2016年全国高中数学联赛湖北预赛试题及详解答案【高一】

一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分）

1fx1．已知函数fx满足：f12，fx1对定义域内任意x都成立．那么

1fxf2016__________．

2．不等式3x23x128的解集为__________．

3．从五个正整数a,b,c,d,e中任取四个求和，得到的和值构成集合44,45,46,47，则

abcde__________．

π3π5π7π4．求值：coscoscoscos__________．

99995．ABC中，角A,B,C的边长分别为a,b,c，D是BC的中点，若a4，ADcb，

则ABC的面积的最大值为__________．

6．如果存在实数a，使得关于x的不等式acosxbcos2x1无实数解，则实数b的最大值为__________．

7．已知质数p,q满足q2p1，则pq__________． 8．已知实数x,y满足：2

9．已知MN是边长为26的等边ABC的外接圆的一条动弦，MN4，P为ABC的边上动点，则MPPN的最大值为__________．

10．设a表示不大于a的最大整数，则方程1的最大正整数解为__________．

78二、解答题（本题满分60分，每小题20分）

11．已知ABC得三边长a,b,c（abc）均为整数，且满足： （1）a,b,c构成等比数列；（2）a,b,c中至少有一个等于100． 求符合要求的三元数组a,b,c的个数．

12．已知二次函数fxaxbxc满足条件：

223x52215y118x32y8．，x3，那么，xy__________．

y2xx（1）4ab2a；

（2）当x1时，fx1．

证明：当x2时，fx5． 413．已知定义在R上的函数fx满足：f110，且对任意实数x,y，恒有3fxfyfxyfxy，若数列an满足an3fnfn1，nN*．

（1）求数列an的通项公式； （2）令bn24an3an82*，nN，Sn是数列bn的前n项和，求证：Sn1．

2016年全国高中数学联赛湖北预赛（高一）

答案详解

一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分） 1．已知函数fx满足：f12，fx11fx对定义域内任意x都成立．那么1fxf2016__________．

11【解析】由于f12,，则f23,f3,f4，

231fx1fx111又fx1，则fx2，所以fx4fx，

1fx1fx1fxfx2因此，函数fx是周期为4的周期函数，因而f2016f50344f42．不等式3x21． 33x128的解集为__________．

x31933x在2,1上是减函数，在1,1上是增函数 x2【解析】当2x1时，x2x1x2x13， 且gx3x23x13x231xgxg2g128

当x1时，fxx2x1是增函数，所以当x1时，gx3且gx3x23x1是增函数，

3x1g128

x2当x2时，fxx2x1是减函数，所以当x2时，gx3且gx3x23x1是减函数，

3x2x1g228

x1所以不等式3328的解集为,21,

3．从五个正整数a,b,c,d,e中任取四个求和，得到的和值构成集合44,45,46,47，则

abcde__________．

【解析】从正整数a,b,c,d,e中任取四个求和总和为4abcde，得到的和值构成5

个数，如果得到的和值构成集合44,45,46,47，则44,45,46,47的四个数之中必有一个数是相同的，假设相同的数是x，则

4abcde44454647x182x4542x，

所以，2x能够被4整除，又x44,45,46,47，那么x46， 4abcde4445464746228，则abcde57

4．求值：cos【解析】cos1π3π5π7πcoscoscos__________． 9999cos357 coscos9999357sin2cossin2cossin 2cossin2cos999999992sin92426486sinsinsinsinsinsinsin99999992sin9181sin 922sin91 5．ABC中，角A,B,C的边长分别为a,b,c，D是BC的中点，若a4，ADcb，则ABC的面积的最大值为__________． 【解析】如图，由于D是BC的中点，

由三角形中线性质得：4ADBC2b2c， 即4cb422b22c2，b2c24bc82bc，

2A

2222c B

b D a=4 C

于是bc4，在ABC中，由余弦定理得

b2c2a2b2c2164bc2412cosA2

2bc2bc2bcbc48144， sin2A3bcb2c2设ABC的面积为S, 则S21222132bcsinA3b2c248bc14412bc8 44432S212bc812，S43，当bc8时等号成立，

46．如果存在实数a，使得关于x的不等式acosxbcos2x1无实数解，则实数b的最大值为__________．

【解析】使得关于x的不等式acosbcos2x1无实数解，即存在实数a 使得关于x的不等式acosxbcos2x1有全体实数解，即关于x的不等式

acosxbcos2x1的解为全体实数，根据二倍角公式，2bcos2xacosxb10， 换元得：cosxt，1t1

b 2当1t1时，不等式2btatb10恒成立，

令ft2bt2atb10,1t1，则

2bab10,ab10,只要即时不等式恒成立

2bab10.ab10.1 -1 O 1 a 建立关于aOb的直角坐标系， 满足不等式组的点集如图所示， 由图可知，b的最大值为1

7．已知质数p,q满足q2p1，则pq__________．

52q51【解析】根据1qqqq，得q1q4q3q2q1q51

q1234由q52p21得，q512p2，即q1q4q3q2q12p2， 因为p,q都是质数，q4q3q2q1是奇数，p2是奇数，则 当q12时q3，由3512p2可得p11，所以pq14；

当q12p则q4q3q2q1p，2q42q32q22q2q1，得 2q42q32q2q30矛盾，同理q12p2也不成立，所以pq14

8．已知实数x,y满足：2【解析】由223x23x215y118x32y8．，x3，那么，xy__________．

y223x15y2215y11，得223x215y2222所以3x5y70，8x32y8，23x25y23， 所以6x5y50， 又223x215y， y x13 y1223x,x1， 21 -1 O 6x-5y-5=0 43A,35223x215y联立得

12215y，y 25x 3x+5y-7=0 3x5y70,6x5y50,1画出满足上面不等式组图象如下， x3,yx1,y25443故只有点A,满足条件，所以xy

535

9．已知MN是边长为26的等边ABC的外接圆的一条动弦，MN4，P为ABC的边上动点，则MPPN的最大值为__________． 【解析】如图，设Q是线段MN的中点，

由平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和得： 2PM2PN24PQ242 PM2PN22PQ28

A

P N

B 2由MPPNMN，得

MPPN2MPPNMN，

22Q M C MPPN4PQ4PQ4，

当PQ0时，即点P与Q重合时，MPPN取得最大值4．

10．设a表示不大于a的最大整数，则方程1的最大正整数解为__________．

78222xxxxx【解析】设1m1，则x7mr，0r7，m1，所以

788xm，8m8x8m，所以，8m87mr8m 8rm8r，0r7，1m15

当1m7时，解为x7mr，r0,1,2,,m1 m1当8m14时，解为x7mr，rm8,m7,,6 当m14，rm86成立，所以x7146104． 二、解答题（本题满分60分，每小题20分）

11．已知ABC得三边长a,b,c（abc）均为整数，且满足： （1）a,b,c构成等比数列；（2）a,b,c中至少有一个等于100． 求符合要求的三元数组a,b,c的个数．

12．已知二次函数fxaxbxc满足条件：

2（1）4ab2a；

（2）当x1时，fx1．

证明：当x2时，fx5． 413．已知定义在R上的函数fx满足：f110，且对任意实数x,y，恒有3fxfyfxyfxy，若数列an满足an3fnfn1，nN*．

（1）求数列an的通项公式； （2）令bn

24an3an82*，nN，Sn是数列bn的前n项和，求证：Sn1．