中考数学压轴题 菱形问题精选解析(二)

例3 已知菱形ABCD的边长为10，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，求证：△PBE∽△PDF；

（2）连接PC，当PE＋PF＋PC的值最小时，求PB的长；

（3）如图2，对角线AC、BD交于点O，以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求PB的长．

A A A F F E E

B D B D B P P O O

C C C

图1 图2 备用图

A F 解析：

E （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB ∴∠ABD＝∠ADB B D

P O

又∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠PEB＝∠PFD＝90°

M ∴△PBE∽△PDF

（2）解：如图1，连接AC交BD于O，则AC⊥BD

延长FP交BC于M，则FM⊥BC

∵BD平分∠ABC，PE⊥AB， PM＝PE ∴PE＋PF＝PM＋PF＝FM

122

在Rt△AOB中，BO＝ BD＝8，∴AO＝ AB －BO ＝

2 ∴AC＝2AO＝12

1

又∵S菱形ABCD ＝ AC·BD＝BC·FM

2 ∴

148×12×16＝10·FM，即FM＝ 2 5

B C

图1

D

10 －8 ＝6

A E P O D

F 22

（说明PE＋PF的值不变即可得分，不必求出FM的值） 因此，要使PE＋PF＋PC的值最小，只要PC取最小值

所以当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE＋PF＋PC的值最小

1

此时PB＝BO＝ BD＝8

2 （3）设PB＝x，则PD＝BD－PB＝16－x

4

∵PF⊥AD，∴在Rt△PFD中，DF＝DP·cos∠ADB＝ ( 16－x )

5 ①当⊙P与⊙D外切时

B C

图2

A E F O P D

C

图3

情形一：如图2，当P点在点O左侧时，PO＝OB－PB＝8－x

4

此时PO＋DF＝PD，∴( 8－x )＋ ( 16－x )＝16－x

5 解得x＝6，即PB＝6

情形二：如图3，当P点在点O右侧时，PO＝PB－OB＝x－8

4

此时PO＋DF＝PD，∴( x－8 )＋ ( 16－x )＝16－x

5 解得x＝

2828

，即PB＝

3 3

B A E F O P D

②如图4，当⊙P与⊙D内切时，PO＝PB－OB＝x－8

∵PD ＞DF，∴PO－DF＝PD

49292

∴( x－8 )－ ( 16－x )＝16－x，解得，x＝ ，即PB＝

5 7 7

综上所述，以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，PB的长为6或

C

图4

22

或

3 7

例4 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．

（1）若CE＝1，求BC的长； A B 1 （2）求证：AM＝DF＋ME．

F M 2 C E D 解析：

（1）解：∵四边形ABCD是菱形

∴BC＝CD，∴∠1＝∠DAC＝∠DCA＝∠ACB ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCA ∴DM＝CM

又∵ME⊥CD，CE＝1，∴CD＝2CE＝2 ∴BC＝CD＝2

（2）证明：延长AB和DF相交于点G，

B G ∵F为BC的中点，∴BC＝2CF＝2BF

∵CD＝2CE，BC＝CD，∴CE＝CF

在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，

又∵∠ECM＝∠FCM，CM＝CM，∴△ CEM≌△CFM ∴ME＝MF

∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠2＝∠G 又∵∠DFC＝∠GFB，CF＝BF，∴△DCF≌△GBF ∴DF＝GF

∵∠2＝∠G，∠1＝∠2，∴∠1＝∠G ∴AM＝GM

∵MG＝GF＋MF，DF＝GF，ME＝MF ∴AM＝DF＋ME

1 A F M 2 C E D