新教材高中数学1.5全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定课后课时精练人教版必修第一册

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．命题“∀x≥0，x＋x≥0”的否定是( ) A．∀x<0，x＋x<0 C．∃x≥0，x＋x<0 答案 C

解析 由全称量词命题的否定是存在量词命题可知A，B错误；因为对x＋x≥0的否定为

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B．∀x<0，x＋x≥0 D．∃x≥0，x＋x≥0

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x3＋x<0，所以D错误，C正确．

2．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是( ) A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等边三角形 C．所有三角形都不是等腰三角形 D．所有三角形都是等腰三角形 答案 C

解析 存在量词命题的否定为全称量词命题，注意否定结论．故选C. 3．命题“∃n∈N，n＞2”的否定是( ) A．∀n∈N，n＞2 C．∀n∈N，n≤2 答案 C

解析 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，注意否定结论，所以∀n∈N，n≤2，故选C.

4．命题“∃m∈R，方程x＋mx＋1＝0有实数根”的否定是( ) A．∃m∈R，方程x＋mx＋1＝0无实数根 B．不存在实数m，方程x＋mx＋1＝0无实数根 C．∀m∈R，方程x＋mx＋1＝0无实数根

D．至多有一个实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实数根 答案 C

解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．故选C.

5．已知命题p：∀x∈R，x＋x＋a≠0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )

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nnB．∃n∈N，n≤2 D．∃n∈N，n＝2

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2nnnn1A．a≤ 41

C．a<－或a>0

4答案 A

1B．a<

4

1

D．a≤－或a≥0

4

解析 ∵p是假命题，∴命题p的否定，即∃x∈R，x＋x＋a＝0是真命题．∴Δ＝1－4a≥0，1∴a≤. 4

二、填空题

6．命题p：∃x∈R，x＋3x＋2<0，则命题p的否定为________． 答案 ∀x∈R，x＋3x＋2≥0

解析 命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是∀x∈R，x＋3x＋2≥0.

7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________． 答案 任意一个三角形都有外接圆

解析 该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”．

8．若命题“∀x∈R,2x＋3x＋a≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 9

答案 a≤ 8

解析 因为命题“∀x∈R,2x＋3x＋a≠0”是假命题，所以其否定“∃x∈R,2x＋3x＋a992

＝0”是真命题，所以Δ＝3－4×2×a≥0，解得a≤.故实数a的取值范围是a≤.

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三、解答题

9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假： (1)关于x的方程ax＝b都有实数根； (2)有些正整数没有1和它本身以外的约数； (3)对任意实数x1，x2，若x11，x－2x－3＝0.

解 (1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如当a＝0，b＝1时，方程ax＝b无实数根，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．

(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题．

(3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，若x1＝－1，x2＝1，有x1＋1＝x2＋1，故这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．

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(4)这个命题的否定为“∀x>1，x－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．

10．已知命题“∀x∈R，ax＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．

解 题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax＋2x＋1＝0有实数根．

a≠0，

所以a＝0或

4－4a≥0，

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即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1.

所以实数a的取值范围是a≤1.

B级：“四能”提升训练

1．a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x＋x＋b＝0，x＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．

证明 要证明结论的否定：两个方程都没有两个不相等的实数根，则有： Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a－4c≤0. 所以Δ1＋Δ2＝1－4b＋a－4c≤0. 因为a＝b＋c＋1，所以b＋c＝a－1. 所以1－4(a－1)＋a≤0，即a－4a＋5≤0. 但是a－4a＋5＝(a－2)＋1>0，故矛盾．

所以要证明结论的否定是假命题，要证明的结论为真命题，即两个一元二次方程x＋x＋

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b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．

2．已知命题p：∀x∈R,2x≠－x＋m，命题q：∃x∈R，x＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．

解 因为命题p为假命题，所以命题p的否定为真命题，即命题“∃x∈R,2x＝－x＋m”为真命题．

则－x－2x＋m＝0有实根． 所以Δ＝4＋4m≥0，所以m≥－1.

若命题q：∃x∈R，x＋2x－m－1＝0为真命题， 则方程x＋2x－m－1＝0有实根， 所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2. 所以m≥－1且m≥－2， 所以m的取值范围为m≥－1.

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