第四十一讲 类比与联想

第四十一讲 类比与联想

类比就是根据两种事物一部分类似的性质，推测这两种事物其他类似性质的推理方法．例如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等．

联想是由某种事物而想到其他相关事物的思维活动．当我们遇到一个数学问题时，常常想起与它类似的问题、类似的解法，从而有利于新问题的解决．

利用类比与联想，常常可以发现新命题和扩展解题思路． 1．类比与发现

例1 已知：△ABC中，∠C= 90°，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且ED⊥BD．求△DEA的面积(图2-113)．

解 引CF⊥BA于F，由于BC= AC，所以CF是底边AB上的中线．因为H为△ABC的重心，所以

因为∠C=∠BDE=90°，所以

∠ADE=∠CBH．

又由∠A=∠BCH=45°，可知△ADE∽△CBH．所以

类比 如果保留例1中等腰三角形诸条件，去掉直角这一特殊性，那么是否会产生类似的命题呢？由此想到例2．

例2 如图2-114．已知△ABC中，∠C=4∠B=4∠A，BD是AC边上的中线，E点在AB上，且∠AED=∠C，S△ABC=1，求S△AED．

解 类似例1的解法，引CF⊥AB于F，交BD于H，显然△ADE不相似于△CBH．但由已知条件

∠C=4∠B=4∠A，

则

∠A=∠B=30°，∠C=120°．

由于CF平分∠C，所以

∠ACF＝60°．

又因为∠AED=∠ACB，∠A=∠A，所以

△ADE∽△ABC，

所以

由于△AFC中∠AFC=90°，∠A=30°，所以若设CF=x，则

类比 如果保留例1中的直角等条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到例3．

例3 已知△ABC中∠C= 90°，AC=2BC=2，BD是AC边上的中线，CF⊥AB于F，交BD于H(图2-115)．求S△CBH．

解 本题直接求S△CBH有些困难，联想例1、例2中的△ADE，不妨引辅助线DE⊥BD交AB于E．

由于AC=2BC=2，D是AC的中点，且∠C=∠BDE=90°，所以

∠CBH=∠ADE=45°．

因为CF⊥AB于F，所以∠BCH=∠A．由于BC=AD=1，所以

△CBH≌△ADE，

所以 S△CBH=S△ADE.

因此只要求出S△ADE即可，为此，设DE=x，则

(2)例3由例1类比而来，最自然的想法是求S△ADE，为增加难度与变换方式获得新命题，故例3反求S△CBH．

我们知道一个三角形的三边如果是a，b，c，那么就有

│b-c│＜a＜b＋c，①

即三角形任意一边小于其余两边之和，大于其余两边之差． 我们对①类比：是否有

存在呢？如果②存在，那么就发现了如下命题(例4)．

2．联想与解题

例5 a，b为两个不相等且都不为零的数，同时有

a2＋pa＋q=0，b2+pb＋q=0，

分析与解 由已知条件，联想到方程根的定义，a，b是方程x2＋px+q=0的两个根，由a，b不为零，有

例6 如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：

x+z=2y．

分析与解 (1)展开原式有

z2-2xz+x2-4(xy-y2-xz+yz)=0，

合并、配方得

(x+z)2-4y(x+z)＋4y2=0，

即 (x+z-2y)2=0， 所以 x+z＝2y． (2)如果看已知条件：

(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，

很像二次方程根的判别式b2-4ac的形式，因此，可联想到方程

(x-y)t2＋(z-x)t＋(y-z)＝0(x-y≠0)有二相等实根．由

(x-y)+(z-x)+(y-z)=0

可知1是以上方程的根，再由根与系数关系知

所以 x+z=2y．

当x=y=0，即x=y时，有x=y=z，所以

x+z=2y．

例7 化简

分析与解 这是一个根式的化简问题，分子、分母大同小异，自然联想到应用因式分解，使分子、分母具有公因式，化简就很容易了．

例8 图2-116是我国古代数学家赵爽证明勾股定理的“弦图”，其中“弦实”是弦平方的面积，“弦图”以弦为边作正方形(如正方形ABCD)，然后在“弦图”内部作四个直角三角形(如△AHB，△BEC，△CDF，△DAG)．设a，b，c为四个直角三角形的勾、股、弦，则根据“出入相补原理”就有

即 c2=2ab+b2-2ab+a2, 即 c2=a2+b2.

这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证

法．后人沿用“出入相补原理”，也就是割补原理解决了许多数学问题，也创造了“勾股定理”的许多新证法．事实上每位初中同学，学了勾股定理，只要用心思考，一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法．下面的几例，便是同学们提出的割补图．

设a，b，c分别为直角三角形的勾、股、弦． (1)在图 2-117中，有

a2+b2＝(S3+S5)+(S1+S2+S4) ＝(S4+S5)+(S1+S2+S3)

＝2S2+S1+S3=c2．

(2)在图 2-118中，有

a2+b2＝(S3+S4)＋(S1+S2)

=S1＋S3＋S4＋S＇2＋S5=c2

(3)在图2-119中，有

a2＋b2＝(S2＋S5)+(S1＋S3＋S4) =S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝c2．

(4)在图2-120中，有

a2＋b2=(S＇2＋S5)＋(S1＋S3＋S4)

=(S＇2+S4)+(S1+S3+S5)

＝S1+S2+S3+S5=c2．

练习二十

1．在直角△ABC中，∠C=90°．

(1)如果以此直角三角形三边为边，分别作三个正三角形(如图2-121)，那么面积S1，S2，S3之间有什么关系？

(2)如果以此直角三角形三边为直径，分别作三个半圆，那么面积S1，S2，S3之间有什么关系(如图2-122)？

(提示：联想同分数，分母大的反而小，变比较分数的大小为比较倒数的大小．)

(提示：如联想到已知公比之比值k，则可化难为易．) 4．参照图2-120，写出勾股定理的逻辑证明．

5．已知：△ABC中，∠C=2∠A=2∠B，BD是∠B的分角线，E点在AB上，且∠ADE=∠DBC，S△ABC=1，求S△ADE．