维普资讯 http://www.cqvip.com ２００７年 ６月 龙岩学院学报 Ｊｕｎｅ ２００７ ＶｏＩ．２５ Ｎｏ．３ 第２５卷 第３期 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｌ０ＮＧＹＡＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ 关于树的几个问题 黄重器 （龙岩学院数学与计算机科学学院福建龙岩３６４０００） 摘要：定义了树Ｔ的一个全序＜，证明了＜的一个性质，运用这个性质证明了序数理论中的一些已知结论，使 证明大为简化。 关键词：树；序数；全序 中图分类号：０１５７，５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－４６２９（２００７）０３—０００６－０３ 小写希腊字母都表示序数，其中０（包括０ ，０￡等）专指 ）依＜Ｅ成一个区间，《＜ｈ（Ｔ）。 （Ⅱ）对Ｖ ，ＹＥＴ， ，Ｙ不依＜（包括所有的‘￡）， ８＝８ （ ，Ｙ），规定 ０８（ ）＜５０８（），）；Ｅ ＜ｙ。 非零极限序数； （ ＜Ｂ）。在有序集（ｘ，＜）内，区间ｘ，Ｙ）， （ ， 、Ｉｘ，ｙ）等按通常意义；Ｏ（ｘ）＝仁Ｉｚ≤ ，：Ｅ Ｘ），△（ ）＝仁Ｉ ＜ ｚＥＸｌ，ＶＸＥＸ；“不依＜”表示不能依＜比大小。Ｎ—全体自然 数，Ｒ—全体实数，（ｔ）一只含元ｔ的单点集； 一集Ｇ的基 数； ——（Ⅲ）把所有的‘￡和＜改记成＜。 【１】这个定义不成立。 序集Ｈ的序相。ｆＩ『－映射ｆ在Ｄ上的局限。一 等价． ——恒等或定义相等。 本文讨论的树都指（Ｔ，＜）或Ｔ，ｈ（ｔ）是Ｔ的高，Ｌｔ（Ｔ）或 （Ｔ，＜）是树，ｈ（Ｔ）＝３，其中Ｌｏ＝（０），Ｌｌ＝Ａ（０）＝｛ａ， ｂｌ；Ａ（ａ）＝｛ａ。，ａ２，ａ３），Ａ（ｂ）＝｛ｂ，，ｂ：，ｂ３｝，Ｌ２＝Ａ（ａ）ｕＡ（ｂ）。在Ｌ， 【ｔ是Ｔ的￡一层； ＥＬｔ，贝０ Ａ（ ）＝△（ ）ｎＬｔ＋，，Ｖ∈＜ｈ（ｔ）。 ｛０，１｝ ‘，是全二元树 的￡—层。各有关知识请参考［１］。 １树的全序＜、 上定义ｂ＜Ｉａ，在Ｌ２上定义ａｔ＜２ ａ２＜２ ａ３＜２ ｂｔ＜２ ｂ’＜２ ｂ３。 取ａ，ｂ。，两者不依＜，８（ａ，ｂ，）＝１， ０ｌ（ｂ１）＝ｂ＜ｌ ａ＝ＯＩ（ａ） ｂｌ＜ａｊａｌ＜ｌｂＩ＜ａ ａｌ＜ａ，与ａ＜ａＩ （即ａ＜ａ。），矛盾。 设 Ｅ Ｌｒ，Ｔ＞０，则对Ｖ∈＜Ｔ， 唯一的 Ｅ ， 使 ｃ 。因此 本文改写这个定义，并证明＜的一个性质定理（文中 （１） 延Ｏ（ ）＝（ ＥＬｔ，￡≤Ｔ） 唯一的ｘｏ＝ｍｉｎＯ（ｘ）。 。必是Ｔ 的定理２和推论１），引用这性质定理，使一些问题的论证 大大简化。 定 Ｊ在 上任意定义一个全序＜０。对Ｖ Ｅ ，Ａ （Ｘ） Ｌ ，在Ａ（ｘ）上任意定义一个全序；设ｙ，：ＥＬ，，０ｏ（ｙ）≠ ０。（：），规定０。（ｙ）＜０ ０。ｚ）一ｙ 。：，得Ｌ。的全序＜，。假定对 Ｖ￡＜Ｔ（＜ｈ（Ｔ）），‘￡都已定义，对Ｖｙ，：Ｅ Ｌｒ， ８＝８（ｙ，：），规 定０ （），）＜ ８ ｚ）一ｙ≮：。由超限归纳法，得所有的‘￡（￡＜ｈ （Ｔ））。再对Ｖｙ，：ＥＴ，Ｙ，：不依＜和‘￡（Ｖ￡（Ｉｌ（Ｔ））， ８＝８（ｙ， Ｏ（ ）依＜良序 的极小元，不然， ），＜‰≤ ＝ Ｄ≠ＩｌｌｉｎＯ（ ），矛盾＝瓤０ＥＬｏ。Ｔ＞ ０＝》 隹Ｉ ＃ｘｏ－￣Ｘｏ＜Ｘ。 再考虑Ｖ￡Ｅ（０，Ｔ）， ＥＴ＿ｕＬｔ－－－Ｔ￣。 是树， 隹Ｌｔ＝Ｌｏ （ＴＥ），与前面同理， 唯一的 Ｅ ， 一。 是Ｏ（ｘ）ｎＬｔ唯 的元，又记成０￡ｘ），显然，ｘ．Ｆｘ。因此，（１）成立。 由定理可见，在（Ｔ，＜）内，Ａ（ ）是 （依＜）的全体后者。 定理 么． Ｅ ，ＹＥ ，ｍｉｎ（Ｂ， ） ； ，Ｙ不依＜，那 ：），规定０６（ｙ）＜＆０８ ｚ）一ｙ＜ｚ。把所有的‘￡都改作＜， 是＜的否定。≤表示＜或＝。 （２）０ ｘ）≠Ｏ （ｙ）（ ≤ｓ） Ｏ￡ｘ）≠Ｏ￡（ｙ），Ｖ毫∈（ ，￡］ 由定义，＜在Ｔ上显然满足： ； ＜ｙｊｙ ；和三 因此，记ｒ＝ Ｏ￡ｘ）≠０￡（ｙ），￡≤￡】，则必ｊ ８＝ｍｉｎＦ。记 ８＝８（ ，Ｙ），表示８同 ，Ｙ满足这种关系。 假定 ，使Ｏ｝（ ）＝０｝（ｙ）；ｔ ｔ∈Ｏ（ｘ）ｎＯ（ｙ） ｊＯ （ ）＝Ｏ （ｔ）：０ （），），矛盾，因此得（２）。 分律．下面证明它满足传递律。 应 ，ＹＥＴ， ≤ ，），≤ｙ 。那么 ＜ｙ ＝ ≤ｙ （３） ＜）， Ｏ（ｘ ） Ｏ（ｘ），Ｏ（ｙ ） Ｏ（ｙ）ｊ８（ ，ｙ）：８（ ，Ｙ ） ８ｊＯ６（ ）＝Ｏ６ ｘ ），０５（ｙ）＝Ｏ６（ｙ ）。于是， ＜ｙ Ｏａ（ ）＜６ ０８（ｙ） ｘ，Ｙ不依＜ｊｒ≠巾ｊ８（ｘ，ｙ）存在。 『１］（Ｐ３１７）关于Ｔ的全序＜的定义分成三步： （Ｉ）在每个【ｔ上任意定义一个全序‘￡，使其中每个Ａ ｊＯ５ ｘ ）＜５ ０５（）， ） ≤Ｙ。 ＜ｙ （不然，得Ｙ ＜ ，矛盾） 收稿日期：２０ｏ６．．０５—１０ 作者简介：黄重器（１９３ ６ ），男，广东中山市人，副教授，主要研究方向：函数论研究。 维普资讯 http://www.cqvip.com ，Ｙ， ＥＴ， ＜，，＜ ，且ｊ ，使０ （ ）＝０ （ ）三 ｌ ， ｔ，那么， （，，）＝ｔ。 （４） 一 ‘＜∈，使／ｌ旷 ，且 ￣）－－ｏ，ｇ（‘）＝１ ）＝ ）＝ （￡），设ｙＥＬ，若ｒ￣＜／ｘ， ｙ≤ｔ≤ 对Ｖ砉≤ ， 则＜是树Ｄａ上的 ，再依定义ｌ、２确定Ｄａ上的全序＜。每 个 作为Ｄ 的子集是树（这时，Ｔ￡上没有序），但 依字 典排列序不是树。 由（３）的后一个 ，得０，（ ）≤，，，≤ ０，（ ）ｊ，，＝０ ｘ，与ｘ＜ｙ矛盾，因此￣／＞ｌｚ。再由（３）的后—个 ，得０ （ｙ）＝ｔ。 鏖墅 ，ｙ， ＥＴ。那么，（ｉ）ｘ＜ｙ＜ｚ或（ｉｉ）ｘ＜，， 或 适先考虑专＝‘１），记Ｄ＝Ｔｆ＿｛０，１｝，０，１各表示Ｔ￡的首、 （ｉｉ０ｘ＜，，＜ （ｉｖ） 或 ＜ 。 适（ｉ）ｊ８（ｙ， ）＝６，使０。（，，） ｏ （ ），设 Ｅ ，若￡≥ ６ ０８ ）：０８（，，）ｊ ＜ （如）；若￡＜６ ＝０‘（ ）＝０‘（，，）＝ｏｃ （ ）ｊ （ｉｖ）。同理可证（ｉｉ） （ｉｖ）。 （ｉｉｉ）ｘ．ｙ和ｙ．ｚ都不依＜，由定义１， ≠ （不然，得 ｘ＜ｙ＜ｘ，矛盾），显然， 《 ，不然，由（ｉｉ），得ｙ＜ｘ或ｙ＜ｘ，矛 盾；若ｘ＜ｚ￣（ｉｖ）。再设 ， 不依＜ ８＝ａ（ｘ，ｚ），设ｙＥ ， 若 （６，由推论１，ｙ＝ｏｇｙ）＝ｏ‘ ） ，与，，， 不依＜矛盾，因 此‘≥６。由（３），０。 ）≤ａ ０８（，，）≤。０。（ｚ），但由６的定义，０。 ）≠ｏ８ ）＝ ＜ ＝｝（ｉｖ）。 芒 把＜也改记做＜，则＜在Ｔ上满足序公理和三 分律，于是，Ｔ的序＜拓广为Ｔ的全序＜。 注意每个Ａ（ｘ）上的全序可任意定义，得 定理 设对每个ｔＥＴ， ＝ ，则Ｔ的序＜可拓广 为全序＜，使所有的 （依＜）＝Ｗａｆｔ），ｄ（ｔ）表示由ｔ确定 的序数。 适 ＝ 劬） ｊ一一对应‘：Ａ（ｔ）－－＇Ｗｏ￣（ｏ Ａ（ｔ）＝ ｘ ＥＩ专＜∞ ））；规定‘《三兰曼）【‘＜ｘＥ，得Ａ（ｔ）上序相为‘１） ）的全 序，ＶｔＥＴ。再依定义１、２，确定Ｔ上的全序＜，即为定理所 求。 取ｅｔ（ｔ）－－Ｏ。ＶｔＥＴ。即得［５１ｔ＇３］９的Ｔｈｅｏｒｅｍ３。 定理 Ｔ的序已拓广为＜，记Ｔ（ｔ）＝（ｔ）ＵＡ（ｔ）（ｔ Ｅ Ｔ），则Ｔ（ｔ）是全序集（Ｔ。＜）内的一个区间。 设ｔＥ ， ， ＥＴ（ｔ）￣ｔＥＯ（ｘ）ｎ０（ｚ） ０ （ｘ）＝０ｐ （ｚ）－－－ｔ。若ＹＥＴ，满足 ＜，，＜ ，由推论１，０ （ｙ）＝￡ ｆ≤，， Ｙ Ｅ Ｔ（ｔ） Ｔ（ｔ）是区间。 定理５的证明比［１】里原有的证明简单；应用＜的特性 证明定理３也颇为简易（参看［１］Ｐ３１７—３１８，ＬｅｍｍａＡ，Ｌｅｍ— ｍａＤ）。 注：在本文定义２之前，“ ＜，，”蕴涵“ ，Ｙ不依＜”，如果 定理２的“ ≤ ，，，≤，，”’改为“ ≤ ，，，≤，，”’，则（３）不成立； 但推论１的“ｘ＜ｙ＜ｚ”改为“ｘ＜ｙ＜ｚ”，则结论仍真。 ２（Ｔ，＜）不是树 （Ｔ，＜）是树，但全序集（Ｔ，＜）则未必是。 塑 取１．ｏ＝｛ｔＪｉ＜ｏ￣Ｊ，Ａ（ｋ）＝｛ｔｉｉＵ＜‘１）ｌ＇Ｌｌ＝ｕＡ（ ），Ｔ＝Ｉ￣Ｕ Ｌ 。在 上定义‘１）’相的全序＜０；在每个Ａ（ｔ￣）Ｊ２定义ｏＪ相的 全序，再依定义１、２定义＜ 和Ｔ上的＜。 无首元 对 ＶｔｉｉＥＴ，｛ｚｌ ｔｉｉ≥ｚＥＴＪ无首元ｊ（Ｔ，＜）不是树。 但若 和所有的Ａ‘１）上的序都是良序（Ｖ ＥＴ），则＜ 也是。 童 在Ｔ￡上定义字典排列序（也用＜表示）：Ｖ ｆ，ｇ ｅ 末元（下同）。用二进位小数合理表示（０，１）（ＣＲ，依自然全 序）的元，对Ｙｘ Ｅ（０，１），把ｘ的小数点去掉，即成Ｄ的元 ；令 与 对应，得相似映射ｇ： （０，１），任意取ｆＥＤ ｇ（Ｏ６０ｆｈＤ）＝（０，ｇ∽），在（０，１）无首元 ０６０ｆｈＤ在Ｔ￡无 首元 ０６０不是良序集 Ｔ￡不是树。 再考虑∈＝ ，ｃｔ＞０，任意取Ｂ Ｅ（０，∈），记Ｂ＝ｗ即 ｗ Ｆ＿ ㈣＿｛器 ｆＥ（０＇ｌｌ Ｊ 又Ｄ ＝ｒ－｛０，１ｌ，与前段同理，ｊ相似映射ｇ ：Ｄ 一（０，１ ｏ任 意取／ＥＤ ｊ （０（，ｒ）ｎＤ ）：（０， （，ｒ）），无首元 Ｔ￡不是 树。 因此，［１］（３１９）￣２一般地称Ｔ 为“ｔｒｅｅ Ｔ ”是不妥当 的。 ３一个著名小定理 Ｄ．Ｋｏｎｉｇｓ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｌｅｍｍａ（［１】Ｐ．３２６） 小定理的假设条件是：（Ｉ）个≥ 。；（Ⅱ）－＜ 。，Ｖ∈＜ｈ （Ｔ）；（Ⅲ）对Ｖ１１＜ ｏ，Ｔ有链ｃ，丢≥ｎ。结论是（Ⅳ）ｊ链ｃｏ＿ｃ Ｔ。 ≥ ０。 ． 但是，由（Ｉ），（Ⅱ）得ｈ（Ｔ）≥∞，不然，设ｈ（Ｔ）＝ｍ＜ ， 则Ｔ－－ｉｃｍ ＵＬ，￣＝ｒｌｉ＜Ｎ。，ｉ＜ｍ ｉ＝ｏ ∑ ∑ ＜ｉ＝ｏ 。，与（Ｉ）矛盾。 于是Ｔ Ｕ ，对Ｖｌｌ＜ ｏ，ｊｘ Ｅｋ，０（ｘ）是Ｔ内的链，由（１） 式， ＝ｎ，（Ⅲ）成立。这表明（Ｉ），（ＩＩ） （Ⅲ），因此，Ｄ． Ｋｏｎｉｇ小定理的假设条件（Ⅲ）应予删除。 再说，如果（Ⅱ）改为（Ⅱ ） ≥ 。，Ｖ专＜ＩＩ（Ｔ），则（Ｉ）， （ＩＩ ），（Ⅲ） （１Ｖ）也不真；（Ｉ），（ＩＩ ）ｊ（Ⅲ）也不真。 宣ｉｌ 记ＮＦ｛ｐ ≤ｐ ＥＮ｝，ＶｉＥＮ， ｛（ Ｊ）！『Ｅ Ｎｔ｝，Ｔ＝ＵＬ 规定后 一（ｋ ）＜（ｇ√），ＶｊＥＮ，贝ⅡＴ是树，亍＝ 。，ｈ（Ｔ）＝ ∞；厶是Ｔ的 一层，ｉ＜ｗ，Ｔ满足（Ｉ），（Ⅱ ），（Ⅲ），但Ｔ中每 条链必是某个｛（后Ｊ）Ｉ ｋ－－Ｏ，１，… ，因此Ｔ不满足（Ⅳ）。 取Ｔ皿＝ｕ ，ｍ＜‘１），则Ｔ皿满足（Ｉ），（ＩＩ ），但不满足 （Ⅲ）。 ４塞兰度数基酋 ［１］（Ｐ８２）给出有序集与自己的子集共尾（共首）的定 义，没有定义集与序数的共尾（共首）。但［１］Ｐ３２０却有一个 “Ｔｈｅｏｒｅｍ３：Ｅａｃｈ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔ Ａ ｏｆ Ｔｐ（ｐ＝ ）ｉｓ ｃｏｆｉｎａｌ ａｎｄ ｃｏｉｎｉｉｆａｌ ｗｉｔｈ ｎａ ｏｒｄｉｎａｌ≤ ”（是说Ａ与同一个序数（≤ ）共尾又共首吧？）。 ［１】只证明共尾部分，末尾说“Ａ ｉｓ ｃｏｉｆｎａｌ ｗｉｔｈ ａ ｓｅｔ ７ 维普资讯 http://www.cqvip.com ｗｈｏｓｅ ｏｒｄｅｒ ｔｙｐｅ ｉｓ入”。它可能认为共首部分的证明是类似 诞由（８）和（４），得反－＞ｇｏ，Ｖ ∈（－－０，０），再设ｇｏ＜ｇ∈ 的：但集与序数共首或共尾“类似”是颇难理解的（因为序 Ｔ ，由（４）， ｈ＜ｐ，使ｇｌ ＝ｌ ，且ｇ（ ）＝１，ｏｇ（ｘ）－－ｏ。 相为序数的集必有首元）。因此，本文作出集同序数共首、 由最后的等式和（７），得ｋ＜０。取ｇｘ∈Ｇ，由（８）， 共尾的定义。并证明“Ｔｈ３”的共首部分。 ｇｘｌ ＝ｇｏｌ ＝ｇ Ｉ ，鲁 （ ） 踟（ ）ｔ （ ）＝强＜ｇ： ｇ不是Ｇ的 定 （ ，＜）是全序集，Ａ，Ｂ≤ 。如果对Ｙｘ ＥＡ， 下界￣（ｉｉｉ）。 Ｙ∈Ｂ，使 ≤ （ ≤ ）；对Ｖ ∈Ｂ， ∈Ａ，使 ≤ （ ≤ 注意ｒ＜８￣ｒ＋ｌ≤８。由（８），ｇｓ１ ｌ Ｉ－ｒ＋ｌ＝吕Ｉ ｜＋ｌ，且ｇｓ（ｒ＋ １１，），则说 ，Ｂ两集共尾（共首）。若Ｂ＝（儿Ｉ ）， 《 ≤儿 １）＝ｇｏ（ｒ＋１）≤１ （ｒ＋１） 昏≤昏ｊ（“）。 （ ≥儿），则又说 与序数卢共尾（共首）。 设ｇ，＝ｍｉｎＧ，０＜７＜０。由（７）， ｃｒ＝ｍｉｎ＜０ ｇｏ（￣）－－－ｏ，∈∈（Ｔ， 推ｊ （Ｘ，＜），Ａ，Ｂ同上，那么：（Ｉ）ｘ＝ｍａｘＡ（ｍｉｎＡ） ０）） ∈（Ｔ，０）。由（８）， （ ）与Ａ共尾（共首）；（Ⅱ）Ａ，Ｂ无末元，且ｓｕｐＡ＝ｓｕｐＢ， ｇ什ｌＩ ＋ｌ＝ｇｄ ＋Ｉ Ｉ ＋ｌ 则Ａ，Ｂ共尾；Ａ，Ｂ无首元且ｉｎｆＡ＝ｉｎｆＢ，则Ａ，Ｂ共首。 由 的定义，得 （∈）＝１，Ｖ∈∈（Ｔ， ） 岛＋。（∈）＝ （∈）＝蛋 定理２ ≠Ａ－Ｔ。，定义ｇｏ∈Ｔ 如下： （∈）＝１，Ｖ∈∈（Ｔ， ） （５）ｇ０（０）＝０一 ｇ∈Ａ，ｇ（０）＝０； ｇ ｌＩ ＝ ； （６）ｇ０（∈）＝０一ｊｇ∈Ａ，ｇｌｗｔ＝ｇｏｌ ，且ｇ（￣）－－－ｏ，Ｖ∈∈（０， 但ｇｏ．１（ ） 踟（ ）＝０，岛（ ）＝１ ｇ 踟ｌ，矛盾 （ｉ）。 ｐ）。那么，ｇｏ＝ｉｎｆＡ。 若 不满足（７），即Ｐ＝ ，把小定理３的０都改为Ｐ， 记Ｐ＝（ Ｉｇ０（∈）＝１，Ｖ∈∈【 ，ｐ）），若Ａ无首元，且Ｐ≠ （ｉ），（ｉｉ），（ｉｉｉ）也成立。 ，则 定理 ≠Ａ Ｔ。，则必有 ≤ｐ，使Ａ与 共首。 （７） ｍｉｎＰ＝０＜ｐ。 注意Ｔ 依字典排列序（４）。假定 ｇ∈Ａ，ｇ＜ｇｏ。若 适由推论２（Ｉ），不妨设Ａ无首元。依（５），（６）定义 ｏｇ，则ｇ￣ｉｎｆＡ。若Ｐ≠ ，则（７）成立；再依（８）定义（ａｌ０＜ｇ＜０） ｇ（０）＜ （０ ｇ（０）＝０，且ｇｏ（ｏ）＝１，与（５）矛盾 ｇ（０）≥ －＝－Ｇ，则ＧＣＴ。，Ｇ无首元，ｇ￣ｉｎｆＧ，Ａ，Ｇ同依字典排列序。由 ｇｏ（Ｏ）。若ｇ（Ｏ）＞ｇｏ（Ｏ）￣ｇ＞ｇｏ，与假设矛盾 ｇ（０） （０） ＂ｒ＝ｍｉｎ（￣ｌｇｌ ＝ｇｏ１ ￡）≠０。设７＝０ 对Ｖ∈＜０ ，ｇ（∈） （∈） 推论２（ＩＩ），Ａ与Ｇ共首；由定义３，Ａ与０共首。若Ｐ＝ ， 则ｇｏ不满ｆｆ￣（７），把０改为ｐ，Ａ与Ｐ共首，总之，Ａ与一个 ｇＩ 。，＝ｇｏ１ 矛盾 Ｔ＝Ｂ＋１ ｇＩ Ｂ＝ｇｏ１ Ｂ，且ｇ（１３＋１）＝０， （Ｂ＋ 序数共首，定理成立。 １）＝１，与（６）矛盾。因此，ｇ《 。这证明 是Ａ的一个下界。 若Ａ有末元ｆｌ，无首元，由推论２（Ｉ），Ａ与（‘）共尾 Ａ 再设３ｆＥＴ。，使ｇｏ＜ｆ＜￣ｇ，Ｖｇ∈Ａ。由（４），３ｔｊ＜ｐ，使 与序数１共尾；但Ａ与０或ｐ（都是非零极限序数）共首。可 ｆＩ ＝ Ｉ ，且 ∈）＝１， （∈）＝０。由最后的等￣Ｉ１（６）， ｇ ∈ 见，一般，Ａ不与同一个序数共尾又共首，【１］“Ｔｈ３”的说法 Ａ，使ｇ Ｉ ＝ ，且ｇ （∈）＝０ ｆ、 ，￣ｏｇ＝ｉｄａ。 不合事实。 设ｍｉｎＰ＿８＋１ （８）＝０ ｇ∈Ａ，使ｇｌ ＝ －｜，且ｇ（８） 定理６中，Ｇ＝０（或Ｐ），指Ｇ依它的号标集Ｗ。（或Ｗ ）的 ＝０，注意ｇｂ（８）＝１，Ｖ∈∈【ｅ＋ｌ，ｐ）和ｇ＞￣ｇｏ，得ｇ＝ｇ￣ｇ＝ｍｉｎＡ， 序，Ｇ，Ａ共首是依Ｔ０上的字典排列序（它不是良序，因而序 与Ａ无首元矛盾。再设ｍｉｎＰ＝０￣ｇｏ １＝ ；１，Ｖｇ∈Ａ Ａ 相不是序数）。 有首元，矛盾。因此ｍｉｎＰ＝０。 定理 ｇｏ∈Ｔｐ Ｐ同小定理２，满足（７）。定义鼠如 参考文献： 下： 【１］Ｋ ｋｕｒａｔｏｗｓｋｉ，Ａ Ｍｏｓｔｏｗｓｋｉ．Ｓｅｔ Ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］．ｒｅｖｉｓｅｄ （８）敏Ｉ （＋ｌ＝ｇｏｌ （＋ｌ；且敏（∈）＝１，Ｖ∈∈（‘，Ｐ），‘∈（０，０）。 ｅｄ．Ａｍｓｔｅｒｄａｍ：Ｎｏｒｔｈ—Ｈｏｌｌｏｎｄ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ Ｃｏｍｐａｎｇｙ，１ ９７６． 那么：（ｉ）（敏１ ０＜‘＜０）＝－ＧＣ＿Ｔ ，无首元；（ｉｉ）ｒ＜８ ≥毋；（ｉｉｉ） （责任编辑：邱维敦） ｇ￣ｉｎｆＧ。 Ｓｏｍｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｎ Ｔｒｅｅ ＨＵＡＮＧ Ｚｈｏｎｇ—ｑｉ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｏｒｄｅｒ＜ｏｎ ｔｒｅｅ ｉｓ ｖｅｎ．Ａ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ＜ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｋｎｏｗｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｏｒｄｉｎａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｔｈｉｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ，ｗｈｉｃｈ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｖｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ ｍｕｃｈ ｓｉｍｐｌｅｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｒｅｅ；ｏｒｄｉｎａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ；ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｏｒｄｅｒｓ ８
