天津河东区2019-2020学年九上期中数学试题(解析版)

天津市河东区2019-2020学年九年级上学期

期中数学试题

一、选择题（共12题，每题3分）

1. 下列所给图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C 【解析】 【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可得出答案.

【详解】解：A是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项错误； B是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项错误； C既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项正确； D是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项错误； 故答案选择C.

【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后能与原图形完全重合. 2. 在下列方程中，一元二次方程是（ ） A. ax2bxc0 C. x(x4)0 【答案】C 【解析】 【分析】

根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件即可．

【详解】解：A选项：若a0，则ax2bxc0不是一元二次方程. B选项：化简后，得10，不成立.

B. x2(1x)(1x)0 D. x20 x

C选项：整理得x24x0，是一元二次方程. D选项：x故选C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 二次函数yx26x4的顶点坐标为（ ） A. (3,5) 【答案】B 【解析】 【分析】

直接利用配方法求出二次函数顶点坐标即可． 【详解】解：yx6x4(x3)13， ∴顶点坐标为(3,13)，故选B.

【点睛】本题考查了配方法求二次函数的顶点坐标，正确进行配方得出是解题的关键． 4. 已知关于x的一元二次方程2x23xm0有一个根为－2，则另一个根为（ ） A. 5 【答案】C 【解析】 【分析】

把x=-2代入方程2x2-3x+m=0，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：将x2代入2x23xm0中，解得：m14. 解2x23x140，得：x12，x23.5. ∴另一根为3.5,故选C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解,解题的关键是掌握：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

5. 若A4,y1，B1,y2，C2,y3为二次函数y(x2)23的图象上的三点，则y1，y2，y3大小关系是（ ）

B. 0.5

C. 3.5

D. －14

2220，不是一元二次方程. xB. (3,13) C. (3,5) D. (3,13)

A. y1y2y3 【答案】A 【解析】 【分析】

B. y3y1y2 C. y3y2y1 D. y2y1y3

由二次函数解析式找出抛物线的对称轴，判断出开口向下，根据抛物线开口向下时，离对称轴越远的点的纵坐标越小，判断A、B及C离对称轴的远近，即可得出其对应函数值y1，y2，y3的大小关系． 【详解】解：y(x2)23的对称轴为x2且开口向下， 三点橫坐标离对称轴x2的距离按由远到近为： ,4,y1, 1,y2，2,y3 ∴y1y2y3,故选A.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线开口向下时，离对称轴越远函数值越小；抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大．

6. 若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. m=3 【答案】C 【解析】 【分析】

根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，抛物线在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，据此列不等式求解.

【详解】∵a=1>0，

∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∵y=（x﹣m）2﹣1的对称轴是x=m， ∴m≥3. 故选C.

【点睛】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.

7. 如图，二次函数yax2bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P，若点P的横坐标为1，则一次函数yabxb的图象大致是( )

B. m＞3

C. m≥3

D. m≤3

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】 【分析】

根据二次函数的图象可以判断a、b、ab的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案．

【详解】由二次函数的图象可知， a0，b0，

当x1时，yab0，

yabxb的图象经过二、三、四象限，

观察可得D选项的图象符合， 故选D．

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键.

8. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. 200（1+x）2＝1000 B. 200+200×2x＝1000 C. 200+200×3x＝1000

D. 200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000 【答案】D 【解析】 【分析】

根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得第一季度的

营业额.

【详解】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为200×（1+x），

∴三月份营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2， ∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000， 即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000． 故选D．

【点睛】此题考察增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和.

9. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置.若∠CAB'=25°则∠ACC'的度数为（ ）

A. 25° 【答案】D 【解析】 分析：

的 B. 40°

C. 65°

D. 70°

=40°，AC=AC′，由此可得由旋转的性质结合已知易得∠CAC′=∠BAB′=∠CAB-∠CAB′=65°-25°∠ACC′=∠AC′C=70°. 详解：

∵△AB′C′是由△ABC绕点A旋转得到的， ∴∠CAC′=∠BAB′，AC=AC′，

∵∠BAB′=∠BAC-∠CAB′=65°-25°=40°， ∴∠CAC′=40°， ∴∠ACC′=∠AC′C=故选D.

点睛：熟悉“旋转的性质，并能结合已知条件得到AC=AC′，∠CAC′=∠BAB′=40°”是解答本题的关键. 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线

经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时

1（180°-40°）=70°. 2针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2， 0），则点C的坐标为（ ）

A. （﹣1，3） 【答案】A 【解析】 【分析】

B. （﹣2，3） C. （-3，1） D. （-3，2）

作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，23），再利用旋转的性质得BC=BA=23，∠ABC=60°，则∠CBH=30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=

1BC=3，BH=3CH=3，所以OH=BH-OB=3-2=1，于是可写出C点坐标． 2【详解】作CH⊥x轴于H，如图，

∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B， ∴A点横坐标为2， 当x=2时，y=3x=23， ∴A（2，23），

∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD， ∴BC=BA=23，∠ABC=60°， ∴∠CBH=30°， 在Rt△CBH中，CH=BH=3CH=3，

1BC=3， 2

OH=BH-OB=3-2=1， ∴C（-1，3）． 故选A．

11. 二次函数yax2bxc（a，b，c为常数且a0）中的x与y的部分对应值如下表：

x －1 －1 0 3 1 5 3 3 y

给出了结论：

（1）二次函数yaxbxc有最大值，最大值为5；（2）ac0；（3）x1时，y的值随x值的增大

2而减小；（4）3是方程ax(b1)xc0的一个根；（5）当1x正确结论的个数是（ ） A. 4 【答案】B 【解析】 【分析】

B. 3

C. 2

23时，ax2(b1)xc0.则其中

D. 1

当x=0时，y=3，则c=3；当x=-1时，y=-1；当x=1时，y=5，代入即可求函数解析式y=-x2+3x+3；进而可以进行判断．

【详解】解：∵x1时y1，x0时y3，x1时y5.

abc1∴c3， abc5a1解得：b3.

c3321. ∴yx23x3x24当x2321时，y有最大值，为，①错误.

42ac130，②正确.

∵a=-1<0,开口对称轴为直线x33，所以，当x时，y随x的增大而减小，③错误. 22方程为x22x30，解得x11，x23，所以3是方程

ax2(b1)xc0的一个根，④正确.

∵x1时，ax2bxc1. ∴x1时，ax2(b1)xc0.

∵x3时，ax2(b1)xc0，且函数有最大值. ∴当1x3时，ax2(b1)xc0，⑤正确

综上，正确的有②④⑤，共3个，故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，能够利用待定系数法准确求出函数的解析式是解题的关键．

12. 二次函数yax2bxc(a0)的部分图象如图所示，图象过点(1,0)，对称轴为直线x2， 下列结论： ①4ab0； ②9ac3b； ③8a7b2c0；

④若点A3,y1，点B2,y2，点C8,y3在该函数图象上，则y1y3y2； ⑤若方程a(x1)(x5)3的两根为x1和x2，且x1x2，则x11x25. 其中正确的结论有（ ）

.

A. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】

B. 3个 C. 4个 D. 5个

利用对称轴方程得到-

b=2，则b=-4a，于是可对①进行判断；利用x=-3时，y＜0可对②进行判断；利用2a图象过点（-1，0）得到a-b+c=0，把b=-4a代入得到c=-5a，则8a+7b+2c=-30a，然后利用a＜0可对③进行判断；根据二次函数的性质，通过比较A、B、C点到对称轴的距离的大小得到y3y1y2．则可对④进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），则抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），所以方程a（x+1）（x-5）=-3的两根x1和x2为抛物线y=a（x+1）（x-5）与直线y=-3的交点的横坐标，于是结合函数图象可对⑤进行判断； 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-∴b=-4a，即4a+b=0，所以①正确； ∵x=-3时，y＜0，

∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误； ∵抛物线经过点（-1，0）， ∴a-b+c=0， 而b=-4a，

∴a+4a+c=0，则c=-5a， ∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a， 而a＜0，

∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；

∵二次函数yaxbxc开口向下且对称轴为x2， A、B、C三点的橫坐标到对称轴的距离由远及近的是：

2b=2， 2a8,y3，3,y1，2,y2，∴y3y1y2，所以④正确．

∵如图所示：抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0）， ∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），

∴方程a（x+1）（x-5）=-3的两根x1和x2为抛物线y=a（x+1）（x-5）与直线y=-3的交点的横坐标， ∴x1＜-1＜5＜x2；所以⑤错误；

综上所述，其中正确的结论有3个，故选B.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点; △=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点．

二、填空题（共6小题，每小题3分）

13. 如果(a1)xa160是关于x【答案】3 【解析】 【分析】

一元二次方程，那么a________.

直接利用一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵(a1)xa160是关于x的一元二次方程，

a10∴，

a12∴a3.故答案为3

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件．

14. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s60t则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒． 【答案】20． 【解析】 分析】

把解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质得出答案即可。

的32t，2

【详解】解：s60t323t(t30)2600， 22∴当t=20时，s取得最大值，此时s=600． 故答案为20．

考点：二次函数的应用；最值问题；二次函数的最值．

15. 抛物线y(x2)23右平移3个单位，那么平移后的抛物线顶点坐标是________. 【答案】(1,3) 【解析】 【分析】

根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律解答即可． 【详解】解：

y(x2)23向右平移3个单位，得：y(x1)23，

顶点坐标为(1,3)，故答案为(1,-3).

【点睛】本题考查了二次函数函数图象的平移，解题的关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 16. 参加足球联赛的每两个队之间都进行一次比赛，共要比赛36场，共有________个队参加比赛. 【答案】9 【解析】 【分析】

设共有n个队参加比赛，每一个队要比赛的场数为（n-1）场，则总场数为场建立方程求出其解即可． 【详解】设有n个队参加比赛，

1n（n-1）场，根据总场数=362n(n1)36， 2解得n18，n29.

答：有9个队参加比赛,故答案为9.

【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据比赛规则的总场数=36建立方程求解即可．

17. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 【答案】－1或2或1 【解析】

【分析】

分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得．

【详解】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点， 2a=0， 当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×解得：a1=-1，a2=2，

当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1. 故答案为-1或2或1.

18. 如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30得到ABCD，如果AB1，点C与C的距离为________.

【答案】31 【解析】 【分析】

AC，CC'，连接AC'，过C作CF⊥AC'于F，依据旋转的性质求得∠CAC'=30°，进而得出CF=利用勾股定理，即可得到Rt△CC'F中，CC'=CF2CF2． 【详解】解：如图，连接AC'，AC，CC'，过C作CF⊥AC'于F，

11AC=222，

由旋转可得，∠DAD'=30°，∠DAB'=60°， -30°=15°∴∠DAC'=45°， 同理可得，∠B'AC=15°，

-15°-15°=30°∴∠CAC'=60°， ∵AB=BC=1， ∴AC=2=AC'， ∴CF=∴AF=12， 216， 216， ∴C'F=2-2∴Rt△CC'F中， CC'=(2116)2(2)2 22=423=(31)231， 故答案为31．

【点睛】本题考查了旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解题的关键是作辅助线构造含30°角的直角三角形，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．

三、解答题

19. 解方程：

（1）x24x30（配方法） （2）3x(x1)2x2.

【答案】（1）x172，x272;（2）x1【解析】 【分析】

(1)把常数项-3移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方; (2)先移项、然后提取公因式(x-1),利用因式分解法解方程. 【详解】（1）x24x434，

2，x21. 3(x2)27， x27，

x172，x272.

（2）3x(x1)2(x1)，

(3x2)(x1)0.

x12，x21. 3【点睛】本题考查了一元二次方程的解法--配方法、因式分解法.配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数. 20. 如图，已知ABC.

（1）计算AC的长等于________.

（2）将ABC绕点C按逆时针方向旋转90后得到A1B1C1，请先画出A1B1C1，再写出A点对应点A1的坐标.

【答案】（1）10;（2）(3,2). 【解析】 【分析】

(1)利用勾股定理求解即可,(2)利用旋转的定义作图. 【详解】（1）AC321210. （2）A点的对应点A1的坐标是(3,2).

【点睛】本题主要考查了旋转的性质,解题的关键是掌握旋转的变化特征.

21. 关于x的一元二次方程kx22(k2)xk0有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围.

（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）k1且k0;（2）不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数. 【解析】 【分析】

（1）由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；

（2）设方程kx2+2（k-2）x+k=0的两根分别为x1、x2，利用根与系数的关系结合x1、x2互为相反数，可得出关于k的方程，解之即可求出k值，再由（1）中k的取值范围，即可得出不存在符合条件的k值．

2【详解】（1）∵关于x的一元二次方程kx2(k2)xk0有两个不相等的实数根，

∴k0， 222(k2)]4k0解得：k1且k0.

∴k的取值范围为k1且k0. （2）∵方程的两个实数根互为相反数， ∴x1x22(k2)0， k∴2(k2)0， ∴k2， ∴k1，

∴不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数.

【点睛】本题考查了相反数以及根的判别式、根与系数的关系及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）根据根与系数的关系结合x1、x2互为相反数，求出k值；（2）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，列出关于k的一元一次不等式组.

22. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均毎天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调査表明：这种冰箱的售价毎降低50元，平均每天就能多售出4台. （1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润为y元，请写出y与x间的函数表达式;（不要求写出自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中毎天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，毎台冰箱应降价多少元？

【答案】（1）y22x24x3200;（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百25姓得到实惠，每台冰箱应降价200元. 【解析】 【分析】

（1）根据题目要求，售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，则降价x元，平均每天多售出4x台，50列出函数关系式即可；（2）依题意可得当y=4800时，代入函数解析式求解，根据百姓得到实惠的条件取得符合题意的x值．

【详解】解：（1）根据题意，得y(2400x2000)(84x) 50(400x)(2x8) 2522x24x3200. 2522x24x32004800， 25（2）令y4800，即解得x1100，x2200，

要使百姓得到实惠，则降价越多越好，所以取x200.

答：商场要想在这种冰箱销售中毎天盈利4800元，同时又要使百姓得到实恵， 每台冰箱应降价200元.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用营销问题中的基本等量关系，求出函数关系式，是解题的关系． 23. 如图，二次函数yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于c顶点，已知A(1,0)，C(0,3).

（1）求此二次函数的解析式及B点坐标.

（2）在抛物线上存在一点P使ABP的面积为10，不存在说明理由，如果存在，请求出P的坐标. （3）根据图象直接写出3x3时，y的取值范围.

2【答案】（1）二次函数解析式为yx2x3，B点坐标为(3,0);（2）(4,5)，(2,5);（3）4y12.

【解析】

【分析】

（1）将已知的两点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式;.（2）设Px,x2x3,然后利用三角形的面积计算即可;（3）根据图象可得出y的取值范围.. 【详解】解：（1）将A(1,0)，C(0,3)代入yx2bxc中，

21bc0得：，

c3解得b2.

c32所以二次函数解析式为yx2x3.

令y0，即x22x30，解得：x11，x23. ∴B点坐标为(3,0). （2）设Px,x2x3， ∵ABP的面积为10， ∴

214x22x310， 2解方程x22x35得x14，x2此时P点坐标为(4,5)，(2,5). 方程x22x35没有实数解.

2，

综上所述，P点坐标为(4,5)，(2,5). （3）如图所示， 当3x3时，

当x1时，y有最小值，

将x1代入yx2x3中，得y4. 当x3时，y有最大值.

将x3代入yx2x3中，得y12.

22∴y的取值范围是4y12.

【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．

24. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A(0,8)，点B(m,0)，且m0，把AOB绕点A逆时针旋转90，得ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D.

（1）点C的坐标为______. （2）解答下列问题：

①设BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围. ②当S6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）. 【答案】（1）(8,8);（2）①S121m4m，(m8)，或Sm24m，(0m8).②(427,0)，22(2,0)或(6,0).

【解析】 【分析】

8）（1）由旋转的性质得出AC=AO=8，∠OAC=90°，得出C（8，即可；（2）①由旋转的性质得出DC=OB=m，OE=AC=8，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，得出∠ACE=90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x主，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE=OB-OE=m-8，由三角形的面积公式得出

12

m-4m（m＞8）即可； b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE=OE-OB=8-m，由三21角形的面积公式得出S=-m2+4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；

211②当S=6，m＞8时，得出m2-4m=6，解方程求出m即可；当S=6，0＜m＜8时，得出-m2+4m=6，解

22S=

方程求出m即可．

【详解】解：（1）∵点A（0，8）， ∴AO=8，

∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD， ∴AC=AO=8，∠OAC=90°， ∴C（8，8）， 故答案为（8，8）；

（2）①延长DC交x轴于点E， ∵点B（m，0）， ∴OB=m，

∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD， ∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°， ∴∠ACE=90°，

∴四边形OACE是矩形， ∴DE⊥x主，OE=AC=8， 分三种情况：

a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：

则BE=OB-OE=m-8，

11DC•BE=m（m-8）， 221即S=m2-4m（m＞8）；

2∴S=

b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：

则BE=OE-OB=8-m，

11DC•BE=m（8-m）， 221即S=-m2+4m（0＜m＜8）；

2∴S=

c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；

121m-4m（m＞8），或S=-m2+4m（0＜m＜8）； 221②当S=6，m＞8时，m2-4m=6，

2综上所述，S=

27（负值舍去）解得：m=4±， ∴m=4+27； 当S=6，0＜m＜8时，-解得：m=2或m=6，

∴点B的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）．

【点睛】本题考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．

（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；

（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标； （Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．

12

m+4m=6， 2

【答案】

（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；

（2）Q（5，45）；（3）M（1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）． 【解析】 【分析】

(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；

(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；

(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.

【详解】（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1， ∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5， 令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0， 解得x=﹣1或5，

∴A（﹣1，0），B（5，0）．

（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）． 把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5， 得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5， ∴m=5或5（舍弃）， ∴Q（5，45）．

（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．

①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形． ∵此时点M的横坐标为1， ∴y=8，

∴M（1，8），N（2，13），

②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形， 此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.