一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ， ，则集合 A. B. C. D.
2.空间中，垂直于同一条直线的两条直线（ ） A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均有可
能
3.已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值等于（ ） A.
4.已知过点 和 的直线与直线 平行，则 的值为（ ） A. B. C. D.
5.函数 的零点所在的区间是（ ）
B. C. D. A.
6.点 在直线 上， 是原点，则 的最小值是（ ）
D. A. C. B.
7.两条平行线 与 间的距离为（ ） D. A. B. C.
B.
C. D.
8.如图，正方形 的面积为 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
B. C. A. D.
9.已知 ， ， 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，下面命题正确的是（ ） A.若 ， ，则 B.若 ， ，则 C.若 ， ，则 D.若 ， ，则
10.若直线 经过第一、二、三象限，则系数 ， ， 满足的条件为（ ）
A. ， ， 同号 B. ，
C. ，D. ，
11.若一个几何体的三视图如图所示（单位长度： ），则此几何体的表面积是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数 的定义域为 且 ，且 是偶函数，当 时， ，那么当 时，函数 的递减区间是（ ） A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.
13.已知奇函数 满足当 时， ，则 ________．
14.经过点 ，且在 轴上的截距等于在 轴上的截距的 倍的直线 的方程是________．
15.已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为 ，则这个球的体积为________．
16.在三棱柱 中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点 是侧面 的中心，则 与平面 所成角的大小是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.计算下列各式：
；
．
18.在平面直角坐标系 中，直线 与直线 的交点为 ，过点 作直线 ，使得点 到直线 的距离为 ．求直线 的方程．
19.如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 是 的中点．
求证： ；
求证： 平面 ．
20.已知函数 ， 且 ． 求 的定义域；
判断 的奇偶性并予以证明．
21.已知平面内两点 ， ． 求 的中垂线方程；
求过 点且与直线 平行的直线 的方程；
一束光线从 点射向 中的直线 ，若反射光线过点 ，求反射光线所在的直线方程．
22.如图，四凌锥 而底面 是矩形，侧面 是等腰直角三角形 ，且平面 平面 ．
求证： ；
在 ， ，求三棱锥 的体积；
在条件 下，求四棱锥 外接球的表面积． 答案
1. 【答案】C
【解析】根据集合的基本运算进行求解．
【解答】解：∵全集 ， ， ∴集合 ， 故选： 2. 【答案】D
【解析】画出长方体，利用长方体中的各棱的位置关系进行判断．
【解答】解：在空间，垂直于同一条直线的两条直线，有可能平行，相交或者异面；如图
长方体中
直线 ， 都与 垂直， ， 相交； 直线 ， 都与 垂直， ， 异面； 直线 ， 都与 垂直， ， 平行． 故选 ． 3. 【答案】A
【解析】根据幂函数 的图象经过点 ，求出函数的解析式，再计算 即可． 【解答】解：设幂函数 ，其图象经过点 ， ∴ ， 解得 ； ∴ ，
∴ ．
故选： ． 4. 【答案】B
【解析】因为过点 和 的直线与直线 平行，所以，两直线的斜率相等．
【解答】解：∵直线 的斜率等于 ， ∴过点 和 的直线的斜率 也是 ， ∴ ，解得 ，
故选 ． 5. 【答案】C
【解析】连续函数 在 上单调递增且 ， ，根据函数的零点的判定定理可求
【解答】解：∵连续函数 在 上单调递增 ∵ ，
∴ 的零点所在的区间为 故选
6. 【答案】B
【解析】过 作已知直线的垂线，垂足为 ，此时 最小，所以 最小即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出即可．
【解答】解：由题意可知：过 作已知直线的垂线，垂足为 ，此时 最小， 则原点 到直线 的距离 即 的最小值为 ．
，
故选 ． 7. 【答案】A
【解析】把两直线的方程中 、 的系数化为相同的，然后利用两平行线间的距离公式，求得结果．
【解答】解：两条平行线 ，即 ，与它平行的直线 ，
故它们之间的距离为 ，
故选 ． 8. 【答案】B
【解析】根据题目给出的直观图的形状，利用平面图形的直观图的画法，求出相应的边长，则问题可求． 【解答】
解：因为直观图中的线段 轴，
所以在原图形中对应的线段平行于 轴且长度不变为 ，
点 和 在原图形中对应的点 和 的纵坐标是 的 倍，则 ， 所以 ，则四边形 的长度为 ． 故选 ． 9. 【答案】C
【解析】对于四个选项利用空间线线关系、线面关系定理分别分析选择解答．
【解答】解：对于 ，若 ， ，则 与 的位置关系有相交、平行或者异面；故 错误；
对于 ， ， ，则 与 可能相交；如墙角；故 错误；
对于 ，若 ， ，根据平行线的传递性可以得到 ；故 正确； 对于 ，若 ， ，则 与 可能相交、平行或者异面，故 错误； 故选 ．
10. 【答案】B
【解析】利用直线斜率、截距的意义即可得出．
【解答】解：∵直线 经过第一、二、三象限， ∴斜率 ，在 轴上的截距 ，
∴ ， ． 故选： ． 11. 【答案】A
【解析】三视图复原的组合体是下部是正方体，上部是四棱锥，根据三视图数据，求出表面积即可．
【解答】解：三视图复原的组合体是下部是棱长为 的正方体，上部是底面边长问 的正方形，高为 的四棱锥，
组合体的表面积为：
故选 ．
12. 【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性，推导出函数的对称性，再由题意和对称性求出函数的解析式，根据指数函数的图象画出函数大致的图形，可得到函数的减区间． 【解答】解：∵ 是偶函数，∴ ， 则函数 关于 对称，
则 ． 若 ，则 ，
∵当 时， ，
∴当 时， ， 则当 时， ， ，
此时 ，此时函数递增， 当 时， ， ，
此时 ，此时函数递减，
所以函数的递减区间为 ， 故选： ．
13. 【答案】
【解析】先根据 求出 的值，然后根据奇函数的性质，将 转化为 的函数值．
【解答】解：因为 是奇函数，且在 时有定义，所以 ，所以 ． 所以 时， ，所以 ． 所以 ． 故答案为 ．
14. 【答案】 或
【解析】设直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，当 时， ，当 时， ，由此利用题设条件能求出直线 的方程．
【解答】解：设直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ， 当 时， ，
此时直线 过点 ， ， ∴直线 的方程为：
，整理，得 ；
当 时， ，
此时直线 的斜率 ， ∴直线 的方程为： ，
整理，得
故答案为： 或 ． 15. 【答案】
【解析】求出正方体的对角线的长度，就是外接球的直径，利用球的体积公式求解即可． 【解答】解：因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 ， 所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度： ． 所以球的半径为： ．
所求球的体积为： ．
故答案为： ． 16. 【答案】
【解析】三棱柱 是正三棱柱，取 的中点 ，则 就是 与平面 所成角，解直角三角形求出 的大小， 即为所求．
【解答】解：由题意可得，三棱柱 是正三棱柱，
取 的中点 ，则 面 ， 就是 在平面 内的射影，故 就是 与平面 所成角，
设三棱柱的棱长为 ，直角三角形 中， ∴ ， 故答案为 ．
17. 【答案】解： 原式
，
; 原式
【解析】 将各项的底数化为幂的形式，利用指数的运算法则求解即可．; 将 化为
的分数指数幂形式，将 利用对数的运算法则化为 ， 由对数的意义知为 ，结果可求出．
【解答】解： 原式
; 原式
18. 【答案】解：由 解得点 ，…
由题意可知，直线 的斜率必存在．
由于直线 过点 ，故可设直线 的方程为 ．… 由题意， ，解得 或 ，…
故所求直线方程为 或 ．…．
【解析】首先通过两直线方程求出交点 的坐标，然后利用点到直线的距离公式得到关于斜率 的等式求直线斜率．
【解答】解：由 解得点 ，…
由题意可知，直线 的斜率必存在．
由于直线 过点 ，故可设直线 的方程为 ．… 由题意， ，解得 或 ，… 故所求直线方程为 或 ．…． 19. 【答案】
证明： 因为三棱柱 为直三棱柱， 所以 平面 ，所以 ． 又因为 ， ， ， 所以 ， 所以 ． 又 ，
所以 平面 ，
所以 ．; 连结 交 于 ，再连结 ， 由已知可得 为 的中点，
又∵ 为 的中点，∴ 为 的中位线． ∴
又∵ 平面 ， 平面 ∴ 平面 ．
【解析】 利用勾股定理的逆定理可得 ．利用线面垂直的性质定理可得 ，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；; 利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出 ，再利用线面平行的判定定理即可证明结论
【解答】
证明： 因为三棱柱 为直三棱柱， 所以 平面 ，所以 ． 又因为 ， ， ， 所以 ， 所以 ． 又 ，
所以 平面 ，
所以 ．; 连结 交 于 ，再连结 ， 由已知可得 为 的中点，
又∵ 为 的中点，∴ 为 的中位线． ∴
又∵ 平面 ， 平面 ∴ 平面 ．
20. 【答案】解： 由题得，使解析式有意义的 范围是使不等式组 成立的 范
围，解得 ，
所以函数 的定义域为 ．; 函数 为奇函数， 证明：由 知函数 的定义域关于原点对称，
且 所以函数 为奇函数．
【解析】 使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组 ，解此不
等式组求出 范围就是函数的定义域；; 根据函数奇偶性的定义进行证明即可． 【解答】解： 由题得，使解析式有意义的 范围是使不等式组 成立的 范围，
解得 ，
所以函数 的定义域为 ．; 函数 为奇函数， 证明：由 知函数 的定义域关于原点对称，
且 所以函数 为奇函数． 21. 【答案】解：
，
，∴ 的中点坐标为
，
∴ 的中垂线斜率为
∴由点斜式可得
∴ 的中垂线方程为 ; 由点斜式
∴直线 的方程 ; 设 关于直线 的对称点
，——————————— ∴
解得
∴
，
由点斜式可得 ，整理得
∴反射光线所在的直线方程为 ．———————————
【解析】 先由中点坐标公式求出中点坐标，然后根据垂直求出中垂线的斜率，进而由点斜式求出直线方程；; 根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；; 求得点 关于直线 的对称点 的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出直线方程即可． 【解答】解：
，
，∴ 的中点坐标为
，
∴ 的中垂线斜率为 ∴由点斜式可得
∴ 的中垂线方程为 ; 由点斜式
∴直线 的方程 ; 设 关于直线 的对称点
，——————————— ∴
解得
∴
，
由点斜式可得 ，整理得
∴反射光线所在的直线方程为 ．——————————— 22. 【答案】 证明：∵平面 平面 ，底面 是矩形， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ，
∴ ；; 解：过点 作 于 ，则 平面 ， ，
∴ ；; 解：由题意 为球心，球的半径 ，
∴四棱锥 的外接球的表面积为 ．
【解析】 利用线面垂直的判定，证明 平面 ，可得 ；; 过点 作
于 ，利用体积公式，即可求三棱锥 的体积；; 确定 为球心，球的半径 ，即可求四棱锥 的外接球的表面积．
【解答】 证明：∵平面 平面 ，底面 是矩形， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ，
∴ ；; 解：过点 作 于 ，则 平面 ， ，
∴ ；; 解：由题意 为球心，球的半径 ，
∴四棱锥 的外接球的表面积为 ．
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