2是AX0的基础解系，则12,12也是它的基础解系． 2．若x1,x2,,xn是AXb的解，则它的任意线性组合也是AXb的解． 3．W{a3x3a2x2a1xa0|aiR且a3a1,a2a0}的维数等于2． 4．F上向量空间V若含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量． 5．设A、B都是n阶矩阵，且A可逆，那么AB与BA相似 6．若向量组1,2,表示

7．零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合 三．填空题

1．取 时，向量组1(1,0,1),2(4,,3)，3(1,3,1)，线性相关.

1212．若向量10,2k,32线性无关,则k满足

251,S线性相关，则其中每一个向量都可以由其它向量线性

3．向量(1,2,1)在基1(1,1,1),2(1,1,1),3(1,1,1)下的坐标是 四．作业：P234—1，2，5，7，8，9；P243—1，2，3P251—1，2，4；P267—5

第七章 线性变换

一、填空题

171．是F22上的线性变换，若(A)，则(3A) ． 0102．：R2R2，(x,y)(2xy,0)；：R2R2，(x,y)(3y,xy)，则()(x,y) ．()(x,y) ．(2)(x,y) ．

1313．设A，则向量是A的属于特征值 的特征向量． 2211k01104．若A100与B101相似，则k= ．

0k10015．设三阶方阵A的特征多项式为f()223，则|A| ． 6．n阶方阵A满足A2A，则A的特征值为 ． 二、判断说明题

1．n阶方阵A至少有一特征值为零的充分必要条件是|A|0．

2．已知APBP1，其中P为n阶可逆矩阵，B为一个对角矩阵．则A的特征向量与P有关．

3．为V上线性变换，1,2,,n为V的基，则(1),(2),,(n)线性无关．

4．线性变换的乘法满足交换律 三、选择题

1．若n阶矩阵A与B相似，则

(1) A与B有相同特征值 (2) A与B有不同特征值 (3) A与B有相同特征向量 (4) A与B有不同特征向量 (5) fA(x)fB(x) (6) AB (7) A、B有相同的可逆性 (8) r(A)r(B) 以上说法中正确的有（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

322．设V是n维向量空间，L(V)的维数为（ ）. A. n B. n2

1C. n(n1) D. 无限维

23．设(x1,x2,x3)R3,下列映射是R3R3的线性变换的是（ ） A．() ，其中是R3中一固定向量 B．()(2x1x2x3,x2x3,x3)

22C．()(x12,x2,x3)

D．()(cosx1,sinx2,0)

四、作业：P270--1，3，5；P275—1，2，4；P284—1，2，4；P2—1；P296—1；P308—2，4，5，6。

第八章 欧氏空间

一、选择题

1．在n（n>0）维欧氏空间V中，下列叙述中正确的是 （ ）

A．V的正交变换都把V中任意一个规范正交基变成规范正交基 B．V中任意正交组都线性无关，反之亦然

C．V中从一个规范正交基到另一个规范正交基的矩阵是对称矩阵 D．V的正交变换和对称变换都是可逆的线性变换

2．在n（n>0）维欧氏空间V中，下列叙述中不正确的是 （ ）

A．保持向量长度不变的线性变换是正交变换

B．保持两个非零向量夹角不变的线性变换是正交变换 C．正交变换的逆变换还是正交变换

D．正交变换关于V中任意一个正交基的矩阵是正交矩阵 3．设V是n维向量空间，L(V)的维数为（ ）

A. n B. n2

1C. n(n1) D. 无限维

24．设1,2,3是欧氏空间V的规范正交基，V且,11，

,20，,33，则（ ）

A. 133 B. 233 C. 1233 D. 123

5．设是n维欧氏空间V的一个线性变换，{1,2,,n}是V的一个基，若

(i),(j)i,j,i,j1,2,,n，则（ ）

A．是正交变换 B．不是正交变换 C．不一定是正交变换 D．以上说法都不对 二、填空题

1．欧氏空间R4中，(2,1,3,2),(1,2,2,1)，则|| ，|| 与的夹角＝

2．为欧氏空间V的线性变换，则为正交变换当且仅当 ；为对称变换当且仅当 ．

3．设1(0,1,1),2(2,1,2),k12，若与2正交，则k ． 4．A,B为n阶正交矩阵，且|A|0,|B|0，则|AB| ． 5．,,是三维欧氏空间R3的向量，则式子,，

，,||||,<中表示向量的是 ．

三、判断说明题

1．欧氏空间V中保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换必为正交变换． 2．正交向量组必线性无关．

3．实数与对称变换之积必是对称变换．

4．欧氏空间R2中，(x,y)(2xy,x2y)为对称为变换．

四、作业：P318—2，3，6；P332—1，5，10；P341—1，2，3；P350—6。

第九章 二次型

一、填空题

10x11．二次型q(x1,x2)(x1,x2)x的矩阵为 ．

2322．实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为 类．

3．两个n元实二次型等价的充分必要条件是 ． 4．A正定 ．

 ．  ．

2225．某四元二次型有标准形2y123y2，则其典范形为 ． y34y4二、判断说明题

1．n元实二次型q(x1,x2,,xn)的符号差与秩有相同的奇偶性．

2．n阶实对称矩阵A若满足|A|0，则A正定． 3．A为n阶复对称矩阵，则A与A合同．

A04．设A，B分别是m,n阶正定矩阵，则0B也是正定矩阵．

三、作业：P365—2，3；P374—5，6；P379—1，2；P382—1。