云南省个旧一中2017-2018学年下学期月考高二年级4月
理科数学月考试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知N是自然数集，设集合 ， 1，2，3， ，则
A. {0，2}
【答案】B
B. {0，1，2} C. {2，3} D. {0，2，4}
【解析】解：因为 N，所以x=0，1，2，5， 故选：B．
本题考查了自然数的概念、交集及其运算．
2. 下面给出的是某校高三 班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据
图中所提供的信息，则下列结论正确的是
A. 成绩是50分或100分的人数是0
C. 成绩为60分的频率为
【答案】D
【解析】解：由折线图得：
数学成绩的频率分布直方图的组距为10，
B. 成绩为75分的人数为20
D. 成绩落在 分的人数为29
在A中，成绩是50分的人数，和分数为100分的人数不一定是0，故A错误； 在B中，成绩落在 分的人数为 ，但成绩为75的人数不一定为20，故B错误；
在C中，成绩落在 分的频率为 ，但成绩为60分的频率不一定为 ，故C错误；
在D中，成绩落在 分的人数为 ，故成绩落在 分的人数为29，故D正确； 故选：D．
由折线图得：数学成绩的频率分布直方图的组距为10，进而分析各个结论的真假，可得答案．
本题考查命题真假的判断，考查图形的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理
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能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．
3. 如果命题“ ”是假命题，“￢ ”也是假命题，则
A. 命题“￢ ”是假命题 C. 命题“￢ ”是真命题
【答案】A
B. 命题“ ”是假命题
D. 命题“￢ ￢ ”是真命题
【解析】解：命题“ ”是假命题，“￢ ”也是假命题，可得p为真，q为假， ，￢ ，￢ ￢ 均为假命题． 正确的是“￢ ”是假命题． 故选：A．
根据已知条件判断p，q的真假，再逐一判断选项得答案． 本题考查了复合命题的真假判断，是基础题．
4. 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，
则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是
A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】解：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可， 则根据几何概型的概率公式可得， A.概率 ，
B.概率 ， C概率 ，
D.概率 ，则概率最大的为 ， 故选：A．
根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则对应的面积最大即可． 本题主要考查几何概型的概率计算，比较基础．
表示出来的是 5. 在下列向量中，可以把向量
A. ， C. ， 【答案】B
【解析】解：根据平面向量的基本定理可知，作为平面向量基底的一组向量必须为非零不共线向量，
而A中的 为零向量，不符合条件；
B. ，
D. ，
云南省个旧一中2017-2018学年下学期月考高二年级4月理科数学月考试题（解析版） C，D中的两组向量均为共线向量，不符合条件； 故选：B．
根据平面向量基底的特点作出判断．
本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．
6. 表示的曲线一定不是
A. 抛物线
【答案】A
B. 双曲线 C. 椭圆 D. 直线
【解析】解：当 ， 时表示直线， 时表示椭圆， 时表示双曲线， 故选：A．
通过m，n的特殊值的取值，判断曲线的轨迹，推出结论． 本题考查圆锥曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
7. 已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是 现采用随机模拟的方法计该运动
员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果 经随机模拟产生了如下20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为
A.
【答案】D
B. C. D.
【解析】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有： 5727 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281． 共15组随机数， 所求概率为 ． 故选：D．
由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．
本题考查模拟方法估计概率、随机数的含义与应用，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．
8. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为
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A. 0
【答案】C
B. 1 C. 2
D. 3
不成立，
【解析】解：第一次 ，能被3整除，
第二次 ，8不能被3整除， ， 不成立， 第三次 ，不能被3整除， ， 成立， 输出 ， 故选：C．
根据程序框图，进行模拟计算即可．
本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．
b都是实数，p：q： ，9. 已知a，直线 与圆 相切；
则p是q的
A. 充分不必要条件
C. 充要条件
【答案】B
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】解：若直线 与圆 相切， 则圆心 到直线的距离
，
即 ，则 或 ， 即p是q的必要不充分条件， 故选：B．
根据直线和圆相切的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．
云南省个旧一中2017-2018学年下学期月考高二年级4月理科数学月考试题（解析版） 10. 若焦点在y轴上的椭圆
为
的离心率 则实数m的取值范围
A.
【答案】D
B.
C.
D.
【解析】解：焦点在y轴上的椭圆可得：
的离心率 ．
，解得 ．
故选：D．
通过椭圆的离心率列出不等式，转化求解即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
11. 已知 ，椭圆 的方程为
，双曲线 的方程为
， 与
的离心率之积为 ，则 的渐近线方程为
A.
【答案】A
B. C. D.
【解析】解： ，椭圆 的方程为双曲线 的方程为
， 的离心率为：
，
，
， 的离心率为：
与 的离心率之积为 ，
，
， ，
的渐近线方程为： ，即 ．
故选：A．
求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程． 本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．
在 上为增函数，12. 设奇函数 定义在 上，且 ，
则不等式
的解集为
A.
C.
【答案】D
B. D.
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【解析】解： 奇函数 定义在 上，在 上为增函数，且 ，
函数 的关于原点对称，且在 上也是增函数，过点 ，所以可将函数 的图象画出，大致如下
， 不等式
可化为
，即 ，不等式的解集即为自变量与函数值异号的x的范围，
据图象可知 ． 故选：D．
根据已给的函数性质，结合奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象，注意过点 和 ，且在 和 上有相同的单调性，再将要解的不等式据函数性质化简为 ，据图可得不等式的解集．
此题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，解题抓住两点： 抽象函数直观化，即借助于图象表现其性质，借助于图象求解； 函数的奇偶性与单调性的关系，奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数的单调性则相反．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知 是定义在R上的减函数，若 ，则实数m的取值
范围是______． 【答案】
【解析】解：根据题意， 是定义在R上的减函数， 若 ，则有 ， 解得 ，
即m的取值范围是 ； 故答案为：
根据题意，由函数单调性的性质可得若 ，则有 ，
云南省个旧一中2017-2018学年下学期月考高二年级4月理科数学月考试题（解析版） 解可得m的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的单调性的性质以及应用，关键是理解函数单调性的定义．
的最大值是______． 14. 若实数x，y满足 则
【答案】1
【解析】解：由实数x，y满足 得
如图所示的三角形区域，
三个顶点坐标为 ， ， 将三个代入得 的值分别为2， ，0， 直线 过点 时， z取得最大值为 ； 故答案为：1．
先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数 的最大值．
在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为： 由约束条件画出可行域 求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证，求出最优解．
15. 已知函数 的最小正周期为 ，则当 时函数
的一个零点是______． 【答案】
【解析】解： ， 且 的最小正周期为 ，得 ， ，
由 ，得 ， 即 ， ，
， ．
，
．
当 时函数 的一个零点是 ． 故答案为： ．
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利用辅助角公式化积，再由已知求得 ，进一步求出函数的零点得答案．
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查 型函数的图象和性质，是基础题．
16. 中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鐅臑
若三棱锥 为鐅臑， ， ， ， ，且 平面ABC，则该鐅臑的外接球的表面积为______． 【答案】
，【解析】解：所以，直角三角形ABC的外接圆直径为 ， 由于 平面ABC，则该鐅臑的外接球的直径为 ， 因此，该鐅臑的外接球的表面积为 ． 故答案为： ．
先计算出直角三角形ABC的外接圆直径AC，然后利用公式 得出该鐅臑的外接球的半径R，最后利用球体的表面积公式可得出答案．
本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于找准合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知 ．
将 的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象．
若 ，对 ， ， 恒成立，求x的取值范围． 【答案】解： 由 ．
得 ，
函数 的图象如图所示．
因为a， ，且 ， 所以
，
当且仅当
，即 ， 时等号成立．
因为 恒成立，
所以 ，结合图象知 ， 所以x的取值范围是 ．
【解析】 讨论x的范围： ， ， ，去绝对值，可得 的分段函数的解析式，由分段函数图象画法可得其图象；
运用乘1法和基本不等式，可得 的最小值，由题意可得 ，
云南省个旧一中2017-2018学年下学期月考高二年级4月理科数学月考试题（解析版） 结合图象即可得到所求x的范围．
本题考查分段函数的解析式的求法和图象的画法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用基本不等式，考查不等式的解法，注意运用数形结合思想方法，考查运算能力，属于中档题．
18. 如图，a，b，c分别是锐角 的三个内角A，B，C
的对边， ， ． 求 的值；
若点D在边BC上且 ， 的面积为14，求AD的长度．
【答案】解： 由题知 ， 则 ， ，因B为锐角， 所以 分 ， 由 得 ， 所以
分
由正弦定理
又 ， 分 解得 分
所以 ，由余弦定理， ， 解得 分
【解析】 利用两角和与差的三角函数转化求出B的大小，利用两角和的正弦函数求解C的正弦函数值即可．
利用正弦定理求出BD，然后利用余弦定理求解AD即可． 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．
19. 在等差数列 中，已知公差 ， ，且 ， ， 成等比数列．
Ⅰ 求数列 的通项公式 ； Ⅱ 求
【答案】解： Ⅰ 等差数列 的公差 ， ， ， ， 成等比数列，可得 ， 即为 ，
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解得 舍去 ，
可得数列 的通项公式 ；
Ⅱ ．
【解析】 Ⅰ 运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得公差，即可得到所求通项公式；
Ⅱ 去绝对值分组，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．
20. 如图，在三棱锥 中， ， ，
， ，平面 平面ABC，M为AB的中点．
Ⅰ 求证： 平面ADC；
Ⅱ 求直线AD与平面DMC所成角的正弦值．
Ⅰ 证明： 且 ， 【答案】 ，
又 ，满足 ， 分 平面 平面ADC， 平面ABC，平面 平面 ，
平面 分
Ⅱ 解：取AC中点N，连MN，DN．
在 中， 且 ，又平面 平面ADC， 平面ABC， 在 中， 且 由 Ⅰ 知 平面ADC，则 平面ADC，
又 平面ADC， ，即 ， 分 在 中， ， 分
设点A到平面DMC的距离为h，则由 得 解得
，
设AD与平面DMC所成角为 ，则 ，
直线AD与平面DMC所成角正弦值为 分
【解析】 Ⅰ 证明 ，利用平面 平面ADC，即可证明： 平面ADC； Ⅱ 取AC中点N，连MN， 由 得点A到平面DMC的距离，即可求直线AD与平面DMC所成角的正弦值．
云南省个旧一中2017-2018学年下学期月考高二年级4月理科数学月考试题（解析版） 本题考查线面垂直的判定，考查面面垂直的性质，考查线面角，考查体积的计算，属于中档题．
21. 如图所示，斜率为1的直线过抛物线 的焦点F，
与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点． 若 ，求抛物线的方程； 求 的最大值．
【答案】解 由条件知 ： ， 与 联立，消去y，得 ， 则 由抛物线定义得 ． 又因为 ，即 ， 则抛物线的方程为 ；
由 知 ，且 ： ，
设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为 ，代入抛物线方程，得 ．
由 ，得 ．
与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为 ， 两直线间的距离为 ，
故 的最大值为
【解析】 根据题意，分析易得直线AB的方程，将其与 联立，得 ，由根与系数的关系可得 ，结合抛物线的定义可得
，解可得p的值，即可得抛物线的方程；
设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为 ，代入抛物线方程，得 ，进而可得与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案． 本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质．
22. 已知椭圆C：
的离心率为 ， ， 是椭圆的两个焦点，P
是椭圆上任意一点，且 的周长是 ． Ⅰ 求椭圆C的方程；
， Ⅱ 设圆T：过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，求直线EF的斜率．
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【答案】解： Ⅰ 由题意，
，可知 ， ，
的周长是 ， ， ， ， 所求椭圆方程为
分
Ⅱ 椭圆的上顶点为 ，由题知过点M与圆T相切的直线有斜率， 则设其方程为l： ，由直线 与圆T相切可知 ， 即 ， ， ， 分
得 ， 由
．
同理 分
故直线EF的斜率为 分
c的关系， 由椭圆离心率得到a，【解析】再由 的周长，得a，c的另一关系，联立求得a，c的值，代入隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
Ⅱ 椭圆的上顶点为 ，设过点M与圆T相切的直线方程为 ，由直线 与圆T相切可知
，即 ，由根与系数关系得到
， ，再联立一切线方程和椭圆方程，求得E的坐标，同理求得F
坐标，利用斜率公式得到 ．
本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，直线与圆相切的条件，是中档题．
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