常见的数列通项求解方法

常见的数列通项求解方法

一、观察法（适合选择、填空题）

通过对数列的前几项的观察，找出数列的项与项数之间的对应关系，从而写出数列的通项公式（需适当检验）。

例1.写出下列各数列的一个通项公式： （1）3, 5, 7, 9，… （3），1，二、构造法

已知首项a1，递推关系为：an1qanb（nN*且q1），可构造为：an1aq(ana)，（其中a1an1（nN*），求an。 2解：由构造法可知：a12，

1121∴an1an1可化为

223 ，

（2），，，（4）2,

1234781531，，… 1632

102617，，711937，… 1322, 222, 2222，…

b）。 q1例2.已知a1，an112a211an12(an2)，即n1，

2an22∴数列an2是以a12为首项，以为公比的等比数列。

1∴an2(a12)21∴an(a12)2n1n112，

n1512222512(nN*)。 n2练习：已知a11，an12an3（n1），求an。 三、累加法

已知a1且anan1f(n),(n2)，

anan1f(n)an1an2f(n1)把n1个式子左右相加， a2a1f(2)得：(anan1)(an1an2)(a2a1)f(2)f(3)f(n) ∴ana1f(2)f(3)f(n) 然后检验当n1时是否满足：

若满足，则ana1f(2)f(3)f(n)(n1)；若不满足，则an例3.已知a11，anan13n1（n2），求an。 解：由已知得：

a1,n2。

a1f(2)f(3)f(n),n2

anan13n1

an1an23n2



a12a13

∴a1na131323n12(321) 当n1，a11满足条件，

∴a3n1n2

练习：已知a12，an1ann1，求an。 四、累乘法

已知aan1且

f(n),(n2)， 解：由已知得：

an1aann1naf(n)n1a n1nan1af(n1)an1n2n2把n1个式子左右相乘，

a n2n1a

2af(2)a121a 12得：

anaan1a2f(2)f(3)f(n) n1an2a1∴a12nna1232n1n1n ∴ana1f(2)f(3)f(n) ∴a1nn

然后检验当n1时是否满足：

当n1，a11满足条件， 若满足，则ana1f(2)f(3)f(n)(n1)；

∴a1nn

若不满足，则aa1,n2练习：已知an12，an1an2n，求a2)f(3)f(n),n2。

1f(例4．已知a11，an1nnan1（n2），求an。 五、利用an和Sn的关系：

aS1,n1nSS nn1,n2例5.已知Sn2n23n，求an。 解：当n1时，a1S11，

当n2时，a2nSnSn12n3n[2(n1)23(n1)]4n5 检验：又n1时，a14151满足条件， 综上所述：an4n5。 练习：已知Sn3n2，求an。

an。