浙江新高考数学理一轮复习限时集训：6.4基本不等式(含答案详析)

限时集训 ( 三十五 ) 基本不等式

(限时： 50 分钟

满分： 106 分 )

一、选择题 (本大题共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分)

(

)

1． (2012 ·建高考福 )以下不等式必定建立的是

A． lg( x2＋14) ＞lg x(x＞ 0)

1

B． sin x＋ sin x≥ 2(x≠kπ， k∈ Z)

C． x2＋ 1≥ 2|x|(x∈ R)

1

D.x2＋ 1＞ 1(x∈ R)

2． (2012 陕·西高考 )小王从甲地到乙地来回的时速分别为

速为 v，则 (

A． aa 和 b(a) ab a＋ b 2

B． v＝ ab

a＋ b

C. ab1

＋ 的最小值是 (

1

D． v＝ 2

)

3．若 a>0 ， b>0，且 ln(a＋ b)＝ 0，则 a b

1 A. 4 C． 4

B． 1

D． 8

4． (2013 宁·波模拟 )已知 a， b∈R，且 ab＝ 50，则 |a＋ 2b|的最小值是 () A． 20 C． 75

2

x ＋ 2

B． 150 D． 15

10

5． (2013 淮·北模拟 )函数 y＝ x－ 1 (x>1) 的最小值是 ( A． 2 3＋ 2 C． 2 3

)

B．2 3－2 D． 2

k

1 1

6．设 a>0 ， b>0，且不等式 a＋ b＋ a＋ b ≥ 0 恒建立，则实数 A． 0

k 的最小值等于 ()

B． 4

C．－ 4 D．－ 2

7．已知 M 是△ ABC 内的一点，且

和△ MAB 的面积分别为 ，x， y，则 ＋

AB ·AC ＝ 2 3，∠ BAC＝ 30°，若△ MBC ，△ MCA

的最小值是 (

114

x y

)

2

A． 20 C． 16

B． 18 D． 19

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8．若 a>b>0，则代数式 a2＋

1 的最小值为 ( b a－ b

)

A． 2 C． 4

二、填空题 (本大题共

B． 3 D． 5

6 个小题，每题

1

4 分，共 24 分)

9．设 x>0，则 y＝ 3－ 2x－ x的最大值为 ________．

10． (2013 济·南模拟 )已知 x>0， y>0， lg 2 ＋ lg 8 ＝ lg 2，则 ＋ 的最小值为 ________．

x 3y

x

y

11

11．某企业租地建库房，每个月土地占用费 y1 与库房到车站的距离成反比，而每个月库存

货物的运费 y2 与到车站的距离成正比， 假如在距车站 10 公里处建库房， 这两项花费 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项花费之和最小，库房应建在离车站

______ 公里处．

12．若 a>0，b>0 ，a＋ b＝ 2，则以下不等式对全部知足条件的

a，b 恒建立的是 ______(写

出全部正确命题的编号

)．

① ab≤1；②

11

⑤＋≥2.

a＋ b≤

2；③ a2＋ b2≥ 2；④ a3＋b3≥ 3；

13．已知 x>0，y>0， x＋ 2y＋ 2xy＝ 8，则 x＋ 2y 的最小值是 ________． 14．关于使－ x2＋2x≤ M 建立的全部常数 M 中，我们把 M 的最小值

21 叫做－ x＋ 2x 的

1 2

“上确界”．若 a，b∈ (0，＋∞ )，且 a＋ b＝1，则－ 2a－ b的“上确界”为 ________．

三、解答题 (本大题共 3 个小题，每题 14 分，共 42 分)

15．已知 a>0， b>0， c>0， d>0.求证： ad＋ bc＋bc＋ ad≥4.

bd ac

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16．已知 x>0，y>0，且 2x＋ 8y－ xy＝ 0，

求 (1)xy 的最小值； (2)x＋ y 的最小值．

17．提升过江大桥的车辆通行能力可改良整个城市的交通状况．

在一般状况下， 大桥上

的车流速度 v(单位：千米 /小时 )是车流密度 x(单位：辆 /千米 )的函数，当桥上的车流密度达到 200 辆 /千米时，造成拥塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超出 20 辆/ 千米时，车流速

度为 60 千米 /小时．研究表示：当

20≤ x≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数．

(1)当 0≤ x≤200 时，求函数 v(x)的表达式；

(2)当车流密度 x 为多大时，车流量 (单位时间内经过桥上某观察点的车辆数，单位：辆

/

小时 )f(x)＝ x·v(x)能够达到最大，并求出最大值 ( 精准到 1 辆 /小时 )．

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答 案

[ 限时集训 (三十五 )]

1． C 2.A 3.C 4.A 5.A 6.C 7.B 8.C

9． 分析： ∵x>0，∴2x＋ ≥2 2，

x

1

1

∴－ 2x＋ x ≤ －2 2， 则 y≤3－ 2 答案： 3－ 2

2. 2

10．分析： 由 lg 2 ＋ lg 8 ＝(x＋3y)lg2 ＝lg2 ，得 x＋3y＝ 1，故 1＋ ＝ (x＋ 3y) 1＋ 1 ＝2

x 3y x 3y ＋ 3yx＋ 3yx≥ 4.

xy1答案： 4

11． 分析： 设 x 为库房与车站距离，由已知

20

y1＝ x ； y2＝ 0.8x 花费之和 y＝ y1＋y2 ＝ 0.8x

＋

20

x≥

20 x

20.8x· ＝8，当且仅当 0.8x＝

20 x

，即 x＝5 时“＝”建立．

2

答案： 5

12． 分析： 两个正数，和为定值，积有最大值，即

ab≤

a＋ b

4

＝ 1，当且仅当 a＝ b 时

取等号， 故①正确； ( a＋ b)2＝ a＋ b＋ 2 ab＝ 2＋ 2

ab≤4，当且仅当 a＝ b 时取等号， 得 a

222a＋ b a＋ b

2

＋ b≤ 2，故②错误；因为 ≥ ＝ 1，故 a＋ b2≥ 2

2 4

33建立，故③正确； a＋ b＝ (a

＋ b)( a2 ＋ b2－ ab)＝ 2(a2＋ b2－ ab)，∵ab≤ 1，

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2 2 2 2 3 3

1 1

1 1 a＋ b

∴－ab≥ － 1，又 a ＋ b ≥ 2，∴a ＋ b － ab≥ 1，∴a ＋b ≥ 2，故④错误； a＋b＝ a＋ b · 2

a b ＋≥ ＝ 1＋ 2b2a

1＋ 1＝2，当且仅当 a＝ b 时取等号，故⑤正确． 答案： ①③⑤

13． 分析： 依题意得 (x＋ 1)(2y＋ 1)＝ 9，

(x＋ 1)＋ (2y＋ 1)≥ 2

x＋ 1 2y＋ 1 ＝ 6，x＋ 2y≥ 4，当且仅当 x＋ 1＝2y＋ 1，即 x＝ 2，＝ 1 时取等号，故 x＋ 2y 的最小值是 4.

答案： 4

1

2

1 2

14． 分析： － b的 “ 上确界

b ” 相当于求－2a－ b的最大值．

∵－1由题意知，求－ 2a － 2＝－ 1 ＋ 21 ＋ 2＋ ＋ 2a

2a b

2a b (a＋ b)＝－ 2a

≤ － 5 － 2

b52

b

·＝－2a

－2

2

2a

b

2

9

1

2

1 2

9

3时等号建＝－ 2(当且仅当 a＝ 3， b＝ 立 ) ，∴－2a－b的 “ 上确界 ” 为－ 2.

答案：－

9

2

ad＋bc bc＋ ad 15． 证明： ＋ ＝ a

＋ c＋

bd

cd

ac b d

b＋ d＝ a＋ b ＋ ＋ ≥ 2＋ 2＝ 4(当且仅当 a＝ b， c＝ d 时，取 “ ＝” )，

a c b a d c 故ad＋bc bc＋ ad≥

4. ＋

bd ac

16． 解： (1)∵x>0， y>0， ∴xy＝ 2x＋ 8y≥ 2 16xy，

即 xy≥8 xy，∴ xy≥8，即 xy≥.

当且仅当 2x＝ 8y，

即 x＝16， y＝ 4 时， “ ＝” 建立． ∴xy 的最小值为 .

(2)∵x>0， y>0，且 2x＋8y－ xy＝ 0，

y

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∴2x＋8y＝ xy，即 ＋ ＝ 1.

28

y x

8 x

∴x＋ y＝ (x＋ y) · ＋

2 y

＝10＋ ＋

2x y 8y

≥ 10＋2 x

2x 8y

·＝ 18， y x

2x 8y

当且仅当 y ＝ x ，即 x＝ 2y＝ 12 时 “ ＝” 建立． ∴x＋ y 的最小值为 18.

17． 解： (1)由题意，当 0≤ x≤20 时， v(x)＝ 60；当 20≤x≤ 200 时，设 v(x)＝ ax＋ b，

200a＋ b＝ 0，

则由已知得

20a＋ b＝ 60， 1

解得

a＝－ 3，

200

b＝ 3 .

故函数 v(x)的表达式为 v(x)＝

60，0≤ x＜ 20，

1

3 200－ x ， 20≤ x≤ 200.

(2)依题意并由 (1)可得 f(x)＝

60x，0≤ x＜ 20，

1

3x 200－ x ， 20≤ x≤ 200.

当 0≤x≤ 20 时， f(x)为增函数，故当 x＝ 20 时， f(x)获得最大值为 当 20≤ x≤ 200 时，

60× 20＝ 1 200；

1

f(x)＝3x(200－ x)≤

1 x＋ 200－ x 2＝ 10 000 ， 3 2 3

当且仅当 x＝ 200－ x，即 x＝ 100 时，

等号建立．

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10 000

因此，当 x＝ 100 时， f(x)在区间 [20,200] 上获得最大值 .

10 000

综上，当 x＝ 100 时， f(x)在区间 [0,200] 上获得最大值

≈ 3 333，

即当车流密度为 100 辆 /千米时，车流量能够达到最大，最大值约为 3 333 辆 /小时．