材料力学第五章

解 首先计算其约束反力，设其方向如图20-10(a)所示。由平衡方程得：

mA0 mPYBlYBl0 25P 2l02mB0 YAlmP

YAP

这里YA 为负，说明它的方向设反了。

m=2Pl 32P (a) A C YA B l2ll44m QC YB

QB

(b) MB MC

C 3PY = AO O YB B

2图 20-10

下面计算C截面的内力。假想将梁在C截面截开，如果保留左段，可先设剪力QC 与弯矩MC 皆为正，它们的方向必然如图20-10（b）所示。在图20-10（b）中将YA的正确方向画出，这时，由平衡方程得：

3Y0 YAQC0 QCP

2m00 YAlmMC0 413Pl 8 MC弯矩MC 得正号，说明原先假定正弯矩的转向是对的，同时又表示该截面的弯矩是正弯矩。而剪力QC得负号，说明剪力的方向设反了，实际上为负剪力。

最后再计算B截面的内力。将梁假想在B截面截开，并选右段为研究对象，设QB与MB皆为正，由平衡方程得

5Y0 QBYBP

2 m00 MBYB00 MB0

例 20-2 切刀在切割棒料时，若刀刃上的切割力在垂直方向的分力为P[图20-11（a）]，切刀的伸出长度为l，试作切刀伸出部分的剪力图和弯矩图。

解 首先将刀杆简化为一个受集中力P作用的悬臂梁[图20-11（b）]。以自由端为坐标原点，在建立梁的剪力和弯矩方程时，取距原点为x的任意截面[图20-11（b）]，并研究截面左边的一段梁。由于其上的外力为已知，故无需先求支座反力。按前述方法，可得到该截面上的剪力和弯矩分别为： QP MPx

由于梁上除P力外，再没有其它的载荷，因而这两个方程式（a）、（b）对于全梁的各横截面，即在0≤x≤l的范围内均适用。

由式（a）知，剪力Q是一常数，所以剪力图是一平行于x轴的直线[图20-11（c）]；由式（b）知，弯矩M是x 的一次函数，所以弯矩图是一直线，只

需确定其上两点的数值，例如x0处，M0；xl处，MPl。选定适当的比例，即可绘出弯矩图[20-11（d）]。

剪力图、弯矩图表明，在固定端处左侧横截面上的弯矩值最大，MmaxPl，这里的负号实质上仅表示梁的变形现象，而无一般的代数符号的含义。至于剪力，则在各截面上均相同。

例20-3 图20-12（a）所示为一钢板校平机的示意图。其轧辊可简化为一简支梁，工作时所受压力可近似地简化为作用于全梁的均布载荷q[图20-12（b）]，试作梁的剪力图和弯矩图。

解 对于简支梁，必须首先计算支反力，这是因为在计算横截面的剪力和弯矩时，不论取截面哪一边的梁，其上的外力均包括有一个支反力。在本例中，梁AB在均布载荷q的作用下，其合力是ql，由梁和载荷的对称关系可知：

RARB1ql2(d) (c) (b) P x l (a) P M A Q O O B Pl (-) (-) 图 20-11

任取距左端A为x处的横截面，当0≤x≤l时，在此截面左边梁上均布载荷的合力为qx。它对于此截面形心的力臂为

QRAqxx[图20-12（c）]。则由此可列出梁的剪力和弯矩方程： 2qlqx (a) 2x11qlxqx2 (b) 222 MRAxqx

P x x q A RA x l B (b)

RB RA x/2 x 轧辊 M Q x (c)

(a)

ql/2 Q (+) l/2 M (+) ql2/8 ql/2 x (-) (d)

(e)

图 20-12

由式（a）知剪力图为一斜直线，确定两点：x0处， Q11ql；xl处，Qql，22即可绘出剪力图[图20-12（d）]。Q图在梁跨中点经过横坐标轴，在此截面Q值为零。

由式（b）知，M是x的二次函数，因此弯矩图为一抛物线，至少应由三点（包括顶点）来确定。梁端处（即x0及xl时）的弯矩均为零，由于载荷对称，抛物线顶点必在跨度

lql2中点，此时以 x 代入式（b）即得Mmax ，由以上三点的坐标即可绘出弯矩图[图

2820-12（e）]。

有时不能凭观察判断出抛物线顶点的位置，可将弯矩方程式对x取一次导数并令其等于零，即可求解抛物线顶点的横坐标x。

例 20-4 装有直齿圆锥齿轮的传动轴[图20-13（a）]，可简化为简支梁[图20-13（b）]。当仅考虑齿轮上的轴向力Pa对轴的力偶矩M0Par时，试作轴的剪力图和弯矩图。

M0= Par a b Pa (b)

xA RA C l (+) B RB r (c)

Q M0b/l m0/l x (a) (d)

M (+) M0a/l (-) x 图20-13

解 先由平衡方程MB0和MA0分别算得支反力为：

RAM0l RBM0l

因整个梁的载荷仅为一力偶，故全梁只有一个剪力方程。取距左端为x的任意剪力来分析，当0xl时

QRAM0 （a） l在集中力偶Mo的左、右边两段梁的弯矩方程式将不相同，须分段列出。 AC段上，即0xa时，

MRAxM0x (b) l CB段上，即axl时，

MMRAxM00xM0

l由式（a）知，剪力图为一水平直线[图20-13（c）]。由式（b）和（c）知，AC和CB两段梁的弯矩皆为斜直线，只要确定线上两点，就可以确定这条直线。梁端处的弯矩均为零。

M0另外根据式（b）在xa处（即c截面左侧），Ma。根据（c）式，当xlb时

lMM0b ，由此可绘出弯矩图如图20-13（d）所示。b＞a时，在集中力偶作用处的右侧l截面上的弯矩值最大。

例20-5 图20-14（a）为一直齿圆柱齿轮传动轴。该轴可简化为简支梁，当仅考虑齿轮上的径向力P对轴的作用时，其计算简图如图20-14（b）所示。试作轴的剪力图和弯矩图。

解 先由平衡方程式MB0和MA0分别求得支反力为：

RAPbPa RB

lla b (b

a (a)

b A x l C RRQ (+) (c

l PPb l O O (-) x (d

(+) 图20-14

在集中载荷的左、右两段梁的剪力和弯矩方程均不相同。对于c截面以左的梁，即

0xa时，其剪力和弯矩方程为：

QRAPb (a) lPbx (b) lPbP lMRAx 而对于C截面以右的梁，即axl时，其剪力、弯矩方程为：

QRAPP(lb)Pa (c) llPax MRAxP(xa)Pa(lx) (d) l 根据（a）、（c）两式，可绘出剪力图[图20-14（c）]；而根据（b）、（d）两式，则可绘出弯矩图[图20-14（d）]。

由图21-14可见，当b＞a时，在AC段梁的任意横截面的剪力值为最大，即 Qmax而集中载荷作用处的横截面上其弯矩值为最大，即 MmaxPab。 lPb，l 例20-6 外伸梁AD受载荷如图20-16（a）所示。试利用微分关系作剪力图及弯矩图。 解 （1）求支反力：由平衡条件MB0和MA0可求得；

RA72kN RB148kN

M0=160kN·m q=20kN/m P=20kN

（2）作剪力图：根据梁上受力情况应分为AC、CB、BD三段。AC段无载荷，所以剪力图应为一水平直线。CB及BD段有向下的均布载荷作用，所以Q图为向下倾斜的直线，且两段斜率一样。在集中力作用处Q图发生突变，其突变值等于集中力的大小。这样，根据梁上受力情况便可看出Q图的大致形状如图20-16（b）所示。所以作剪力图只要计算下面几个控制点处的剪力值。

在AC 段内 QRA72kN 在B点左侧 Q7220888kN 在B点右侧 Q2020260kN 在D点左侧 QP20kN

根据上面数值可作剪力图[图20-16（b）]所示。

RA Q A m Cx 28m B m D

2RB 72kN (+) 5.6m 60kN (-) (+) 20kN x O 88kN 14400kN·cm (+) O 11400kN·cm (+) (-) x 1600kN·cm 图20-16

8000kN·cm （3）作M图：根据Q图可以再来看M图的形状。AC段Q为正值常数，所以M图为向上倾斜的直线。在C处有集中力偶，所以弯矩图在此有突变。CB段Q由正值变到负值，所以M图在Q=0的截面以左为向右上的凸曲线，以右为向右下的上凸曲线，在Q=0处，M图有极大值（或极小值）。在B点处Q有突变，所以M图在此形成尖角。BD段Q为正值并由大到小，所以M图为向右上的上凸曲线。作弯矩图时，只计算下面几个控制点的弯矩值：

在C点左侧 M722144kNm 在C点右侧 M72216016kNm 在B点 M202202180kNm

在CB段内Q=0处，可令CB段的剪力方程等于零而求得该截面距梁左段的距离x的剪力为： QRAq(x2)0

R7225.6(m) 所以 xA2q20由此得 M725.6160203.6 114(kN.m)

3.6 2 根据上面数值可作弯矩图[图20-16c所示]。由弯矩图可见，最大弯矩值发生在C点左侧，既Mmax=144kN·m。

例20-8 试绘制20-20（a）所示刚架的弯矩图和轴力图。

a B A P x PPMNP

y C XmY(a

解 利用平衡条件求反力： X0， xc0

Y0， PYc0 YcP

b (b

图mc0 mcPa0 mcPa

然后列轴力和弯矩方程，因剪力Q比较次要而略去不计，对AB段距左端为x的任意截

面有：

MxPx

Nx0

再列BC段的内力方程，对距C段为y的任意截面有： MymcPa NyP

由上述方程可画出刚架的M图和N图［图20-20（b）（c）］。在画刚架弯矩图时，规定把弯矩图画在杆件受压纤维的一侧。如图20-20的水平杆AB上侧纤维受压，该段M图画在上侧；竖直杆BC右侧纤维受压，该段Ｍ图画在右侧。

例20-9 某车间安装一简易天车[图20-27（a）]，起重量G=50kN，跨度l=9.5m，电葫芦自重G=6.7kN，天车在起吊重物时多少承受一些突然加载的作用，故梁在中间承受的集中力（G+G1）应乘以动荷系数kd=1.2（根据设计规范），许用应力[σ]=140MPa,试选择工字截面。

解 在一般机械中，梁的自重较其承受的其它载荷小，故可先按集中力初选工字截面，集中力P值为：

PG1G2kd506.71.268kN

由集中力在中间截面引起的弯矩是[图20-27（b）]：

MP1689.5161.5kNm 4只考虑此弯矩时的强度条件为：

maxMmax WzMmax161.5106故 Wz1153.3103(mm3)

[]140由型钢表查找Wz比1150×103 mm3 稍大一些的工字钢号，查出40C工字钢，其Wz1190×10mm3,此钢号的自重q=801N/m。这时自重在中间截面引起的弯矩是[图20-27（c）]

121ql8019.529.04103(Nm) 88 9.04(kNm) Mq３

中间截面的总弯矩是：

MmaxMPMq170.5(kNm)

于是考虑自重在内的强度条件是：

max170.51061190103143.3(MPa)[]

140MPa

max虽大于许用应力[],但超出值在5%以内，工程中是允许的。 当不考虑梁自重时，max为：

max161.51061190103135.7(MPa)

考虑自重与不考虑自重相比，梁内应力相差（143.3-135.7）/143.3100%5.3%。因此，对于像钢这类强度较高的材料，计算应力时一般可忽略其自重的影响。

例20-10 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图20-28（a）所示，C为T形截面的形心，惯性矩Iz=6031×104mm4，材料的许用拉应力L40MPa，许用压应力y160MPa，试校核

梁的强度。

15kN (aA B m 15k(b+ - M30K

123截面B 截面A

a c y1=15C y z b MB MA

23d (c) (d)

图 20-28

解 梁弯矩图如图20-28(b)所示，绝对值最大的弯矩为负弯矩，发生在Ｂ截面上，应力分布如图20-28(c)所示。 此截面最大拉应力发生于截面上边缘各点处，大小为：

MBy230106(230157.5)a36.2(MPa)[L] 4Iz601310最大压应力发生于截面下边缘各点处，即

MBy130106157.5b78.6(MPa)[y]

Iz6013104虽然A截面弯矩的绝对值MAMB，但MA为正弯矩，应力分布如图20-28(d)所示。最大拉应力发生于截面下边缘各点，此截面上最大拉应力大于最大压应力。因此，全梁最大拉应力究竟发生在哪个截面上，必须经过计算才能确定：

A截面最大拉应力为： dMAy1150106157.539.3(MPa)[L] 4Iz601310从以上计算可看出，最大压应力发生于截面Ｂ下边缘处，最大拉应力发生于A截面下边缘处，都满足强度条件，因此是安全的。

例20-11 若[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，试为图20-36（a）所示梁选择工字钢型号。 解 （1）作Q图和M图：如图20－36（b）、（c）所示 （2）根据正应力强度条件选择截面：

Mmax100106max160MPa

WzWzYA (a)

故 Wz625103mm3 查型钢表，选32a工字钢，

Wz692.210mm。

33A C 0.5m 203m 20YB D0.5 m B (b) Q图 + 20 （3）校核剪应力：查型钢表32a工字钢Iz/Smax=274.6mm，腹板厚d＝9.5mm，故

QSQmax maxmaxzmaxIzSzmaxdIzd20010376.7(MPa)[]＝100MPa274.69.5(c) M图

20100kN•m

图20-36

例20-12 计算例20－10中梁的最大剪应力。

解 梁的最大剪力Q＝15kN，最大剪应力发生在中性轴处，即

QSzmax maxIzb式中惯矩Iz＝6013×104mm4，腹板宽b＝30mm，Szmax为中性轴一侧面积对中性轴的静矩，现取中性轴以下面积，则

Szmax30157.5157.5372103mm3 最大剪应力为：

max151033721036013104303.09MPa 12

思 考 题

20-1 什么是平面弯曲？有纵向对称面的梁，外力怎样作用可以形成平面弯曲？ 20-2 什么是梁横截面上的剪力和弯矩？如何计算？正负号怎样决定？

20-3 剪力、分布载荷集度、弯矩之间存在着什么关系？这些关系是怎样得出的？ 有什么用处？

20-4 梁的某一截面上的剪力如果等于零，这个截面上的弯矩有什么特点？ 20-5 弯矩图有一段曲线，从对应的剪力图怎样判断这段曲线向上凸还是向下凸？ 20-6 什么是中性层？怎样由纤维的拉伸、压缩变形得出横截面上正应力的分布规律？ 20-7 什么是中性轴？如何证明中性轴必通过截面形心？ 20-8 弯曲时正应力的计算公式是怎样导出的？

20-9 截面上有剪力（非纯弯曲）时，为什么由纯弯曲得出的正应力公式还可以适用？ 20-10 梁受横力弯曲时，矩形、工字形、圆形和圆环形截面上剪应力是怎样分布的？最大的剪应力发生在什么地方？

20-11 型钢为何要作成工字形、槽形？对抗拉和抗压强度不相等的材料为什么要采用T字形截面？

习 题

20-1 试用截面法求梁的C及D截面上的剪力和弯矩。其中在集中载荷P，均布载荷q及集中力偶M作用点的C、D截面，应取在作用点的左边，并无限接近于作用点的截面。

A P D B a C 2a a (aP A C D B ccc(c

Mmax值及其所在的截面位置。

q=C D B A ccc(

q MP=A C D B a a a (d

题20-1图

20-2 试列出梁中各段的剪力方程及弯矩方程，画出剪力图和弯矩图，并求出Qmax及

M=qa

2

q a A a C B a C a D a B (b) q M=qa2D a P P (a)

q=1kN/m P=1kN q=1kN/m 1m C1m 1m 1m B D E(c)

A a C a (d)

题20-2图

B q (a)

m (b)

2m )

q a a a a m=qa

2

q (c)

P=qa qa2m2(d)

q a a 题20-3图

a a a qa2

q Pa2A a B a(a)

C

题20-4图

C a A a (b)

P D a B 20-3 试利用q、Q、M间的微分关系绘制下列各梁的剪力图、弯矩图。

20-4 试用叠加法绘出下列各梁的弯矩图。

20-5 把直径d=1mm的钢丝绕在直径为2m的卷筒上，试计算该钢丝中产生的最大应力，设E=200GN/m2.

20-6 简支梁受均布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且

d3D1=40mm，2。试分别计算它们的最大正应力。并求空心截面比实心截面的最大正应

D25力减小了百分之几？

q2kN/m2m D1 d2 D2 题20-6图

20-7 某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷情况如图所示。试作该轴的弯矩图，并求轴内最大正应力。

20-8 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l=4m，确定此梁横截面的尺寸。

φ60 b2，q=10kN/m，10MN/m2，试h3C 400 800 200 l 300 h b 题20-8图

5N 3k3kE B φ45 q 题20-7图

20-9 20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若160MN/m2，试求许可载荷P。 20-10 切刀在切削工件时，受到P=1kN的切削力的作用。割刀尺寸如图所示。试求切刀内最大弯曲应力。

P P P 2m 2m 2m Ⅰ Ⅱ B 8 Ⅰ Ⅱ 22 2.5 13 4 题20-9图 题 20-10图

20-11 图示为一承受纯弯曲的铸铁梁，其上截面为⊥形，材料的拉伸和压缩的许用应力之比Ly14，求水平翼板的合理宽度b。

20-12 利用弯曲内力的知识，说明为何将标准双杠的尺寸设计成a=l/4。

30 zc yc b 题 20-11图

60 400 M M 15 a l 题20-12图

a 20-13 简支梁如图所示。试求I-I截面A、B点处的正应力和剪应力，并画出该截面上的正应力分布图。

40 1000 1000 1200 I I 1000 150 8A B

75 题20-13图

1m 1m 10m Q 题20-16图

l 100 题20-17图

50 50 50 20-14 当力P直接作用在梁AB中点时，梁内最大应力超过许用应力值30%，为消除这一过载现象，配置辅梁CD，如图所示。试求辅梁的最小跨度a。 P L/2

CD A B a L6m

题20-14图

20-15 图示二悬臂梁的截面均为矩形（b×h），但（a）梁为钢质，（b）梁为木质。试写出危险截面上的最大拉应力与最大压应力的表达式，并注明其位置。二梁的弹性模量分别为E钢、E木。 P P

钢 木 l l

（a） （b）

题20-15图

20-16 起重机下的梁由两根工字钢组成，起重机自重Q=50kN,起重量P=10kN。许用应力[σ]=160MPa，[τ]=100MPa。若暂不考虑梁的自重，试按正应力强度条件选择工字钢型号，然后再按剪应力强度条件进行校核。

20-17 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，跨度l=1m。若胶合面上的许用应力为0.34MPa，木材的许用弯曲正应力为[σ]=10MPa，许用剪应力为[τ]=1MPa，试求许可载荷P。 P 4m P

b h h b