巧解抽象函数问题

巧解抽象函数问题

抽象函数就是没有给出函数表达式的函数，由于没有给出表达式，往往感到难以解决。若抓住函数的本质特征，认真分析、处理好好各种关系，运用有关性质等去解决问题，能收到较好效果。下面介绍几种常见的方法。 1． 数形结合法

通过数形结合，将数量关系转化为图象关系，削弱运算关系，增强几何分析，达到化抽象为直观的目的。在选择题或填空题中常常可用到。 例1已知函数f（x）=ax+bx+cx+d的图象，则 A . b∈（-∞,0） B . b∈（0,1） C . b∈（1,2） D. b∈（2,+ ∞）

设f（x）=ax（x-1）（x-2）=a x－3a x+2ax ∴b=—3a 由图象可知：a＞0 , ∴b=—3a＜0 . 选A

例2设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0 时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ＞0且g(—3)=0 ，则不等式f(x)g(x) ＜0 的解集是＿＿＿ 分析：①当x＜0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ＞0 即x＜0时y=f(x)g(x)是增函数；

②g(—3)=0 ，即y=f(x)g(x)与x轴交点为—3； ③ y=f(x)g(x)是奇函数。

作满足上述条件的简图，易得（-∞，-3）∪〔0，3） 2． 特殊化法

通过特殊化法，将抽象函数转化为满足条件的有表达式的函数，达到化难为易，化抽象为具体的目的。在取特殊函数时往往取我们熟悉的函数，如：一次函数、二次函数等。

例3设函数y=f(x)的定义域是R，且y=f(x－1)与 y=f(1－x)那么f(x)的图象有对称轴（ ） A . 直线x=0 B. 直线x=1

C. 直线y=0 D . 直线y=1

分析：取f(x）=x,满足f(x－1) =f(1－x)，f(x）=x的对称轴x=0，选A。

例4设函数y=f(x)的定义域是R，则函数y=f(x－1)与 y=f(1－x)的图象关于＿＿＿ 对称

A . 直线x=1 B. 直线x=0 C . 直线y=1 D . 直线y=0

分析：取f(x）=x,则函数y=f(x－1)= (x－1)，y=f(1－x)= (1－x)=(x－1) y=f(x－1)与 y=f(1－x)的图象重合且有对称轴为直线x=1，故选A。

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象与x轴有三个交点

例5已知f（x）是R上的减函数，f(x)且的图象过点A(0,3)和B(3,－1)，则不等

式＜2解集是( )。

A .(-∞,3) B.(-∞,2) C.(0,3) D.(-1,2)

分析：（1）因为y=f(x)是R上的减函数， 令y=－ +3作图象；

（2）y=f(x+1)的图象是y=f(x)的图象向左平移1个 单位得到,即将y=x的图象向左平移1个单位可得； (3）＜2 -1＜f(x＋1)＜3；

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（4）由图象观察可知：-1＜x＜2.选D。

3. 类比法

利用题目的已知条件，抓住函数的本质特征，通过与定义、定理、公式等的类比，找到解题的思路和解决问题的方法。

例6 设函数f(x)定义在R上，对任意实数m、n，恒有f(m+n)=f(m)f(n)且当x＞0时,

0＜f(x)＜1;①求证：f(0)=1且当x＜0时f(x)＞1;②求证：f(x)在R上单调递增;③设集合A=｛(x,y)︱f(x)f(y)＞f(1)｝，B=｛(x,y)︱f(ax－y+2)=1,a∈R｝,若A∩B=Æ，求a的取值范围。

分析：抽象函数的解答题，要紧扣已知条件，寻找它们的特征，类比学过定义、定理、公式等，从中找到解决问题的突破口。

（1） 利用等量关系f(m+n)=f(m)f(n)，注意取值计算，是解决这类问题的常见方法。 （2） 如何将要证明的x＜0的取值范围转化为已知的x＞0的取值范围？ （3） 证明单调性的方法？

（4） 如何将函数符号脱去转化为一般关系的等式或不等式？

解：（1）令m=0,n=1，则由f(m)+f(n)=f(m)f(n)得f(0)=1. 取m=x＜0,n=－x＞0,得f(x)=＞1.

(2)设x1＜x2,则x2－x1＞0,故0＜f(x2－x1) ＜1 ∴f(x2)－f(x1)=f〔(x2－x1)+x1〕－f(x1) =f(x2－x1)f(x1) －f(x1) =f(x1)〔f(x2－x1)－1〕＜0 ∴f(x)在R上是减函数。

（3）f(x)f(y)＞f(1)得f(x+y) ＞f(1)，由(2)知这等价于x+y＜1， 而f(ax－y+2)=f(0),由f(x)是减函数，∴ax－y+2=0,∵A∩B=Æ,

故直线ax－y+2=0与圆x＋y=1相离或相切，由圆心（0，0）到直线ax－y+2=0的距离d≥1,可得－≤a≤ . 练习：

1． 设是定义在(－∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且在(0,+∞)上为增函数。

当x＞0时，f(x)的图象如图，则不等式x〔f(x)－f(－x)〕＜0的解集是( A ) A.(－3,0)∪(0,3) B. (－∞,－3)∪(0,3) C.(－∞,－3)∪(0,+∞) D.(－3,0)∪(3,+∞)

2.已知f(x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（ D ） A.x=－1 B.x=1 C.x=－ D.x=

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