习题一 (P7)
解：x1(t),x3(t),x4(t),x5(t)是连续时间信号 x2(t),x6(t)是离散时间信号。
2． 判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。 (1) x(t)=2cos(3t+π/4) (2) x(n)=cos(8πn/7+2)
(5) x(n)=
(7) x(n)=cos(n/4)×cos(nπ/4)
w (8) x(n)=2cos(nπ/4)+sin(nπ/8)−2sin(nπ/2+π/6)
分析：
（1） 离散时间复指数信号的周期性：
.kh∞m=0
(3) x(t)=e
j(πt−1)
(4) x(n)=e
∑[δ(n−3m)−δ(n−1−3m)] (6) x(t)=cos2πt×u(t)
wΩN必须为2π的整数倍，即必须有一个整数m,满足
ΩN=2πm
w所以
（2） 连续时间信号的周期性：（略）
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khΩm
= 2πNΩjΩn
因此，若为一有理数，e为周期性的，否则，不为周期性的。
2π2πΩ2πjΩn
所以，周期信号e基波频率为：= ，基波周期为：N=m。
NmΩ
daw.com为了使e
jΩn
为周期性的，周期N>0，就必须有e
daw.com
题图 1－1
khdaw课.com后1． 指出题图1－1所示各信号是连续时间信号？还是离散时间信号。
答案网j(n/8−π)
jΩ(n+N)
=ejΩn，因此有ejΩn=1。
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答案：
（1） 是周期信号，T=
（8） 是周期信号，T=16
kh
3．试判断下列信号是能量信号还是功率信号。
−t
（1）x1(t)=Ae t≥0 （2）x2(t)=Acos(ω0t+θ)
解：
（1）x1(t)=Ae
−t
t≥0
2
T→∞0
1
P=lim
T→∞2T
∴x1(t)为能量信号
w（2）x2(t)=Acos(ω0t+θ)
ww=Alim∫
T→∞
2
cos(2ω0t+2θ)+1
dt
−T2
T
T
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khda⎡1⎤A2
lim⎢sin(2ω0t+2θ)+t⎥ =
2T→∞⎣2ω0⎦−T
w.cw=lim∫A2cos(ω0+θ)dt
T→∞−T
T
omA2
w=∞ P=
2
.kh∫
T
2−2t0
2
A2A2⎛1⎞A−2T
lim(e−1)=−lim⎜=−1⎟=
2T→∞⎝e2T−2T→∞2⎠
A21⎞⎛1
Aedt=−lim⎜−⎟=0 2TT→∞22T⎠⎝2Te
课后w=lim∫
T
⎡1⎤Aedt=limA⎢e−2t⎥
T→∞
⎣−2⎦0
2−2t
答案T
网（3）x3(t)=sin2t+sin2πt
daw.com （4）x4(t)=esin2t
−t
daw（4） （5） （6） （7） 不是周期信号 不是周期信号 不是周期信号 不是周期信号
.com2π 37m
（2） 是周期信号，T==7
4
（3） 是周期信号，T=2
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⎡1⎤A21
=lim⎢sin(2ω0T+2θ)−sin(−2ω0T+2θ)+2T⎥
2T→∞⎣2ω02ω0⎦
=∞ P=lim
1T→∞2T
khsin(2ω0T+2θ)−sin(−2ω0T+2θ)A2
=+lim
2T→∞4ω0T
（3）x3(t)=sin2t+sin2πt w=lim =lim
T→∞−T
α=2t⎡1−cos4tcos(α+β)−cos(α−β)1−cos4πt⎤
dt =lim∫⎢++⎥T→∞−T2tβπ=222⎣⎦
T
T⎡cos4tcos(α+β)−cos(α−β)cos4πt⎤dt =lim∫⎢1−+−⎥T→∞−T222⎦⎣
w.kh=lim[2T−
T→∞
课∫
T
T→∞−T
∫
T
(sin2t+sin2πt)2dt
(sin22t+2sin2tsin2πt+sin22πt)dt
后答案∴x2(t)为功率信号
网A2
=
2
wsin4Tsin(−4T)sin(2+2π)Tsin(2+2π)T
+++
884+4π4+4πw−
T→∞
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kh=∞
da=lim[2T−
sin4Tsin(2+2π)Tsin(2−2π)Tsin4πT⎤
+−−
42+2π2−2π4⎥⎦
w.csin(2−2π)Tsin(2−2π)Tsin4πTsin4πT⎤
−−−⎥4−4π4−4π88⎦
om⎡sin4tsin(2+2π)tsin(2−2π)tsin4πt⎤ =lim⎢t−+−−⎥T→∞8(2+2π)2(2−2π)28π⎦−T⎣
daw.comT
daw1⎡1⎤
ωTθωTθsin(22)sin(22)+−−+00⎢2ω⎥2ω0A20
=+1⎥ lim⎢
T→∞22T⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
.com∫
T−T
2x2(t)dt
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1P=lim
T→∞2T=lim[1−
T→∞
∫
T
−T
2x3(t)dt
=1
（4）x4(t)=esin2t
T
−t
w=lim∫e−tsin22tdt
t→∞
−TT
T→∞−T
T
=lim∫e−t
1−2cos4t
dt 2
课T⎛e−2Te2T⎞−2t
limcos4tdt =lim⎜+−e⎟∫T−T→∞T→∞4⎠⎝−4
后答案T⎡e−2t⎤−2te=lim⎢−limcos4tdt ⎥T→∞−4T→∞∫−T
⎣⎦−T
T
网Te−2t
dt−lim∫e−2tcos4tdt =lim∫T→∞−T2t→∞−T
.kh∵∫e
−T
T
−2t
1⎡1⎤
cos4tdt=⎢−e−2tcos4t+e−2tsin4t⎥
5⎣2⎦−T
⎛e−2Te2T⎞1⎡1−2t⎤−2t
limecos4tsin4∴w=lim⎜+−−+ et⎟T→∞⎢⎥T→∞−4452⎣⎦−T⎝⎠
⎛e−2Te2T⎞112T⎡1−2T⎤−2T2T
T=lim⎜+−−+++limecos4Tesin4Tecos4Tesin4⎟⎥T→∞4⎠5T→∞⎢2⎣2⎦⎝−4⎛e−2Te2T1−2T⎞111
=lim⎜++ecos4T−e−2Tsin4T−e2Tcos4T−e2Tsin4T⎟ T→∞4105105⎝−4⎠
www=0+∞
∴x4(t)既非功率信号，也非能量信号。
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kh=0+∞
dae−2TP=lim
T→∞2T
e2T⎡1cos4Tsin4T⎤
−+−+lim⎢⎥4105⎣⎦T→∞2T
⎡1cos4Tsin4T⎤
−− ⎢⎥4105⎣⎦
w.c⎡1cos4Tsin4T⎤2T
lime=lime−2T⎢−+−+
T→∞105⎥⎣4⎦T→∞⎡1cos4Tsin4T⎤
−−⎢⎥105⎦⎣4
omdaw.comT
T
∴x3(t)为功率信号
khdaw.comsin4Tsin(2+2π)Tsin(2−2π)Tsin4πT⎤
+−−⎥8T(2+2π)2T(2−2π)2T8T⎦
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4. 对下列每一个信号求能量E和功率P：
.com(1)x1(t)=e
−2t
u(t) (2)x2(t)=ej(2t+π/4) (3)x3(t)=cost
n
j(π/2n+π/8)
(4)x1[n]=()u[n] (5)x2[n]=e解：
12
(6)x3[n]=cos(
π4
n)
khdaw (1) P∞=0,E∞=1/4 (2) P∞=1,E∞=∞ (3) P∞=1/2,E∞=∞
(4) P∞=0,E∞=4/3 (5) P∞=1,E∞=∞ (6) P∞=1/2,E∞=∞
w.khw若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com
wkhdaw.comdaw.com答案网课后课后答案网 www.khdaw.com
习 题
1． 应用冲激信号的抽样特性，求下列各表达式的函数值。
−∞∞
−
0∞
(et+t)δ(t+2)dt=0 (注意积分的上，下限) f(t−t0)δ(t−t0)dt=f(t−t0)t=t=f(0)
0
−∞
daw∞
ππ1
(sin)δ()sint+tt−dt=t+t+ π=∫−∞t=
6626
∞ttt
=u(0)=u(t0) （5）∫−δ(t−t0)u(t−0)dt=u(t−0)022t=t02
（4）
∞
（6）
∫
−∞
e−jωt(δ(t)−δ(t−t0))dt=∫e−jωtδ(t)dt−∫e−jωtδ(t−t0)dt=1−e−jϖt0
−∞
−∞
（2）f2(t)=sinωtu(t−t0)
（4）f4(t)=sinω(t−t0)u(t)
.kh课后答案（3）f3(t)=sinω(t−t0)u(t−t0)
网2． 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别。
（1）f1(t)=sinωtu(t)
3． 连续时间信号x1(t)和x2(t)如图示，试画出下列信号的波形。
w（1）2x1(t) （2）0.5x1(t) （3）x1(t−2) （4）x1(2t)
（5）x1(2t+1)和x1(2t−1) （6）x1(−t−1) （7）x2(2−t/3)
w′(t)和x2′(t)的波形并写出相应的表达式。 （10）分别画出x1
wkhda
题3图
1
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w.com（8）−x2(−2t+1/2) （9）x1(t)⋅x2(t)
daw.com2∞
∞
kh.com∫（2）∫（3）∫
（1）
∞
f(t−t0)δ(t)dt=f(t−t0)t=0=f(−t0)
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解：(1)-----(8)
.kh-3w
（7）x2(t)→x2(t+2)→x2(−t+2)→x2(2−)
w 2
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khdaw.c⎧t+1,−1≤t<0⎧t+1,−1≤t<0⎪1,0≤t<1⎪1,0≤t<1⎪⎪⎪⎪
（9）x1(t)=⎨−t+2,1≤t<3， x2(t)=⎨2,1≤t<2
⎪t−4,3≤t≤4⎪t−3,2≤t≤3⎪⎪⎪⎪⎩0,其它⎩0,其它
womdaw.com
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课21tx2(2−)3后0369t
-1t3
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.com⎧(t+1)2,−1≤t<0⎪
⎪1,0≤t<1⎪
x1(t)x2(t)=⎨−2t+4,1≤t<2
⎪−(t−2.5)2+0.25,2≤t≤3⎪⎪⎩0,其它
课后⎧1,−1≤t<0
⎪0,0≤t<1
⎧1,−1≤t<0⎪⎪0,0≤t<1⎪δ(t),t=1⎪⎪⎪′(t)=⎨−1,1≤t<3 x2′(t)=⎨0,1 ⎪0,其它⎩ ′(t)x11.kh01234-1-14．已知x(t)如题图1－2所示，试画出y1(t)和y2(t)的波形。 ww（1）y1(t)=x(2t)u(t)+x(−2t)u(−2t) （2）y2(t)=x(2t)u(−t)+x(−2t)u(t) w题图1－2 3 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khda w.comdaw.com210.25x1(t)x2(t)dawkh-10123t 答案网′(t)x21t (1)12(-3)3t -10-1 课后答案网 www.khdaw.com 解： y1(t)2211t y2(t).com1-1-0.500.5-1-0.50-10.51t 5．已知连续时间信号x1(t)如题图1－3所示，试画出下列各信号的波形图。 解： (1) x1(t−2) (2) x1(1−t) (3) x1(2t+2) khdaw-1.khww(1) x2(t+3) (2) x2(解： 6．根据题图1－4所示的信号x2(t),试画出下列各信号的波形图。 w4 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaw.comdaw.com答案网210.51t 课后x1(2t+2)-2-1.5-1-0.50-1t −2) (3) x2(1−2t) 2 课后答案网 www.khdaw.com tx2(−2)21.com-202468t (1) x1(t)x2(−t) (2) x1(1−t)x2(t−1) (3) x1(2−)x2(t+4) ⎧t+2⎪1⎪⎪ 解：(1) x1(t)x2(−t)=⎨t ⎪1⎪⎪⎩0 ⎧2⎪1−t⎪ (2) x1(1−t)x2(t−1)=⎨ ⎪2−t⎪⎩0 (3) 课21tx1(2−)2.kh-20246-1-20-1 w24t w8．已知信号x(5−2t)的波形如题图1－5所示，试画出x(t)的波形图。 解：x(5−2t)→x(5−t)→x(5+t)→x(t) 5 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaw.comt x1(2−)x2(t+4)=0 2 tx1(2−)x2(t+4) 21wdaw.comt2 −2≤t<−1−1 khdaw1 −1≤t≤00 -6 -4-202t 课后答案网 www.khdaw.com x (t)1.com-2-10-112t 0.40.30.20.10-0.1-0.2-0.3-0.4110．已知信号x(t)=sint×[u(t)−u(t−π)],求 解：(1) dx1(t) =cost[u(t)−u(t−π)]+sint[δ(t)−δ(t−π)] dt wd2 x1(t)=2x(t)+x(t) dt .kh=cost[u(t)−u(t−π)] =cost[δ(t)−δ(t−π)] =δ(t)+δ(t−π) td2 (1) x1(t)=2x(t)+x(t) (2) x2(t)=∫x(τ)dτ −∞ dt =−sint[u(t)−u(t−π)]+cost[δ(t)−δ(t−π)]+sint[u(t)−u(t−π)] ww (2)(i)当t<0时，x2(t)= ∫ t −∞ x(τ)dτ=∫sinτ[u(τ)−u(τ−π)]dτ=0 −∞ t−∞ t (ii)当0≤t<π时，x2(t)= (iii)当t≥π时，x2(t)= ∫ t x(τ)dτ=∫sinτdτ=1−cost 0 t −∞0 6 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com kh∫x(τ)dτ=∫sinτdτ=2 πdaw.comdaw.com答案1.2khdaw9．画出下列各信号的波形图 (2) x(t)=e−tcos10πt[u(t−1)−u(t−2)] 后网1.41.61.82课 课后答案网 www.khdaw.com ⎧0,t<0 ⎪ 综上分析，x2(t)=⎨1−cost,0≤t<π ⎪2,t≥π⎩ 11．计算下列积分： ∞−∞ .com课后 (1) ∫sint⋅δ(t− (3) (5) T1T )dt=sin1 (2) 22 ∫ ∞ −∞ e−t×δ(t+2)dt=e2 daw−∞ ∫ ∞ −∞ e−τδ(τ)dτ=1 (6) w.khw 7 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com wkhdaw.comdaw.com−∞ ∫ ∞ (t3+t+2)δ(t−1)dt=4 (4) ∫ 1 ∞ u(t− t0t)δ(t−t0)dt=u(0) 22 ∫ −1 δ(t2−4)dt=0 kh答案网课后答案网 www.khdaw.com 习 题 (p61) （a） （b） 题图1－6 周期函数的傅里叶系数 解：(a)周期为T0=4,ω0= (1)三角形式 π2 ，信号在一个周期内的表达式为：x(t)=⎨ .khT 11 cos(nω0t)dt∫−12111=sin(nω0t)−12nω01=sin(nω0t)10nω0 sin(nω0)= nω0 =Sa(nω0)= 课后2T20 an=T0x(t)cos(nω0t)dtn=1,2,\"∫−T02 答案2a0= T0 ∫ T02T−02 11 x(t)dt=∫dt=1 2−1 w⎛πn⎞=Sa⎜⎟ ⎝2⎠ w220 bn=T0x(t)sin(nω0t)dtn=1,2,\"∫−T0211 =∫sin(nω0t)dt2−1=0 w 1 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com kh(2)指数形式 da ∞ 1πnt⎛πn⎞ 所以，x(t)=+∑sa⎜cos()n=1,2\"⎟ 2n=1⎝2⎠2 w.comdaw.com daw.com1． 用直接计算傅里叶系数的方法，求题图1－6所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。 kh⎧⎪1,⎪⎩0, t<1 t>1 网 课后答案网 www.khdaw.com 120−jnω0t X(nω0)=xtdte()T∫0 −T02 T (b)周期为T0=2,ω0=π，信号在一个周期内的表达式为： (1)三角形式 .kha0=an= 10 1211 x(t)dtsin(t)dtcos(πt)=π=−∫∫002π课后答案0 其它⎩0, 10 网nt 1πnjπ2 )e 所以，x(t)=∑sa(2n=−∞2 ∞ 21 x(t)cos(nω0t)dtn=1,2,\"∫02 =∫sin(πt)cos(nω0t)dt w=− =− 11 −cos(π+nω0)t1cos(π−nω0)t0 2(π+nω0)2(π−nω0)ww 2 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khda= cos(πn)+1π(1−n2)w.cπcos(nω0)π+ π2−n2ω02π2−n2ω02cos(πn)1=+ π(1−n2)π(1−n2)= om1111 cos(π+nω0)+cos(π−nω0)+− 2(π+nω0)2(π+nω0)2(π−nω0)2(π−nω0)daw.com=2 1jnω0t−jnω0t1 −e×e jnω04 1=sin(nω0)2nω0 1 =Sa(nω0)2 1⎛πn⎞=Sa⎜⎟2⎝2⎠ khdaw= (.com1−1 11−jnω0t =∫edt 4−11⎛1−jnω0t=⎜−e4⎝jnω0t ⎞⎟⎠ )π 10 课后答案网 www.khdaw.com bn=∫sin(πt)sin(nω0t)dtn=1,2,\" 0 1 =−= ππ−nω2 2 2 0 sin(nω0) =0 所以，x(t)=(b)指数形式 kh= X(nω0)= 1+e−jnπ= 2π(1−n2)= 1+cos(nπ)2π(1−n2)所以，x(t)= 2．如题图1－7所示是四个周期相同的信号 （1） 用直接求傅立叶系数的方法求题图1－7a所示信号的傅立叶级数（三角形式）； （2） 将题图1－7a的函数x1(t)左或右移T/2，就得到题图1－7b函数x2(t)，利 用(1)的结果求x2(t)的傅立叶级数； （3） 利用以上结果求题图1－7c的函数x3(t)的傅立叶级数； w（4） 利用以上结果求题图1－7d的函数x4(t)的傅立叶级数。 .kh1+cos(nπ)jπnt e 2 n=−∞2π(1−n)∑ ∞ 课后答案πe−jnωπ=+2 2(π2−n2ω02)2(π2−n2ω0) 0 dawπ+∑ 1 cos(πn)+1 cos(nπt) 2 π1−n()n=1 ∞ 11−jnω0tπtedtsin()∫02 11−jnω0t1 0sin(πt)−πcos(πt)]0e−jnω[2 2π2−n2ω0 ww（a） （b） daw.c 3 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com kh（c） （d） 题图 1－7 om daw.com网 .com11 sin(π+nω0)t1sin(π−nω0)t1+00 2(π+nω0)2(π−nω0) 课后答案网 www.khdaw.com 解：（1）a01= kh4 =2T 2 ⎡⎛1⎞2⎛T⎞⎛1⎞⎤⎢⎜⎟cos(nπ)+⎜⎟sin(nπ)−⎜⎟⎥ 000ωωωn2nn⎠⎝⎠⎝⎠⎥⎢⎣⎝⎦ 4 =2T 2T2t bn1=∫2sin(nω0t)dt n=1,2,\" T0T4T =2∫2tsin(nω0t)dtT0 课后答案2 ⎡⎛T⎞2⎛T2⎞⎛T⎞⎤ sin(nπ)−⎜⎢⎜⎟⎥⎟cos(nπ)+⎜⎟2πππ2n4nn⎝⎠⎥⎝⎠⎢⎝⎠⎣⎦ 111=22cos(nπ)+sin(nπ)−22πnπnπncos(nπ)−1= π2n2 4=2T 4=2T w所以， (2) 4 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaa01∞⎡2πnt2πnt⎤+∑⎢an1cos(x1(t)=)+bn1sin()⎥2n=1⎣TT⎦ ∞ 2πntcos(nπ)2πnt⎤⎡cos(nπ)−1cos()sin()⎥=0.25+∑⎢−22 nTnTππ⎦n=1⎣ ww.com⎡⎛T⎞2⎤⎛T2⎞⎢⎜⎟sin(nπ)−⎜⎟cos(nπ)⎥ππ2n4n⎠⎢⎥⎝⎠⎣⎝⎦11=22sin(nπ)−cos(nπ)πnπncos(nπ)=− nπw.kh2 ⎡⎛1⎞⎤⎛1⎞⎢⎜⎟sin(nω0t)−⎜⎟tcos(nω0t)⎥ωωnn⎢⎥⎝0⎠⎣⎝0⎠⎦0 daw.comΤ20 daw2T2t an1=∫2cos(nω0t)dt n=1,2,\" T0T4Τ =2∫2tcos(nω0t)dtT0 2 ⎤4⎡⎛1⎞⎛1⎞ =2⎢⎜⎟cos(nω0t)+⎜⎟tsin(nω0t)⎥T⎣⎝nω0⎠⎢⎝nω0⎠⎥⎦ .com22t22 =0.5 dt=t T∫0TT20 T 2 T2 网T2 课后答案网 www.khdaw.com x2(t)=x1(t+ T )2 a01∞⎡2πnt2πnt⎤=+∑⎢an1cos(πn)cos()+bn1cos(πn)sin()⎥ TT⎦2n=1⎣ kh2πnt12πnt⎤⎡1−cos(nπ) x2(t)=0.25+∑⎢cos()−sin()⎥。 22 πnTnπT⎦n=1⎣ ∞ ∞ (3) 所以，a03=0.5，an3=(4) 后课x4(t)=x2(t)+x3(t)=0.5+∑ 所以，a04=1，an4= w 3．实际中有一种利用非线性器件产生谐波的方法，其脉冲波形如图P3.3所示； （1）求脉冲波形中三次谐波的幅度； （2）使三次谐波幅度为最大的最佳截止角θ0的值。 .kh答案∞ 2πnt12πnt⎤⎡1−cos(nπ) x3(t)=x2(−t)=0.25+∑⎢cos()sin()⎥−−−22 nTnππT⎦n=1⎣ ∞ 2πnt12πnt⎤⎡1−cos(nπ)cos()sin()⎥=0.25+∑⎢+22 nTnTππ⎦n=1⎣ 1−cos(nπ)1 ，，n=1,2,\" b=n3 nππ2n2 2(1−cosnπ)2πntcos() 22 πnTn=1 ww 图P3.3 x(t)=Asinω0t⋅[u(t)−u(t−θ0)+u(t−π)−u(t−π−θ0)] 信号为周期信号，周期为T=2π，ω0=1，所以有 5 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khda解：由信号图可知，图示波形数学表达式为： w.comdaw.com2(1−cosnπ)，bn4=0，n=1,2,\" 22 πn 所以，a02=a01=0.5，an2=an1cos(πn)= dawcos(nπ)−11−cos(nπ) ， cos(nπ)= π2n2π2n2 cos(nπ)1 ，n=1,2,\" bn2=bn1cos(nπ)=−cos(nπ)=− nπnπ.coma01∞⎧T⎤T⎤⎫⎡2πn⎡2πn (t+)⎥+bn1sin⎢(t+)⎥⎬ =+∑⎨an1cos⎢ 2n=1⎩2⎦2⎦⎭⎣T⎣T 网课后答案网 www.khdaw.com x(t)=Asint⋅[u(t)−u(t−θ0)+u(t−π)−u (t−π−θ0)] 求解其傅立叶系数分别为： a0=== ∫ 0 0 x(t)dt= π∫ A A 2πsint[u(t)−u(t−θ0)+u(t−π)−u(t−π−θ0)]dt θ0 dawπ[∫sintdt−∫sintdt+∫sintdt−∫sintdt] 0 = A π[−cost0+costθ−costπ+costπ+θ] 0 0 2π2π=0 an==== 2T0 ∫ 2π0 x(t)cosntdt= π∫ A 2π0 x(t)cosntdt A π0 θ0 答案π2π[∫sintcosntdt−∫sintcosntdt+∫sintcosntdt−∫sintcosntdt] π+θ0 2π2π网2π2ππ∫ A 2π0 sintcosnt[u(t)−u(t−θ0)+u(t−π)−u(t−π−θ0)]dt 2πA2π[∫(sin(t+nt)+sin(t−nt))dt−∫(sin(t+nt)+sin(t−nt))dt θ0 2π0 +∫(sin(t+nt)+sin(t−nt))dt−∫ π后2π11112π+[−cos(t+nt)−cos(t−nt)]−[−cos(t+nt)−cos(t−nt)]π+θ} 0 n+11−nn+11−nπ= cos(2π+2nπ)cos(2π−2nπ)cos0cos0A −++]{[− 2π1−nn+1n+11−n cos(2π+2nπ)cos(2π−2nπ)cos(θ0+nθ0)cos(θ0−nθ0)−[−−++]1−n1−nn+1n+1 cos(2π+2nπ)cos(2π−2nπ)cos(π+nπ)cos(π−nπ)+[−−++]1−n1−nn+1n+1 cos(2π+2nπ)cos(2π−2nπ)cos(π+θ0+nπ+nθ0)cos(π+θ0−nπ−nθ0) ]}−++−[− n+1n+11−n1−n w.kh2πA1111={[−cos(t+nt)−cos(t−nt)]−[−cos(t+nt)−cos(t−nt)]2πn+11−nn+11−n0θ0 ww= 即 6 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdacos(n+1)θ0cos(1−n)θ0cos(n+1)πcos(1−n)π1A1 −++[+− 2πn+11−n1−n1−nn+1n+1cos(n+1)π⋅cos(θ0+nθ0)−sin(n+1)π⋅sin(θ0+nθ0) − n+1 cos(1−n)π⋅cos(θ0−nθ0)−sin(1−n)π⋅sin(θ0−nθ0) ]− n+1 w.comdaw.comππ+θ0 2π.comπ2T0 2π1 ∫ 2π0 x(t)dt 2π2π2π 2π2πkh2ππ+θ0 (sin(t+nt)+sin(t−nt))dt] 课2π课后答案网 www.khdaw.com ⎧A2−2cos(n+1)θ02−2cos(1−n) θ0 +)n=1,3,5,\"⎪( an=⎨2π 1−nn+1 ⎪n=0,2,4,6\"⎩0, bn==A πA ∫ 2π02πsintsinnt[u(t)−u(t−θ0)+u(t−π)−u(t−π−θ0)]dt 2π2π2π=− daw2πA2π[∫(cos(t+nt)−cos(t−nt))dt−∫(cos(t+nt)−cos(t−nt))dt θ0 2π02π2π+∫(cos(t+nt)−cos(t−nt))dt−∫ πkh1111A{[sin(t+nt)−sin(t−nt)]−[sin(t+nt)−sin(t−nt)]=− 2πn+11−n11+−nn0θ011112πsin(t+nt)−sin(t−nt)]−[sin(t+nt)−+[sin(t−nt)]π+θ} 0 1−nn+1n+11−nπ2πa3= A1−cos4θ0 [−1+cos2θ0]2π2 A=[−1−cos4θ0+2cos2θ0]4πb3=− w2 A3=a3+b32= w当截止角θ0= π2 时，3次谐波幅值取最大值，即A3max= A π. （2）x(t)是以2为周期的信号，且x(t)=e,−1 −t 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com kh（1）x(t)=cos4t+sin6t； da 4．下列信号的傅立叶级数表达式。 w.cA (1−cos2θ0) 2πomAsin4θ0sin(−2θ0)[−]2π4−2 A=−[sin4θ0−2sin2θ0] 4πw.kh因此 课⎧Asin(n+1)θ0sin(1−n)θ0−(−)n=1,3,5,\"⎪⎪π1−nn+1bn=⎨ sin(+1)sin(1−)nnθθA00⎪−(−)n=2,4,6\" ⎪2+11−nnπ⎩ 后答案=− Asin(n+1)θ0sin(1−n)θ0sin(n+1)θ0cos(1+n)πsin(1−n)θ0cos(1−n)π[−+−]所以，有 n+1n+11−n1−n2πdaw.com π+θ0 π[∫sintsinntdt−∫sintsinntdt+∫sintsinntdt−∫sintsinntdt] 0 .comθ0 ππ+θ0 (cos(t+nt)−cos(t−nt))dt] 2π2π网课后答案网 www.khdaw.com 解：（1）(i)三角形式： 两个周期信号相加后可否为周期信号？ 假设x1(t)、x2(t)都是周期信号，对应的周期是T1,T2,则它们的和是周期的，也即存在一个正数 T,使得 x1(t+T)+x2(t+T)=x1(t)+x2(t) x2(t)的基本周期。 khx(t)=cos4t+sin6t的周期T0=π，ω0=2 ⎧1, a0=0，an=⎨ ⎩0, 所以，x(t)的三角傅里叶级数仍为x(t)=cos4t+sin6t (ii)复指数形式： .kh21−t−t1−1 edt=−e=e−e∫−1−12 1−1 课X(nω0)= 1 (an−jbn)2 所以，x(t)的指数傅里叶级数x(t)=(2) (i)三角形式： wa0= w= w= 1+n2π2 8 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaw.c1 e−t[nπsin(nπt)−cos(nπt)]1−1 22 1+nπ(e−e−1)cos(nπ) oman=∫e−tcos(nπt)dt n=1,2,\" daw.comn=2⎧1, ，bn=⎨n≠2⎩0, n=3 ， n≠3 当且仅当T1/T2是两个正整数q,r之比q/r时，上式才成立。如果q,r是互质的，则T=rT1是x1(t)＋ daw.com后答案⎧1 n=±2⎪2, ⎪1⎪−j,n=3⎪ =⎨2 ⎪1 n=−3⎪j, ⎪2 其它⎪0,⎩ 网1j4t1 e+e−j4t)−j(ej6t−e−j6t) (22 课后答案网 www.khdaw.com bn=∫esin(nπt)dt n=1,2,\" −1 1 −t == (ii)复指数形式： khe−e−1)cos(nπ)j(e−e−1)nπcos(nπ)(1 X(nω0)=(an−jbn)=−22 22(1+nπ)2(1+n2π2) −1 −1 e−e)(1−jnπ)cos(nπ)(e−e)cos(nπ)(== 2(1+n2π2) 2(1+jnπ) jnπt ∞ n=−∞ 2(1+jnπ) 5．设x(t)是一个周期信号，其基波周期为T0，傅立叶级数的系数为Ak，用Ak表示下列信号的傅里叶级 （3）x(t) （4）（5） 课∗ 后数系数。 （1）x(t−t0) （2）x(−t) A0∞ 解：先确定是否为周期信号，设x(t)=+∑Akcos(kω0t+ϕk) 2k=1 wA0∞A0∞ （1）x(t−t0)=+∑Akcos[kω0(t−t0)+ϕk]=+∑Akcos[kω0t+ϕk−kω0t0] 2k=12k=1 ww A02=A0，Ak2=Ak，ϕk2=−ϕk，k=1,2\" * ** A03=A0，Ak3=Ak，ϕk3=ϕk，k=1,2\" 9 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khda*∞ A0* （3）x(t)=+∑Akcos(kω0t+ϕk) 2k=1 w.cA0∞A0∞ （2）x(−t)=+∑Akcos[kω0(−t)+ϕk]=+∑Akcos(kω0t−ϕk) 2k=12k=1 om A01=A0，Ak1=Ak，ϕk1=ϕk−kω0t0，k=1,2\" .khdx(t) （6）x(at),a>0，（要先确定该信号的周期） dt 答案所以，x(t)= ∑ (e−e)cos(nπ)e−1 daw.com daw−1 ⎤e−e−1)nπcos(nπ)(e−e−1∞⎡(e−e)cos(nπ) 所以，x(t)=+∑⎢cos(nπt)+sin(nπt)⎥ 2222 ++nπnπ211n=1⎢⎥⎣⎦ .com1+n2π2 1 e−t[−sin(nπt)−nπcos(nπt)]1−1 22 1+nπ(e−e−1)nπcos(nπ) ∫ t −∞ x(τ)dτ，假设A0=0 网 课后答案网 www.khdaw.com （4） ∫ t −∞ x(τ)dτ不一定为周期信号，所以不存在傅里叶级数。 .com∞ dx(t)d∞d（5）=∑Akcos(kω0t+ϕk)=∑Akcos(kω0t+ϕk) dtdtk=1dtk=1 ∞ ∞ =∑−kω0Aksin(kω0t+ϕk)=∑−kω0Akcos(kω0t+ϕk−) 2k=1k=1 πdawT0 a ⎧1.5x(t)=⎨ ⎩−1.5 A05=0，Ak5=−kω0Ak，ϕk5=ϕk− （6）x(t)的周期为 khA0∞ +∑Akcos(kaω0t+ϕk) x(at)= 2k=1 A06=A0，Ak6=Ak，ϕk6=ϕk，ω06=aω0，k=1,2\" A0∞ x(at)=+∑Akcos(kω05t+ϕk) 2k=1 7．计算下列连续时间周期信号（基波频率ω0=π）的傅立叶系数ak： 解： 20 .kh10 课0≤t<1 1≤t<2 ak=∫x(t)cos(nπt)dt=1.5∫cos(nπt)dt−1.5∫cos(nπt)dt= 1 9．求题图1－10所示各信号的傅立叶变换。 wwwda 10 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com kh题图 1－10 w.c omdaw.comπ2 ，k=1,2\" 后答案网2 1.51.5 −sin(nπt)1sin(nπt)0 nπnπ2 1 =0 课后答案网 www.khdaw.com ⎧1, 解：（a）x1(t)=⎨ ⎩0, 0 τ.com∫ +∞−∞ 解法1：由定义X1(ω)= 1−jωt1−e−jωτ−jωt−jωt x1(t)edt=∫edt=−e= 0ωjωj0 τ解法2：由傅里叶变换的时移特性以及g(t)的傅里叶变换可得x1(t)=g(t−)，所以 F[g(t)]=τSa(X1(ω)=e −jωτ2 ωτ2 ) τSa( ωτ2 ) 解法1：设x(t)= ' .khF 课后dx2 ，如图所示 dt 答案⎧t⎪, （b）x2(t)=⎨τ⎪⎩0, 其它 网0 )e wX2(ω)=∫ +∞ −∞ x2(t)e −jωt dt= 1 τ∫ τ0 te −jωt w 11 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaπ⎧ 0 ⎪其它⎩0, w.c1⎡1(jωτ+1)e−jωτ−1−jωt⎤ dt=⎢(−jωt−1)e⎥=2τ⎣(−jω)2ωτ⎦0 τom解法2：按照定义求解： w1ωτ−jωx2(t)←⎯→Sa()e2 jω2 F daw.comjω2 = e − jωτ2 (e jωτ2 −e − jωτ2 ) =e − jωτ2 τSa( ωτ) dawτ2 kh −jω2 τ，则 τ课后答案网 www.khdaw.com X3(ω)=∫x3(t)e −∞ ∞ −jωt dt=∫cos(t)e −12 1 1 π−jωt dt .com()2+(jω)22 = ππ⎤⎡π−jωt −esin(t)jωcos(t)⎥⎢22⎦−1⎣2 π= 2π4πcosω−jωjω+ee=()π2−4ω2π2−4ω2 khX4(ω)=∫x4(t)e −∞ ∞ −jωt dt=∫sin(ω0t)e−jωtdt T 1−jωt =e[−jωsin(ω0t)−ω0cos(ω0t)]2T 22−(−jω)+ω02 10．利用对偶性质求下列函数的傅立叶变换： （1）f(t)= ⎡sin(2πt)⎤ （3）f(t)=⎢⎥,−∞ 解：（1）g(t)=⎨ ⎪0,⎪⎩ 由对偶特性 .kh2 sin(2π(t−2)) ,−∞ （2）f(t)=2,−∞ 课后t< τ答案2ω=202(eω−ω0 −e)= ω2−ω02 网Tjω2T−jω2 wωτ2←⎯→τSa()=ττ2t> 2 wwω> 2 令τ=4π ω>2π 12 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khda⎧4πsin(2πt)⎪2π, ←⎯→2πg(ω)=⎨ 2πt⎪⎩0, ω<2πw.c⎧tτ2π,sin()⎪tτ⎪2←⎯→2πg(−ω)=2πg(ω)=⎨τSa()=τtτ2⎪0,2⎪⎩ ω<ττ2 omdaw.comT2T−2 dawTT⎧ sin(ωt),t−<<2π⎪0 （d）x4(t)=⎨ 22，ω0= T⎪其它⎩0, 4jω0sin( ωT 2) =2222 Tω−4πj8πsin( ωT ) sin( ωτ2) ωτ2 课后答案网 www.khdaw.com ⎧sin(2πt)⎪1, ←⎯→g(ω)=⎨πt⎪⎩0, ω<2πω>2π （2）e F−1[f(ω)]=e −at ，a>0 kh所以，有 2a−aω←⎯→2πe 22 a+t 网⎧1 sin(2πt)1⎪, （3）由（1）可知：←⎯→g(ω)=⎨2 2πt2⎪0, ⎩ 2 11111⎡sin(2πt)⎤ ωωωω←⎯→==g()*g()g()*g()⎢2π228π8π⎣2πt⎥⎦⎧1 (ω+4π),⎪⎪8π =⎨ ⎪1(4π−ω),⎪⎩8π11．求下列信号的傅立叶变换。 （1）f(t)=e −jt （2）f(t)=e w（4）f(t)=e −2t （3）f(t)=sgn(t−9) w解：(1)F(ω)= w(2)F(ω)= ∫ ∞ −∞ e −3(t−1)δ′(t−1)e −jωt de−3(t−1)−jωt−jω3ω e=+dt=−j()t=1dt (3)f(t)=sgnt−9=u(t−3)+u(−t−3)−gτ=6(t) 2 () 13 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaw.c∫ ∞ −∞ eδ(t−2)e −jt −jωt dt= ∫ ∞ −∞ δ(t−2)e−j(ω+1)tdt=e−j2(1+ω) om（5）f(t)=u( .khδ(t−2) 2−3(t−1) δ′(t−1) u(t+1) t −1) 2 daw.comω<2π daw2a ，a>0 22 ω+a2a f(ω)=2 a+ω2 −at←⎯→ .com−j2ω⎧,ω<2πsin[2π(t−2)]⎪e−j2ω g(ω)=⎨←⎯→e π(t−2)ω>2π⎪⎩0, ω>2π答案∫ +∞ −∞ g(τ)g(ω−τ)dτ 后课−4π≤ω≤0 0≤ω≤4π课后答案网 www.khdaw.com =2πδ(ω)cos(3ω)−12sa(3ω)=2πδ(ω)−12Sa(3ω)daw e−(2+jω)t−2t−jωt−(2+jω)t (4)F(ω)=∫eu(t+1)edt=∫edt=− −∞−12+jω∞ ∞ kh (5)F(ω)=2⎢πδ(2ω)+ ⎡⎣1⎤−j2ω⎡1⎤−j2ω22=+eπδω ()⎢⎥e2jω⎥ωj⎦⎣⎦ 12．试用时域积分性质，求题图1－11所示信号的频谱。 x1(t)= X1(ω)= w.khdx1(ξ) ∫−∞dξdξ，−τ 解：（1） dx1(t)1 =gτ′=2τ(t)−[δ(t−τ)+δ(t+τ)] dtτdx1(t) ←⎯→2Sa(ωτ)−(e−jωτ+ejωτ)=2Sa(ωτ)−2cos(ωτ) dt 12 [2Sa(ωτ)−2cos(ωτ)]=[Sa(ωτ)−cos(ωτ)] jωjωw13．若已知f(t)的傅立叶变换F(ω)，试求下列函数的频谱： （1）tf(2t) （2）(t−2)f(t) （3）t w 14 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdF() 12 解：（1）tf(2t)↔j2dωdF(ω) −2F(ω) （2）(t−2)f(t)↔j dωωdadf(t) dt （4）f(1−t) （5）(1−t)f(1−t) （6）f(2t−5) 1−0.5tdf(t)1 f(τ)dτ （8）ejtf(3−2t) （9）（7）∫* −∞dtπt w.comdaw.com∞−1 .comω⎡1⎤1⎤j3ω⎡+−−F(ω)=e−j3ω⎢πδ(ω)+eπδω()⎥⎢⎥−6Sa(3ω)jωjω⎣⎦⎣⎦ 2 =2πδ(ω)cos3ω−sin3ω−6Sa(3ω) e2+jω = 2+jω后答案网 课题图 1－11 课后答案网 www.khdaw.com （3）t df(t)dF(ω)↔−F(ω)−ω dtdω−jω （4）f(1−t)↔F(−ω)e （5）(1−t)f(1−t)↔−j （7）x(t)= t1 fdF(ω)+πF(0)δ(ω) ττ←⎯→()∫−∞jωkh1−0.5t⎡F(−2ω)⎤ x(1−0.5t)=∫f(τ)dτ←⎯→2⎢−+πF(0)δ(−2ω)⎥e−j2ω −∞2jω⎣⎦ e df(t)111*←⎯→jωF(ω)=jωF(ω)[−jπsgn(ω)]=ωF(ω)sgn(ω) dtπtππw14．求下列函数的傅立叶逆变换： wn=0 ωt>ω0 所以，F[2ω0Sa(ω0t)]=2πX(ω) 15 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com kh因为：F[X(t)]=2ω0Sa(ωω0) da⎧⎪1 解：（1）X(t)=⎨ ⎪⎩0 t<ω0 w.c⎧ω<ω0⎪1 （1）X(ω)=⎨ ω>ω0⎪⎩0 （2）X(ω)=δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0) （3）X(ω)=2cos(3ω) −jω（4）X(ω)=[u(ω)−u(ω−2)]e 2 2sinω−j(2π+1)ωe （5）X(ω)=∑ .khdf(t)1(9)←⎯→jωF(ω)，←⎯→−jπsgn(ω) tdt 课后jt 33 (ω−1)(1−ω)1⎛ω−1⎞−j21⎛1−ω⎞j2 →F⎜−=F⎜f(3−2t)←⎯ ⎟e⎟e2⎝2⎠2⎝2⎠ 答案3ω1⎛ω⎞−j2 →F⎜−⎟e （8）f(3−2t)←⎯ 2⎝2⎠ womdaw.com网⎡jF(−2ω)⎤=e−j2ω⎢+2πF(0)δ(2ω)⎥ ω⎣⎦ 1ω−jω（6）f(2t−5)↔F()e2 22 daw.com5 dF(−ω)−jωe dω课后答案网 www.khdaw.com 即：F[X(ω)]= −1 ω0 Sa(ω0t) π （2）X(ω)=δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0) 因为：e jω0t F←⎯→2πδ(ω−ω0) 所以：x(t)= F[X(t)]=2πδ(ω−3)+2πδ(ω+3) F[2πδ(t−3)+2πδ(t+3)]=4πcos3ω khF−1[2cos(3ω)]=δ(t−3)+δ(t+3) −jω（4）X(ω)=[u(ω)−u(ω−2)]e daw12π（3）X(ω)=2cos(3ω) F[(u(t)−u(t−2))e−jt]=πδ(ω+1)+ .khx(−ω)= = ⎡11−2j(ω+1)⎤πδωπδωe++−++][(1)(1)⎢⎥j(ω+1)j(ω+1)⎣⎦ 课F[X(t)]=2πx(−ω) 后由傅立叶变换对称性，得 答案11 −(πδ(ω+1)+)e−2j(ω+1) j(ω+1)j(ω+1) 网F[u(t)−u(t−2)]=πδ(ω)+ ⎡1⎤1 (1−e−2j(ω+1))⎢πδ(ω+1)+ j(ω+1)⎥2π⎣⎦ x(t)= 15．利用傅里叶变换的性质，求题图1－12所示函数的傅里叶逆变换。 w⎡⎤11 (1−e−2j(−t+1))⎢πδ(−t+1)+ ⎥2πj(−t+1)⎦⎣ wwkh题图 1－12 16 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com da w.comdaw.com 1−jω0t1jω0t e−e 2π2π.com11−2jω−(πδ(ω)+)e jωjω 课后答案网 www.khdaw.com 解：(1)X g (ω)=Ag2ω(ω)e−jωt 0 0 由对偶性质 2ω0Sa(ω0t)←⎯→2πg2ω0(ω)（2）X (ω)=−jA⎡⎣u(ω+ω0)−u(ω)⎤⎦+ 解法1：利用频域微积分特性 因为 x(t)= 解法2：利用对偶性和时域微积分特性 由对偶特性得 −jA⎡→2πx(−ω) ⎣u(t+ω0)−u(t)⎤⎦+jA⎡⎣−u(t−ω0)+u(t)⎤⎦←⎯ 对上式左边微分，再由时域微分特性得 wjA⎡→jω2πx(−ω) ⎣−δ(t+ω0)−δ(t−ω0)+2δ(t)⎤⎦←⎯jA(−ejωω0−e−jωω0+2)=jω2πx(−ω)jA[−2cos(ωω0)+2]=jω2πx(−ω)A 上式左边的傅里叶变换与右边相等 .khπωA[cos(ω0t)−1] πt 课后dX(ω)jA[1−cos(ω0t)] ←⎯→(−jt)x(t)，所以(−jt)x(t)= dωπ答案dX(ω)=jA⎡⎣−δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)+2δ(ω)⎤⎦dω jAjA[1−cos(ω0t)]−jω0tjω0t ⎡⎤2ee←⎯→−−+=⎦2π⎣πww将t代替－ω，得 16．试求题图1－15所示周期信号的频谱函数。图1－15（b）中冲激函数的强度均为1。 17 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdax(t)= A[cos(ω0t)−1] πt w.cx(−ω)=(1−cosωω0)omdaw.com0 0 0 khSa(ω0t)←⎯ →Ag2ω(ω)πAω0−jωt Sa⎡ωttAgωe+←⎯→⎤()()ω002⎣⎦πAω0 x(t)=Sa⎡ω0(t+t0)⎤⎣⎦πAω0 daw.com→2ω0Sa(ωω0) 2ω0(t)←⎯ jA⎡⎦ ⎣u(ω)−u(ω−ω0)⎤ 网课后答案网 www.khdaw.com .com 题图 1－15 1 解：（a）解法1：由定义X(nω0)= T0 khX(nπ)= 11⎡1111−jnπt11⎤−jnπt−jnπt πtedtedtπtedt+=+cos()cos()∫∫∫⎢⎥−−−1112⎣2244⎦ 1 11 e−jnπt=⋅ 4−jnπ= 1e+⋅4−1 ⎧1 ⎪2,⎪⎪1=⎨,⎪4⎪0,⎪⎩ n=0n=±1 其它 X(ω)= =πδ(ω)+ 解法2：由傅里叶变换的性质和cos(πt)的傅里叶变换 ww（b）x(t)=δΤ(t)−δΤ⎜t− ⎛ ⎝ Τ⎞⎟ 2⎠ 18 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaw.c1 =πδ(ω)+π⎡δ(ω+π)+δ(ω−π)⎤ ⎣⎦2 om 1 wcos(πt)←⎯→π⎡⎣δ(ω+π)+δ(ω−π)⎤⎦ 111 δ(ω+π)+δ(ω−π)⎤+cos(πt)←⎯→⋅2πδ(ω)+π⎡⎦2222⎣ .khπ2 2 11 ⋅2πδ(ω)+⋅[2πδ(ω−π)+2πδ(ω+π)]24 课πδ(ω−π)+δ(ω+π)后答案1112nπsinnπ⋅sin(nπ)+⋅222nπ4nπ−π2 daw.com∫ T02−T02 dawx(t)e−jnω0tdt −jnπt [πsin(πt)−jnπcos(πt)](−nπ+π) 2 2 2 1 −1 网课后答案网 www.khdaw.com X(ω)= ⎡⎣δΤ(t)⎤⎦−e − jωT 2 ⎡⎣δΤ(t)⎤⎦ khdaw20．求题图1－17所示周期信号x(t)的傅立叶变换。 0 = ⎡(jnω0+1)e−jnω0−1⎤⎣⎦nωT 2 20 X (ω)=∑2πX(nω0)δ(ω−nω0)n=−∞ w∞ ⎧⎫ j2πn∞⎪⎡⎛2πn⎞−T⎤⎛12πn⎞⎪ j=∑⎨2π+1⎟e−1⎥δ⎜ω−⎟⎬ 2⎢⎜4πTT⎠⎪⎠n=−∞⎪n2⋅⎣⎝⎦⎝ ⎩⎭T ww（1）利用傅里叶变换的微分和积分性质，求X(ω)； 19 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com kh⎧⎪0,⎪⎪1x(t)=⎨t+ ⎪2⎪⎪1⎩ t<−− 12 11≤t≤， 221t>2 daw.c21．考虑信号 omT =∑2n=−∞2πn .kh∞ 课1 ⎡⎛2πn⎞−j2Tπn⎤⎛2πn⎞+−1je1δω−⎟⎜⎟ ⎢⎜⎥T⎠T⎠⎣⎝⎦⎝ 后⎡1−jnω0t⎤−−1jnωte)0⎢−n2ω2T(⎥0⎣⎦0 11 =−22−22(−jnω0−1)e−jnω0 nω0Tnω0T1=T 答案网解：X(nω0)= 1T ∫ 1 te−jnω0tdt，ω0= daw.com 题图 1－17 .comjωT−⎛⎞ =⎜1− e2⎟⎡⎣δΤ(t)⎤⎦ ⎝⎠ jωT−⎞∞2π⎛2πn⎞⎛2 =⎜1−e⎟∑δ⎜ω−⎟T⎝T⎠⎠n=−∞⎝ 2π T 1 课后答案网 www.khdaw.com （2）g(t)=x(t)− 1 的傅里叶变换是什么？ 2 解：(1) F[g(t)]=F[x(t)]−πδ(ω)= ω1 Sa() jω2 w.khw 20 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com 课后答案网 wkhdaw.comdaw.comkhdx(t)⎛ω⎞ ←⎯→Sa⎜⎟dt⎝2⎠ tdx(τ)1⎛ω⎞ x(t)=∫dτ←⎯sa⎜⎟+πδ(ω) → −∞dτjω⎝2⎠1⎛ω⎞ X(ω)=Sa⎜⎟+πδ(ω)jω⎝2⎠ 1 (2)g(t)=x(t)− 2 daw.comdx(t)=gτ=1(t) dt 课后答案网 www.khdaw.com 习 题 (P78) （1）eu(t),a>0 （2）teu(t),a>0 （3）e −at at .com 1． 定义计算下列信号的拉普拉斯变换及收敛域。 at u(−t),a>0 （4）(cosωct)u(−t) −at （5）[cos(ωct+θ)]u(t) （6）[esin(ωct)]u(t),a>0 kh(2) Xb2(s)= ∫ ∞ 0 teedt=∫te(a−s)tdt= at−st 0 (3) Xb3(s)= ∫ 0 −∞ e−(a+s)tdt= −st 课ωce−stsin(ωct+θ)−se−stcos(ωct+θ) Xb5(s)=∫cos(ωct+θ)edt= 0s2+ωc2 (5) scosθ−ωcsinθ=(σ>0) s2+ωc2 ∞ −st 答案ωce−stsinωct−se−stcosωct (4) Xb4(s)=∫cosωctedt= −∞s2+ωc2 0 .kh∫ 0 (6) Xb6(s)= ∞ sinωct⋅e−(s+a)tdt= (7) Xb7(s)= ∫ ∞ −∞ δ(at−b)e−stdt=∫δ(τ)e −∞ w(8) Xb(s)= ∫ ∞ −∞ x(t)edt=∫eedt+∫e−2te−stdt −∞ 0 −st w 1 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khda 2．用定义计算题图1－18所示各信号的拉普拉斯变换。 w.c1(3−s)t1−(2+s)t=e−e3−s2+s−∞011+ = 3−s2+s 5 =(−2<σ<3)(2+s)(3−s)womdaw.com(σ>a) ∞ daw−2t⎧⎪e,t>0 （7）δ(at−b),a和b为实数 （8）x(t)=⎨ 3t⎪⎩e,t<0 ∞∞1(a−s)t∞1(a−s)tat−st dt=e=−解：(1) Xb1(s)=∫eedt=∫e000a−sa−s 11(a−s)t∞1(te(a−s)t−e)= 0a−sa−s(a−s)2 0−∞ (σ>a) 网1−(a+s)t ea+s = 1a+s (σ<−a) 0 −∞ =− ss2+ωc2 (σ<0) ∞ 后0 ωc 2 (s+a)+ω−s 2c (σ>0) b ∞ τ+b a 11−asdτ=eaa ∞ (σ∈R) 0 3t−st 0∞ 课后答案网 www.khdaw.com kh解：(1) Xb1(s)= ∫ T 0 1(−s)t edt=e −s −st 10 （2）Xb2(s)= ∫ ∞ −∞ x2(t)e−stdt=∫e−stdt+∫2e−stdt+∫e−stdt 1 2 (3) .khTT/20 Xb3(s)=∫ 1−st111Ttedt=[−te−st−2e−st]00TTss 1111=(−Te−sT−2e−sT+2)(σ∈R)Tsss T 课（收敛域为除坐标原点外的整个S平面） 后1−e−3se−s−e−2s1+e−s−e−2s−e−3s =+= sss 答案=∫e−stdt+∫ 0 3 w11111 Xb4(s)=∫[−t+b]e−stdt={−[−te−st−2e−st]+b[−e−st]} 0TTsss0 (4) 111bb=e−sT[+2−2−)+(σ∈R) sTsssTs Xb5(s)=∫ ww 2 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaw.c（5） 2112111T/2T =[−te−st−2e−st]0−[−te−st−2e−st]T/2+2[−e−st]} TsTssssT/2 2 =2(−2e−sT/2+e−sT+1)(σ∈R)Ts omT T2−st2 tedt+∫(−t+2)e−stdt T/2TT daw.com 题图 1－18 T0 daw.com21 1−e−sT= s 2 (σ∈R) 3 网11 e−stdt=−e−st+−e−st ss0132 T 课后答案网 www.khdaw.com daw （1）x(t)=e −2t2t 3．确定时间函数x(t)的拉普拉斯变换、零极点及其收敛域。 3t −2t u(t)+e−3tu(t) （2）x(t)=e−4tu(t)+e−5t(sin5t)u(t) （6）x(t)=teu(−t) 2t （3）x(t)=eu(−t)+eu(−t) （4）x(t)=te （5）x(t)=te −2t （7）x(t)=⎨ 0≤t≤10≤t≤1⎧t⎧1 （8）x(t)=⎨ 其它 1≤t≤2⎩2−t⎩0 (9)x(t)=δ(t)+u(t) （10）x(t)=δ(3t)+u(3t) −2t Xb1(s)=∫e−2te−stdt+∫e−3te−stdt 0 0 ∞ .khXb2(s)=∫e 0∞ −4t −st ∞0 1−(s+2)t∞1−(s+3)t−ee0 s+2s+311=+(σ>−3)s+2s+3−4t−5t （2）x(t)=eu(t)+e(sin5t)u(t) =− 答案∞ （1）x(t)=e u(t)+e−3tu(t) 网解： edt+∫e−5tsin5t⋅e−stdt (σ>−4) 11=+ s+45(s+5)2+1 3t 0 0 （3）x(t)=eu(−t)+eu(−t) 2t w= Xb3(s)=∫e2te−stdt+∫e3te−stdt −∞ −∞−∞ −∞ w(σ<3) w（4）x(t)=te −2t 2t −st ∞ 11=−+ (2−s)2(s+2)2 （5）x(t)=te −2t (−2<σ<2) 3 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaXb4(s)=∫teedt+∫te−2te−stdt −∞ 0 0 w.c om1−(s−2)t e2−s11=+ 2−s3−s daw.com∞ kh后.com课0 11−st−st πteπte−sin⋅+cos⋅πππsXb6(s)=∫sinπte−stdt=s001 1+2 (6) πs −π2sinπ2⋅e−πs+πcosπ2⋅e−πs−π=(σ∈R)2 πs+1 0 − 1−(s−3)tes−3 0 课后答案网 www.khdaw.com 0 ∞ Xb5(s)=∫(−te2te−st)dt+∫te−2te−stdt −∞ 0 （6）x(t)=teu(−t) 0 −∞ 1= (2−s)2 kh（7）x(t)=⎨ ⎧1⎩0 0≤t≤1 1 Xb7(s)=∫edt=−e−st 0s 1 −st∞ 1 零极点均为0，收敛域为整个S平面。 −∞ 答案0 1 1 (8)Xb8(s)= ∫x8(t)edt=∫tedt+∫(2−t)e−stdt 2 −st 后1⎡121⎡1⎤⎤=−⎢te−st+e−st⎥−e−st+⎢te−st+e−st⎥ s⎣ss⎣s⎦0s⎦11⎛e−1⎞=⎜⎟⎝s⎠ 二重零点s=0，二重极点s=0，收敛域为除坐标原点外的整个S平面。 (9) x(t)=δ(t)+u(t) w∞1 Xb9(s)=∫x(t)e−stdt=1+ −∞s 零点s=-1，极点s=0，收敛域为σ>0。 .kh−at−at−t 课−s 2 (10) [x8(t)]= ⎡⎣δ(3t)+u(3t)⎤⎦= ⎡⎣δ(3t)⎤⎦+ ⎡⎣u(3t)⎤⎦=零点s=－3, 极点s=0，收敛域为σ>0。 ww列信号的拉氏变换式及其收敛域。 （3）[e （1）[cos(ωct)]u(t) （2）[sin(ωct)+cos(ωct)]u(t) cos(βt)]u(t) （4）[tcos(ωct)]u(t) cos(ωct)]u(t) （6）e−tu(t−T) （5）[te 4 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com kh（7）teu(t−T) （8）tδ′(t) daw.c5．若已知u(t)的拉普拉斯变换为 1 ，收敛域为ℜe{s}>0，试利用拉氏变换的性质，求下s omdaw.com(σ<2) 10 Xb6(s)=−∫te2te−stdt daw.com2t 11=−+ (2−s)2(s+2)2 (−2<σ<2) 1−e−s =s 2 −st 网2 111s+3 += 33s/33s 课后答案网 www.khdaw.com ∞ （9）t −at 2 δ′′(t) （10）∑akδ(t−kT) k=0 解：(5)e cos(ωct)u(t)←⎯→ 利用双边拉普拉斯变换的复频域微分特性 .com−at s+a 22 (s+a)+ωc 收敛域为σ>－a。 kh（16）(1−e 11→− )u(t)=u(t)−e−atu(t)←⎯ ss+a τ利用双边拉普拉斯变换的复频域积分特性 网→∫t−1(1−e−at)u(t)←⎯ 6．求下列函数的拉普拉斯反变换： （1） s2+4s+5 （9）2 s+3s+2 .kh1s {}Res>0 （2）Re{s}<0 22 s+9s+9s+13s {}s（3）Re<−1 （4）Re{s}>0 222 (s+1)+9(s+1)(s+4)s+1s+2 （5）2−3 Re{s}> （8）Re{s}>−1 （7）2 2 2s−s+1(s+1) 课后答案若a>0，收敛域为σ>0；若a<0，收敛域为σ>－a。 w解：(1) ww 5 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdas2−s+1−3s−33(8) =1+=1++ s+1(s+1)2(s+1)2(s+1)2 Re{s}>−1 w.c1+31−3 jj⎡(s+1)2⎤333322 =δ(t)+(−j)eu(t)+(+j)eu(t) ⎢2⎥ 2222⎣s−s+1⎦ om3333−j+j (s+1)2 =1+22+22（7）2 s−s+11+31−3s−js−j 22 daw.coms daws+a)−ωc2⎤(d⎡s+a−at →−⎢[tecos(ωct)]u(t)←⎯ ⎥=222ds⎣(s+a)2+ωc2⎦⎡(s+a)+ωc⎤ ⎣⎦ 2 1⎞τ⎛1 −=dτln⎜⎟ τ+a⎝ττ+a⎠ ∞ =ln s s s+a s2−s+1 Re{s}>−1 （10）3 s−s2 Re{s}>1 Re{s}> 1 2 课后答案网 www.khdaw.com ⎡s2−s+1⎤−t−t=[δ(t)−3e+3te]u(t) ⎢⎥2 ⎣(s+1)⎦ s2+4s+521 =1+−（部分分式展开） (9)2 s+3s+2s+1s+2 khdaw ⎡2⎤−t =2eu(t) ⎢⎥⎣s+1⎦⎡1⎤−2t =eu(t)⎢⎥⎣s+2⎦ ⎡s2+4s+5⎤−t−2t−t−2t=+−=+−t2euteutt2eeδδ()()()()()u(t) ⎢s2+3s+2⎥ ⎣⎦ s2−s+111 =−s−1s2s3−s2 课⎡s2−s+1⎤ =etu(t)−tu(t) ⎢32⎥ ⎣s−s⎦ 后答案Re{s}>1 11．已知信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s)= .kh−2t 网s2−s+1（10）3 s−s2 Re{s}>1 （1）x(2t−1)u(2t−1) （2）tx(t) （3）e（4） dx(t) （5）2x(t/4)+3x(5t) （6）x(t)cos7t dt ⎡s+2⎤⎡s+2⎤−2t ecostu(t)(σ>−2) ==22⎢⎥⎢⎥⎣s+4s+5⎦⎣(s+2)+1⎦ w解：（6） [X(s)]= ww 6 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khda= 1s+21s+2+ 22 2(s+2)+642(s+2)+36 w.c1−2t1 ecos8tu(t)+e−2tcos6tu(t) 2211−2t−2t ⎡⎤ ⎡cos7 cos8xttetut=+⎤()()⎣⎦2⎣⎦2 ⎡⎣ecos6tu(t)⎤⎦ = om 所以，x(t)cos7t=e daw.coms+2 ，试求下列信号的拉普拉斯变换。 2 s+4s+5 −3t [1]=δ(t).comx(t) costu(t)cos7t= 1−2t eu(t)[cos8t+cos6t] 2 课后答案网 www.khdaw.com 或 ⎡⎣x(t)cos7t⎤⎦= 13．由下列各象函数求原函数的傅立叶变换X(ω)。 khdaw解：（3） （1） s12s+2 （2）2 （3）2 （4） 2ss+1s+4s+8(s+4) s+2s+2 = s2+4s+8(s+2)2+22 其收敛域为σ>−2，因此jω轴在Xb(s)的收敛域内，所以 证明：（1）由拉普拉斯变换的定义 课后1−ass （1）f(at−b)u(at−b)↔eF() aa b 1−att （2）ef()u(t)↔F(as+b) aa [f(at−b)u(at−b)]=∫ +∞ .kh −∞ 答案b 14．设f(t)u(t)↔F(s)，且有实常数a>0，b>0，试证： 网X(ω)=Xb(s)s=jω= 令at−b=ττ+bt= a ∫ wbsbs+∞s−τ1−a1−asa =e∫f(τ)u(τ)edτ=eF() −∞aaa w −∞ （2）由拉普拉斯变换的定义 bb tt⎡1−a⎤+∞1−att ⎢ef()u(t)⎥=∫ef()u(t)e−stdt −∞aaa⎣a⎦ w+∞ =∫ +∞ −∞ f(τ)u(τ)e−(as+b)τdt=F(as+b) 7 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khda令 t =τat=aτ+∞1−bτ−saτ−(as+b)τdt ∫ −∞aef(τ)u(aτ)ed(aτ)=∫ −∞f(τ)u(aτ)e w.com（利用F(s)= daw.comjω+22+jω= (jω)2+4jω+88−ω2+4jωf(at−b)u(at−b)e−stdt +∞ +∞ −∞ .com⎡⎤111 =(s+2)⎢+⎥(σ>−2) 222⎢⎣(s+2)+64(s+2)+36⎥⎦ ⎤1⎡s+2+js+2−j +22⎥(σ>−2) 2⎢(s2j)49(s2j)49++++−+⎣⎦ f(at−b)u(at−b)e−stdt=∫ −∞ f(τ)u(τ)e ⎛τ+b⎞ −s⎜⎟⎝a⎠ ⎛τ+b⎞d⎜⎟ a⎝⎠ ∫ +∞ f(τ)u(τ)e−sτdτ）。 课后答案网 www.khdaw.com （利用u(aτ)=(τ)(a>0)，F(s)= ∫ +∞ −∞ f(τ)u(τ)e−sτdτ） （1）X(s)= s→∞ x(∞)=limsX(s)=lim s→0 s→0 （2）x(0+)=limsX(s)=lim s→∞ x(∞)=limsX(s)=lim s→0 s→0 16．设信号x(t)的有理拉普拉斯变换具有两个极点s=－1和s=－3。若g(t)=ex(t)，其 傅立叶变换G(ω)收敛，请问x(t)是否是左边的、右边的、或是双边的？ 课后解： [x(t)]=Xb(s)= N(s) (s+1)(s+3) 所以G(s)的极点为s1=−1,s2=1。由于G(ω)收敛，所以G(s)存在，并且其收敛域包含jω轴或以jω轴为边界，再根据有理拉普拉斯变换的收敛域特点（P.79），可知G(s)的 .kh−2t [g(t)]=G(s)=Xb(s−2)= w，可知g(t)=ex(t)为收敛域为−1<σ<1，由拉普拉斯变换的收敛域的基本特点（P.72）双边信号，x(t)=e17．已知信号e g(t)也为双边信号。 u(t)的拉普拉斯变换为 1 ，其中ℜe{s}>ℜe{−a}。求s+a w−at w [X(s)]=−2eu(t)+4e −3t −4t u(t) 8 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaw.c2(s+2) ,ℜe{s}>−3的反变换。 2 s+7s+122(s+2)−24 =+解：X(s)=2（部分分式法展开） s+7s+12s+3s+4 X(s)= omdaw.coms(2s+3) =0。 2 (s+1)s(3s+1) =3， s→∞s(s+1)s(3s+1) =1。 s(s+1) 解：（1）x(0+)=limsX(s)=lim khdaw.com15．求下列象函数X(s)的原函数的初值x(0+)和终值x(∞)。 2s+33s+1 () （2）Xs= 2 s(s+1)(s+1) s(2s+3) =2， s→∞(s+1)2 答案网2t N(s−2) (s−1)(s+1) 2t 课后答案网 www.khdaw.com 习题（P155） 1．已知三角脉冲如题图3－1所示，试求 （1）三角脉冲的频谱； （2）画出对x(t)以等间隔T0/8进行理想采样所构成的采样信号xs(t)的频谱Xs(ω); （3）将x(t)以周期T0重复，构成周期信号xp(t)，画出对xp(t)以T0/8进行理想采样所构成的采样信号xps(t)的频谱Xps(ω)； （4）若已知x(t)的频谱函数X(ω)，对X(ω)进行频率采样，若想不失真地恢复信号x(t)，需满足哪些条件？ X(ω)= ∫ ∞ −∞ x(t)e−jωtdt （1） F[x(t)]= Xs(ω)= （2） w2π16π=TT0 .khT02⎛ωT0⎞Sa⎜⎟ 24⎝⎠⎤2⎡T0 n−Sa4ω4π∑⎢4⎥ ⎣⎦n=−∞ ∞ ⎡T⎤ =∑4Sa2⎢0(ω−nωs)⎥ ⎣4⎦n=−∞ ∞ wωs= w 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com kh∞ 1T02⎛ωT0⎞=Sa⎜⎟*ωs∑δ(ω−nωs)2π2⎝4⎠n=−∞ ∞ 16π∞16nπP(ω)=ωs∑δ(ω−nωs)=δ(ω−)∑TTn=−∞sn=−∞s daw.c1 X(ω)*P(ω)2π1∞⎤2⎡T0 =4Saω−4nπ*∑⎢⎥2πn=−∞⎣4⎦Xs(ω)= omdaw.comx(t)1khdaw.comT−02答案网0T02t后 课题图3－1 课后答案网 www.khdaw.com （3） F[x(t)ejω0t]= kh7. daw 16e3jΩ 6.（1） x(Ω)= 2−e−jΩ 1nπ31⎞⎛sinnsinnπ⎟ π−⎜ 44⎝⎠ 其中，∗表示共轭，α为任意常数。 后解：(1) x(αn) ∞ 答案−jΩn ∞ (1)x(αn) (2)x∗(αn) 网−j ⎯→8.设x(n)← F X(e jΩ F[x(an)]= (2) n=−∞ ∑x(an)e x∗(αn) ∗ F[x(an)]=X(e w(1) 10.求下列周期序列的傅立叶级数 .kh∗ −jΩa (αn ~ u(n)*δ8(n)(0<α<1) )w(2) cos( π4n) w令 ~x8(n)=[au(n)]∗δ8(n) n ~ 77−jkn−jkn~n~4则 X8(k)=∑x8(n)e=∑ae4 n=0 n=0 ππ若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaw.c解：（1） (αn ~ u(n)*δ8(n)(0<α<1) )omdaw.com)，试求下列序列的傅里叶变换： = n=−∞ .com课) 1 X(ω)⋅2πδ(ω−ω0)=X(ω)⋅δ(ω−ω0)=X(ω−ω0) 2πTnωT X(ω)=0Sa2(00) 24 ∑x(n)e Ω na =X(e j Ωa ) 课后答案网 www.khdaw.com ππ177n−j4knj4kn~x8(n)=∑[∑ae]e 8k=0n=0 （2）cos( π4令 ~x8(n)=cos( daw77−jkn−jknπ~~4 =∑cos(n)e4 则 X8(k)=∑x8(n)e 4n=0n=0 −jknjknπ177~x8(n)=∑[∑cos(n)e4]e4 8k=0n=04 π 12．设xa(t)是周期连续时间信号， 以采样频率fs=1KHz对其进行采样，计算采样信号x(n)=xa(t)t=nT的DFS。 s （1）x(n)解： w= n=−∞ .kh=a|n| ∞ 19.求下列序列的Z变换，并画出极零图和收敛区域。 X(z)= n=−∞ ∑a −1 课n ∑a −n z 后z−n −n ∞n=0 πn1nπnπ−jk10 (Acos()+Bcos())e解：X(kΩ0)= 2052 +∑anz−n ww收敛域为az<1,且az −1 <1,且a<1 1 。 a 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com kh零点为z=0，极点为z1= 1 ,z2=a a da所以收敛域为a<1,且a 1−az1−az−1 (1−a2)z−1 =−1 (z−a)(1−az−1) omdaw.comπππkh.comn) π4n) xa(t)=Acos(200πt)+Bcos(500πt) 答案 网课后答案网 www.khdaw.com 收敛区域为下图阴影部分。 ⎧1, （2）x(n)=⎨ ⎩0, ∞ N−1n=0 解： n=−∞ 零点为z=1，极点为z=1，收敛域为z>0。 解： w.kh= z(1−z)(1−z−1)2 −1 −N 2 ⎧n,0≤n≤N⎪ x(n)=（3） ⎨2N−n,N+1≤n≤2N ⎪0,其它n⎩ x(n)=n[u(n)−u(n−1)]+(2N−n)[u(n−N)−u(n−2N)]=nu(n)−nu(n−N)+(2N−n)u(n−N)−(2N−n)u(n−2N) =nu(n)−2(n−N)u(n−N)+(n−2N)u(n−2N) z−1z−2Nz−12z−Nz−1 X(z)=−+ (1−z−1)2(1−z−1)2(1−z−1)2 课后答案X(z)= ∑x(n)z −n =∑z −n ww零点z=1，极点z=0,z=1。 （4）x(n)解： =n(n≥0) 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaw.c收敛域为1 khdaw.com0≤n≤N−1 n<0,n>N−1 1−z−N= −1 1−z 网 课后答案网 www.khdaw.com X(z)= n=−∞ ∑x(n)z ∞ −n =∑nz n=1 ∞ −n z−1 = −12(1−z) 零点为z=0，极点为z1=z2=1 收敛域为z>1。 （6）x(n) z =cosan, 答案 （5）x(n)= 1n! 课−3z−1 x(n)在以下三种收敛域下，哪一种是⎯→21.设x(n)←−1−2，试问 2−5z+2z (1)|z|>2 (2) |z|<0.5 (3)0.5<|z|<2 解：(1)|z|>2 −3z−1−11 X(z)==+ 2−5z−1+2z−21−2z−11−0.5z−1 w因为|z|>2，所以2z .kh−1 左边序列、哪一种是右边序列、哪一种是双边序列？并求出各对应的 <1,0.5z−1<1 n −n wX(z)=−∑2z n n=0 −n +∑0.5z n=0 =∑(2−n−2n)z−n n=0 w (2) |z|<0.5 −3z−10.5z2z X(z)==− 2−5z−1+2z−21−0.5z1−2z 因为|z|<0.5，所以0.5z<1,2z<1 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaw.cx(n)=(2−n−2n)u(n)，为右边序列 om∞∞ daw.com khdaw.com后(n≥0) 网(n≥0)(a为常数) x(n) 。 ∞ 课后答案网 www.khdaw.com X(z)=−∑2z+∑0.5z= n n n n n=1 n=1 ∞∞ n=−∞ ∑(−2 −1 −n +2n)z−n x(n)=(−2−n+2n)u(−n−1)，为左边序列 (3)0.5<|z|<2 daw因为0.5<|z|<2 ∞ n −3z−10.5z1 X(z)==+ 2−5z−1+2z−21−0.5z1−0.5z−1 khX(z)=∑0.5z+∑0.5z n n n=1 n=0 ∞ x(n)=2nu(−n−1)+0.5nu(n)，为双边序列 22.求下列F 1+z−1 ,|z|>1 （2）−1−2 1−z2cosΩ0+z 解： ww所以 x(n)=a −n+1 u(n−1)−a−(n+1)u(n) w1+z−1 ,|z|>1 （2）−1−2 1−z2cosΩ0+z 因为 X(z)= 1−z−1cosΩ01−2z−1cosΩ0+z−2 + z−1sinΩ0 1−2z−1cosΩ0+z−2 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khda⋅ 1+cosΩ0 sinΩ0 w.com∞∞ z−1−a−1z−1a−1−n+1−n =−=∑az−∑a−(n+1)z−n 因为 X(z)=−1−1−1 1−(az)1−(az)1−(az)n=1n=0 .kh1−az−1 ,（1）−1 z−a |z|> z−n0 ,|z|>1,n0为某整数 （3）−n0 1+z 1 a 课后1−az−1 ,（1）−1 z−a 答案|z|> (z)的Z反变换： daw.com−n .com= n=−∞ ∑2 −1 n z −n +∑0.5nz−n n=0 ∞ 网1 a 课后答案网 www.khdaw.com 所以 x(n)= sin(n+1)Ω0sinnΩ0 u(n+1)+u(n) sinΩ0sinΩ0 z−n0 ,|z|>1,n0为某整数 （3） 1+z−n0 B. 当n0≠0时， ∞ khX(z)=−∑(−z−n0)n=−∑(−1)nz−n0n=−∑(−1) n=1 n=1 n'=n0 n+n0n0 ∞ x(n)=(−1) u(n−n0) (1) e −an cosΩ0n⋅u(n) (2) rN (3) 1 (4) 1解： w(4) 1 .kh(n) (1−az −1 (1−z−12acosΩ0+z−2a2),0 −1−12 1−z2acosΩ0+za 课 参考习题： 1.求下列相应序列的频谱 ),0 wa 令z=e n=−∞ ∑x(n)z ，则 ∞ −n jΩ 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaw.comdaw.com∞ n'n0 A. 当n0=0时，X(z)=0.5，则x(n)=0.5δ(n) daw.comz −n' =−∑(−1) n=n0 ∞ nn0 z−n 后答案网课后答案网 www.khdaw.com X(e)= jΩ n=−∞ ∑x(n)e ∞ −jΩn X(ejΩ)= khdaw解： jΩ 2 ⎯→2.设x(n)← F X(e jΩ X(e)=X(ejΩ)⋅X∗(ejΩ) −1 jΩ 2 F[X(e)]=F−1[X(ejΩ)⋅X∗(ejΩ)] =x(n)∗x∗(−n) =F−1[X(ejΩ)]∗F−1[X(ejΩ)] 3、试求 2tπt 的不失真采样的最大采样周期 cos t2−12 w.khw若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com 课后答案 wkhdaw.comdaw.com)，求|X(e jΩ .com1 1−e−jΩ2acosΩ0+e−sjΩa2 )|2的傅立叶反变换。 网课后答案网 www.khdaw.com 解：设x1(t)=x2(t)=cos 2t ↔X1(ω)2 t−1↔X2(ω) = 后πππ22 1 [π×2cos(ω−τ)(−jπsgn(ω−τ))|−π+π×2cos(ω−τ)(−jπsgn(ω−τ))|π] τ=τ=2π22 ∴ωm= 2 ∴最小采样频率为Ωs=2ωm=πw ∴最大采样周期为T= wLω）4、一个理想采样系统频率为Ωs=8π，采样后经过低通（还原： wL(ω)={ cos |ω|<4π8π0 |ω|≥4π今有输入x(t)= 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khda什么失真？ w.cωsinπt ,问输出信号y(t)有没有失真？是πt om .kh|ω|≥ ={ 2jπsin(ω)0 π课|ω|< =jπsin(ω)[sgn(ω+)−sgn(ω−)] 22 答案π]=π[δ(ω+)+δ(ω−)]222 +∞1ππ∴X(ω)=X1(ω)*X2(ω)=πδτ++δτ−[()()]⋅2cos(ω−τ)[−jπsgn(ω−τ)]dτ∫2π−∞22 2π2π==2Ωsπ网而F[cos πt daw.comππ2 X(ω)=F[x1(t)x2(t)]=X1(ω)*X2(ω) 1 ∵F[]=−jπsgn(ω) t1∴F[]=ejω[−jπsgn(ω)] t+11F[]=e−jω[−jπsgn(ω)]t−12t11∴F[2]=F[]+F[]=ejω[−jπsgn(ω)]+e−jω[−jπsgn(ω)] t−1t+1t−1=2cosω[−jπsgn(ω)] khdaw.comπt 课后答案网 www.khdaw.com ∞ 1∞ ∴X(ω)=∑X(ω−nΩs)=4∑X(ω−n×8π) Tn=−∞n=−∞ '' .com'' ∞n=−∞ sinπt =Sa(πt)πt|ω|<π∴X(ω)={10 |ω|≥π, 解：∵x(t)= ∵F−1[cos khω111 ]=[δ(−t+)+δ(−t−)]8π28π8π∞ 11ω−1 ∴y(t)=4F[cos]*x(t)=2∫[δ(−τ+)+δ(−τ−)]⋅Sa((t−τ)π)dτ8π8π8π−∞ 2[Sa((t−τ)π)| τ= 1 8π+Sa((t−τ)π)| ∴y(t)应该有失真。 .khn w产生幅度失真。 w5.试指出如下序列的因果性及稳定性。 （1）2 u(−n) w解： x(n)=2nu(−n) x(n)u(n)=2nu(−n)u(n)=2n 所以 n=0 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khx(n)≠x(n)u(n) da=1 w.comdaw.com ∴Y(ω)=L(ω)X(ω)=L(ω)4∑X(ω−n×8π)=4cos dawωX(ω)8π11 SatSat=−++ππ]2[()()]1 τ=−888π课后答案网 课后答案网 www.khdaw.com 所以x(n)不是因果信号。 n=−∞ ∑x(n)=∑2 n=−∞ 所以x(n)是稳定信号。 (2) 1 u(n) n 解：x(n)u(n)= kh11 u(n)u(n)=u(n)=x(n) nn 所以x(n)是因果信号。 6、设h(n)={-2,2,0,1,5},x(n)={2,1,6,1,-1,4},求y(n)=h(n)*x(n) 2 1 6 1 −1 4解： × −2 2 0 1 5 .khww −4 −2 −12 −2 2 −8 4 2 12 2 −2 8 0 0 0 0 0 0 2 1 6 1 −1 4 + 10 5 30 5 −5 20 课______________________________________________________________ 后答案所以x(n)是不稳定信号。 网n=−∞ ∑ ∞ x(n)=∑ 1 发散 n=0n ∞ w即y(n)={-4 2 –10 12 15 1 39 4 -1 20} 7.分别以4、8为周期，将x(n)={x(−1),x(0),x(1),x(2),x(3),x(4)}={−1,0,1,2,3,4} 周期化， 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khxN(n)。 求其周期信号~ daw.com _________________________________________________________________________ −4 2 −10 12 15 1 39 4 −1 20 daw.com daw.comn n=0 ∞0 =∑2−n=2<∞ ∞ 课后答案网 www.khdaw.com 解： （1）N=4,~x4(n)={4,1,2,2} w.khw若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com wkhdaw.comdaw.com答案网kh课daw后.com （2）N=8,~x8(n)={0,1,2,3,4,0,0,−1} 课后答案网 www.khdaw.com 习题（P202） 1. 某线性时不变系统，当激励为图P3.1(a)所示三个形状相同的波形时，其零状态响应y1(t)如图P3.1(b)所示。试求当激励为图P3.1(c)所示的x2(t)[每个波形与图(a)中的任一形状相同] khdaw时的零状态响应y2(t)。 解： 课x2(t)=x1(t)−x1(t−1)+x1(t−2) 令 ∴y2(t)=y1(t)−y1(t−1)+y1(t−2) .kh−2(t−5)u(t−5)+(t−6)u(t−6) α(t)=t⋅[u(t)−u(t−1)]+(−t+2)[u(t−1)−u(t−2)] =tu(t)−2(t−1)u(t−1)+(t−2)u(t−2) y2(t)=α(t)+α(t−2)+α(t−4) w=tu(t)−2(t−1)u(t−1)+(t−2)u(t−2)+(t−2)u(t−2) −2(t−3)u(t−3)+(t−4)u(t−4)+(t−4)u(t−4)−2(t−5)u(t−5)+(t−6)u(t−6) =tu(t)−2(t−1)u(t−1)+2(t−2)u(t−2)−2(t−3)u(t−3)+2(t−4)u(t−4) w w(2) 初始条件增大1倍，当激励为0.5x(t)时的全响应y4(t)。 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com kh 解：因为系统是线性时不变的， da+sin2t)U(t)； −3t 若当激励为2x(t)，其全响应为y2(t)=(e+2sin2t)U(t)。 求：（1）初始条件不变，当激励为x(t−t0)时的全响应y3(t),t0为大于零的实常数； 若当激励为x(t)时，其全响应为y1(t)=(2e −3t w.c6. 某一线性时不变系统，在相同的初始条件下， omdaw.com答案网图 P3.1 后.com 课后答案网 www.khdaw.com ∴y1(t)=y1'(t)+y1''(t)=(2e−3t+sin2t)u(t) .com−3t 其中y1'(t)是零输入响应，y1''(t)是零状态响应 则y2(t)=y1'(t)+y2''(t)=y1'(t)+2y1''(t)=(e −3t +2sin2t)u(t) khdaw y1'(t)=3eu(t) 当初始条件不变，激励为x1(t−t0)时, y3(t)=y1'(t)+y1''(t−t0)=3e−3tu(t)+[−e−3(t−t0)+sin2(t−t0)]u(t−t0) (2)、当初始条件增大一倍，激励为0.5x1(t)时，有： =(5.5e −3t +0.5sin2t)u(t) h2(t)=δ(t−1) （单位延时器） h3(t)=−δ(t) （倒相器） 求总系统的冲激响应h(t)。 .khw 解： 课后9. 如图P3.4所示系统是由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为 h1(t)=U(t) （积分器） 答案网y4(t)=2y1'(t)+0.5y1''(t)=6e−3tu(t)+(−0.5e−3t+0.5sin2t)u(t) wh2(t)*h1(t)*h3(t)+h1(t)=u(t)−δ(t−1)*δ(t)*u(t) =u(t)−u(t−1) w 11. 考虑一个线性时不变系统S和一信号x(t)=2e x(t)→y(t) 和 −3t 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdx(t) →−3y(t)+e−2tu(t) dt dau(t−1),若 w.comdaw.com 图 P3.4 ∴y1''(t)=y2(t)−y1(t)=(−e−3t+sin2t)u(t) 课后答案网 www.khdaw.com 求系统S的单位冲激响应h(t)。 .com−∞ ∞∞ −3τ2e∫u(τ−1)h(t−τ)dτ 解：∵y(t)=x(t)*h(t)=又∵−3y(t)+e−2tu(t)= ∫x(τ)h(t−τ)dτ= −∞ daw∞ 把y(t)代入有−3∫2e−3τu(τ−1)h(t−τ)dτ+e−2tu(t)= −∞ ∞ ∞ khd[2e−3τu(τ−1)]−3τ−3τ⋅h(t−τ)dτ=[−6eu(τ−1)+2eδ(τ−1)]⋅h(t−τ)dτ ∫∫dτ−∞−∞ ∞ 即：∫2e−3τδ(τ−1)h(t−τ)dτ=e−2tu(t) −∞ 19. 在图P3.14（a）所示系统中，已知H1(ω)如图P3.14（c）所示；h2(t)的波形如图P3.14（b）所示；f(t)= n=−∞ w.kh∞ 课1 h(t)=e−2t+1u(t+1) 2 ∑δ(t−n),n=0,±1,±2,。求零状态响应y(t)。 后答案∴2e−3h(t−1)=e−2tu(t) 13−2t h(t−1)=eeu(t) 2 ww解；H2(ω)= 2e−jωsinωω∞ X(ω)=2πn=−∞ ∑δ(ω−2πn) 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaw.c 图 P3.14 om daw.comdx(τ) ⋅h(t−τ)dτ= ∫τd−∞ ∞ dx(t) *h(t) dt 网课后答案网 www.khdaw.com Y(ω)=H1(ω)H2(ω)X(ω)=2πn=−∞ ∑H(2πn)H 1 ∞ 2 (2πn)δ(ω−2πn)=0 ∴y(t)=0 khdawjt 求经过滤波后的输出y(t)。 （1）x(t)=e （2）x(t)=(sinω0t)u(t) （3）X(ω)= 11 （4）X(ω)= (jω)(6+jω)2+jωw （2）x(t)=(sinω0t)u(t) .khY(s)=X(s)H(s)=−2+ X(s)= 解：由图3.16可知 H(ω)=−2jω H(s)=−2s jt （1）x(t)=e x(t)=ejt=cost+jsint s1 +j2X(s)=2 s+1s+1 22s + j22 s+1s+1 y(t)=−2δ(t)+2sintu(t)+j2costu(t) wwy(t)=−2ω0cosω0tu(t) （3）X(ω)= Y(ω)=X(ω)H(ω)= 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com kh−2−2jω= jω(6+jω)6+jωda1 (jω)(6+jω) w.cY(s)=X(s)H(s)=−2s ω0s 2 =−ω02222 s+ω0s+ω0 omω0 22 s+ω0 daw.com答案网 图 P3.16 21. 有一因果线性时不变滤波器，其频率响应H(ω)如图P3.16所示。对以下给定的输入， 课后.com课后答案网 www.khdaw.com y(t)=−2e−6tu(t) （4）X(ω)= Y(ω)=X(ω)H(ω)= y(t)=−2δ(t)+4e−2tu(t) kh24. 已知如图P3.18所示系统。 （1） 求H(s)= 答案网Y(s) ； F(s) （2） 求冲激响应h(t)与阶跃响应g(t); （3） 若f(t)=U(t−1)−U(t−2)，求零状态响应y(t)。 解： （2） h(t)=u(t)−e−tu(t)=(1−e−t)u(t)(冲激响应 收敛域σ>0) w.khG(s)=F(s)H(s)= ∞n=−∞ 1 11 （1） H(s)=s⋅= 1ss(s+1)1+s w（3） 根据线性时不变系统的性质： y(t)=g(t−1)−g(t−2)=(e−t+1+t−2)u(t−1)−(e−t+2+t−3)u(t−2) w 1. 如图P3.9(a)所示为理想低通滤波器系统，已知激励 x(t)= 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com kh∑δ(t−nT),n=0,±1,±2,,T=10 da−3 参考习题： s; w.com g(t)=(e−t−1+t)u(t) (阶跃响应 收敛域σ>0) daw.com 图 P3.18 daw课后.com1 2+jω4−2jω=−2+ 2+jω2+jω11111⋅=−+2 ss(s+1)s+1ss 课后答案网 www.khdaw.com 系统的H(ω)=2G2ωm(ω)e −jωt0 ，如图P3.9 (b)所示，ωm=10rad/s。求响应y(t)。 4 .com解： X(nω0)= 1T T2 −T2 −jnωt δtedt=()∫ 0 ∞1 X(ω)=∑2πδ(ω−nω0)=ω0∑δ(ω−nω0) Tn=−∞n=−∞ ∞ y(t)=2ω0[ 课111 +cosω0t0cosω0t+sinω0t0sinω0t] π2ππω22π=0[1+2cosω0(t−t0)]=[1+2cos(t−t0)] πTT=2000[1+2cos2000π(t−t0)] 2. 已知系统频率特性H(ω)= x(t)=e−tU(t)。求全响应y(t)。 解： w H(ω)= .khjω −ω2+5jω+6 ww(s2+5s+6)Y(s)−2s−11=sX(s)= 2s2+14s+11 Y(s)= (s+1)(s+2)(s+3) 9−12.5−0.5++= s+1s+2s+3 s s+1 若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！ ℡ www.khdaw.com khdaw.cy''(t)+5y'(t)+6y(t)=x'(t) omY(ω)jωjω ==22 X(ω)−ω+j5ω+6(jω)+j5ω+6 后答案jω, 系统的初始状态y(0)=2,y'(0)=1,激励 −ω2+j5ω+6 网 Y(ω)=2ω0[δ(ω)+δ(ω−ω0)e−jωt+δ(ω+ω0)ejωt] 00 0 daw.com图 P3.9 dawkh1 T 课后答案网 www.khdaw.com y(t)=−0.5e−t+9e−2t−6.5e−3t （1）系统是线性的吗？ （2）系统是时不变的吗？ （3）若x(n)为有界且界定为一有限整数B(即对全部n, x(n) 解：(1)、x1(k)→y1(n)= 其中a,b为任意常数 课k=n+n0k=n−n0 后x3(k)=ax1(k)+bx2(k) 答案2 k=n−n0n+n0 x2(k)→y2(n)= 因此系统是线性的。 (2)、y1(n)= n+n0 .kh=ay1(n)+by2(n) 1 k=n−n0 ∴y3(n)= ∑x(k)=∑[ax(k)+bx 3 1 k=n−n0 w∑x(k) y1(n−n1)= n+n0−n1 x2(k)=x1(k−n1) n+n0 w∴y2(n)== n+n0−n1 k=n−n0 ∑x(k−n)令k'=k−n∑x(k') 1 1 1 1 k'=n−n0−n1 w1 k=n−n0−n1 11 所以系统是时不变的。 (3)、 |y(n)|=| n+n0 k=n−n0 ∑x(k)|≤∑|x(k)|<∑B=(2n k=n−n0 k=n−n0 ∴|y(n)| khda0 n+n0n+n0 +1)B=C w.c∑x(k)=y(n−n) omdaw.comn+n0 式中n0为某一有限正整数。 khdaw.comn+n0 3. 考虑一个离散时间系统其输入x(n)和输出y(n)关系为 y[n]= k=n−n0 ∑x[k] ∑x 网(k) k=n−n0 ∑x(k) 1 2 (k)]=a n+n0 k=n−n0 ∑x(k)+b∑x 1 k=n−n0 n+n0 2 (k) n+n0−n1 1 k=n−n0−n1 ∑x (k) 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容