第２５卷第４期 ２０１１年７月 甘肃联合大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇａｎｓｕ Ｌｉａｎｈｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ＶｏＬ ２５ Ｎｏ．４ ＪｕＬ ２０１１ 文章一号：１６７２－６９１Ｘ（２０１１）０４・０１００・０３ 解析法分析平面应力状态下主应力 和主平面对应关系的思考 张淑琴，倪新华，张靖，王凌英，孟祥凤 （军械工程学院基础部。河北石家庄０５０００３） 摘要：首先归纳总结了目前教材和文献中关于平面应力状态主应力和主平面对应关系的分析方法，然后利用 。一 ’ｉ 高等数学确定最大、最小正应力（即主应力）的方位．分别讨论基本单元体的正应力和切应力．得到最大、最小芷 应力与主平面对应关系最简判别准则的两个理论依据． 关■诩：最大正应力，最小正应力。主平面 中田分类号－Ｏ３４１ 文献标识码：Ａ ０引言 在材料力学课程的教学中，平面应力状态分 析是重点内容之一，其中主单元体的确定又是实 际工程问题强度分析的基础，关键是确定最大和 和最小正应力式（４），因过程比较繁琐，在教材中 一般未给予具体证明，而是直接给出计算式（４）和 相应主平面的对应结果［１］，即由基本单元体的ａ【Ｉ 和 ，的大小确定最大正应力‰所在主平面的位 置，然后主要通过倒题来具体应用．这种方法的难 最小正应力及其对应方位．分析方法有两种—— 解析法、图解法，解析法是图解法的基础，优点是 精准；图解法直观清楚，不足是误差大．本文首先 总结教材和文献中的各种方法和判别准则，然后 展开讨论解析法中主应力与主平面对应关系的两 个理论依据． 点在于最大和最小正应力与主平面对应关系的确 定． 一生垫２＋ ２ ｃｏｓ２口一 ｓｉｎ２ａ，（１） 誓＝一２［ 旦ｓｉｎ２口＋ ｃｏｓ２口］，（２） ｔａｎ２ａｒｏ一 ・ （３） １解析法 在材料力学教材中，基本单元体如图１所示， 介绍解析法时往往通过斜截面正应力公式（１），对 Ｏ ＇ｍｌ￣卜 写 ㈣ 方位角ａ（１ａＩ≤导）求一阶导数有式（２），令其为 ■ ２图解法 有的教材采用图解法・首先面出应力圆，从几 何关系推得式（３）和式（４），从图上说明对应关 零得式（３），求出２个主平面的位置ｃｒｏ．然后由三 角函数关系得ｓｉｎ２‘ｒｏ和ｃｏｓ２ａｏ，代回式（１）得最大 系［２］．如果避开‰ 、 。和主平面对应的判断，首 先由式（３）求得２个主平面方位 ，然后直接代回 式（１），求得正应力的具体数值，再作比较来确定 最大最小正应力，但是在回代求解时，需进行三角 函数运算，相对比较繁琐． ３其它解释 关于此问题有很多学者曾在《力学与实践》等 圈１应力单元体 收稿日期：２０１１—０３－１１． 刊物上对该问题作过讨论，总结起来有四种． 作者简介：张淑琴（１９６８一），女，河北万全人，军械工程学院副教授，从事力学教学和非线性力学问题的研究． 第４期 张淑琴等。解析法分析平面应力状态下主应力和主平面对应关系的思考 １０１ 一是避开对应判断的难点，由式（４）计算‰ ‘ 如图１， ＞Ｏ，显然由式（８）知 ｄ２ ａｏ与．ｓｉｎ２口口 和 Ｉｎ’然后代入ｔａｎａ。＝—０＂＝＿－ａ．＝ｘ或ｔａｎ口。＝ 的正负号相同．若一号≤ 。≤ｏ（二、四象限的主平 ｍｉｎ 皇 直接求出Ｏ＇ｍａｘ对应的主平面。 ． Ｖ 二是采用最简判别准则 阳，顺 大、逆 面）时，ｓｉｎ２ａｏ＜０，即孥＜ｏ，那么二、四象限主平 面上的正应力取极大值为 … 小，即‰ 的主平面在 的矢量所指象限，且靠 近 和 中较大者．具体分析是从应力圆的图 若 ＜Ｏ， ｄ２ａａ与．ｓｉｎ２口。的正负号相反．对于 上加以说明，缺乏理论分析依据． 三是由判断二倍角的象限确定最大正应力 的方位Ⅲ，首先由式（３）求得２个ａ。，由式（４） 求得 ． 和 ，然后通过ｃ。ｓ２ａ。一 确定 ２ａ。所在象限，进而确定‰ 的方位，同样是从应 力圆的图上来说明． 四是通过斜截面上正应力对方位角求二阶导 来分析 卜 ，不过求导后直接同时考虑单元体上 的正应力和切应力，分多种情况讨论比较繁琐． ４讨论 在教学中，学生用式（３）、（４）往往比较容易求 得主平面位置以及最大最小正应力，然而对应又 易出问题，这是初学材料力学学生的难点．教学中 一般介绍文献中的最简判别原则，但一般是在学 习图解法时，直观从应力圆图上来说明，可应力圆 是在解析法之后学习，因此总是感到不具有说服 力，似乎是一遗憾．根据以往的教学经验，本文对 这一问题提出一点见解，共同思考． 在高等数学中，求极值的位置用一阶导，判断 极大值、极小值，需根据二阶导来确定．现在对 求二阶导，或对式（２）求一阶导得 一一２［（ 一 ）ＣＯＳ２口一２ ｓｉｎ２ａ］，（５） 由式（３）有 一 一 ｔａ ｎ２ａｏ， （６） 或 ２ ＝一（ 一 ）ｔａｎ２ａｏ， （７） 式（６）代入式（５）得 警一 一 ’， （８） 式（７）代人式（５）得 ｄａ２＝一 一 ｃｏｓ２ａ．‘ （９）＼Ｊ／ ０ 讨论１ 由切应力 确定 的主平面． 一、三象限的主平面，０≤ｃｒｏ≤百ｌｆ－时，ｓｉｎ２ａ。＞Ｏ，那 ￣ 厶，ｄＺ ａ．＜Ｏ，该主平面上的正应力为最大正应力 ．这正是由基本单元体上切应力判别的最简准 则 ． 讨论２由正应力 、 确定口 的主平面． 最大、最小正应力的主平面有２个，其中一个 对应后，另一个自然也就对应了．现在考虑ｌ口ｏ ｌ≤ 罢的主平面，即距ｚ轴近者的主平面．因ｃ。ｓ２ａｏ＞ ｏ，显然由式（９）知警的正负由 一 来定． 若 ＞ ， ｄＺ ａ．＜Ｏ，表明此ａ。主平面上的正 应力取极大值，即最大正应力‰ 所在的主平面 靠近 ． 若 ＜ ， ｄＺ ａｏ＞Ｏ，表明此ａ。主平面上的正 应力取极小值，即最小正应力 ｔ 所在的主平面 靠近 Ｉ也就是‰ 所在的主平面靠近 ．这正是 最大正应力‰ 靠近 和 中较大者的对应法 则 ］． 在教学中，引导学生应用数学知识，对最大正 应力‰ 所在主平面进行完整的分析讨论，在后 面学习图解法时从应力圆图中再作几何解释加深 理解，效果较好，学生不仅会感到最简判别准则理 论依据充分，同时也将有利于培养学生分析解决 问题的逻辑推理能力． 参考文献： ［１］刘鸿文．材料力学（Ｉ－册）［Ｍ］．第４版．北京：高等教 育出版社，２００４：２１６—２１８． ［２］孙训方，方孝淑，关来泰．材料力学（上册）［Ｍ］．第３ 版．北京：高等教育出版社，２００１：２１３－２１４． （下转第１０４页） １０４ 甘肃联合大学学报（自然科学版） ｊＩ【２５卷 ７７－８５． ４结语 ［２Ｊ金钟辉．大学物理［Ｍ］．北京一中国农业大学出版社． 气俯球伯努利方程验证仪，实现了通过气体 ２００２ ｌ １９５－２４４． 作为流体对象，操作简单，实验现象直观可感而又 ［３］盖钧镒．试验统计方法［Ｍ］．北京ｔ中圈农业出版社． 成本低廉的目标．通过不规则刻度盘的校正较好 ２０００：１４－３２． 的保证了实验精度，完全适合理工科及相关专业 的大学物理实验教学． 参考文献： ［１３习岗．大学物理学［Ｍ３．北京，中国农业出版社，２００４。 Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｔｈｅ Ｔｅａｃｈｉｎｇ Ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｆｌｕｉｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ Ｅｘｐｅｒｉｅｎｍｅｎｔ ——Ａ Ｎｅｗ Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ Ｗｈｉｃｈ Ｐｒｏｖｅｓ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ Ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｔｈｏｕｇｈ Ａ Ｂａｌｌ’Ｓ Ｅｘｃｕｒｓｉｏｎ Ｂｙ Ａｉｒｆｌｏｗ ＺＨＡＯ Ａｎ—ｑｉｎｇ，Ｌ工Ｈｕｉ，ＬＩ Ｇｏｎｇ，ＺＨＥＮＧ Ｄａｎ，ＸＩＥ Ｒｕｉ—ｓｈｅｎｇ （Ｈｅｎａｎ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５０００２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ．．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａ ｎｅｗ Ｄｅｖｉｃｅ ｏｆ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ Ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗａｓ ｉｎｔｒｏ— ｄｕｃｅｄ，ｔｈｅ ｄｅｖｉｃｅ ｃａｎ ｍａｋｅ ｏｕｒ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｅｓａｉｅｒ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｍｏｒｅ ｉｎ－ ｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｇａｓ ａｓ ｆｌｕｉｄ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｉｔ ａｌｓｏ ｌｉｓｔｓ ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ａｎｄ ｔｈｅ Ｔ ｔｅｓｔ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｅｎｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ；ｎｅｗ ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ ｗｈｉｃｈ ｐｒｏｖｅｓ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｈｏｕｇｈ ａ ｈａｌｌ’ｓ ｅｘｃｕｒｓｉｏｎ ｂｙ ａｉｒｆｌｏｗ；ｔ ｔｅｓｔ （上接第１０１页） Ｉｓ］王其申．关于主平面方位角的一个更有效公式［Ｊ］．安 ［Ｊ］．力学与实践，２００３，２５（４），７０－７１． 庆师范学院学报ｔ自然科学版，２００２，８（３）・１－２． ［７３李凤斌．平面应力状态下判断最大主皮力方向的捷径 ［４］董天立．二向应力状态主平面、主剪应力平面位置浅 ［Ｊ］．天津成人高等学校联合学报，２００５。７（２）－６２－６３． 析［Ｊ］．郑州铁路职业技术学院学报．２００４，１６（３）ｔ ５０－ ［８］．裴克良．确定主应力方向的一种解析方法口］． ５１． 佳木斯大学学报・自然科学版，２００５．２３（２）ｌ３２１－３２３． ［５］饯广民。许宏伟．平面应力状态分析中的两个问题刍 ［９］翟龙余．主应力与主平面对应关系的判定及其数学证 议［Ｊ］．天水师范学院学报．２００８，２８（５）－７８—７９． 明［Ｊ］．淮阴师范学院学报。自然科学版，２００６，５（４）ｔ ［６］杨■梅。主点法证明确定主方位象限的最简判别规则 ３３７．３４０． Ｔｈｉｎｋ ｏｆ Ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ Ｓｔｒｅｓｓ ａｎｄ Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ Ｐｌａｎｅ’Ｓ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ Ｐｌａｎｅ Ｓｔａｔｅ ｏｆ Ｓｔｒｅｓｓ ｗｉｔｈ ａｎａｌｙｔｌｃｓ ＺＨＡＮＧ Ｓｈｕ－ｑｉｎ，Ｎ１ Ｘｉｎ－ｈｕａ，ＺＨＡＮＧ Ｊｉｎｇ，ＷＡＮＧＬｉｎｇ－ｙｉｎｇ，ＭＥＮＧ Ｘｉａｎｇ．－ｆｅｎｇ （Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ ０５０００３，Ｃｈｉｎｓ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｃｏｎｃｌｕｄｅｓ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｓｔｒｅｓｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔＯ ｔｈｅ ｐｒｉｎｄ－ ｐａｌ ｐｌａｎｅ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｐｌａｎｅ ｓｔａｔｅ ｏｆ ｓｔｒｅｓｓ ｉｎ ｓｏｍｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍａｔｅｒｉａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓ．Ｔｈｅ ｐｒｉｎ‘ ｃｉｐａｌ ｓｔｒｅｓｓ’ｓ ａｚｉｍｕｔｈ ｉｓ ｃｏｎｆｉｒｍｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｘ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌ ｓｔｒｅｓｓ ｏｒ ｔｈｅ ｓｈｅａｒ ｓｔｒｅｓｓ ｏｆ ｂａｓｉｓ ｕｎｉｔ ｂｏｄｙ ｗｅｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍａｘｉｍｕｍ ｎｏｒｍａｌ ｓｔｒｅｓｓ；ｍｉｎｉｍｕｍ ｎｏｒｍａｌ ｓｔｒｅｓｓ；ｐｒｉｎｃｉｐａ１ ｐｌａｎｅ
