非线性偏微分方程几种解法的研究

非线性偏微分方程几种解法的研究

摘要

非线性偏微分方程作为非线性科学的主要内容之一，是被用于描述客观世界随空间、时间变化而产生复杂的物理现象的数学模型。几十年来，通过相关研究者的努力，对于非线性偏微分方程的求解已经创造了如达布变换法、对称约化法、同伦摄动法等众多方法，本文将针对于其中几种求解方法进行拓展与延伸，使之通过该方法获得更多类型的新解。其具体包括如下几方面：

第一章：对非线性偏微分方程研究背景与相应知识进行介绍。同时，对本文取得的研究成果进行简略说明。

第二章：对函数展开法进行扩展，首先将解由原来的向正次幂展开对称延拓到负幂次项，然后将展开式中所有的自变量进行完全形式的分离，从而丰富了非线性偏微分方程的精确解。最后以(𝐺′/𝐺2)-展开法和(F/G)-展开法为例分别求解了(2+1)-维Broer-Kaup-Kupershmidt方程与(2+1)-维分数阶Nizhnik-Novikov-Veselov方程，并给出了它们的特殊孤子的结构激发解。

第三章：使用Hirota双线性导数法先将广义(3+1)-维浅水波方程的Lump型孤子解与呼吸波解进行组合叠加，从而显示出Lump型孤子被扭结孤立波吞噬过程。然后再将(2+1)-维Sawada-Kotera方程的单孤子解和Lump型孤子解进行组合叠加，从而探究这两种类型解在相互作用过程中表现出来的碰撞、反弹、吸收、等粒子性特征。此外，Lump型孤子在双条纹孤子的影响下，只在一瞬间出现，然后立即消失，于是Lump型孤子就变成了共振怪波。通过理论计算和数形结合的方法求得这种新型怪波的运动轨迹、存在时间、面积、体积等等特征量，以便对这种类型怪波有深入的了解。

第四章：通过重正规化方法分别求解了分数阶Klein-Gordon方程在强弱非线性条件下的一级解析近似解。然后当无需特殊考虑非线性项参数大小的情况下，直接采用线化和校正方法求出方程的一级近似解，并对两种方法所得结果进行比较。

第五章：总结与展望。

关键词：函数展开法双线性导数法重整规化线化和校正方法

-I-

非线性偏微分方程几种解法的研究

ResearchonSeveralSolutionsofNonlinearPartialDifferential

Equations

Abstract

Asoneofthemaincontentsofnonlinearscience,nonlinearpartialdifferentialequa-tionsaremathematicalmodelsusedtodescribethecomplexphysicalphenomenathattheobjectiveworldgenerateswithspaceandtime.Fordecades,throughtheeffortsmadebyrelevantresearchers,manymethodshavebeencreatedforsolvingnonlinearpartialdifferentialequations,suchasDabourtransformation,symmetryreduction,homotopyperturbation.Thispaperwillfocusonextendinganddevelopingsomeofthesolutions,whichwillbehelpfultoobtainmoretypesofnewsolutions.Specifically,itincludesthefollowingaspects:

Chapter1:Thereisanintroductionaboutbackgroundandcorrespondingknowl-edgeofnonlinearpartialdifferentialequations.Atthesametime,abriefdescriptionoftheresearchresultsobtainedinthispaperisgiven.

Chapter2:Thefunctionexpansionmethodisextended.Firstly,thesolutionisextendedfromtheoriginalpositivepowertothenegativepower,andthenallvariablesintheexpansionarecompletelyseparated,whichenrichestheexactsolutionofthenonlin-earpartialdifferentialequation.Finally,the(𝐺′/𝐺2)-expansionmethodandthe(F/G)-expansionmethodareusedtosolvethe(2+1)-dimensionalBroer-Kaup-Kupershmidte-quationandthe(2+1)-dimensionalfractionalorderNizhnik-Novikov-Veselovequation,andthestructuralexcitationsolutionsoftheirspecialsolitonsarealsogiven.

Chapter3:TheHirotabilinearderivativemethodisusedtocombinetheLumpso-lutionofthegeneralized(3+1)-dimensionalshallowwaterwaveequationwiththerespira-torywavesolution,whichshowsthattheLump-typesolitoniskinkedbythesolitarywaveengulfingprocess.Then,thesinglesolitonandLumpsolutionofthe(2+1)-dimensionalSawada-Koteraequationarecombinedandsuperimposedtoexploretheparticlecharac-teristicsofthetwotypesofsolutionsduringtheinteraction,suchascollision,rebound,absorptionandsplitting.Inaddition,theLump-typesolitononlyappearsinaninstantduetotheinfluenceofthedouble-stripedsolitons,andthendisappearsimmediately,so

-II-

宁波大学硕士学位论文

theLump-typesolitonbecomesanresonancestrangewave.Inordertogetaprofoundunderstandingofthistypeofstrangewave,thecharacteristicquantityofthenewstrangewavewillbeobtainedthroughthecombinationoftheoreticalcalculationanddigitalcom-bination,suchasmovementtrace,existencetime,areaandvolume.

Chapter4:Thefirst-orderanalyticalapproximatesolutionofthefractionalKlein-Gordonequationunderstrongandweaknonlinearconditionissolvedbytherenormal-izationmethod.Whennospecialconsiderationisgiventotheparametersize,thelin-earizationandcorrectionmethodisdirectlyadoptedtogetthefirst-orderapproximatesolutionoftheequation,theresultsofwhicharealsocompared.

Chapter5:Summaryandoutlook.

Keywords:functionexpansionmethod,bilinearderivativemethod,renor-malization,lineandcorrectionmethod

-III-

非线性偏微分方程几种解法的研究

目录

I

摘要...........................................................................

Abstract.........................................................................II第一章绪论.....................................................................

1.1介绍研究背景与相关知识.................................................1.2本文的主要工作..........................................................1.3本文的思路和创新........................................................1.3.11.3.2

研究方法与思路.............................特色与创新...............................

1122224457

第二章函数展开法................................................................

2.1方法介绍.................................................................2.2扩展的(𝐺′/𝐺2)-展开法求解(2+1)-维BKK方程.............................2.3推广的(𝐹/𝐺)-展开法求解(2+1)-维分数阶NNV方程.......................

2.4小结与讨论...............................................................12第三章双线性导数法..............................................................13

3.1方法简介.................................................................133.2广义(3+1)-维浅水波方程的相互作用解....................................143.2.13.2.23.2.3

方程的Lump解.............................14方程的呼吸解..............................18方程的相互作用解...........................19

3.3(2+1)-维SK方程的相互作用解............................................223.3.13.3.23.3.3

方程的单孤子解.............................22方程的Lump解.............................23Lump孤子与单孤子的相互作用....................24

-IV-

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3.3.4共振怪波................................26

3.4本章小结.................................................................31第四章近似解析方法..............................................................33

4.1重正规化方法.............................................................334.2线化和校正方法..........................................................3.3本章小结.................................................................38第五章总结与展望................................................................39

5.1全文总结.................................................................395.2今后的相关工作..........................................................40参考文献..........................................................................41在校研究成果.....................................................................48致

谢..........................................................................49

-V-

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第一章

S1.1

绪论

介绍研究背景与相关知识

随着时代的发展，科学与技术正不断地进步，人们也越来越从深度和广度两个尺度寻找着自然的奥秘。也正因为不断地求索，从而人们对自然的认识也在不断地提升。从最初的朴素的、直观的、经验性的认为自然是线性的、确定性的、稳定平衡的，发展到如今辨证的、发展着的察觉到自然界之所以是色彩缤纷、包罗万象、变化万千究其原因是因为自然本质特征就是非线性的、随机的、远离平衡的。而最初的认识只是本质的近似或者特定情况下的反映与表现。为了更理性的和定量的描述与刻画自然，我们从实际现象出发，按照物理规律，在合理的近似下建立相应的数学模型，然后通过研究这些数学模型来获得其相应的规律。

孤立子作为非线性科学三大领域之一，指的是一大类具有特殊性质的非线性偏微分方程的解。从数学的角度来说孤立子主要是指的是局限在有限范围内的行波解，而从物理的角度来说指的是：(1)能量比较集中于狭小的区域里；(2)孤立子之间相互作用前后除了相位发生变化之外，波形，波速都几乎没有改变，即所谓弹性碰撞。孤立子虽然首是在研究浅水波的过程中发现的。但是其早已经融入到了自然学科的各个领域之中，如物理学中的许多分支(基本粒子、等离子体物理、凝聚态物理、流体力学等)、天文学、生物学等，并且在海内外都已经掀起了对孤立子理论研究与实际运用的热潮

[3–5]

[2]

[1]

。

对孤立子理论的研究过程大致可分为如下几个阶段：第一阶段从1834年至19年，主要贡献为：(1)Russell发现孤立波(1834)；(2)sine-Gordon方程的B¨𝑎cklund变换(1885)；(3)KdV方程及其孤立波解的提出(15)。第二阶段从1955年到1970年，其主要的成就为：(1)FPU问题(1955)；(2)孤立子的命名(1965)；(3)反散射法(1967)；(4)Miura变换(1968)；(5)Lax对(1968)。第三个阶段从1970至今，其主要贡献为：(1)Hirota双线性方法；(2)光孤子发现(1973)；(3)PDE中的Painlevé分析方法(1983)；(4)C-K直接约化法(19)；(5)孤子元胞自动机(1990)等。

多年以来，众多的数学家与物理学家对于孤子方程

[15–17]

[18,19]

[20–23]

[6,7]

的求解已经做了大量的工作，,函数展开法

[10–14]

发明很多的优秀求解方法。比如在精确解方面，反散射方法导数法解法

、达布变换法

、对称约化法

[24,25]

[26–28]

[29–31]

[8,9]

、双线性

因运而生。又或是在近似解方面，Adomian分

、变分迭代法、同伦摄动法等等众多方法也水到渠成。但是我们也注

意到由于不同孤立子方程的非线性特征各异，导致研究它们的性质变得非常复杂。所以至今也没有一种万能通用方法的将所有的孤立子方程的解求出来。因此，本文作为一种

-1-

非线性偏微分方程几种解法的研究

尝试，将其中的一些求解方法进行发展与推广。使得通过使用这些方法能够求出孤子方程更多更有意义的解。

S1.2本文的主要工作

本文首先对函数展开法进行扩展，将展开项扩展到负幂次项，并且实现了变量的完全分离，然后运用该方法求解了(2+1)-维Broer-Kaup-Kupershmidt

[32]

方程与(2+1)-维分

数阶Nizhnik-Novikov-Veselov方程，得到了特殊孤子的激发模式解。其次，为了探究不同类型解的相互作用关系，所以以Hirota双线性导数法作为桥梁，先将广义(3+1)-维浅水波方程的Lump解

[33–36]

与呼吸波解进行组合叠加，显示出Lump型孤子被扭结孤立波吞噬现

[37]

象。然后再将(2+1)-维Sawada-Kotera方程的不同类型解进行组合叠加。从而研究了

将Lump解与单孤子解进行，探究相互作用过程中呈现出来的粒子性质。同时Lump孤子与双条纹孤子的相互作用，形成了共振怪波。最后，为了求解分数阶Klein-Gordon方程的近似解析解，所以先采用了重整规化法似解析解，此外还通过线性和校正方法一阶近似解析解。

[38]

分别获得了在强弱非线性条件下方程的一阶近得到了无需考虑非线性强度大小情况下方程的

[39]

S1.3

S1.3.1

本文的思路和创新

研究方法与思路

本文的研究方法主要有：

1.利用函数展开法求解了两类孤子方程并得到其特殊孤子激发。2.通过双线性导数法研究了两类孤子方程的相互作用解。

3.采取重整规化、线化和校正方法得到了分数阶Klein-Gordon方程的近似解析解。本文的研究思路如Fig.1.1所示

S1.3.2

特色与创新

1.以函数展开法为媒介得到了孤子方程的完全分离变量解，而在以往文献中求得的分离变量解都无法实现对所有变量的完全分离。

2.以孤子方程为桥梁实现了分数阶导数与分形结构解的有机联系。

3.以双线性导数法为手段实现了不同类型解的叠加组合，进而研究了不同类型解之间的相互作用，结果发现了在Lump孤子与单条纹孤波之间的相互作用中出现的碰撞、反

-2-

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弹、吸收等一系列粒子才会出现的特征。

4.通过数形结合的方法求得了共振怪波的存在时间。

5.对于求常微分振动方程近似解时所采用重正规化法、线化和校正方法，将其用于到求解分数阶Klein-Gordon方程中去，从而的到了该方程的近似解。

Fig.1.1本文的研究思路

-3-

非线性偏微分方程几种解法的研究

第二章

S2.1

函数展开法

方法介绍

函数展开法是求解孤立子方程最简单、实用、灵巧的方法之一。下面利用tanh函数展开法

[40,41]

来求解出KdV方程，从而介绍该方法的使用。

KdV方程首先是在15年由Korteweg和deVries推导出来用于描述浅水波运动的模型

[42]

，同时它本身也作为一个最基本、最经典的非线性偏微分方程之一，在弹性杠中的

纵向色散波、液体-气泡混合物中的压力波、等离子体的等离子波和磁流体动力学中都相继出现。其最常见的形式为：

𝑢𝑡+6𝑢𝑢𝑥+𝑢𝑥𝑥𝑥=0

对于该方程，通常使用行波变换

[43]

(2.1.1)

𝜉=𝑘𝑥−𝑐𝑡

可以将偏微分方程转化为常微分方程，即将式(2.1.2)代入式(2.1.1)，得

𝑑𝑢𝑑𝑢𝑢

+6𝑘𝑢−𝑐=0𝑘𝑑𝜉3𝑑𝜉𝑑𝜉

3𝑑3

(2.1.2)

(2.1.3)

从而得到行波解。这种解可以比较好地描述各种自然现象，如振动、传播波以及孤立子等

[44,45]

，所以在非线性科学中起到了非常重要的作用。而tanh函数有一个性质，即每对它

进行求导一次，它的幂次就会增加一次。如：

(tanh(𝑥))′=1−tanh2(𝑥)

(tanh(𝑥))′′=−2tanh(𝑥)+2tanh3(𝑥)(tanh2(𝑥))′=2tanh(𝑥)−2tanh3(𝑥)

因此若将式(2.1.3)的解表达为tanh函数的幂多项式，则可以通过最高阶导数项与非线性项相平衡的方式求出𝑢表达式中的最高次幂的幂次数。即，若设𝑢的最高幂次项为𝑛，则

𝐷[𝑢𝑥𝑥𝑥]=𝑛+3𝐷[𝑢𝑢𝑥]=2𝑛+1𝑛+3=2𝑛+1⇒𝑛=2

因此可以确定方程的解需展开到𝑡𝑎𝑛ℎ的2次方项。即设式(2.1.3)解为

𝑢=𝑎0+𝑎1tanh(𝜉)+𝑎2tanh2(𝜉)

-4-

(2.1.4)

(2.1.5)

(2.1.6)

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然后将式(2.1.6)代入式(2.1.3)，从而将方程中𝑢的导数项与非线性项都转化为𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑥)的多项式，即把式(2.1.3)转化为

)︀(︀3)︀(︀532

−24𝑘𝑎2+12𝑘𝑎2(tanh(𝜉))−6𝑘𝑎1+18𝑘𝑎1𝑎2(tanh(𝜉))4(︀)︀322

+40𝑘𝑎2−12𝑘𝑎0𝑎2−6𝑘𝑎1+12𝑘𝑎2+2𝑐𝑎2(tanh(𝜉))3(︀3)︀

+8𝑘𝑎1−6𝑘𝑎0𝑎1+18𝑘𝑎1𝑎2+𝑐𝑎1(tanh(𝜉))2(︀)︀32

+12𝑘𝑎0𝑎2−16𝑘𝑎2+6𝑘𝑎1−2𝑐𝑎2tanh(𝜉)

+6𝑘𝑎0𝑎1−2𝑘3𝑎1−𝑐𝑎1=0

然后令上式tanh(𝜉)的各次幂项前的系数为0，从而解出

8𝑘3+𝑐

𝑎0=𝑎1=0𝑎2=−2𝑘2

6𝑘

最后将式(2.1.2)和式(2.1.8)代入式(2.1.6)后就获得了KdV方程的行波解

4𝑘2𝑐𝑢=+−2𝑘2(tanh(𝑘𝑥−𝑐𝑡))2

36𝑘

(2.1.9)(2.1.8)

(2.1.7)

从上述利用𝑡𝑎𝑛ℎ法求解KdV方程的过程中可以看出，使用行波变换确实可以使得求解过程变得简单，可是却了解的形式，只能得到行波解，所以为了得到更多形式和具有丰富意义的解

[46–49]

，就必须对此方法进行扩展。

S2.2扩展的(𝐺′/𝐺2)-展开法求解(2+1)-维BKK方程

[50–52]

现在对(𝐺′/𝐺2)-展开法进行扩展，求出(2+1)-维Broer-Kaup-Kupershmidt方程的

更多形式解。该方程是用来描述带耗散的浅水波传播现象，其表达式为：

𝑢𝑡𝑦−𝑢𝑥𝑥𝑦+2(𝑢𝑢𝑥)𝑦+2𝑣𝑥𝑥=0

𝑣𝑡+𝑣𝑥𝑥+2(𝑢𝑣)𝑥=0

为了求解方便，首先对于BKK方程组做变换

𝑣=𝑢𝑦

然后将式(2.2.3)代入式(2.2.2)，得

𝑢𝑡𝑦+𝑢𝑥𝑥𝑦+2𝑢𝑥𝑢𝑦+2𝑢𝑢𝑥𝑦=0

(2.2.4)(2.2.3)(2.2.1)(2.2.2)

再通过和上述求KdV最高次幂同样的方法(齐次平衡原理)确定其最高展开的项数𝑛=1。同时为了将解的表达式进行扩展，于是将𝑢的展开项从𝑛=1对称延拓到𝑛=−1，即：(︂′)︂−1𝐺(𝑞)𝐺(𝑞)′

𝑢=𝑎−1+𝑎0+𝑎1(2.2.5)

𝐺(𝑞)2𝐺(𝑞)2-5-

非线性偏微分方程几种解法的研究

其中𝑞,𝑎𝑖(𝑖=−1..1)都是𝑥,𝑦,𝑡的函数。

与此同时，𝐺=𝐺(𝜉)满足如下的常微分方程

(︂′)︂′(︂′)︂2𝐺𝐺

=𝜇+𝜆𝐺2𝐺2由方程(2.2.6)可得：当𝜇𝜆>0时，

𝐺=𝐺2

当𝜇𝜆<0时，

√︀√︀

𝐺|𝜇𝜆||𝜇𝜆|𝐶1𝑠𝑖𝑛ℎ(|𝜇𝜆|𝜉)+𝐶2𝑐𝑜𝑠ℎ(|𝜇𝜆|𝜉)

√︀√︀+×=−

𝐺2𝜆2𝐶1𝑐𝑜𝑠ℎ(|𝜇𝜆|𝜉)+𝐶2𝑠𝑖𝑛ℎ(|𝜇𝜆|𝜉)

′

′

(2.2.6)

√︂

√√

𝜇𝐶1𝑐𝑜𝑠(𝜇𝜆𝜉)+𝐶2𝑠𝑖𝑛(𝜇𝜆𝜉)

√√𝜆𝐶1𝑠𝑖𝑛(𝜇𝜆𝜉)−𝐶2𝑐𝑜𝑠(𝜇𝜆𝜉)

(2.2.7)

(2.2.8)

当𝜇=0,𝜆=0时，

𝐺′𝐶1

=−𝐺2𝜆(𝐶1𝜉+𝐶2)

(2.2.9)

其中𝐶1和𝐶2是任意常数。

此外，为了更加扩充解的形式，所以将式(2.2.5)中𝑞(𝑥,𝑦,𝑡)进行变量的完全分离：

𝑞(𝑥,𝑦,𝑡)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑦)+ℎ(𝑡)

(2.2.10)

将式(2.2.5)和式(2.2.10)代入式(2.2.4)，如果其中出现了𝐺的高阶导数，那么就运用常微分方程(2.2.6)来替换成为𝐺的一阶导数。即将式(2.2.4)变为一个关于(𝐺′/𝐺2)的幂多项式，令该多项式中(𝐺′/𝐺2)的各幂次的系数为零，解出：

𝑎−1

d𝑓dℎ

d𝑓d𝑓d𝑥2𝑡=𝜇,𝑎0=−d𝑓−d,𝑎=−𝜆1𝑓d𝑥d𝑥2d𝑥2dd𝑥

2

(2.2.11)

最后将式(2.2.11)代入式(2.2.5)，再运用式(2.2.3)就获得了(2+1)-维BKK方程的完全变量分离形式的解：

𝑓𝐺(𝑞)

−𝜆d

d𝑥𝐺2(𝑞)(︀)︀(︁′)︁−2(︀d𝑓)︀(︁d𝑔)︁(︀)︀(︁′)︁22d𝑓d𝑔𝐺(𝑞)2d𝑓d𝑔𝐺(𝑞)

𝑣=−𝜇d𝑥d𝑦𝐺2(𝑞)−2𝜇𝜆d𝑥−𝜆d𝑥d𝑦𝐺2(𝑞)

d𝑦

𝑢=

𝑓𝜇dd𝑥(︁

𝐺′(𝑞)𝐺2(𝑞))︁−1

−

d2𝑓d𝑥2𝑓2dd𝑥−

dℎd𝑡𝑓2dd𝑥′

(2.2.12)(2.2.13)

其中(𝐺′(𝑞)/𝐺2(𝑞))由式(2.2.7)∼(2.2.9)给出。

当将式(2.2.8)和式(2.2.10)代入式(2.2.13)，并选择

𝜆=2,𝜇=−0.005,𝐶1=4,𝐶2=2

𝑓(𝑥)=0.1tanh(𝑥),𝑔(𝑦)=0.3tanh(𝑦),ℎ(𝑡)=𝑡

就得到了单Dromion孤子的结构激发(Fig.2.1)再改变设置，分别选择

-6-

(2.2.14)(2.2.15)

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Fig.2.1𝑡=20的单Dromion孤子解

𝜆=2,𝜇=−0.0025,𝐶1=4,𝐶2=2

(2.2.16)

𝑓(𝑥)=0.1tanh(𝑥−3)+0.1tanh(𝑥+3),𝑔(𝑦)=0.3tanh(𝑦),ℎ(𝑡)=𝑡(2.2.17)

以及

𝜆=2,𝜇=−0.005,𝐶1=4,𝐶2=2(2.2.18)

33∑︀∑︀

𝑓(𝑥)=0.1tanh(𝑥+3𝑚),𝑔(𝑦)=0.1tanh(𝑦+3𝑛),ℎ(𝑡)=𝑡(2.2.19)

𝑚=−3

𝑛=−3

[53]

则可以得到双Dromion孤子与多Dromion孤子的结构激发解。(Fig.2.2)

(a)(b)

Fig.2.2𝑡=20时(a)双Dromion孤子,(b)多Dromion孤子解

S2.3推广的(𝐹/𝐺)-展开法求解(2+1)-维分数阶NNV方程

[–56]

(2+1)-维Nizhnik-Novikov-Veselov方程作为(1+1)-维KdV方程的一个各向同性的Lax可

积推广的模型，是用来描述水波的运动规律以及解释出现的一些非线性水波现象。而

-7-

非线性偏微分方程几种解法的研究

由G.Jumarie改进的Riemann-Liouville导数

[57–59]

定义的(2+1)-维分数阶NNV方程如下所示：

(2.3.1)(2.3.2)(2.3.3)

𝛾3𝛼3𝛽𝛼𝛽𝛼𝛽𝐷𝑡𝑢+𝑎𝐷𝑥𝑢+𝑏𝐷𝑦𝑢+𝑐𝐷𝑥𝑢+𝑑𝐷𝑦𝑢−3𝑎𝐷𝑥(𝑢𝑣)−3𝑏𝐷𝑦(𝑢𝑤)=0

𝛼𝛽

𝐷𝑥𝑢=𝐷𝑦𝑣𝛼𝛽

𝑤𝑢=𝐷𝑥𝐷𝑦

此外，由G.Jumarie改进的R-L导数的具体定义及一些重要性质如下所示：

⎧

⎨1d∫︀𝑡(𝑡−𝜉)−𝛼(𝑓(𝜉)−𝑓(0))d𝜉0<𝛼<1,

𝑡0

𝐷𝑡𝛼𝑓(𝑡)=Γ(1−𝛼)d𝑛

⎩(𝑓𝑛(𝑡))−𝛼,𝑛≤𝛼≤𝑛+1,𝑛≥1

𝛼𝛾𝑡=𝐷𝑡

Γ(1+𝛾)𝛾−𝛼

𝑡Γ(1+𝛾−𝛼)

(2.3.4)(2.3.5)(2.3.6)(2.3.7)(2.3.8)(2.3.9)

𝑑𝛼𝑓(𝑡)=Γ(1+𝛼)𝑑𝑓(𝑡)

𝛼𝛼𝛼

𝐷𝑡(𝑓(𝑡)·𝑔(𝑡))=𝑔(𝑡)·𝐷𝑡𝑓(𝑡)+𝑓(𝑡)·𝐷𝑡𝑔(𝑡)𝛼𝛼𝛼

𝑓[𝑔(𝑡)](𝑔′(𝑡))𝛼𝑔(𝑡)=𝐷𝑔𝑓[𝑔(𝑡)]=𝑓𝑔[𝑔(𝑡)]𝐷𝑡𝐷𝑡

𝛼

𝐷𝑡𝐶=0,𝐶=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

再根据上述定义与性质考虑如下分数阶复变换

𝑥𝛼𝑦𝛽𝑡𝛾

𝑋=,𝑌=,𝑇=

Γ(1+𝛼)Γ(1+𝛽)Γ(1+𝛾)

然后将式(2.3.10)代入式(2.3.1)∼(2.3.3)后就获得了(2+1)-维整数阶NNV方程

𝑢𝑇+𝑎𝑢𝑋𝑋𝑋+𝑏𝑢𝑌𝑌𝑌+𝑐𝑢𝑋+𝑑𝑢𝑌−3𝑎(𝑢𝑣)𝑋−3𝑏(𝑢𝑤)𝑌=0

𝑢𝑋=𝑣𝑌𝑢𝑌=𝑤𝑋

下面使用推广的(𝐹/𝐺)-展开法首先由齐次平衡原理

[63–65]

[60–62]

(2.3.10)

(2.3.11)(2.3.12)(2.3.13)

求解进行分数阶复变换后的整数阶的(2+1)-NNV方程。

确定式(2.3.11)∼(2.3.13)中𝑢,𝑣,𝑤的展开项最高次幂为2，然后

同样为了得到更多形式的解，把𝑢,𝑣,𝑤的展开式对称延拓到-2次幂项。即)︁−2(︁)︁−1)︁2(︁(︁

𝐹(𝜑)𝐹(𝜑)𝐹(𝜑)𝐹(𝜑)

+𝑎−1𝐺(𝜑)+𝑎0+𝑎1𝐺(𝜑)+𝑎2𝐺(𝜑)𝑢=𝑎−2𝐺(𝜑)(︁)︁−2(︁)︁−1(︁)︁2𝐹(𝜑)𝐹(𝜑)𝐹(𝜑)𝐹(𝜑)

𝑣=𝑏−2𝐺(𝜑)+𝑏−1𝐺(𝜑)+𝑏0+𝑏1𝐺(𝜑)+𝑏2𝐺(𝜑)(︁)︁−2(︁)︁−1)︁2(︁𝐹(𝜑)𝐹(𝜑)𝐹(𝜑)𝐹(𝜑)

𝑤=𝑐−2𝐺(𝜑)+𝑐−1𝐺(𝜑)+𝑐0+𝑐1𝐺(𝜑)+𝑐2𝐺(𝜑)其中𝜑,𝑎𝑖,𝑏𝑗,𝑐𝑘(𝑖,𝑗,𝑘=−2..2)都是𝑋,𝑌,𝑇的函数。同时若𝐹(𝜉),𝐺(𝜉)满足下列关系

𝐹′=𝜆𝐺,

𝐺′=𝜇𝐹

(2.3.14)(2.3.15)(2.3.16)

(2.3.17)

-8-

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则有如下四组解：(i)当𝜆>0,𝜇>0时，

√︁√√𝜆

sinh(𝜆𝜇𝜉)𝐹(𝜉)=𝐶1cosh(𝜆𝜇𝜉)+𝐶2𝜇√︀𝜇√√

𝐺(𝜉)=𝐶1𝜆sinh(𝜆𝜇𝜉)+𝐶2cosh(𝜆𝜇𝜉)

(ii)当𝜆<0,𝜇<0时，

√︁√√𝜆

𝐹(𝜉)=𝐶1cosh(𝜆𝜇𝜉)−𝐶2𝜇sinh(𝜆𝜇𝜉)

√︀𝜇√√

𝐺(𝜉)=−𝐶1𝜆sinh(𝜆𝜇𝜉)+𝐶2cosh(𝜆𝜇𝜉)

(iii)当𝜆>0,𝜇<0时，

√︁√√𝜆

𝐹(𝜉)=𝐶1cos(−𝜆𝜇𝜉)+𝐶2−𝜇sin(−𝜆𝜇𝜉)

√︀√√

𝐺(𝜉)=−𝐶1−𝜇sin(−𝜆𝜇𝜉)+𝐶cos(−𝜆𝜇𝜉)2𝜆(iv)当𝜆<0,𝜇>0时，

√︁√√𝜆

𝐹(𝜉)=𝐶1cos(−𝜆𝜇𝜉)−𝐶2−𝜇sin(−𝜆𝜇𝜉)

√︀𝜇√√

𝐺(𝜉)=𝐶1−𝜆sin(−𝜆𝜇𝜉)+𝐶2cos(−𝜆𝜇𝜉)

并且为了进行变量的彻底的完全分离，设

𝜑(𝑋,𝑌,𝑇)=𝑃(𝑋)+𝑄(𝑌)+𝑅(𝑇)

(2.3.26)(2.3.24)(2.3.25)(2.3.22)(2.3.23)(2.3.20)(2.3.21)(2.3.18)(2.3.19)

然后将上式与𝑢,𝑣,𝑤的展开式(2.3.14)∼(2.3.16)代入方程式(2.3.11)∼(2.3.13)中，再运用式(2.3.17)将出现的导数项转化成𝐹(𝜑),𝐺(𝜑)幂次方项，最后提取𝐹(𝜑),𝐺(𝜑)各次幂的系数，并使之为0，解得以下三组解：第一组：

𝑎−2=𝑏−2=𝑐−2=𝑎−1=𝑏−1=𝑐−1=𝑎1=0,𝑎0=−2𝜆𝜇𝑏0𝑐0𝑏1𝑏2

(︂)︂2d3𝑃d𝑅

𝑀1(𝑇)𝑏𝑐2𝜆𝜇d𝑃3=−−+d𝑋+d𝑇,d𝑃d𝑃d𝑃3𝑎3d𝑋𝑎d𝑋3d𝑋3𝑎d𝑋(︀d𝑄)︀2

d3𝑄

2𝜆𝜇d𝑌𝑑𝑀1(𝑇)3+,=−+d𝑌d𝑄d𝑄3𝑏33d𝑌d𝑌(︂)︂22

𝑑𝑃𝑑𝑄d𝑃d𝑄2

=−2𝜇,𝑐=−2𝜇,𝑎=2𝜇,12

𝑑𝑋2𝑑𝑌2d𝑋d𝑌(︂)︂2(︂)︂2d𝑃d𝑄

=2𝜇2,𝑐2=2𝜇2

d𝑋d𝑌

-9-

(︂

d𝑃

d𝑋

)︂

d𝑄d𝑌

(2.3.27)

非线性偏微分方程几种解法的研究

第二组：

(︂)︂2d𝑃d𝑄

𝑎2=𝑏2=𝑐2=𝑎1=𝑏1=𝑐1=𝑎−1=0,𝑎−2=2𝜆2,𝑏−2=2𝜆2,

d𝑌d𝑋

(︂)︂2)︂(︂22d𝑄d𝑃d𝑄d𝑄d𝑃

𝑐−2=2𝜆2,𝑏−1=−2𝜆,,𝑐=−2𝜆,𝑎=−2𝜆𝜇−10

d𝑌d𝑋2d𝑌2d𝑋d𝑌(︂)︂2(2.3.28)d3𝑃d𝑅

𝑐2𝜆𝜇d𝑃𝑀2(𝑇)𝑏3+d𝑋+d𝑇,𝑏0=−−d𝑃d𝑃d𝑃3𝑎3d𝑋𝑎d𝑋3d𝑋3𝑎d𝑋(︀d𝑄)︀2

d3𝑄

2𝜆𝜇d𝑌𝑑𝑀2(𝑇)3𝑐0=−+d𝑌+d𝑄d𝑄3𝑏33d

𝑌d𝑌

d𝑃

d𝑋

)︂

第三组：

==𝑎1=0,(︀d𝑃)︀d𝑄(︀)︀d2𝑄4𝜆𝜇d𝑃2d2𝑃𝑐

𝑏−1=−2𝜆d𝑋2,𝑐−1=−2𝜆d𝑌2,𝑎0=−4𝜆𝜇d𝑋d𝑌,𝑏0=3𝑎+3d𝑋d3𝑄d3𝑃d𝑅(︀)︀2𝑀3(𝑇)𝑏𝑀3(𝑇)34𝜆𝜇d𝑄𝑑d2𝑃d𝑋d𝑇d𝑌3−𝑎d𝑃+3,++,𝑏=−2𝜇1d𝑃+d𝑃,𝑐0=3𝑏+3d𝑄d𝑄d𝑌d𝑋23𝑎d𝑋3d𝑌d𝑋d𝑋d𝑌(︀)︀(︀)︀(︀)︀22d𝑄2d𝑃d𝑄2d𝑃2d𝑄2

𝑐1=−2𝜇d𝑌2,𝑎2=2𝜇d𝑋d𝑌,𝑏2=2𝜇d𝑋,𝑐2=2𝜇d𝑌(2.3.29)𝑎−2=2𝜆

d𝑋d𝑌2

(︂

(︀d𝑃)︀d𝑄

,𝑏−2=

(︀)︀2d𝑃2

2𝜆d𝑋,𝑐−2(︀)︀2d𝑄2

2𝜆d𝑌,𝑎−1

其中𝑀1(𝑇),𝑀2(𝑇),𝑀3(𝑇)为含有自变量𝑇的任意函数。

再将式(2.3.27)∼(2.3.29)代入式(2.3.14)∼(2.3.16)，最终得到该方程的三组完全分离变量解

𝑢1=−2𝜆𝜇d𝑋d𝑌+2𝜇d𝑋d𝑌𝐺(2.3.30)

(︁2)︁d3𝑃d𝑅(︀)︀(︀)︀(︀)︀2𝑀(𝑇)𝑏2𝜆𝜇d𝑃𝑐d𝑃𝐹12d𝑃2𝐹2d𝑋3d𝑇𝑣1=3𝑎−3d𝑋−𝑎d𝑃+3d𝑃+3𝑎d𝑃−2𝜇d𝑋2𝐺+2𝜇d𝑋(2.3.31)𝐺

d𝑋d𝑋d𝑋(︁2)︁d3𝑄(︀)︀(︀)︀(︀)︀𝑀1(𝑇)2𝜆𝜇d𝑄2d𝑄𝐹𝑑2d𝑄2𝐹2d𝑌3(2.3.32)𝑤1=3𝑏−3d𝑌+3d𝑄+d𝑄−2𝜇d𝑌2𝐺+2𝜇d𝑌𝐺d𝑌d𝑌(︀d𝑃)︀(︀d𝑄)︀(︀)︀(︀d𝑄)︀(︀𝐹)︀−2

2d𝑃

𝑢2=−2𝜆𝜇d𝑋d𝑌+2𝜆d𝑋d𝑌𝐺(2.3.33)

d3𝑃d𝑅(︀)︀2𝑀(𝑇)𝑏2𝜆𝜇d𝑃2d𝑋3d𝑇𝑣2=3𝑐𝑎−3d−++d𝑃d𝑃d𝑃𝑋𝑎d33𝑎𝑋d𝑋d𝑋(︁2)︁(︀)︀(︀)︀(︀)︀d𝑃𝐹−12d𝑃2𝐹−2

−2𝜆d+2𝜆(2.3.34)𝑋2𝐺d𝑋𝐺(︁2)︁(︀)︀d3𝑄(︀)︀(︀)︀(︀)︀2𝑀(𝑇)32𝜆𝜇d𝑄d𝑄𝑑𝐹−122d𝑄2𝐹−2d𝑌𝑤2=3−++−2𝜆+2𝜆(2.3.35)d𝑄d𝑄𝑏3d𝑌d𝑌2𝐺d𝑌𝐺3d𝑌d𝑌(︀)︀(︀)︀(︀)︀(︀d𝑃)︀d𝑄(︀)︀(︀d𝑄)︀(︀𝐹)︀2−2d𝑄d𝑃𝐹2d𝑃

𝑢3=2𝜆2d𝑋d𝑌𝐺−4𝜆𝜇d+2𝜇(2.3.36)𝑋d𝑌d𝑋d𝑌𝐺(︁2)︁(︀)︀)︀(︀)︀(︀)︀(︀2−24𝜆𝜇d𝑃2d𝑃𝐹𝐹−1𝑐d𝑃

−2𝜆++𝑣3=2𝜆2d𝑋2𝐺d𝑋𝐺3d𝑋3𝑎(︁2)︁d3𝑃d𝑅(︀)︀(︀)︀𝑀3(𝑇)𝑏3d𝑃𝐹2d𝑃2𝐹2d𝑋d𝑇−𝑎d𝑃(𝑋)+3+−2𝜇+2𝜇(2.3.37)d𝑃d𝑃d𝑋2𝐺d𝑋𝐺3𝑎dd𝑋d𝑋𝑋(︁2)︁(︀)︀(︀)︀(︀)︀(︀)︀d𝑄4𝜆𝜇d𝑄2𝐹−1𝑑2d𝑄2𝐹−2

𝑤3=2𝜆d𝑌−2𝜆d𝑌2𝐺+3d𝑌+3𝐺𝑏(︁2)︁d3𝑄(︀)︀(︀)︀𝑀(𝑇)3d𝑄𝐹32d𝑄2𝐹2d𝑌+3d𝑄+d𝑄−2𝜇d𝑌2𝐺+2𝜇d𝑌(2.3.38)𝐺

d𝑌d𝑌(︀d𝑃)︀d𝑄

2

(︀d𝑃)︀(︀d𝑄)︀(︀𝐹)︀2

-10-

宁波大学硕士学位论文

其中𝐹=𝐹(𝑃+𝑄+𝑅),𝐺=𝐺(𝑃+𝑄+𝑅)的具体表达式如(2.3.18)∼(2.3.25)所示。此外，从式(2.3.36)∼(2.3.38)与式(2.3.30)∼(2.3.35)的对比中可以明确看到将解的展开项从正次幂对称延拓到负幂次项，确实可以得到更多的新解。并且为了得到分形结构的激发模式，设

𝑃(𝑋)=2+2|𝑋|ln(2|𝑋|)𝑄(𝑌)=2+4|𝑌|ln(3|𝑌|)

𝑅(𝑇)=|𝑇|

然后将式(2.3.10)和式(2.3.18)∼(2.3.19)代入式(2.3.30)中，然后选择参数

𝛼=𝛽=𝛾=0.3,𝜆=𝜇=1,𝐶1=3,𝐶2=2

就得到了(2+1)-维分数阶NNV方程的十字形分形结构的激发模式其结构图与等高线图如下所示(Fig.2.3):

[66]

(2.3.39)(2.3.40)(2.3.41)

(2.3.42)

。

(a)(b)

(c)(d)

Fig.2.3𝑡=0时(a)3D图,𝑥,𝑦∈(−5×10−6,5×10−6),(b)等高线图,𝑥,𝑦∈(−5×10−6,5×10−6),(c)3D

图,𝑥,𝑦∈(−5×10−12,5×10−12),(d)等高线图,𝑥,𝑦∈(−5×10−12,5×10−12)

-11-

非线性偏微分方程几种解法的研究

S2.4小结与讨论

本章先以KdV方程的求解为例介绍tanh函数展开法。然后通过使用对称延拓与变量的完全分离相结合方法将函数展开法进行扩展，从而求解出了(2+1)-维BKK方程以及(2+1)-维分数阶Nizhnik-Novikov-Veselov方程的完全分离变量解。此外，在分离变量解的基础上还分别给出了Dromion孤子和十字型分形结构的激发模式。

-12-

宁波大学硕士学位论文

第三章

S3.1

双线性导数法

方法简介

Hirota双线性导数法同样是求解非线性偏微分方程简单、直接的办法之一，它通过将复杂的非线性方程进行巧妙的变换，从而将方程转化为最接近线性方程的程度，即双线性形式方程。下面通过用双线性导数法求解KP方程

[67]

为例介绍该方法的使用。

KP方程作为KdV方程的推广，它在物理学的许多分支领域（如场论、流体力学、等离子物理）都有着广泛的应用

[68–70]

，其常见表达式为：

(3.1.1)

(𝑢𝑡+6𝑢𝑢𝑥+𝑢𝑥𝑥𝑥)𝑥+3𝜎2𝑢𝑦𝑦=0

其中𝜎2=±1，当𝜎2=−1时，式称为KPI方程，该方程的一维多孤子解是不稳定的，同时它还具有Lump孤子解。而当时，该式称为KPII方程。该方程具有线性N孤子解。

现在考虑KPII方程

(𝑢𝑡+6𝑢𝑢𝑥+𝑢𝑥𝑥𝑥)𝑥+3𝑢𝑦𝑦=0

先将进行如下变换

𝑢=2(ln𝑓)𝑥𝑥

其中𝑓=𝑓(𝑥,𝑦,𝑡)。

然后将式(3.1.3)代入式(3.1.2)得到KPII方程的双线性形式

[71]

(3.1.2)

(3.1.3)

：

(3.1.4)

42

(𝐷𝑡𝐷𝑥+𝐷𝑥+3𝐷𝑦)𝑓·𝑓=0

上式中𝐷𝑥,𝐷𝑦,𝐷𝑡算子，其具体定义与主要性质如下所示

[72]

：

(3.1.5)(3.1.6)(3.1.7)(3.1.8)

𝑚𝑛

𝐷𝑡𝐷𝑥𝑓𝑔=(𝜕𝑡−𝜕𝑡′)𝑚(𝜕𝑥−𝜕𝑥′)𝑛𝑓(𝑥,𝑡)·𝑔(𝑥′,𝑡′)|𝑡′=𝑡,𝑥′=𝑥

𝑚𝑛

𝐷𝑡𝐷𝑥𝑓·𝑓=0

𝑚𝑛𝑚𝑛

𝐷𝑡𝐷𝑥𝑓·𝑔=(−1)𝑚+𝑛𝐷𝑡𝐷𝑥𝑔·𝑓

𝑚𝑛𝑚𝑛

𝐷𝑡𝐷𝑥𝑓·1=𝜕𝑡𝜕𝑥𝑓

𝑚𝑛𝜉1

𝜉𝑖=𝑘𝑖𝑥+𝜔𝑖𝑡+𝜉0(𝑖=1,2)⇒𝐷𝑡𝐷𝑥𝑒·𝑒𝜉2=(𝜔1−𝜔2)𝑚(𝑘1−𝑘2)𝑛𝑒𝜉1+𝜉2(3.1.9)

再设

𝑓=1+

𝑛∑︁𝑖=1

𝜀𝑖𝐹𝑖(𝑥,𝑦,𝑡)

(3.1.10)

-13-

非线性偏微分方程几种解法的研究

然后将式(3.1.10)代入式(3.1.4)，整理简化为𝜀的幂次多项式后，令𝜀𝑖次幂前的系数为0。对于𝜀1，有

2𝜕4𝜕𝑥(𝑥,𝑦,𝑡)+2𝜕2𝜕𝑥𝜕𝑡𝐹𝜕2

4𝐹11(𝑥,𝑦,𝑡)+6𝜕𝑦

2𝐹1(𝑥,𝑦,𝑡)=0再假设

𝐹1(𝑥,𝑦,𝑡)=e𝑘1𝑥+𝑝1𝑦+𝜔1𝑡

将式(3.1.12)代入式(3.1.11)得到

𝜔𝑘14+3𝑝12

1=−

𝑘1

与此同时，在式(3.1.10)中选取𝑛=1，并令𝜀=𝑒𝜂，得到

𝑓=1+e

𝑘1𝑥+𝑝1𝑦−

𝑘14+3𝑝𝑘12

1

𝑡+𝜂将式(3.1.14)代入式(3.1.3)后，就获得了KPII方程单孤子类型解。

2(︃(︃(︀𝑢=𝑘1𝑘14

+3𝑝12

)︀𝑡)︃)︃22sech1

2𝑘1𝑥+𝑝1𝑦−𝑘+𝜂

1此外，通过该方法还可以得到KPII方程N孤子解

𝑢=2[︂ln(︂∑︀𝑒∑︀𝑛𝜇𝑛

)︂]︂

𝑖=1

𝑖𝜉𝑖+∑︀1≤𝑖<𝑗𝜇𝑖𝜇𝑗𝐴𝑖𝑗𝜇=0,1

𝑥𝑥

𝜉𝑖=𝑘𝑖𝑥+𝑝𝑖𝑦−𝑘𝑖4

+3𝑝𝑖2

𝑘𝑖

𝑡+𝜉(0)

𝑖

2𝑒

𝐴𝑖𝑗

=(𝑘2𝑖𝑘𝑗−𝑘2𝑗𝑘𝑖

)−(𝑘𝑖𝑝𝑗−𝑘𝑗𝑝𝑖)2(𝑘2𝑖

𝑘

𝑗+𝑘2

2𝑗−𝑘𝑗𝑝𝑖)

2𝑗𝑘𝑖)−(𝑘𝑖𝑝其中对𝜇的求和是取𝜇𝑖=0或1(𝑖=1,2,···,𝑛)的所有可能的组合。最后选定参数

𝑘1=1,𝑝1=1,𝜉(0)

1=0,𝑘2=1.1,𝑝2=1.1,𝜉(0)

2=0,𝑘3=1.2,𝑝3=1.2,𝜉(0)

3=0画出𝑡=−1的单、双、三孤子解。(Fig.3.1)

S3.2

广义(3+1)-维浅水波方程的相互作用解

S3.2.1

方程的Lump解

对于广义(3+1)-维浅水波方程

𝑢𝑥𝑥𝑥𝑦+3𝑢𝑥𝑥𝑢𝑦+3𝑢𝑥𝑢𝑥𝑦−𝑢𝑦𝑡−𝑢𝑥𝑧=0

首先使用Hopf-Cole变换

[73,74]

𝑢=2(𝑙𝑛𝑓)𝑥

-14-

(3.1.11)

(3.1.12)

(3.1.13)

(3.1.14)

(3.1.15)

(3.1.16)(3.1.17)(3.1.18)

(3.1.19)

(3.2.1)

(3.2.2)

宁波大学硕士学位论文

(a)单孤子(b)双孤子

(c)三孤子

Fig.3.1孤子解

得到方程的双线性形式

3(𝐷𝑥𝐷𝑦−𝐷𝑦𝐷𝑡−𝐷𝑥𝐷𝑧)𝑓·𝑓=0

(3.2.3)

再对式(3.2.3)进行约化，令𝑧=𝑥，得到

32(𝐷𝑥𝐷𝑦−𝐷𝑦𝐷𝑡−𝐷𝑥)𝑓·𝑓=0

(3.2.4)

再设

𝑓=𝑔2+ℎ2+𝑎9𝑔=𝑎1𝑥+𝑎2𝑦+𝑎3𝑡+𝑎4ℎ=𝑎5𝑥+𝑎6𝑦+𝑎7𝑡+𝑎8

(3.2.5)(3.2.6)(3.2.7)

其中𝑎𝑖(𝑖=1..9)为待定常系数。将式(3.2.5)∼(3.2.7)代入式(3.2.4)，然后整理化简为𝑥,𝑦,𝑡的幂次多项式,并使𝑥,𝑦,𝑡幂次前的系数为零，得到一组代数方程组。最后求解该代数方程

-15-

非线性偏微分方程几种解法的研究

组得到

𝑎2𝑎52−2𝑎1𝑎5𝑎6−𝑎12𝑎2𝑎12𝑎6−2𝑎1𝑎2𝑎5−𝑎52𝑎6

𝑎3=,𝑎7=,

𝑎22+𝑎62𝑎22+𝑎62

3(𝑎22+𝑎62)(𝑎12+𝑎52)(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)

,𝑎𝑖=𝑎𝑖(𝑖=1,2,4,5,6,8)𝑎9=

(𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5)2(3.2.8)

最后将式(3.2.8)代入式(3.2.5)∼(3.2.7)，再利用式(3.2.2)，就能获得了约化的方程式(3.2.4)的Lump解。选择参数

𝑎1=2,𝑎2=2,𝑎4=1,𝑎5=−1,𝑎6=1,𝑎8=1

再由式(3.2.8)得

211225

𝑎3=−,𝑎7=,𝑎9=

5516

最后经过一系列的运算得到

320(5𝑥+3𝑦−3𝑡+1)

400𝑥2+400𝑦2+400𝑡2+480𝑥𝑦−480𝑥𝑡+224𝑦𝑡+160𝑥+480𝑦+288𝑡+1285

(3.2.11)

(3.2.10)(3.2.9)

𝑢=

从Fig3.2可以观察到该方程的Lump型孤子由一个高耸的波峰与一个低垂的波谷组成，并且被拘束在有限范围之内。

与此同时，对于约化的方程式(3.2.4)的Lump解。

𝑢=2(𝑙𝑛𝑓)𝑥=4

𝑎1𝑔+𝑎5ℎ

𝑓

(3.2.12)

假定𝑡是常数，然后分别求出𝑢对𝑥,𝑦的偏导数，并令偏导数为0，可以得到2个驻点的坐标

√︀

3(𝑎22+𝑎62)(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)𝑎𝑎−𝑎𝑎+(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)𝑡2846

𝑥1=2+(3.2.13)

𝑎22+𝑎62𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5(𝑎12+𝑎52)𝑡𝑎1𝑎8−𝑎4𝑎5

+𝑦1=(3.2.14)

𝑎22+𝑎62𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5

√︀

(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)𝑡𝑎2𝑎8−𝑎4𝑎6−3(𝑎22+𝑎62)(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)+(3.2.15)𝑥2=2

𝑎22+𝑎62𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5(𝑎12+𝑎52)𝑡𝑎1𝑎8−𝑎4𝑎5

𝑦2=+(3.2.16)

𝑎22+𝑎62𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5通过计算可得，在驻点(𝑥1,𝑦1)处的Hessian矩阵⃒⃒⃒𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)⃒8⃒𝜕𝑥2⃒4(𝑎𝑎−𝑎𝑎)1625𝜕𝑥𝜕𝑦⃒Δ=⃒=(3.2.17)3⃒𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)⃒2+𝑎2)3(𝑎2+𝑎2)227(𝑎𝑎+𝑎𝑎)(𝑎⃒𝜕𝑥𝜕𝑦⃒12562615

𝜕𝑦2(𝑥1,𝑦1)

和

𝑢𝑥𝑥(𝑥1,𝑦1)=−

2

2(𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5)3

(3(𝑎2+𝑎6

-16-2)(𝑎

1𝑎2

+𝑎5𝑎6))

3/2

(3.2.18)

宁波大学硕士学位论文

(a)3D结构图(b)等高线图

(c)密度图

Fig.3.2𝑡=0时Lump孤子解

所以当

⎧⎪⎨𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5>0⎪⎩𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6>0

时，Δ>0,𝑢𝑥𝑥(𝑥1,𝑦1)<0，𝑢在驻点(𝑥1,𝑦1)取极大值也是最

大值，即波峰高度为

2(𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5)

𝑢𝑚𝑎𝑥=√︀3(𝑎22+𝑎62)(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)

同理,在

⎧⎪⎨𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5>0⎪⎩𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6>0

⃒

⃒𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)⃒𝜕𝑥2Δ=⃒⃒𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)

⃒𝜕𝑥𝜕𝑦时，在驻点(𝑥2,𝑦2)处的Hessian矩阵

⃒

⃒⃒⃒⃒⃒

(3.2.19)

𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)𝜕𝑥𝜕𝑦2𝜕𝑢(𝑥,𝑦)𝜕𝑦2=

(𝑥2,𝑦2)

4(𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5)8

27(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)3(𝑎22+𝑎62)3(𝑎12+𝑎52)2>0(3.2.20)(3.2.21)

𝑢𝑥𝑥(𝑥2,𝑦2)=

2(𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5)3

(3(𝑎22+𝑎62)(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6))3/2>0

因此，𝑢在驻点(𝑥2,𝑦2)取极小值也是最小值，即波谷深度为

2(𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5)

𝑢𝑚𝑖𝑛=−√︀3(𝑎22+𝑎62)(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)-17-

(3.2.22)

非线性偏微分方程几种解法的研究

在式(3.2.13)∼(3.2.16)中，分别对𝑡求导，还可以得到波峰或者波谷的运动速度。

𝑣𝑥=

2𝑎12𝑎2𝑎6−2𝑎1𝑎22𝑎5+2𝑎1𝑎5𝑎62−2𝑎2𝑎52𝑎6

(𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5)(𝑎22+𝑎62)3

2

2

3

(3.2.23)(3.2.24)(3.2.25)

𝑎1𝑎6−𝑎1𝑎2𝑎5+𝑎1𝑎5𝑎6−𝑎2𝑎5

𝑣𝑦=−𝑎23321𝑎2𝑎6+𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5−𝑎2𝑎5𝑎6√√︀𝑎14+4𝑎12𝑎22+2𝑎12𝑎52+8𝑎1𝑎2𝑎5𝑎6+𝑎+4𝑎52𝑎62

22𝑣=𝑣𝑥+𝑣𝑦=𝑎22+𝑎62并且在(𝑥1,𝑦1)、(𝑥2,𝑦2)的坐标表达式(3.2.13)∼(3.2.16)中，消去时间𝑡，还可以得到波峰与波谷的运动轨迹方程。

22𝑎1𝑎5(𝑎2𝑎4−𝑎6𝑎8)−(𝑎2(𝑎12+𝑎52)𝑥11−𝑎5)(𝑎2𝑎8+𝑎4𝑎6)

𝑦1=−2(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)+2(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)(𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5)√22

3(𝑎2+𝑎6)(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)(𝑎12+𝑎52)+2(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)(𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5)22𝑎1𝑎5(𝑎2𝑎4−𝑎6𝑎8)−(𝑎2(𝑎12+𝑎52)𝑥21−𝑎5)(𝑎2𝑎8+𝑎4𝑎6)

𝑦2=−2(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)+2(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)(𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5)√22

3(𝑎2+𝑎6)(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)(𝑎12+𝑎52)−2(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)(𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5)(3.2.26)

(3.2.27)

再将式(3.2.26)∼(3.2.27)相加后除以2，得到Lump型孤子中心的运动轨迹方程

2

(𝑎12+𝑎52)𝑥𝐶2𝑎1𝑎5(𝑎2𝑎4−𝑎6𝑎8)−(𝑎21−𝑎5)(𝑎2𝑎8+𝑎4𝑎6)+𝑦𝐶=−

2(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)2(𝑎1𝑎2+𝑎5𝑎6)(𝑎1𝑎6−𝑎2𝑎5)

(3.2.28)

然后再选择与式(3.2.9)相同的参数,得到Lump型孤子运动图像。

从Fig.3.3中能够观察到Lump型孤子沿着一条直线前进，并且从不同时刻孤子的位置可

Fig.3.3红色是波谷,蓝色是波峰

以看出Lump孤子在做匀速运动，这些现象都与上文式(3.2.25)及(3.2.28)相符合。

S3.2.2

方程的呼吸解

在式(3.2.4)中设𝑓的表达式为

𝑓=𝑏1e𝑝𝑥+𝑞𝑦+𝑤𝑡+𝑏2cos(𝑘𝑥+𝑙𝑦+𝑣𝑡)+𝑏3e−(𝑝𝑥+𝑞𝑦+𝑤𝑡)

-18-

(3.2.29)

宁波大学硕士学位论文

其中𝑏1,𝑏2,𝑏3,𝑝,𝑞,𝑤,𝑘,𝑙,𝑣为待定常系数。然后将式(3.2.29)代入式(3.2.4)，整理化简为含有e𝑝𝑥+𝑞𝑦+𝑤𝑡,sin(𝑘𝑥+𝑙𝑦+𝑣𝑡),cos(𝑘𝑥+𝑙𝑦+𝑣𝑡)的各次幂多项式，并令其各次幂的系数为0，得到一组代数方程组，求解该方程组得到满足呼吸波形式的解

𝑘=−

1113

,𝑙=𝑙,𝑝=𝑝,𝑞=,𝑣=,𝑤=𝑝,𝑏𝑖=𝑏𝑖(𝑖=1,2,3)3𝑙3𝑝27𝑙3

(3.2.30)

再将式(3.2.30)代入式(3.2.29)，并且利用式(3.2.2)可得方程的呼吸波解为

)︂(︂)︁(︁4

3𝑝4𝑡+3𝑝2𝑥+𝑦3𝑝4𝑡+3𝑝2𝑥+𝑦2−−9𝑙𝑥+𝑡3𝑝3𝑝−3𝑏𝑝𝑙e+𝑏2sin27𝑙𝑦2723𝑏1𝑝𝑙e33𝑙𝑢=)︁(︁3𝑝4𝑡+3𝑝2𝑥+𝑦)︁(︁4

3𝑝4𝑡+3𝑝2𝑥+𝑦2𝑥+𝑡−27𝑙𝑦−9𝑙3𝑝3𝑝+𝑏3e3𝑙𝑏1e+𝑏2cos27𝑙3同时选择参数

𝑝=1,𝑙=1,𝑏1=1,𝑏2=2,𝑏3=1

然后代入式(3.2.31)得

(︀)︀)︀(︀𝑦

𝑡−(𝑥+𝑦+𝑡)3+𝑦+−3e23e𝑥+3+𝑡+2sin−𝑥

27(︀𝑥+𝑦+𝑡(︀3)︀)︀𝑢=𝑦𝑥𝑡

3e3+2cos−3+𝑦+27+e−(𝑥+3+𝑡)

它在𝑡=0的图像如下图所示。

(3.2.31)

(3.2.32)

(3.2.33)

从Fig.3.4可以看出该解一方面沿着某个方向做周期性的上下运动，符合呼吸波特征。同时还在与该方向相垂直的方向上做类似于扭结孤子一样的水平移动。

S3.2.3

方程的相互作用解

[75–77]

孤立子之间的碰撞方式有两种，一种是弹性碰撞,即孤子在碰撞前后除了相位发

[78–80]

生变化之外,其大小、形状、速度均没有发生明显改变，而另一个碰撞为非弹性碰撞，

也就是孤子在碰撞之后,不仅相位发生了变化，而且孤子的动能、动量、形状也都发生了变化。在下文中研究的是Lump孤子与扭结孤立子之间的完全非弹性碰撞(融合成为新的孤子，不再分开)，并且解释了Lump孤子被扭结孤立子吞噬消失的原因。

将式(3.2.5)∼(3.2.8)和式(3.2.29)进行组合叠加

𝑓=𝑔2+ℎ2+𝑎9+𝑏1e𝜉+𝑏2cos(𝜂)+𝑏3e−𝜉

𝜉=𝑝𝑥+𝑞𝑦+𝑤𝑡𝜂=𝑘𝑥+𝑙𝑦+𝑣𝑡

(3.2.34)(3.2.35)(3.2.36)

其中𝑔,ℎ由式(3.2.6)∼(3.2.7)给出。然后将式(3.2.34)∼(3.2.34)代入式(3.2.4)，按照上述求解Lump解和呼吸波解类似的过程，得到其三组解

-19-

非线性偏微分方程几种解法的研究

(a)3D图(b)等高线图

(c)密度图

Fig.3.4呼吸波

第一组：

12𝑝3𝑎623𝑝4𝑎62−4𝑎12

𝑘=𝑘,𝑙=𝑙,𝑝=𝑝,𝑞=,𝑣=𝑣,𝑤=,𝑎2=0,

9𝑝4𝑎62+4𝑎1212𝑝𝑎62

𝑎1(9𝑝4𝑎62−4𝑎12)4𝑎12−9𝑝4𝑎62216𝑝4𝑎12𝑎62−81𝑝8−𝑎−16𝑎14

𝑎3=,𝑎5=,𝑎7=,

6𝑝2𝑎6212𝑝2𝑎6144𝑝4𝑎63(3.2.37)422844224(9𝑝𝑎6−4𝑎1)(81𝑝𝑎6+72𝑝𝑎1𝑎6+16𝑎1)

𝑎9=−,𝑏1=𝑏2=0,𝑏3=𝑏3,

576𝑝6𝑎62𝑎12𝑎𝑖=𝑎𝑖(𝑖=1,4,6,8)第二组：

𝑘=𝑘,𝑙=𝑙,𝑝=

242𝑎𝑎6,𝑞=𝑞,𝑣=𝑣,𝑤=−,𝑎=±,𝑎=,173𝑞27𝑞33𝑞2𝑞4

(3.2.38)

𝑎2=𝑎3=𝑎5=𝑎9=𝑏1=𝑏2=0,𝑏3=𝑏3,𝑎𝑖=𝑎𝑖(𝑖=4,6,8)

第三组：

𝑘=𝑘,𝑙=𝑙,𝑝=𝑝,𝑞=𝑎3=±3𝑝2𝑎5,𝑎7=

2

2

,𝑣3𝑝3𝑝𝑎62𝑎5

=𝑣,𝑤=−21,𝑎=∓,𝑎=±,123𝑝23𝑝22

4𝑎6

,𝑎9𝑞𝑞4=𝑏1=𝑏2=0,𝑏3=𝑏3,𝑎𝑖=𝑎𝑖(𝑖=4,5,6,8)

-20-

(3.2.39)

宁波大学硕士学位论文

再选择参数

𝑘=1,𝑙=1,𝑝=1,𝑣=1,𝑎4=1,𝑎5=1,𝑎6=1,𝑎8=1,𝑏3=50

代入第三组解中(取𝑎1=−3𝑝2𝑎6,𝑎2=

(︁

𝑢=

2

(3.2.40)

2𝑎5)，并利用式(3.2.2)3𝑝2𝑦𝑡

−𝑥−223和式(3.2.34)∼(3.2.36)得到)︁

𝑡

2𝑦14413𝑥−2−100e

468𝑥2+208𝑦2+1053𝑡2+936𝑡𝑦−144𝑥+480𝑦+1080𝑡+288+7200e2−𝑥−3(3.2.41)

然后画出不同时刻的相互作用解的图像。

(a)t=-6(b)t=-1(c)t=10

(d)t=-6(e)t=-1(f)t=10

Fig.3.5不同时刻相互作用解的3D图(a)∼(c)与密度图(d)∼(f).

从Fig.3.5中可以看出，随着Lump型孤子与扭结孤立波相互靠近，Lump型孤子的高度与深度逐渐变小，最后Lump型孤子消失在扭结孤立波之中。对于上述Lump消失现象，我们可以做如下解释，在式(3.2.39)中同样取𝑎1=−3𝑝2𝑎6,𝑎2=

𝑓=𝑔2+ℎ2+𝑏3e−𝜉

𝑔=−3𝑝2𝑎6𝑥+

2

2

2𝑎5

)代入式(3.2.34)∼(3.2.36)得：3𝑝2(3.2.42)

+𝑎4

(3.2.43)(3.2.44)

2𝑎5𝑦

3𝑝2+

3𝑝2𝑎5𝑡2ℎ=𝑎5𝑥+𝑎6𝑦+

-21-

9𝑝4𝑎6𝑡4+𝑎8

非线性偏微分方程几种解法的研究

从𝑓的表达式可以看出，𝑔2,ℎ2为有理函数部分(Lump型孤子)，e−𝜉为指数部分(条纹孤立波部分)，在𝜉>0的区域里，𝑔2,ℎ2趋于无穷大，成为𝑓的主要部分，于是整个解表现出Lump型孤子形状，但是当Lump型孤子运动到𝜉<0的区域时，指数部分e−𝜉趋于无穷大，所以e−𝜉替换先前的𝑔2,ℎ2成为了成为𝑓的主要部分。因此，Lump孤子在靠近𝜉<0的区域过程中高度与深度逐渐变小至消失。

S3.3

S3.3.1

(2+1)-维SK方程的相互作用解

方程的单孤子解

(2+1)-维SK方程

5

𝑢𝑡=(𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥+5𝑢𝑢𝑥𝑥+𝑢3+5𝑢𝑥𝑦)𝑥−5

3和非线性科学Liouville流守恒方程

首先对式(3.3.1)进行变换

𝑢=6(𝑙𝑛𝑓)𝑥𝑥

得到(2+1)-维SK方程的双线性形式

[37][81]

∫︁

𝑢𝑦𝑦𝑑𝑥+5𝑢𝑢𝑦+5𝑢𝑥

∫︁

𝑢𝑦𝑑𝑥

(3.3.1)

被广泛的应用于物理学中的各个分支领域，比如二维量子重力测量仪领域、共形场理论

。

(3.3.2)

632(𝐷𝑥+5𝐷𝑥𝐷𝑦−5𝐷𝑦+𝐷𝑥𝐷𝑡)𝑓·𝑓=0

(3.3.3)

其中𝐷是双线性算子。然后设𝑓的表达式为

𝑓=1+

𝑛∑︁𝑖=1

𝜀𝑖𝐹𝑖(𝑥,𝑦,𝑡)

(3.3.4)

然后将式(3.3.4)代入式(3.3.3)，整理简化为𝜀的幂次多项式后，令𝜀𝑖次幂前的系数为0。

对于𝜀1，有

𝜕4𝜕2𝜕2𝜕6

26𝐹1(𝑥,𝑦,𝑡)+10𝐹1(𝑥,𝑦,𝑡)+2𝐹1(𝑥,𝑦,𝑡)−102𝐹1(𝑥,𝑦,𝑡)=0(3.3.5)𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑥3𝜕𝑥𝜕𝑡𝜕𝑦然后再假设

𝐹1(𝑥,𝑦,𝑡)=e𝑘1𝑥+𝑝1𝑦+𝜔1𝑡

将式(3.3.6)代入式(3.3.5)得到

𝑘16+5𝑘13𝑝1−5𝑝12

𝜔1=−

𝑘1

与此同时，在式(3.3.4)中选取𝑛=1，并令𝜀=𝑒𝜂，得到

𝑓=1+e

𝑘1𝑥+𝑝1𝑦−

𝑘16+5𝑘13𝑝1−5𝑝12

𝑡+𝜂𝑘1

(3.3.6)

(3.3.7)

(3.3.8)

-22-

宁波大学硕士学位论文

将式(3.3.8)代入式(3.3.2)后，得到了单孤子解

(︂2

𝑘1𝑘1𝑥𝑝1𝑦𝑘16+5𝑘13𝑝1−5𝑝12𝜂)︁2

+−𝑡+𝑢=𝑠𝑒𝑐ℎ

2222𝑘12

S3.3.2

(3.3.9)

方程的Lump解

设𝑓的表达式为

𝑓=𝜉2+𝑓0

⃗·𝜉⃗。𝜉⃗为一个关于常矢量⃗其中𝑓0为常数，𝜉2=𝜉𝑘,𝑝⃗,𝜔⃗,𝛼⃗的四维矢量

⃗=𝑥⃗𝜉𝑘+𝑦⃗𝑝+𝑡⃗𝜔+𝛼⃗

并标注

𝑘00=𝛼⃗𝛼⃗,𝑘10=⃗𝑘⃗𝛼,𝑘11=⃗𝑘⃗𝑘,𝑘12=⃗𝑘⃗𝑝,𝑘13=⃗𝑘⃗𝜔,𝑘20=𝑝⃗𝛼⃗,𝑘22=𝑝⃗𝑝⃗,𝑘23=𝑝⃗𝜔⃗,𝑘30=𝜔⃗𝛼⃗,𝑘33=𝜔⃗𝜔⃗

···

(3.3.12)(3.3.11)(3.3.10)

再将式(3.3.10)∼(3.3.12)代入式(3.3.3)，然后整理化简为𝑥,𝑦,𝑡幂次多项式，并且令𝑥,𝑦,𝑡的各次幂前的系数为0，得到一组代数方程组，解得

2

5(2𝑘12−𝑘11𝑘22)

,𝑘20=𝑘20𝑘00=𝑘00,𝑘10=𝑘10,𝑘11=𝑘11,𝑘12=𝑘12,𝑘13=

𝑘11

2

5𝑘12𝑘225(2𝑘12𝑘20−𝑘13𝑘22)25𝑘22

(3.3.13)𝑘22=𝑘22,𝑘23=,𝑘30=,𝑘33=

𝑘11𝑘11𝑘11

𝑘102𝑘22−2𝑘10𝑘12𝑘20+3𝑘112𝑘12+𝑘11𝑘202

𝑓0=−𝑘00+

𝑘11𝑘22−𝑘122然后将式(3.3.13)代入式(3.3.10)得到

𝑓=𝑘11𝑥2+𝑘22𝑦2++2𝑘10𝑥+2𝑘20𝑦+

这里有两个条件

2

=0𝑘11=0,𝑘11𝑘22−𝑘12

225𝑘222

𝑡𝑘11

+2𝑘12𝑥𝑦+

−

10𝑘12𝑘22𝑦𝑡𝑘11

+

2−𝑘𝑘)10(2𝑘121122

𝑥𝑡𝑘11

10(2𝑘12𝑘20−𝑘13𝑘22)

𝑡𝑘11

2𝑘−𝑘𝑘2−𝑘2𝑘2𝑘10𝑘12𝑘20−3𝑘111211201022

2𝑘11𝑘22−𝑘12

(3.3.14)

(3.3.15)

最后利用式(3.3.2)得到(2+1)-维SK方程的Lump解。

12𝑘1124(𝑘11𝑥+𝑘12𝑦+𝑘13𝑡+𝑘10)2

𝑢=−

𝑓𝑓2

-23-

(3.3.16)

非线性偏微分方程几种解法的研究

选择参数

𝑘10=2,𝑘11=2,𝑘12=1,𝑘14=2,𝑘20=1,𝑘22=2

代入式(3.3.16)得到

𝑦2−2𝑥2+25𝑡2−2𝑥𝑦+20𝑦𝑡+10𝑥𝑡−4𝑥−2𝑦+10𝑡+2𝑢=6

(𝑥2+𝑦2+25𝑡2+𝑥𝑦+5𝑦𝑡−5𝑥𝑡+2𝑥+𝑦−5𝑡+3)2画出不同时刻图像(Fig.3.6)

从Fig.3.6可以看出该方程的Lump型孤子是由一个高耸的波峰和两个浅浅的波谷组成。

(3.3.18)(3.3.17)

(a)t=-0.9(b)t=0(c)t=0.5

(d)t=0等高线(e)t=0密度图

Fig.3.6Lump孤子解

S3.3.3Lump孤子与单孤子的相互作用

[82–84]

在式(3.3.10)中将Lump型孤子解形式写成更为常见的形式

𝑓=(𝑎1𝑥+𝑎2𝑦+𝑎3𝑡+𝑎4)2+(𝑎5𝑥+𝑎6𝑦+𝑎7𝑡+𝑎8)2+𝑎9

然后将Lump型孤子解与单孤子解进行叠加

𝑓=(𝑎1𝑥+𝑎2𝑦+𝑎3𝑡+𝑎4)2+(𝑎5𝑥+𝑎6𝑦+𝑎7𝑡+𝑎8)2+𝑎9+1+e

𝑘1𝑥+𝑝1𝑦+

(3.3.19)

𝑘16+5𝑘13𝑝1−5𝑝12

𝑡+𝜂𝑘1

(3.3.20)

-24-

宁波大学硕士学位论文

再将式(3.3.20)代入式(3.3.3)，再按照求单孤子解和Lump型孤子解类似的步骤解得两组解第一组：

𝑎1𝑎7𝑎9𝑘1

第二组：

5(81𝑎14𝑘18−216𝑎12𝑎62𝑘14+16𝑎)4𝑎62−9𝑎12𝑘14

,𝑎3=,𝑎5=0,𝑎2=

12𝑎1𝑘12144𝑎13𝑘14(︀2)︀245𝑎𝑎6−9𝑎1𝑘14𝑎12𝑎62−4𝑎62𝑘12−9𝑎14𝑘14

(3.3.22)𝑎7=,𝑎9=,22226𝑎1𝑘14𝑎6𝑘1

4𝑎62−3𝑎12𝑘14

,𝑎𝑖=𝑎𝑖(𝑖=1,4,6,8),𝜂=𝜂𝑘1=𝑘1,𝑝1=

12𝑘1𝑎12

最后将式(3.3.21)或(3.3.22)代入式(3.3.20)，并由式(3.3.2)获得了该方程的相互作用解。在式(3.3.21)中，选取参数

𝜂=1,𝑎2=1,𝑎4=1,𝑎5=1,𝑎8=1,𝑘1=0.7

(3.3.23)

)︀(︀24

5𝑎24𝑎2−9𝑎𝑘4𝑎22−9𝑎52𝑘14512

,𝑎6=,=0,𝑎3=

6𝑎52𝑘1212𝑎5𝑘125(81𝑎𝑘28−216𝑎22𝑎52𝑘24+16𝑎14)=

144𝑎53𝑘144𝑎22𝑎52−4𝑎22𝑘12−9𝑎𝑘14

,𝑎𝑖=𝑎𝑖(𝑖=2,4,5,8),=224𝑎2𝑘1

4𝑎22−3𝑎52𝑘14

=𝑘1,𝑝1=,𝜂=𝜂

12𝑘1𝑎52

(3.3.21)

然后将式(3.3.23)代入式(3.3.21)，并利用式(3.3.2)得到(2+1)-维SK方程的相互作用解(具体表达式过长，故不在此写出)。除了发现如文献[37,82,83]中提到的Lump型孤子被条纹孤子吞噬现象外，还发现条纹孤子在与Lump型孤子碰撞后反弹的现象。(Fig.3.7)调整参数𝑘1,使𝑘1=−0.8和𝑘1=−0.6，然后画出不同时刻孤子运动的3D图形(Fig.3.8)

(a)t=-20(b)t=-2.5(c)t=-0.5(d)t=20

Fig.3.7Lump型孤子被条纹孤子吸收并倒退过程

在Fig.3.8的(a)∼(c)中可以发现条纹孤子在运动的过程中，会向前突然吐出一个Lump型孤子，然后Lump孤子以更大的速度远离条纹孤子，而条纹孤子也继续向原方向前进。这

-25-

非线性偏微分方程几种解法的研究

(a)t=-3(b)t=0(c)t=2

(d)t=-10(e)t=0(f)t=1.5

Fig.3.纹孤子吐出Lump型孤子(a)∼(c)向前吐，(d)∼(f)向后吐

相当于物体在运动过程中成两部分一样。同样，从(d)∼(f)图中还可以发现条纹孤子运动过程中向后吐出Lump型孤子的现象，这些现象正是物理学中重要的动量守恒原理(分动量变化，但总动量守恒)的体现。

S3.3.4

共振怪波

怪波,也称之为畸形波、凶波、杀人波、巨波，最早发现于海洋之中,它是一种分布非常陡峭、存在时间极短、峰值远高于周围波浪的局域波。也正因为它“来无影、去无踪”和峰值高的特性，所以在突发时具有强破坏性，从1826年最早记录的畸形波事件起，时有发生关于怪波引起的灾难报导

[85–88]

。除此之外，畸形波不仅存在与海洋之中，在非线

性光学、超流体、等离子体、冷原子凝聚乃重要的金融系统也发现了畸形波的存在。由于孤子理论和实验的不断发展，推动了人们通过非线性波理论建立的非线性模型对畸形波的产生和传播进行研究。类比孤立波，可以用孤子碰撞、呼吸子碰撞产生的高振幅波解释畸形波的形成。在文献[83]中首次发现一种新型怪波，当全部时间内可见的Lump型孤子在双条纹孤子的作用下突然出现又忽然消失，于是Lump型孤子就变成了怪波。并把该类型怪波命名为共振怪波。针对这种新型怪波，我们继续以(2+1)-维SK方程为例，采

-26-

宁波大学硕士学位论文

用Hirota双线性方法研究Lump型孤子与双条纹孤子的相互作用解。并且探究了通过它的若干运动学性质，以便对这种新型怪波有更深入的理解。

在式(3.3.10)中添加双条纹孤子解(𝑐𝑜𝑠ℎ)：

𝑓=𝜉2+𝑓0+𝑘0𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜃)𝜃=𝑘1𝑥+𝑘2𝑦+𝑘3𝑡+𝑘4

(3.3.24)(3.3.25)

再将式(3.3.24)∼(3.3.25)代入式(3.3.3)后，整理化简为含有𝑥,𝑦,𝑡,𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜃),𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜃)的幂次多项式。并且令𝑥,𝑦,𝑡,𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜃),𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜃)各次幂前的系数为0，得到一组代数方程组解得

𝑘00=𝑘00,𝑘11=𝑘11,𝑘12=𝑘12,𝑘13=𝑘22=𝑘22,𝑘23=𝑓0=−𝑘00+

5𝑘12𝑘22

,𝑘11

2−𝑘𝑘)5(2𝑘121122

,𝑘11

𝑘20=𝑘20

225𝑘22

𝑘11

𝑘30=

5(2𝑘12𝑘20−𝑘13𝑘22)

,𝑘11

𝑘33=

3𝑘02𝑘16𝑘11+3𝑘02𝑘13𝑘11𝑘2+4𝑘102𝑘22−8𝑘10𝑘12𝑘20+12𝑘112𝑘12+4𝑘11𝑘202

4(𝑘11𝑘22−𝑘122)√

2𝑘+2𝑘)2(−𝑘12±𝑘11𝑘22)𝑘1(𝑘121112

𝑘0=𝑘0,𝑘1=,𝑘=,23𝑘112𝑘11

𝑘3=

2−5𝑘3𝑘−𝑘65𝑘2121

,𝑘1

𝑘4=𝑘4

(3.3.26)

其中限定条件和式(3.3.15)相同。最后将式(3.3.26)代入式(3.3.24)∼(3.3.25)，并利用式(3.3.2)，就得到了共振怪波解。

√

𝑘11𝑘22)2−𝑘+(12

取式(3.3.26)中𝑘12=，然后选择如下参数3𝑘11

𝑘00=1,𝑘10=2,𝑘11=2,𝑘12=1,𝑘20=1,𝑘22=2,𝑘0=5,𝑘4=1

得到

𝑢=−

𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜃))6(4+5

32𝑥2+2𝑦2+50𝑡2+2𝑥𝑦+10𝑦𝑡−10𝑥𝑡+4𝑥+2𝑦−10𝑡+133+5𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜃)186(4𝑥+2𝑦−10𝑡+4+533𝑠𝑖𝑛ℎ(𝜃))

√

2

2(3.3.27)

(2𝑥2+2𝑦2+50𝑡2+2𝑥𝑦+10𝑦𝑡−10𝑥𝑡+4𝑥+2𝑦−10𝑡+133+5𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜃))18√√√

𝜃=33𝑥+293𝑦+33𝑡+1

(3.3.28)(3.3.29)

然后画出其不同时刻的3D图和密度图。(Fig.3.9)

从Fig.3.9上看，Lump型孤子在双条纹孤子背景下忽然以极大的峰值出现，又很快消失，符合怪波的特征。

针对Lump型孤子在双条纹孤子作用下表现出来的瞬态性特征可以作如下的解释。在式(3.3.24)中将𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜃)写成𝑒

𝜃+𝑒−𝜃

2形式。

)︀𝑘0(︀𝜃

𝑒+𝑒−𝜃2

(3.3.30)

𝑓=𝜉2+𝑓0+

-27-

非线性偏微分方程几种解法的研究

(a)t=-4(b)t=0(c)t=5

(d)t=-4(e)t=0(f)t=5

Fig.3.9共振怪波

在上式中𝜉2作为幂函数在𝜃→±∞没有作为指数函数𝑒±𝜃增长快，𝑓整体表现为指数函数。于是当𝜃→±∞时，𝑢表现为孤子解。而在𝜃→0时，𝑒±𝜃→1，所以𝑓整体就表现为𝜉2+𝑓0所代表的Lump解，于是𝑢表现为Lump型孤子。但是当𝜃→0时，Lump型孤子就会立刻消失，所以才有上述怪波现象的发生。

为了方便探究共振怪波的运动轨迹，于是孤子解排除。即在式(3.3.24)和式(3.3.26)中取𝑘0=0。就还原回到式(3.3.10)和式(3.3.13)。于是在式(3.3.16)中分别对𝑥,𝑦求偏导数并且让偏导数为0，得到3个驻点的坐标。

𝑥1=

𝑥2=𝑥3=

5𝑘22𝑡

𝑘115𝑘22𝑡𝑘11

5𝑘22𝑡𝑘11

+

𝑘12𝑘20−𝑘10𝑘22

,2𝑘11𝑘22−𝑘12

++

𝑘12𝑘20−𝑘10𝑘22

2𝑘11𝑘22−𝑘12𝑘12𝑘20−𝑘10𝑘222𝑘11𝑘22−𝑘12

+3−3

√︁

𝑘12𝑡

𝑦1=−10+𝑘11

𝑘10𝑘12−𝑘11𝑘20

2𝑘11𝑘22−𝑘12

𝑘10𝑘12−𝑘11𝑘20

2𝑘11𝑘22−𝑘12𝑘10𝑘12−𝑘11𝑘202𝑘11𝑘22−𝑘12

(3.3.31)(3.3.32)(3.3.33)

√︁

𝑘11𝑘12

2,𝑘11𝑘22−𝑘12𝑘11𝑘12

2,𝑘11𝑘22−𝑘12

𝑘12𝑡

𝑦2=−10+𝑘11𝑘12𝑡𝑦3=−10+𝑘11

-28-

宁波大学硕士学位论文

通过计算可得，在驻点(𝑥1,𝑦1)处的Hessian矩阵和𝑢𝑥𝑥为

⃒⃒⃒𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)⃒

25⃒𝜕𝑥2⃒(𝑘11𝑘22−𝑘12)𝜕𝑥𝜕𝑦⃒Δ=⃒=>046⃒𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)⃒3𝑘12𝑘11

⃒𝜕𝑥𝜕𝑦⃒𝜕𝑦2(𝑥1,𝑦1)

(3.3.34)(3.3.35)

𝑢𝑥𝑥(𝑥1,𝑦1)=−

28(𝑘11𝑘22−𝑘12)

2𝑘2𝑘1112

2

<0

而在驻点(𝑥2,𝑦2)、(𝑥3,𝑦3)处Hessian矩阵和𝑢𝑥𝑥为⃒⃒⃒𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)⃒

25⃒𝜕𝑥2⃒𝑘11𝑘22−𝑘12()𝜕𝑥𝜕𝑦⃒Δ=⃒=>0𝑖=2,346⃒𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)⃒12𝑘12𝑘11

⃒𝜕𝑥𝜕𝑦⃒𝜕𝑦2(𝑥𝑖,𝑦𝑖)

(3.3.36)(3.3.37)

𝑢𝑥𝑥(𝑥𝑖,𝑦𝑖)=

2

(𝑘11𝑘22−𝑘12)2𝑘24𝑘1112

2

>0𝑖=2,3

因此在(𝑥1,𝑦1)处取极大值(最大值)，即波峰高度为

𝐻=𝑢𝑚𝑎𝑥

2

)4(𝑘11𝑘22−𝑘12

=

𝑘11𝑘12

(3.3.38)

然后在(3.3.31)中，对时间𝑡求导以及把坐标表达式联立消去时间𝑡得到波峰运动速度与波峰的运动轨迹方程。

⎧

⎨𝑣𝑥=5𝑘22𝑣𝑦=−10𝑘12

𝑘11𝑘11

√2+𝑘2√︀22⎩𝑣=𝑣2+𝑣2=𝑘12

𝑥

𝑦

𝑘11

(3.3.39)(3.3.40)

𝑦=

12𝑥−2𝑘

𝑘22

−

2𝑘𝑘10𝑘12𝑘22+𝑘11𝑘20𝑘22−2𝑘12202𝑘22(𝑘11𝑘22−𝑘12)选择参数与式(3.3.27)相同，代入式(3.3.38)∼(3.3.40)获得

H=𝑢max=6

⎧

⎨𝑣=5𝑣=−5𝑥𝑦

√

⎩𝑣=52y=−x−1

并画出Lump型孤子(怪波)运动的轨迹图(Fig.3.10)

将怪波的轨迹方程式(3.3.43)代入式(3.3.28)∼(3.3.29)中，得到

(︁√)︁)︁√√

33236cosh9𝑥+3𝑡−9+1

(︁√)︁√√𝑢=2

133332322𝑥+50𝑡−20𝑥𝑡+4𝑥−20𝑡+18+5cosh9𝑥+3𝑡−9+1

(︁(︁√)︁)︁2√√√

62𝑥−10𝑡+2+533𝑠𝑖𝑛ℎ93𝑥+33𝑡−293+1

(︁√)︁)︁2−(︁√√33232𝑥2+50𝑡2−20𝑥𝑡+4𝑥−20𝑡+133+5cosh𝑥+𝑡−+11394+5

3(︁

(3.3.41)(3.3.42)(3.3.43)

(3.3.44)

然后画出不同时刻的图像(Fig.3.11)

从Fig.3.11可以看出当怪波从左条纹孤子运动到右条纹孤子后，最高峰也就从左条纹孤子转移到右条纹孤子。于是将𝑡=−10代入式(3.3.44)，并通过𝑢𝑥=0得到条纹孤

-29-

非线性偏微分方程几种解法的研究

Fig.3.10Lump型孤子(怪波)的不同时刻位置与运动轨迹

(a)t=-10(b)t=0(c)t=10

Fig.3.11不同时刻的𝑥−𝑢图像

Fig.3.12𝑢=0.771951时𝑥−𝑡图像

子的最大高度ℎ=0.771951。因此在式(3.3.44)中令𝑢=0.771951画出𝑥−𝑡图像(Fig.3.12)。然后通过作图法(Fig.3.13)得到怪波存在的大致时间为

𝑇=9.4616767−(−9.979263357)=19.44093990

(3.3.45)

-30-

宁波大学硕士学位论文

(a)(b)(c)

Fig.3.13怪波出现与消失的时刻

同时孤立子作为非线性系统中作为非线性系统中最重要的基本激发，在著名的FPU实验

[]

中可以看成分布在有限范围内，携带能量的振动模式。于是类比于振子的共振曲线

[90]

的半宽度概念的面积。

，定义这种新型怪波在最大峰值时有效面积，为其峰值高度一半所对应

将𝑡=0代入式(3.3.28)中，得到

𝑦2−2𝑥2−2𝑥𝑦−4𝑥−2𝑦+2

𝑢=6

(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2+2𝑥+𝑦+3)2因为峰值为6，所以将𝑢=3代入式(3.3.46)得到

𝑦2−2𝑥2−2𝑥𝑦−4𝑥−2𝑦+2

6=3(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2+2𝑥+𝑦+3)2通过有效面积方程(3.3.47)计算出有效面积以及对应的有效体积为

𝑆𝑒𝑓𝑓=3.723219159𝑉𝑒𝑓𝑓=15.66988572

最后我们画出有效面积、有效体积图像(Fig.3.14)

(3.3.48)(3.3.49)(3.3.47)(3.3.46)

S3.4本章小结

本章先以求解KP方程单孤子解与N孤子解为例介绍Hirota双线性导数法。然后在广义(3+1)-维浅水波方程的双线性形式下将Lump型有理函数解与呼吸波解进行组合叠加，显示出Lump型孤子被扭结孤立波吞噬现象，并解释了该现象的成因。最后在(2+1)-维Sawada-Kotera方程的双线性形式下，将Lump有理函数解与单孤子解进行组合叠加，从而在它们相互作用的过程中显示出碰撞、反弹、吸收、等粒子性特征。此外，在探究Lump型

-31-

非线性偏微分方程几种解法的研究

(a)有效面积(b)有效体积截面

Fig.3.14有效面积与有效体积

孤子解与双条纹孤子解的相互作用中，Lump型孤子只在一瞬间出现，然后立即消失，于是Lump型孤子就变成了共振怪波。通过理论计算和数形结合的方法求得这种新型怪波的运动轨迹、存在时间、面积、体积等等特征量。

-32-

宁波大学硕士学位论文

第四章近似解析方法

[91]

分数阶偏微分方程在研究一些具有记忆性、遗传性时比整数阶更具有优越性此，为了更好的自然的非线性本质，所以在一些如神经细胞中离子的反常扩散动力系统

[93]

[92]

[94]

[95]

。因

、粘弹性

、控制与机器人、地震奇异性分析中不用整数阶的微分方程而改用分数

阶的微分方程来研究问题。但是能精确求解的微分方程极少，绝大多数微分方程都很难求得精确解，乃至根本不存在精确解。而数值解本身却不能很好的反映出解的结构与性质。同时，方程通过简化处理后，其数值解的正确性也不如解析解可靠。于是退而求其次，如何求出非线性分数阶偏微分方程的近似解析解就成为了研究者日益关注的问题。近些年，已经有如Adomian分解法,同伦摄动法和变分迭代法等等不少研究近似解析解的方法出现。本文在文献[96]的基础上先对非线性分数阶Klein-Gordon方程进行分数阶复变换，然后采用重正规化法来研究在弱非线性以及强非线性情况下的方程的一级近似解，最后再与直接采用线化和校正方法得到方程的一级近似解进行比较。

S4.1重正规化方法

Kelin-Gordon方程是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程，在非线性光学、数学物理、固体物理、量子场论

[97]

等领域有着极其重要的地位。

对于非线性分数阶Kelin-Gordon方程

(︀)︀

𝐷𝑡2𝛼𝑢−𝐷𝑥2𝛽𝑢+𝑢+𝜀𝑢2+𝑢3=0,

0<𝛼,𝛽<1

(4.1.1)

其中𝐷𝑡2𝛼,𝐷𝑥2𝛽是由G.Jumarie改进的Riemann-Liouville定义的分数阶导数。考虑如下分数阶复变换

𝑐𝑡𝛼𝑥𝛽

−𝜉=

Γ(1+𝛽)Γ(1+𝛼)

然后将式(4.1.2)代入式(4.1.1)后得到

(︀2)︀d2(︀23)︀𝑐−1𝑢(𝜉)+𝑢(𝜉)+𝜀𝑢(𝜉)+𝑢(𝜉)=0

d𝜉2

当𝜀为小参数时，将𝑢(𝜉)展开为𝜀的幂级数

𝑢(𝜉)=𝑢0(𝜉)+𝜀𝑢1(𝜉)+𝜀2𝑢2(𝜉)+𝜀3𝑢3(𝜉)+···

同时，为了下文计算方便，取

𝑘2=

1

(𝑐=±1)

𝑐2−1

-33-

(4.1.2)

(4.1.3)

(4.1.4)

(4.1.5)

非线性偏微分方程几种解法的研究

然后将式(4.1.4)∼(4.1.5)代入式(4.1.3)后展开,再整理合并为𝜀𝑖的幂级数。并且令𝜀𝑖前的系数为0，得到一组摄动方程。对于𝜀0，有

d2

𝑢0(𝜉)+𝑘2𝑢0(𝜉)=02d𝜉

通过该方程得到零级近似解

𝑢0(𝜉)=𝐴cos(𝑘𝜉+𝜑)

而对于𝜀1，有

(︀d223)︀22

𝑢1(𝜉)+𝑘𝑢1(𝜉)+𝑘𝑢0(𝜉)+𝑢0(𝜉)=0d𝜉2

(4.1.7)(4.1.6)

(4.1.8)

然后将零级近似解式(4.1.7)代入式(4.1.8)，然后解出𝑢1(𝜉)，得

𝐴33𝐴3𝐴2𝐴2

𝑢1(𝜉)=cos(3(𝑘𝜉+𝜑))−𝑘𝜉sin(𝑘𝜉+𝜑)+cos(2(𝑘𝜉+𝜑))−

32862因此，由式(4.1.7)和式(4.1.9)得到方程的一级近似解析解为

𝑢(𝜉)=𝐴cos(𝑘𝜉+𝜑)+𝜀(𝐴cos(3(𝑘𝜉+𝜑))32−3𝐴𝑘𝜉sin(𝑘𝜉+𝜑)+83

3

3

(4.1.9)

𝐴2

6cos(2(𝑘𝜉+𝜑))−

𝐴2

)2(4.1.10)

𝜀

但是注意到在式(4.1.10)中有长期项−3𝐴𝑘𝜉sin(𝑘𝜉+𝜑)的存在，为了消失长期项，我们8

采用重正规化方法。引入新变量：

𝜏=Ω𝜉

Ω=𝑘+𝜀Ω1+𝜀2Ω2+𝜀3Ω3+···

由式(4.1.11)∼(4.1.12)泰勒级数展开得到

𝜏Ω1

𝑘𝜉=𝜏−𝜀+𝜏

𝑘

(︂

Ω12Ω2

−𝑘2𝑘

)︂𝜀2+···

(4.1.13)(4.1.11)(4.1.12)

然后将式(4.1.13)代入式(4.1.10)，再次进行泰勒展开为𝜀的幂级数。对于展开式的前两项系数：

𝜀0:

𝜀:

1

1

𝐴cos(𝜏+𝜑)

𝐴3

32

(4.1.14)

𝐴26

(︀𝐴Ω1𝑘

−

33𝐴8

)︀

𝜏sin(𝜏+𝜑)+cos(3(𝜏+𝜑))+cos(2(𝜏+𝜑))−

𝐴2

(4.1.15)2

(︀𝐴Ω133)︀

得到在𝜀中消除长期项𝑘−8𝐴𝜏sin(𝜏+𝜑)，

Ω1=

32𝑘𝐴8

(4.1.16)

-34-

宁波大学硕士学位论文

最后由式(4.1.11)∼(4.1.16)得到了在弱非线性条件下非线性分数阶Klein-Gordon方程的一级近似解

𝑢(𝜏)=𝐴cos(𝜏+𝜑)+𝜀𝐴

cos(3(𝜏+𝜑))+cos(2(𝜏+𝜑))−(︀)︀32

𝜏=1+8𝜀𝐴𝑘𝜉

322

(︀𝐴

1612)︀

(4.1.17)(4.1.18)

其中𝜉由式(4.1.2)给出，而𝐴,𝜑由初边值条件确定。

当𝜀不再是小参数时，若将𝑢(𝜉)直接按照𝜀𝑖展开，就无法形成渐进级数，所以需要再次引入变换

[98]

𝛼=

由式(4.1.19)得到

𝜀Ω1

𝑘2+𝜀Ω1

(4.1.19)

𝛼𝑘2

𝜀=

Ω1(1−𝛼)

(︀23)︀𝛼𝑘𝑢(𝜉)+𝑢(𝜉)d2

𝑢(𝜉)+𝑘𝑢(𝜉)+=0d𝜉2Ω1(1−𝛼)

2

4

(4.1.20)

然后将式(4.1.5)和式(4.1.20)代入式(4.1.3)得

(4.1.21)

再将𝑢(𝜉)展开为𝛼的幂级数

𝑢(𝜉)=𝑢0(𝜉)+𝛼𝑢1(𝜉)+𝛼2𝑢2(𝜉)+𝛼3𝑢3(𝜉)+···

(4.1.22)

最后将式(4.1.22)代入式(4.1.21)后，按照与上文中处理弱非线性情况下的类似步骤，整理为合并为𝛼𝑖的幂级数，解出强非线性情况下的一级近似解

𝑢(𝜉)=𝐵cos(𝑘𝜉+𝜙)+

𝛼𝐵2𝑘2𝐵

(32Ω1

cos(3(𝑘𝜉+𝜙))

(4.1.23)

1𝐵

𝑘𝜉sin(𝑘𝜉+𝜙)+6cos(2(𝑘𝜉+𝜙))−1)−38

2

然后仍为了消除其中的长期项，再使用重正规化方法。引入新的变量：

𝜂=Ω𝜉

Ω=𝑘+𝛼Ω1+𝛼2Ω2+𝛼3Ω3+···

由式(4.1.24)代入式(4.1.25)得到

𝑘𝜉=𝜂−

𝜂Ω1

𝛼+𝜂𝑘

(︂

Ω1Ω2

−𝑘2𝑘

2

(4.1.24)(4.1.25)

)︂

𝛼2+···

(4.1.26)

然后将式(4.1.26)代入式(4.1.23)后，进行泰勒展开为𝛼的幂级数

1𝑢(𝜂)=𝐵(𝜂+𝜙)+𝛼((Ω−𝑘3𝐵2𝑘2

)𝐵𝜂8Ω1

sin(𝜂+𝜙)+

(4.1.27)

𝐵2𝑘2𝐵

(32Ω1

1

cos(3(𝜂+𝜙))+6cos(2(𝜂+𝜙))−1))2-35-

非线性偏微分方程几种解法的研究

然后消除式(4.1.27)中的非线性项

√Ω1=

63𝑘2𝐵4

(4.1.28)

最后由式(4.1.24)∼(4.1.28)得到在强非线性条件下非线性分数阶Klein-Gordon方程的一级近似解。

𝑢(𝜂)=𝐵(𝜂+𝜙)+

23√

6𝑘𝛼𝐵cos(3(𝜂+𝜙))+cos(2(𝜂+𝜙))−(︁)︁√

6𝑘𝜂=1+4𝐵𝑘𝜉

32(︀𝐵

1612)︀

(4.1.29)(4.1.30)

其中𝜉,𝛼分别由式(4.1.2)及式(4.1.19)给出。同时，𝐵,𝜙由初边值条件确定。

S4.2线化和校正方法

上文在利用重正规化法求非线性分数阶Klein-Gordon方程的一级近似解过程中需要分别考虑大参数和小参数情况，然后分别进行求解。而现在直接采用线化和校正方法得到非线性分数阶Klein-Gordon方程的一级近似解，这里的𝜀将不再受小参数条件的，即0≤𝜀<+∞。

首先式(4.1.5)代入式(4.1.3)得到

(︀d223)︀22

𝑢(𝜉)+𝑘𝑢(𝜉)+𝜀𝑘𝑢(𝜉)+𝑢(𝜉)=0d𝜉2

然后对式(4.2.1)进行变换

(︀d223)︀22

𝑢(𝜉)+𝛽𝑢(𝜉)+𝜀𝑘𝑢(𝜉)+𝑢(𝜉)−𝛾𝑢(𝜉)=0d𝜉2

其中𝛽2=𝑘2+𝛾。再令

𝑢(𝜉)=𝑢0(𝜉)+𝑢1(𝜉)

然后考虑|𝑢1|≪|𝑢0|的情况，即𝑢1是𝑢0的校正项。再将式(4.2.3)代入式(4.2.2)后可近似得到

(︀d223)︀22

(𝑢0(𝜉)+𝑢1(𝜉))+𝛽(𝑢0(𝜉)+𝑢1(𝜉))+𝜀𝑘𝑢0(𝜉)+𝑢0(𝜉)−𝛾𝑢0(𝜉)=0(4.2.4)d𝜉2

并设𝑢0(𝜉)=𝐶cos(𝛽𝜉+𝛿)，然后将𝑢0代入式(4.2.4)后整理化简得到

d𝜉22

2

(4.2.1)

(4.2.2)

(4.2.3)

d2

𝑢1(𝜉)+𝛽2𝑢1(𝜉)+

(︁

3𝜀𝑘2𝐶3

4−𝛾𝐶cos(𝛽𝜉+𝛿)

𝜀𝑘2𝐶2

2)︁

+𝜀𝑘2𝐶cos(2(𝛽𝜉+𝛿))+

𝜀𝑘2𝐶3

4cos(3(𝛽𝜉+𝛿))+=0(4.2.5)

-36-

宁波大学硕士学位论文

再消除上式中的长期项

3𝜀𝑘2𝐶2𝛾=

4

因此得到该方程的一级近似解为

𝐶2𝜀𝑘2𝛽2(4.2.6)

𝑢(𝜉)=𝐶cos(𝛽𝜉+𝛿)+

cos(3(𝛽𝜉+𝛿))+1cos(2(𝛽𝜉+𝛿))−326√︁√︀2

𝛽=𝑘2+𝛾=1+3𝜀𝐶𝑘4(︀𝐶

1

2)︀

(4.2.7)(4.2.8)

最后再拿上述结果与前文中弱非线性情况下的重正规化结果进行比较。先对式(4.2.8)进行泰勒展开

√︂𝛽=

3𝜀𝐶2

1+𝑘=

4

(︂)︂

329241+𝜀𝐶−𝜀𝐶+···𝑘

8128

(4.2.9)

在𝜀的一级近似下与式(4.1.18)结果相同。然后再对式(4.1.17)、式(4.1.29)和式(4.2.7)分别进行泰勒展开。由式(4.1.17)得到

𝑢(𝜉)=𝐴cos(𝑘𝜉+𝜑)

(︂)︂

3𝐴11𝐴

+𝜀𝐴2cos(3(𝑘𝜉+𝜑))−𝑘𝜉sin(𝑘𝜉+𝜑)+cos(2(𝑘𝜉+𝜑))−

32862

)︂(4.2.10)(︂

9𝐴sin(𝑘𝜉+𝜑)𝑘𝜉19𝐴22

−𝜀2𝐴4+𝑘𝜉sin(2(𝑘𝜉+𝜑))+𝑘𝜉cos(𝑘𝜉+𝜑)

2568128+···

由式(4.1.29)得到

𝑢(𝜉)=𝐵cos(𝑘𝜉+𝜙)

(︂)︂

311𝐵

+𝜀𝐵2cos(3(𝑘𝜉+𝜙))−𝐵𝑘𝜉sin(𝑘𝜉+𝜙)+cos(2(𝑘𝜉+𝜙))−

32862(︂(︂)︂

9𝑘𝜉𝐵2123

+𝜀𝐵−sin(3(𝑘𝜉+𝜙))+𝑘𝜉cos(𝑘𝜉+𝜙)𝐵2

1282

(︃√)︃√(4.2.11)136𝑘𝜉6𝑘+sin(𝑘𝜉+𝜙)−𝑘𝜉sin(2(𝑘𝜉+𝜙))−cos(3(𝑘𝜉+𝜙))𝐵8416𝑘√︂(︂)︂)︃611−cos(2(𝑘𝜉+𝜙))−

𝑘248+···

-37-

非线性偏微分方程几种解法的研究

由式(4.2.7)得到

𝑢(𝜉)=𝐶cos(𝑘𝜉+𝛿)

(︂)︂𝐶311

+𝜀𝐶2cos(3(𝑘𝜉+𝛿))−𝐶𝑘𝜉sin(𝑘𝜉+𝛿)+cos(2(𝑘𝜉+𝛿))−

32862{︂{︂9𝐶1

+𝜀2𝐶4𝑘𝜉sin(𝑘𝜉+𝛿)−𝑘2𝜉2cos(𝑘𝜉+𝛿)−𝑘𝜉sin(3(𝑘𝜉+𝛿))(4.2.12)

1282

}︂}︂

11

−cos(3(𝑘𝜉+𝛿))+(3−𝑘𝜉sin(2(𝑘𝜉+𝛿))−cos(2(𝑘𝜉+𝛿)))38+···

从式(4.2.10)∼(4.2.12)中能够观察到三者在𝜀一级近似情况下相等。

S4.3本章小结

针对非线性分数阶Klein-Gordon方程，本章先分别在强弱非线性条件下用重正规化法求解了其一级近似解析解。然后再无需考虑非线性强弱下，通过线性与校正方法求出了该方程的一级近似解析解。最后将不同情况下所得的三个解进行泰勒展开并比较，发现其在一级近似下相等。

-38-

宁波大学硕士学位论文

第五章

S5.1

总结与展望

全文总结

本文针对于非线性偏微分方程的若干求解方法进行创新与推广。首先对于函数展开法，本文以(𝐺′/𝐺2)-展开法和(𝐹/𝐺)-展开法为例分别求解了(2+1)-维BKK方程与(2+1)-维分数阶NNV方程。在求解过程中，通过对展开项幂次数进行对称延拓到负幂次项，以及将空间变量和时间变量进行彻底的完全分离使得解的形式极大的扩展，这是以往文献所没做到的。并且给出了它们的各种特殊结构激发模式。尤其是(2+1)-维分数阶NNV方程的十字型分形结构解，这是通过孤立子方程中制造出十字形分形结构的激发模式而将分数维与分形联系在一起的首次尝试。此外，从函数展开法的求解过程中可以看出究其展开法的本质就是用已知解的微分方程中的高阶导数与低阶导数的关系，将已知方程的低阶项不断的去替换待求方程的高阶导数项，以达到降阶的目的。因此如果找到更多形式的已知解的微分方程，再配合对称延拓以及变量分离，就会有新的形式的展开法及其可能的分离变量解。

此外，非线性偏微分方程在通常情况下不能满足解的叠加原理，所以为了研究解的相互作用，就必须将非线性偏微分方程化为双线性形式方程，在该形式下才能完成解的叠加。本文通过该方法探究了不同类型解的相互作用，在广义(3+1)-维浅水波方程中，先将其进行双线性化，然后在双线性形式下将Lump型有理函数解与呼吸子解进行组合叠加，揭示了Lump孤子被呼吸子的吞噬的原因。并且还在(2+1)-维Sawada-Kotera方程中通过Lump型孤子解与单孤子解叠加探究其相互作用中所显示出来的粒子性特征(碰撞、反弹、)，这正说明孤立子作为一种准粒子，具有能量，动量等粒子特征量。而在以往的文献[37,82,83]中，只是简单的将Lump型孤子解和exp(𝑘1𝑥+𝑘2𝑦+𝑘3𝑡)简单相加，其中都是还没有确定的任意常数。所以结果也只是出现条纹孤子吞噬Lump型孤子的现象。然后本文还探究了Lump型孤子解在双条纹孤子解的作用下，成为了具有瞬态性的新型怪波(共振怪波)，解释了形成这种新型怪波的原因。并且还研究了这种新型怪波的轨迹方程，存在时间，这对怪波的预测具有一定的指导意义。之后我们还引入有效面积、有效体积的概念，计算出这种新型怪波的有效面积、有效体积。

最后，在求解方程的近似解析解方面，本文先利用分数阶复变换技巧将非线性分数阶Klein-Gordon方程转化为非线性常微分方程，然后用重正规化方法分别求解非线性分数阶Klein-Gordon方程在强、弱非线性的一级解析近似解。以及无需考虑参数大小的情况下，用线化和校正方法求得了方程的一级近似解析解。最后将不同情况下所得的三个解进行泰勒展开并比较,发现其在一级近似下相等。作为一次尝试与探索，本文丰富了非

-39-

非线性偏微分方程几种解法的研究

线性分数阶偏微分方程的求解技巧。对于同类型非线性整数阶偏微分方程的求解也是具有一定的指导作用。

S5.2今后的相关工作

本文虽然对若干求解非线性偏微分方程(孤立子方程)的方法进行扩展与推广，但是还存在一些明显的不足：对于函数展开法，目前相关方面的研究几乎都是设解的表达式向整数幂次展开，而对向分数幂次展开却没有进行很好的研究。同时，对于双线性导数法来说，在上文中没有对Lump型孤子与单孤子解相互作用下所呈现出来的粒子性特征，做仔细和全面的解释，同时也没有运用该方法探究其它形式的解的组合以及它们之间的相互作用。此外，对于重正规化方法，一般运用求解普通的二阶振动方程，而对于其它倍数阶导数都存在的分数阶偏微分方程还无法直接运用。因此在今后的研究过程中针对上述不足将进行完善，同时对于其它的求解非线性偏微分方程的方法也将进行再次发展与创新。

-40-

宁波大学硕士学位论文

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非线性偏微分方程几种解法的研究

在校研究成果

一、发表的论文

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[2]孟勇.(2+1)-维5阶KdV方程的相互作用解[J].巢湖学院学报,2018,20(6):30-41.[3]孟勇.Maple动画在力学教学中的应用[J].物理通报,2019,38(6):8-12.二、待发表的论文

[1]孟勇.广义(3+1)-维浅水波方程的相互作用解[J].中国科学技术大学学报.[2]孟勇.新型怪波的预测[J].中国科学技术大学学报.[3]孟勇.摆球运动的仿真设计[J].大学物理.

[4]孟勇.基于Maple对Alpha粒子散射实验的仿真设计[J].大学物理实验.三、待接受的论文

[1]孟勇.Maple动画在理论力学教学中的应用[J].广西物理.[2]孟勇.基于Maple对振动问题的仿真设计[J].广西物理.

[3]孟勇.基于Maple软件对波的叠加原理的应用仿真[J].大学物理实验.

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宁波大学硕士学位论文

致谢

三年硕士研究生时光转眼即逝，感慨万千，仿佛一切都才刚刚开始，可明明什么都没怎么做，却要那么急着结束。三年来，谢谢恩师楼森岳教授带领本人进入研究非线性偏微分方程的大门，以及谢谢贾曼老师和李彪老师告诉本人关于数学软件Maple的一些使用方法及关于论文投稿的相关知识。同时感谢室友们平时对本人在科研以及日常生活中的多方关心与照顾。还要感谢张大夫在本人生病受伤时给予的帮助与建议。更感谢父母对本人多年的支持与帮助，使得本人能顺完成学业。此外，特别致谢王惠惠女士给与本人的关爱。

最后由衷感谢宁波这片土地对本人这三年来的培养，使得本人完成了一场宁波的修行，从而才可以：

致那个才能有限的我。致那个被拒稿千万次的我。谢那个同时又有着血性的我。谢那个没有才能就练出才能的我。谢那个一切都靠自己打拼出来的我。谢那个从始至终只想踏上回家之路的我。

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