上海高二数学矩阵及其运算(有详细答案)精品

上海版高二上数学

矩阵及其运算

一．初识矩阵 （一）引入：

引例1：已知向量OP1,3，如果把OP的坐标排成一列，可简记为； 引例2：2008年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表： 奖项 国家（地区） 中国 美国 俄罗斯 13金牌 51 36 23 银牌 21 38 21 铜牌 28 36 28 512128 我们可将上表奖牌数简记为：363836；

2321282x3ymz123m引例3：将方程组3x2y4z2中未知数x,y,z的系数按原来的次序排列，可简记为324；若将

41n4xynz423m1常数项增加进去，则可简记为：3242。

41n4（二）矩阵的概念

51212823m23m111、上述形如、363836、324、3242这样的矩形数表叫做矩阵。

323212841n41n4b1b22、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量a1,a2,an称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量称为bn列向量；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为mn阶矩阵，mn阶矩阵可记做Amn，如矩阵为

1351212821阶矩阵，可记做A21；矩阵363836为33阶矩阵，可记做A33。有时矩阵也可用A、B等字母

232128表示。

第 1 页

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个mn阶矩阵Amn中的第i（im）行第j（jn）列数可用

512128字母aij表示，如矩阵363836第3行第2个数为a3221。

2321284、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000为一个23阶零矩阵。

0005、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行（列），可称此方阵为n51212823m阶方阵，如矩阵363836、324均为三阶方阵。在一个n阶方阵中，从左上角到右下角所有

23212841n10元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵为2

01100阶单位矩阵，矩阵010为3阶单位矩阵。

0016、如果矩阵A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵，

当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为AB。

2x3ymz123m7、对于方程组3x2y4z2中未知数x,y,z的系数按原来的次序排列所得的矩阵324，我们叫

41n4xynz423m1做方程组的系数矩阵；而矩阵3242叫做方程组的增广矩阵。

41n4（三）、应用举例：

例1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表：

各阶段 第1组 第2组 第3组 第4组 总成绩 姓名 张娟娟 朴成贤 26 29 27 26 29 26 28 28 110 109 （1）将两人的成绩各阶段成绩用矩阵表示； （2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。

第 2 页

例2、已知矩阵Ax2xyb2a且AB，求a、b的值及矩阵A。 ,B22xa2byxy

例3、写出下列线性方程组的增广矩阵：

x2y3z202x3y1（1）； （2）x3y2z50

4xy62xyz30

例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：

2102235（1） （2）0321

1243023

例5、已知矩阵sincossincos0,,，求sin的值。 为单位矩阵，且21

（四）、课堂练习：

1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，输用1 表示，相同则为0）。

第 3 页

2、奥运会足球比赛中国队所在C组小组赛单循环比赛结果如下：

中国平新西兰1∶1 巴西胜比利时1∶0 中国负比利时0∶2

巴西胜新西兰5∶0 中国负巴西0∶3 比利时胜新西兰0∶1

（1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列） （2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的得分情况；（排列顺序

与（1）相同）

（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两个矩阵确定各队名次。

二、矩阵的三种基本变换 （一）、复习引入：

引例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？

112133222（1） （2） （3）123222133

32 2313110822 （5） （6）108 （4）1130011301136666

（二）、矩阵的三种基本变换新课讲解：

通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换： （1）互换矩阵的两行；

（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数； （3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。 （三）、应用举例：

例1、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计

第 4 页

462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题”）

4x3yz5例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组7x2yz4的解。

5x2y3z8

例3、运用矩阵变换方法解方程组：ax3y2（a、b为常数）

2xyb

说明：（1）符合情况ⅰ）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交； （2）符合情况ⅱ）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解；

第 5 页

（3）符合情况ⅲ）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。 （四）、课堂练习：

用矩阵变换方法解下列问题： （1）若方程组xy2的解x与y相等，求k的值。

(k1)x(k1)y4

（2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？

第一次称量 第二次称量

3x2yz0（3）解方程组：xy2z5

5x7y8z1

三、矩阵运算

（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等

定义 如果两个矩阵Aaijmn，Bbijsp满足：

(1) 行、列数相同，即 ms,np；

(2) 对应元素相等，即aij = bij (= 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n )， 则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A = B

（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个mn矩阵相等，等价于元素之间的m

A =第 6 页

n个等式.）例如，矩阵

a11a12a21a22a13305， B = a23214

那么A = B，当且仅当

a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4

而

C = c11c21c12 c22因为B, C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c11, c12, c21, c22取什么数都不会与矩阵B相等.

2．加法

定义2.3 设Aaij

mn，Bbijsp是两个mn矩阵，则称矩阵

a11b11a12b12aba22b222121C =

am1bm1am2bm2为A与B的和，记作

a1nb1na2nb2n

amnbmnC = A + B = aijbij

（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =aijbij 称D为A与B的差. 例1 设矩阵A =

304234， B =，求A + B，A - B. 251031coscos例2、矩阵Atan00，B1tan2，C10tantan100，若ABC，(0,)，27(,)，求sin的值。

22

矩阵加法满足的运算规则是什么？

设A, B, C, O都是mn矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A；

第 7 页

2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A； 4. 存在矩阵-A，满足：A -A = A + (-A ) = O .

3．数乘

定义2.4 设矩阵Aaijmn，为任意实数，则称矩阵Ccijmn为数与矩阵A的数乘，其中

cijaij(i1,2,,m;j1,2,n)，记为

C =A

（由定义2.4可知，数乘一个矩阵A，需要用数去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当 = -1时，A = -A，得到A的负矩阵.）

317 例3 设矩阵A =405，用2去乘矩阵A，求2A. 602

数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数k , l和矩阵A = aijmn，B =bijmn满足以下运算规则：

1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 数1与矩阵满足： 1A = A.

32432，求3A - 2B. 例4 设矩阵 A =50，B =81617

a1xb1yc1例5．给出二元一次方程组存在唯一解的条件。

axbyc222

第 8 页

4．乘法

某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用B表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）： I II 单价 利润 甲 2010 A = 2511 乙 B = 丙 1用矩阵C = cij总

收

入 即

3.50.851.2 I

II

32表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么C中的元素分别为

总 利 ，

润

c11C =c21c3128120 =142.533.2 10825.2c12c22= c32203.5105200.8101.2253.5115250.8111.2 183.595180.891.2其中，矩阵C中的第行第j列的元素是矩阵A 第行元素与矩阵B 第j列对应元素的乘积之和.

矩阵乘积的定义 设A=aij是一个m

s矩阵，B=bij是一个s

n矩阵，则称m

n矩阵C =cij为矩阵

A与B的乘积，记作 C = AB.其中cij = ai1b1 j + ai2b2 j + … + ai s bs j = (= 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n ).

（由矩阵乘积的定义可知：）

(1) 只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A, B才能作乘法运算AB；

(2) 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数； (3) 乘积矩阵AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.

21 例6 设矩阵 A = 40， B = 53

第 9 页

98710，计算AB. 

例7 设矩阵 A = 2422，B =， 求AB和BA. 1211

由例6、例7可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不一定有意义；即使乘积矩阵AB和BA有意义时，AB和BA也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.

在例6中矩阵A和B都是非零矩阵（AO, B O ）,但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵（AB = O），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O，不能得出A和B中至少有一个是零矩阵的结论.

一般地，当乘积矩阵AB = AC，且AO时，不能消去矩阵A，而得到B = C.这说明矩阵乘法也不满足消去律.

那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？

矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 数乘结合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中k是一个常数.

101例8：已知A10，矩阵B2，求AB。

解：AB，这可以看作向量经过矩阵变换为向量。变换后的向量与原向量关于直线yx对称。

21122110u练习：已知A（1）求AB；（2）说明矩阵A对向量B产生了怎样的变换。 ，矩阵B，

01v

练习：计算下列矩阵的乘法

第 10 页

b1a1ba22；（2）an)(bb12bnan（1）(a1a2bn)。

例9、已知矩阵Af(x)，Bx1x，C

例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式

x，若A=BC，求函数f(x)在[1,2] 上的最小值. 2a2xy3z12xy1（1）；（2）4x2y3z1。

4x3y72xy4z1

例11：若ABBA，矩阵B就称为与A可变换，设A

11，求所有与A可交换的矩阵B。 01101例12、A20,求Ak(k2,3,)．

1第 11 页

练习:设A11n*23

，求A、A，猜测A(nN)并证明。 01

5．转置

矩阵转置的定义 把将一个m

n矩阵

a11a21A =am1的行和列按顺序互换得到的n

a12a22am2a1na2n

amnm矩阵，称为A的转置矩阵，记作A，即

a11aA = 12a1na21am1a22am2

a2namn 由定义2.6可知，转置矩阵A的第行第j列的元素等于矩阵A的第j行第列的元素，简记为

A的（，j）元 = A的（j，）元

矩阵的转置满足下列运算规则： 1. (A)= A；

2. (AB)=A +B； 3. (kA) = kA , ( k为实数)； 4. (AB)=BA.

高二Ａ数学讲义第十八讲（130812）课后作业

（本试卷共19题，时间45分钟，满分100分）

第 12 页

班级： 姓名：

一、选择题(每小题4分,共15个小题,共60分) 1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件是 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组2x3y2其中正确的是（ ）

x2y1A、23x221x2 B、 12y132y1C、23x232x2 D、y121y1

1221143、若A03，B20，且2A3XB，则矩阵X___________.

14534、点A（1，2）在矩阵22对应的变换作用下得到的点的坐标是___________

015、已知00a是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么a+b= . 02bcos22,)在矩阵22sinsin对应的变换作用下得到的点为（1，0），那么α= . cos6、若点A(7、若点A在矩阵12对应的变换作用下下得到的点为（2，4），那么点A的坐标为 .

22

8、已知A1cossin1cossinB，122若A=B，那么α+β= . 19、设A为二阶矩阵，其元素满足，aijaji0i=1，2，j=1，2，且a12a212，那么矩阵 A= . 10：Ax41u，B，且AB，那么A+AB= 。

6yv311、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵(1,2,1)，那么该线性方程组为 。

第 13 页

1cos60sin60212、计算:若矩阵A，B3sin60cos60232，则

AB___________.

1234221113、计算：6= . 110221xy6014. 线性方程组对应的系数矩阵是___________，增广矩阵是___________.

3x5y4023015、 已知矩阵A1，B(1,2)，C，则(AB)C___________.

123二、简答题 1.

10n*23已知A，分别计算A、A，猜测A(n2，nN)；

11 2.

111x6⑵ 121y0. 211z3将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解: 3x2y110⑴ ；

2xy50

第 14 页

3.

20x2若，则xy___________.

13y74、已知矩阵Af(x)，Bsinx小值.

cosxcosx2sinx，C，若A=BC，求函数在f(x)[0,]上的最3sinx

第 15 页

老师讲义

2013年暑期高二Ａ数学讲义第十八讲（130812）

矩阵及其运算

一．初识矩阵 （一）引入：

引例1：已知向量OP1,3，如果把OP的坐标排成一列，可简记为； 引例2：2008年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表： 奖项 国家（地区） 中国 美国 俄罗斯 13金牌 51 36 23 银牌 21 38 21 铜牌 28 36 28 512128 我们可将上表奖牌数简记为：363836；

2321282x3ymz123m引例3：将方程组3x2y4z2中未知数x,y,z的系数按原来的次序排列，可简记为324；若将

41n4xynz423m1常数项增加进去，则可简记为：3242。

41n4（二）矩阵的概念

51212823m23m111、上述形如、363836、324、3242这样的矩形数表叫做矩阵。

323212841n41n4b1b22、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量a1,a2,an称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量称为bn列向量；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为mn阶矩阵，mn阶矩阵可记做Amn，如矩阵为

1351212821阶矩阵，可记做A21；矩阵363836为33阶矩阵，可记做A33。有时矩阵也可用A、B等字母

232128表示。

第 16 页

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个mn阶矩阵Amn中的第i（im）行第j（jn）列数可用

512128字母aij表示，如矩阵363836第3行第2个数为a3221。

2321284、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000为一个23阶零矩阵。

0005、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行（列），可称此方阵为n51212823m阶方阵，如矩阵363836、324均为三阶方阵。在一个n阶方阵中，从左上角到右下角所有

23212841n10元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵为2

01100阶单位矩阵，矩阵010为3阶单位矩阵。

0016、如果矩阵A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵，

当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为AB。

2x3ymz123m7、对于方程组3x2y4z2中未知数x,y,z的系数按原来的次序排列所得的矩阵324，我们叫

41n4xynz423m1做方程组的系数矩阵；而矩阵3242叫做方程组的增广矩阵。

41n4（三）、应用举例：

例1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表：

各阶段 第1组 第2组 第3组 第4组 总成绩 姓名 张娟娟 朴成贤 26 29 27 26 29 26 28 28 110 109 （1）将两人的成绩各阶段成绩用矩阵表示； （2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。

26272928110解：（1）

29262628109（2）有两个行向量，分别为：a126272928110，

a229262628109，

第 17 页

它们分别表示两位运动员在决赛各阶段各自成绩；

26272928110 有五个列向量，分别为b1,b2,b3,b4,b5

29262628109 它们分别表示两位运动员在每一个阶段的成绩。 例2、已知矩阵Ax2xyb2a且AB，求a、b的值及矩阵A。 ,B2xy2xa2byb2ax2xy2x2a2解：由题意知：解得：，又由解得：， 22xyy4b6a2bxy14 A22

414例3、写出下列线性方程组的增广矩阵：

x2y3z202x3y1（1）； （2）x3y2z50

4xy62xyz301232231解：（1）； （2）1325

4162113例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：

2102235（1） （2）0321

12430232xy22x3y5解：（1） （2）3y2z1

x2y43x2z3例5、已知矩阵sincossincos0,,，求sin的值。 为单位矩阵，且21sincos12

解：由单位矩阵定义可知：，,,，2sincos034 sinsin2。 24（四）、课堂练习：

1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，输用1 表示，相同则为0）。

第 18 页

01101解：1

1102、奥运会足球比赛中国队所在C组小组赛单循环比赛结果如下：

中国平新西兰1∶1 巴西胜比利时1∶0 中国负比利时0∶2

巴西胜新西兰5∶0 中国负巴西0∶3 比利时胜新西兰0∶1

（1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列） （2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的得分情况；（排列顺序

与（1）相同）

（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两个矩阵确定各队名次。

032301解：（1）21005100

53（2）

3101001



033

（3）名次为巴西、比利时、中国、新西兰。

003



000

二、矩阵的三种基本变换 （一）、复习引入：

引例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？

112133222（1） （2） （3）12322213332 2313110822 （5） （6）108 （4）113001130113666631xy2xy33x2y222；

解：这些方程组为；；3x2y22xy3x2y23331xyx8x822；；。 131yy131y136666这些增广矩阵所对应的线性方程组的解都是相同的。

（二）、矩阵的三种基本变换新课讲解：

通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换： （1）互换矩阵的两行；

（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；

第 19 页

（3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。 （三）、应用举例：

例1、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题”）

xy462解：设一元硬币有x个，五角硬币有y个，则根据题意可得：x 0.5y21651321 则该方程组的增广矩阵为A1165下列变换：

112462，设①、②分别表示矩阵A的第1、2行，对矩阵A进行24623132

405111166211462①1加到② 1②33

  5 1 11①不变 ①不变 26602851②40 13 ①不变

1462②(1)加到① 10110

②不变 01352 01352x110由最后一个矩阵可知：

y352答：一元硬币有110个，五角硬币有352个。

4x3yz5例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组7x2yz4的解。

5x2y3z8431514 解：此方程对应的增广矩阵为：725238设此矩阵第1、2、3行分别为①、②、③，对此矩阵进行下列变换：

431511509②加到①

②3加到③ 72147214  52382020②不变 1③

4①、②不变

③(2)加到② 430016211509③(5)加到① 6016 7214 ③不变

131310510522第 20 页

①(2) 43②、③不变

32100324310043①(13)加到③ 200166 6016①不变 431371052010433232100x434377010， 此方程组的解为y

43436666001z4343①6加到②

交换②、③ ①不变

说明：1、利用矩阵基本变换，将矩阵的每一个行向量所对应的方程只有一个变量；

2、在变换过程中，实际为加减消元的过程，此过程中应根据数字的特点，运用适当的程序进行化简运算。 例3、运用矩阵变换方法解方程组：ax3y2（a、b为常数）

2xyb解：此方程组对应的增广矩阵为：a32，设①、②分别表示此矩阵的第1、2行，

21b②3加到① a6023ba32对此矩阵进行下列变换： 

21b21b①不变  ⅰ）当a60，即a6时，以上矩阵可作如下变换：

1①

1a6

②不变

23b23b100a6①(2)加到②  a6 ab40121①不变 ba623b23b10x②(1) a6a6；

，此时方程有唯一解①不变 014aby4aba6a6ⅱ）当a60即a6时，若23b0即bⅲ）当a60即a6时且b2时，方程组无解； 32时，方程组有无穷多解，它们均符合6x3y20。 3说明：（1）符合情况ⅰ）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交； （2）符合情况ⅱ）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解；

（3）符合情况ⅲ）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。 （四）、课堂练习：

用矩阵变换方法解下列问题：

第 21 页

（1）若方程组xy2的解x与y相等，求k的值。

(k1)x(k1)y4解：12221111110k1

k1k140262k013k013kxk1，由题意知：k13k求得：k2。

y3k 解得（2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？

第一次称量 第二次称量

解：设黑球和白球的质量各为x、y千克，则由题意知：x2y5

3xy10通过矩阵变换125125125103

3110055011011解得：黑球每个3千克，白球每个1千克。

3x2yz0（3）解方程组：xy2z5

5x7y8z1321005515011311251125 解：1125578101222606113011301130102101210121001

0055001100111001x10102即方程组的解为y2。

z10011

三、矩阵运算

（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等

定义 如果两个矩阵Aaij第 22 页

mn，Bbijsp满足：

(1) 行、列数相同，即 ms,np；

(2) 对应元素相等，即aij = bij (= 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n )， 则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A = B

（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个mn矩阵相等，等价于元素之间的m

A =那么A = B，当且仅当

a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4

而

C = n个等式.）例如，矩阵

a11a12a21a22a13305， B = a23214c11c21c12 c22因为B, C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c11, c12, c21, c22取什么数都不会与矩阵B相等.

2．加法

定义2.3 设Aaij

mn，Bbijsp是两个mn矩阵，则称矩阵

a11b11a12b12aba22b222121C =

am1bm1am2bm2为A与B的和，记作

a1nb1na2nb2n

amnbmnC = A + B = aijbij

（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =aijbij 称D为A与B的差.

例1 设矩阵A =304234， B =031，求A + B，A - B.

251304234+ 25103103441303(2)= 205(3)11220 解 ： A + B =  = 304234 A - B = -031

251第 23 页

=03445383(2)=282

205(3)1100，B1tan2，C10tantan1coscos例2、矩阵Atan00，若ABC，(0,)，27的值。 (,)，求sin22解：由A+B=C知：

0coscos2tantan1tantan101cos α cos β=0 72 10tanα + tanβ=-1; 1-tanα tanβ=7

tan()由于(0,tantan1，知(k,k)kZ

1tantan723)，(,)知：(,)

2222从而(,),有(,)

2242sin()272;cos(), 1010sin21cos()2172101072 220

矩阵加法满足的运算规则是什么？

设A, B, C, O都是mn矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A； 4. 存在矩阵-A，满足：A -A = A + (-A ) = O .

3．数乘

定义2.4 设矩阵Aaijmn，为任意实数，则称矩阵Ccijmn为数与矩阵A的数乘，其中

cijaij(i1,2,,m;j1,2,n)，记为

第 24 页

C =A

（由定义2.4可知，数乘一个矩阵A，需要用数去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当 = -1时，A = -A，得到A的负矩阵.）

例3 设矩阵

317A =405 602那么，用2去乘矩阵A，可以得到

2(1)276214232025=8010 2A =2(4)2620224120

数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数k , l和矩阵A = aijmn，B =bijmn满足以下运算规则：

1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 数1与矩阵满足： 1A = A.

32432，求3A - 2B. 例4 设矩阵 A =50，B =81617 解 先做矩阵的数乘运算3A和2B，然后求矩阵3A与2B的差.

333(2)30= 3A =35363196150 318861 2142(3)2422= 2B =28272(1)

0968614= 14 3A - 2B = 150-1643182145a1xb1yc1例5．给出二元一次方程组存在唯一解的条件。

axbyc222解：原方程组可以表示成x第 25 页

a1b1c1a1b1c1y，其中、、是三个列向量，由平面分解定理可知，a2b2c2a2b2c2

a1b1a1b1c1当向量、不平行时，向量可表示成向量、的线性组合，且系数x、y唯一，那么对应的方

abac222b22程组有存在唯一解，即a1b2a2b1。

4．乘法

某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用B表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）： I II 单价 利润 甲 20103.50.8 A = 2511 乙 B =  51.2丙 1用矩阵C = cij总

收

入 即

I II

32表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么C中的元素分别为

总 利 ，

润

c11C =c21c3128120 =142.533.2 10825.2c12c22= c32203.5105200.8101.2253.5115250.8111.2 183.595180.891.2其中，矩阵C中的第行第j列的元素是矩阵A 第行元素与矩阵B 第j列对应元素的乘积之和.

矩阵乘积的定义 设A=aij是一个m

s矩阵，B=bij是一个s

n矩阵，则称m

n矩阵C =cij为矩阵

A与B的乘积，记作 C = AB.其中cij = ai1b1 j + ai2b2 j + … + ai s bs j = (= 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n ).

（由矩阵乘积的定义可知：）

(1) 只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A, B才能作乘法运算AB；

(2) 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数； (3) 乘积矩阵AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.

第 26 页

21 例6 设矩阵 A = 40， B = 532198

解 AB = 407105329(1)(7)2(8)(1)10=

4(8)10 = 490(7)3(8)510395(7)

在例6中，能否计算BA？

由于矩阵B有2列，矩阵A有3行，B的列数

例7 设矩阵 A = 98710，计算AB. 25263632 268A的行数，所以BA是无意义的.

2422，B =， 求AB和BA. 1211 解 AB = 2422 1211224(1)2(2)4100 =  =00

122(1)1(2)21 BA = 222422(2)124(2)2=  14121112121142 = 

12

由例6、例7可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不一定有意义；即使乘积矩阵AB和BA有意义时，AB和BA也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.

在例6中矩阵A和B都是非零矩阵（AO, B O ）,但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵（AB = O），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O，不能得出A和B中至少有一个是零矩阵的结论.

一般地，当乘积矩阵AB = AC，且AO时，不能消去矩阵A，而得到B = C.这说明矩阵乘法也不满足消去律.

那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？

矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 数乘结合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中k是一个常数.

第 27 页

例8：已知A101，矩阵B，求AB。 102解：AB，这可以看作向量经过矩阵变换为向量。变换后的向量与原向量关于直线yx对称。

211221练习：已知A10u，矩阵（1）求AB；（2）说明矩阵A对向量B产生了怎样的变换。 B，

01vb1a1ba22（2）(b1b2an)；bnan练习：计算下列矩阵的乘法

（1）(a1a2bn)。

解：略解（1）1行1列；（2）n行n列。

例9、已知矩阵Af(x)，Bx1x，C解: ∵BC=x1xx，若A=BC，求函数f(x)在[1,2] 上的最小值. 2ax2=x2a(1x),Af(x) 又∵ A=BC 2af(x)x22ax2a(xa)22aa2，∵x∈[1,2]

当a≥２时，函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)42a. 当1≤a＜2时，函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(a)2aa. 当a＜1时，函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)1

2∴[f(x)]min (a2)42a 2aa2 (1a2) 1 (a1)点评：（1）本题运用了行矩阵与列矩阵的乘法规则及两个矩阵相等的充要条件；

（2）求含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，通常需要分类讨论.

例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式

2xy3z12xy1（1）；（2）4x2y3z1。

4x3y72xy4z1第 28 页

213x121x1423解：（1）；（2）y1。 43y7214z1例11：若ABBA，矩阵B就称为与A可变换，设A11，求所有与A可交换的矩阵B。 01a11解：设与A可交换的矩阵Ba21a11a21a12a11a21a12a22，则AB， a22aa2122而BAa11a21a11aaa11a12a2102121，由，得，解得， ABBAa21a22a11a22a12a22a11a12a22a21a22a11a12则B，当a11、a12取任意实数时，所得的矩阵与A可交换。

0a11101例12、A20,求Ak(k2,3,)．

110110110解： A20202211220 130 110 AAA22322101100202311k10 可以利用数学归纳法证得：A2k练习:设Ak0 111n*23

A(nN)并证明。 ，求、，猜测AA0112131n32n，，猜测AAAA，用数学归纳法证明。

010101n矩阵

解：A2AA5．转置

矩阵转置的定义 把将一个m

a11a21A =am1的行和列按顺序互换得到的n

a12a22am2a1na2n

amnm矩阵，称为A的转置矩阵，记作A，即

第 29 页

a11aA = 12a1na21am1a22am2

a2namn 由定义2.6可知，转置矩阵A的第行第j列的元素等于矩阵A的第j行第列的元素，简记为

A的（，j）元 = A的（j，）元

矩阵的转置满足下列运算规则： 1. (A)= A；

2. (AB)=A +B； 3. (kA) = kA , ( k为实数)； 4. (AB)=BA.

运算规则1—3都容易验证.若要了解运算规则4的证明

4. (AB)=BA. 证 设矩阵A =aij是m样B是n

s矩阵，A是s

s矩阵，B =bij是s

n矩阵，那么AB是mm矩阵.

n矩阵， (AB) 是n

m矩阵；同

m矩阵，那么BA是n

元 =

(AB)的

元 = AB的

BTAT的元 =

=

=

(AB )T 的

元 = BTAT 的

= 元，（=1, 2, …, n；j =1, 2, …, m）.

故矩阵转置满足 ( AB )T =BT AT .

412，B = 例13 设矩阵 A =032 解

2134，验证矩阵(AB)=BA. 560085 415021，(AB) = 268 AB = 0=

343205第 30 页

且

40322 A= ， B=14

122 BA=22403560= 14122085= BA

(AB) =

例14、证明：(ABC)= CBA

证 (ABC)=[(AB)C]=C(AB)=CBA

（由例8可知，）矩阵转置的运算规则4可以推广到多个矩阵相乘的情况，即

A2A1 (A1A2Ak)= Ak

高二Ａ数学讲义第十八讲（130812）课后作业

（本试卷共19题，时间45分钟，满分100分）

班级： 姓名：

一、选择题(每小题4分,共15个小题,共60分) 1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件是 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组2x3y2其中正确的是（ ）

x2y123x221x2A、y1 B、32y1

12C、23x232x2 D、 12y121y121143、若A03，B20，且2A3XB，则矩阵X___________.

1453第 31 页

4、点A（1，2）在矩阵22对应的变换作用下得到的点的坐标是___________

015、已知00a是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么a+b= . 02bcos22,)在矩阵22sinsin对应的变换作用下得到的点为（1，0），那么α= . cos6、若点A(7、若点A在矩阵12对应的变换作用下下得到的点为（2，4），那么点A的坐标为 .

22

8、已知A1cossin1cossinB，122若A=B，那么α+β= . 19、设A为二阶矩阵，其元素满足，aijaji0i=1，2，j=1，2，且a12a212，那么矩阵 A= . 10：Ax41u，B，且AB，那么A+AB= 。

6yv311、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵(1,2,1)，那么该线性方程组为 。 1cos60sin60212、计算:若矩阵A，B3sin60cos60232，则

AB___________. 1234221113、计算：6= . 110221xy6014. 线性方程组对应的系数矩阵是___________，增广矩阵是___________.

3x5y4023015、 已知矩阵A1，B(1,2)，C，则(AB)C___________.

123二、简答题 1.

10n*23已知A，分别计算A、A，猜测A(n2，nN)；

11

第 32 页

2.

111x6⑵ 121y0. 211z3将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解: 3x2y110⑴ ；

2xy50

3.

4、已知矩阵Af(x)，Bsinx小值.

20x2若，则xy___________.

13y7cosxcosx2sinx，Cf(x)，若A=BC，求函数在[0,]上的最3sinx

第 33 页