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高考数学(理)二轮专题练习【专题5】(1)空间几何体(含答案)

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第1讲 空间几何体

考情解读 1.以三视图为载体,考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.

1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系

2.空间几何体的三视图

(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形.

(2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样.

(3)画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.看不到的线画虚线. 3.直观图的斜二测画法

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则:

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

4.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式: ①S柱侧=ch(c为底面周长,h为高); 1

②S锥侧=ch′(c为底面周长,h′为斜高);

2

1

③S台侧=(c+c′)h′(c′,c分别为上,下底面的周长,h′为斜高);

2④S球表=4πR2(R为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式: ①V柱体=Sh(S为底面面积,h为高); 1

②V锥体=Sh(S为底面面积,h为高);

31

③V台=(S+SS′+S′)h(不要求记忆);

34

④V球=πR3.

3

热点一 三视图与直观图

例1 某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

8A. 332C. 3

B.8 D.16

(2)(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )

思维启迪 (1)根据三视图确定几何体的直观图;(2)分析几何体的特征,从俯视图突破. 答案 (1)B (2)D

解析 (1)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,如图:

1

则该几何体的体积V=×2×2×4=8.

2(2)由俯视图易知答案为D.

思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图,因此在分析空间几何体的三视图问题时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果.

(1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别

是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( )

(2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )

答案 (1)A (2)D

解析 (1)根据已知条件作出图形:四面体C1-A1DB,标出各个点的坐标如图(1)所示,可以看出正视图为正方形,如图(2)所示.故选A.

(2)如图所示,点D1的投影为C1,点D的投影为C,点A的投影为B,故选D.

热点二 几何体的表面积与体积

例2 (1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.2π πC. 3

B.22π 2πD. 3

(2)如图,在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在C1D1与C1B1上,且C1E=4,C1F=3,连接EF,FB,DE,则几何体EFC1-DBC的体积为( )

A.66 C.70

B.68 D.72

思维启迪 (1)由三视图确定几何体形状;(2)对几何体进行分割. 答案 (1)D (2)A

12解析 (1)由三视图知,原几何体是两个相同的圆锥的组合,∴V=(×π×12)×2=π.

33(2)如图,连接DF,DC1,那么几何体EFC1-DBC被分割成三棱锥D-

1111

EFC1及四棱锥D-CBFC1,那么几何体EFC1-DBC的体积为V=××3×4×6+××(3

3232+6)×6×6=12+=66.

故所求几何体EFC1-DBC的体积为66.

思维升华 (1)利用三视图求解几何体的表面积、体积,关键是确定几何体的相关数据,掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”;(2)求不规则几何体的体积,常用“割补”的思想.

多面体MN-ABCD的底面ABCD为矩形,其正视图和侧视图如图,其中正视图

为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则该多面体的体积是( )

16+3

A.

316C. 3答案 D

解析 过M,N分别作两个垂直于底面的截面,将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥,1

由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形,面积为S1=×2×2=2,高为2,所以体积为V1

218

=4,两个四棱锥为全等四棱锥,棱锥的体积为V1=2××2×1×2=,所以多面体的体积为

33820

V=+4=,选D.

33热点三 多面体与球

例3 如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一个球面上,则该球的体积为( )

8+63

B.

320D. 3

A.32

π B.3π C.π D.2π 23

思维启迪 要求出球的体积就要求出球的半径,需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置,由于△BCD是直角三角形,根据直角三角形的性质:斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等,只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B,C,D的距离即可确定球心,进而求出球的半径,根据体积公式求解即可.

答案 A

解析 如图,取BD的中点E,BC的中点O, 连接AE,OD,EO,AO.

由题意,知AB=AD,所以AE⊥BD. 由于平面ABD⊥平面BCD,AE⊥BD, 所以AE⊥平面BCD.

因为AB=AD=CD=1,BD=2, 所以AE=所以OA=21,EO=. 223. 2

13

在Rt△BDC中,OB=OC=OD=BC=,

22所以四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为433

所以该球的体积V=π()3=π.故选A.

322思维升华 多面体与球接、切问题求解策略

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.

(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,则4R2=a2+b2+c2求解.

(1)(2014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,

加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )

A.1 C.3

B.2 D.4

3

. 2

(2)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的体积是________;若该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的表面积是________.

1

答案 (1)B (2) 3π

3

解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,如图所示.由题意知,当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时,该球的半1

径最大,故其半径r=×(6+8-10)=2.因此选B.

2

(2)由三视图可知,该几何体是四棱锥P-ABCD(如图),其中底面ABCD是边长为1的正方形,11

PA⊥底面ABCD,且PA=1,∴该四棱锥的体积为V=×1×1×1=.又PC为其外接球的直

33径,∴2R=PC=3,则球的表面积为S=4πR2=3π.

1.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和. 2.在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外),因此体积计算中的关键一环就是求出这个量.在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面.

3.一些不规则的几何体,求其体积多采用分割或补形的方法,从而转化为规则的几何体,而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体,若存在对称性,则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体,不过几何量不易求解,可根据其所具有的特征,联系其他常见几何体,作为这个规则几何体的一部分来求解).

4.长方体的外接球

(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径,即a2+b2+c2=2R; (2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径,即3a=2R.

真题感悟

1.(2014·北京)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) A.S1=S2=S3 C.S3=S1且S3≠S2 答案 D

解析 如图所示,△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影,所以1

S1=×2×2=2.

2

三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DEF(E,F分别为OA,BC的中点)全等,

1

所以S2=×2×2=2.

2

三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G,H分别为AB,OC的中点)全等, 1

所以S3=×2×2=2.

2所以S2=S3且S1≠S3.故选D.

2.(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积S19V1相等,且=,则的值是________.

S24V23

答案 2

S19

解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和h1,h2,由=,

S24πr29r131得2=,则=. πr24r22

由圆柱的侧面积相等,得2πr1h1=2πr2h2, h12即r1h1=r2h2,则=,

h23

2

V1πr1h13所以=2=. V2πr2h22

B.S2=S1且S2≠S3 D.S3=S2且S3≠S1

押题精练

1.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),则其侧视图的面积为( )

A.3 2

1B. 2D.2 2

C.1 答案 B

解析 在三棱锥C-ABD中,C在平面ABD上的投影为BD的中点O,∵11正方形边长为2,∴AO=OC=1,∴侧视图的面积为S△AOC=×1×1=.

222.在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD的面积分别为

236

,,,则三棱锥A-BCD的外接球体积为( ) 222

A.6π B.26π C.36π D.46π 答案 A

解析 如图,以AB,AC,AD为棱把该三棱锥扩充成长方体,则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球,

∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长. AC=

AB·

AD=据题意AC·AB·AD=

2,6,

3,

AB=2,

解得AC=1,

AD=3,

6. 2

∴长方体的体对角线长为AB2+AC2+AD2=6, ∴三棱锥外接球的半径为

46

∴三棱锥外接球的体积为V=π·()3=6π.

32

(推荐时间:50分钟)

一、选择题

1.已知正三棱锥V-ABC的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图的面积为( )

A.2 C.6 答案 C

解析 如图,作出正三棱锥V-ABC的直观图,取BC边的中点D,连接VD,AD,作VO⊥AD于O.

结合题意,可知正视图实际上就是△VAD,于是三棱锥的棱长VA=4,从俯视图中可以得到底面边长为23,侧视图是一个等腰三角形,此三角形的底边长为23,高为棱锥的高VO. 由于VO=

23

42-×23×2=23.

32

B.4 D.8

1

于是侧视图的面积为×23×23=6,故选C.

2

2.右图是棱长为2的正方体的表面展开图,则多面体ABCDE的体积为( ) A.2 4C. 3答案 D

48

解析 多面体ABCDE为四棱锥,利用割补法可得其体积V=4-=,选D.

33

2B. 38D. 3

3.如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的体积为( )

A.15+33 C.30+63 答案 B

解析 由三视图知几何体是一个底面为3的正方形,高为3的斜四棱柱,所以V=Sh=3×3×3=93.

4.已知正四棱锥的底面边长为2a,其侧(左)视图如图所示.当正(主)视图的面积最大时,该正四棱锥的表面积为( )

B.93 D.183

A.8 C.82 答案 B

解析 由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示,其主视图与左视图相1

同,设棱锥的高为h,则a2+h2=4.故其主视图的面积为S=·2a·h=

2a2+h2

ah≤=2,即当a=h=2时,S最大,此时该正四棱锥的表面积

21

S表=(2a)2+4××2a×2

2=8+82,故选B.

5.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,该几何体的体积为( )

B.8+82 D.4+82

A.333

π B.π C.π D.3π 362

答案 A

解析 三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分,然后把截面放在平面上,底面相对

接的图形,圆锥的底面半径为1,母线长为2,故圆锥的高为h=22-12=3.易知该几何体113

的体积就是整个圆锥的体积,即V圆锥=πr2h=π×12×3=π.故选A.

333

6.(2014·大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )

81π27π

A. B.16π C.9π D. 44答案 A

解析 如图,设球心为O,半径为r, 则Rt△AOF中,(4-r)2+(2)2=r2, 9解得r=,

4

981

∴该球的表面积为4πr2=4π×()2=π.

44二、填空题

7.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________. 答案 2+

2

2

解析 如图,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为E, 则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=而四边形AECD为矩形,AD=1, ∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC=由此可还原原图形如图.

在原图形中,A′D′=1,A′B′=2,B′C′=A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′,

1

∴这块菜地的面积为S=(A′D′+B′C′)·A′B′

2122=×(1+1+)×2=2+. 222

8.如图,侧棱长为23的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过A作截面△AEF,则截面△AEF的周长的最小值为____________.

2+1,且2

2+1. 2

2. 2

答案 6

解析 沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内,如图. 则AA′即为截面△AEF周长的最小值,且∠AVA′=3×40°=120°. 在△VAA′中,由余弦定理可得AA′=6,故答案为6.

9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为______. 1答案 6

解析 VD1EDFVFDD1E111=××1×1×1=. 326

10.已知矩形ABCD的面积为8,当矩形周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱锥D-ABC的外接球的表面积等于________. 答案 16π

解析 设矩形的两邻边长度分别为a,b,则ab=8,此时2a+2b≥4ab=82,当且仅当a=b=22时等号成立,此时四边形ABCD为正方形,其中心到四个顶点的距离相等,均为2,无论怎样折叠,其四个顶点都在一个半径为2的球面上,这个球的表面积是4π×22=16π. 三、解答题

11.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S.

解 由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E-ABCD.

1

(1)V=×(8×6)×4=.

3

(2)四棱锥E-ABCD的两个侧面EAD,EBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高h1= 8

42+2=42;

2

另两个侧面EAB,ECD也是全等的等腰三角形,AB边上的高h2= 11

因此S=2×(×6×42+×8×5)=40+242.

22

12.如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=30°.

2+2=5.

2

1SD1DEAB 3

(1)求证:EF⊥PB;

(2)试问:当点E在何处时,四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P—EFCB的体积.

(1)证明 ∵EF∥BC且BC⊥AB,

∴EF⊥AB,即EF⊥BE,EF⊥PE.又BE∩PE=E, ∴EF⊥平面PBE,又PB⊂平面PBE, ∴EF⊥PB.

(2)解 设BE=x,PE=y,则x+y=4. 1

∴S△PEB=BE·PE·sin∠PEB

211x+y2=xy≤=1. 442当且仅当x=y=2时,S△PEB的面积最大. 此时,BE=PE=2. 由(1)知EF⊥平面PBE, ∴平面PBE⊥平面EFCB,

在平面PBE中,作PO⊥BE于O,则PO⊥平面EFCB. 即PO为四棱锥P—EFCB的高. 1又PO=PE·sin 30°=2×=1.

21

SEFCB=×(2+4)×2=6.

21

∴VP—BCFE=×6×1=2.

3

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