七年级数学竞赛 第8讲 设而不求

知能概述：

字母示数是代数的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃。 字母示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用。 为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义。

问题解决：

例1．一个摩托车手在前均速度为 。 解题思路：平均速度=

12旅程中速度是40千米/时，在后旅程中速度是50千米/时，则在他的全程中平33总路程，题设中并未给出总路程，需设出总路程。

总时间(江苏省竞賽题)

例2．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ）。

A．1627384950 B．23456710 C．3579111300 D．4692581470

(江苏省竞赛题)

解题思路：设自然数从a+1开始，这100个连续自然数的和为(a+1)+(a+2) +…+(a+100)=100a+5050，

从揭示和的特征入手。

例3．在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司赞助的款购买一批奖品，若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品。问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少?

(湖北省黄冈市竞赛题)

解题思路：设每台计算器x元，每本《数学竞赛讲座》书y元，利用赞助款不变，寻找x，y的关系。

例4．将若干个自然数按某种规律排列，若前8个数依次是1，3，6，10，15，21，28，36，则第50个数是多少?

(世界数学团体锦标賽试题)

解题思路：设已知的数依次是a1，a2，a3，a4，…，a50，…，这若干个自然数排列的规律是什么?怎样求出a50?

例5．如图，已知四边形 ABCD各边的中点E，F，M，N的连线EM，FN交DNA于O，分四边形ABCD的面积三块为6，8，10，求第四块的面积。 dd(“希望杯”邀请赛试题) ca6M解题思路：连OA，OB，OC，OD，设 S△OAE= S△OBE =a，S△OBF= S△OCF=b，SEOca10△OCM= S△ODM=c，S△ODN= S△OAN=d，将问题转化为求c+d的值。 b8b CBF

例6．从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等。求所切下的合金的重量是多少千克?

分析：由于已知条件中涉及合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件。

解法1：设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q( p≠q)，于是有

xq+(12−x)pxp+(8−x)q， =128整理得5(q− p)x=24(q − p)，

因为p≠q，所以q−ρ≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克。

解法2：设从重12 千克的合金上切下的x千克中含铜m千克，从重8千克的合金上切下的x千克中含铜n干克(m≠n)，则这两个合金含铜的百分数分别为

mn和，于是有 xxn+(12−x)

12mnm+(8−x)x=x，

8整理得5x(n−m) =24(n−m).

因为m≠n，所以n−m≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克。

例7．23个不同的正整数的和为4845，问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少?写出你的结论，并说明理由。

(“希望杯”邀请赛试题)

解：设这23个彼此不同的正整数为a1，a2，a3，…，a22，a23，且(a1，a2，a3，…，a22，a23) =d，故可记a1=db1，a2=db2，a3=db3，…，a22=db22，a23=db23，，其中b1，b2，… ，b23是互不相等的正整数，由题意得

4845 =d(b1+b2+…+b22+b23)，

∵ b1+b2 +…+b22+b23≥1+2 +… +22+23=276， ∴ 4845=d(b1+b2 +…+b22+b23)≥276×d，

484551即d≤17×5×3， =17，而4845=19×

27692故d最大可能取17.

事实上，若d=17，则b1+b2 +…+b22+b23=19×15=285，

试取b1=1，b2=2，…，b22=22，则b1+b2 +…+b22+b23=253， 此时取b23=285−253=32，正好满足条件.

三阶幻方:

相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，也就是在3×3的方阵中填入1~9，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等，

现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在3×3的方阵图中，每行、每列、每条对角线上3个数的和都相等，就称它为三阶幻方。

解幻方问题，常需恰当引元，运用幻方定义、性质、整体核算等方法求解.

例8．如图，3×3数表各行、各列及两条对角线之和彼此相等，设为S，求证： a（1）S=3e； d（2）2(a+c+g+i)=b+d+f +h +4e. g (环球城市数学奥林匹克试题)

解题思路：三阶幻方如何构造?熟悉例8揭示的规律及以下性质，是构造的关键。 （1）在三阶幻方中，每个数都加上或都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方； （2）d+f=b+h=a+i=c+g=2e\" 。

behcfi刻 意 练 习

1．如图是一组有规律的图案，它们是由边长同的小正形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有 个涂有阴影的小正方形。(用含有n的代数式表示)，

(2016年山西省中考题)

第1个第2个第3个

2．已知17个连续整数的和是306，那么紧接在这17个数后面的那17个整数的和是 。

(天津市竞赛题)

3．如图是一个3×3的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是

k相等的，则k= 。

11(两岸四地数学精英邀请赛试题)

121

4．一条公交线路从起点到终点有8个站，一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人，则从前6上车而在终点站下车的乘客有 人。

(“希望杯”邀请赛试题)

5．巴勃罗、索菲亚和米娅在一次聚会上各分得一些糖果，巴勃罗的糖果数为索菲亚糖果数的3倍，索非亚的糖果数为米娅糖果数的2倍。巴勃罗决定将自己的糖果分给索菲亚和米娅部分，这样三个人的糖果数相等，则巴勃罗分给索菲亚的糖果数占自己原来糖果数的 。.

(美国数学竞赛题)

6．商场广告写着\"每件商品五折特卖”，并在结账时，若使用优惠券，价格再降二折，则使用优惠券后，付款价格是原来的( )。

A．10% B．33% C．40% D．60% E．70%

(美国数学竞赛题)

7．某研究所全体员工的月平均工资为5500元，男员工月平均工资为6500元，女员工月平均工资为5000元，则该研究所男、女员工人数之比是( )。

A．2 ：3 B．3 ：2 C．1 ：2 D．2 ：1

(“希望杯”邀请赛试题)

8．当克拉拉计算自己各科测试成绩的总分时，无意识地将某科分数的十位与个位交换了位置，则最有可能是错误的总分与正确的总分相差的分数是( )。

A．45 B．46 C．47 D．48 E．49

(美国数学邀请赛试题)

9．老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是34567，34056，23456，34956，老师判定4个结果中只有1个正确，答对的是( )。 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

(四川省党赛题)

10．某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的生人数占三个年级学生人数的比是( )。 A．

4，已知初一年51，那么三个年级女41110910 B． C． D．

21211919

(“希望杯”邀请赛试题)

11．如图，有9个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：图中左上角的数是多少?

(北京市“迎春杯”竞赛题)

12．某次数学竞赛前60名获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人；现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人。调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分。如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分?

(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

13．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流入池中的水量相同)不停地向池塘内流淌。现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机20分钟正好把池塘中水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽水，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完?

(江苏省竞赛题)

14．甲和乙同时分别从A，B两地出发以各自的匀速度相向行走(两人的速度可不同)，相遇于C点。若甲比乙早出发30分钟，则他们的相遇点到B的距离比C到B的距离少2公里，若乙比甲早出发30分钟，则他们的相遇点到A的距离比C到A的距离少，少多少公里？

(环球城市数学奥林匹克试题)

15．圆周上放置了100个整数。已知每个整数均比其顺时针方向接下来的两个数的和大。问：这100个数中至多会有多少个正数？

(俄罗斯数学奥林匹克试题)