陕西省2017年中考数学真题试卷和答案

陕西省 2017 年中考数学真题试卷和答案

一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）。 1．计算：（﹣ ）﹣1=（ A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．0

2．如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是 （

）

2

）

A． B． C．

D．

3．若一个正比例函数的图象经过

A（ 3，﹣ 6），B（m，﹣ 4）两点，则 m 的值为

（

） B．8

C．﹣ 2 D．﹣ 8

A．2

4．如图，直线 a∥b，Rt△ ABC的直角顶点 B 落在直线 a 上，若∠ 1=25°，则∠ 2 的大小为（

）

A．55°B．75°C．65°D．85° 5．化简：

﹣

，结果正确的是（

）

A．1 C．

B． D．x+y

2

2

6．如图，将两个大小、形状完全相同的△ ABC 和△ A′ B′拼C在′一起，其中点 A′

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与点 A 重合，点 C′落在边 AB 上，连接 B′C．若∠ ACB=∠AC′B′=90，°AC=BC=3，则

B′C的长为（

）

A．3

B．6 C．3 D．

7．如图，已知直线 l1：y=﹣2x+4 与直线 l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点 M．若

直线 l2 与 x 轴的交点为 A（﹣ 2，0），则 k 的取值范围是（

）

A．﹣ 2＜ k＜ 2 B．﹣ 2＜ k＜ 0 C． 0＜ k＜4 D． 0＜ k＜ 2

8．如图，在矩形 ABCD中， AB=2， BC=3．若点 E 是边 CD的中点，连接

AE，过

点 B 作 BF⊥AE 交 AE于点 F，则 BF的长为（

）

A．

B． C． D．

9．如图，△ ABC是⊙ O 的内接三角形，∠ C=30°，⊙O 的半径为 5，若点 P 是⊙ O

上的一点，在△ ABP中， PB=AB，则 PA的长为（

）

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A．5

B． C．5

2

D．5

10．已知抛物线 y=x﹣ 2mx﹣（4 m＞0）的顶点 M 关于坐标原点 O 的对称点为 M′，

若点 M′在这条抛物线上，则点 M 的坐标为（

）

D．（ 4，﹣ 20）

A．（1，﹣ 5） B．（3，﹣ 13） C．（2，﹣ 8）

二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）。

11．在实数﹣ 5，﹣

，0，π， 中，最大的一个数是 ．

12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．

A．如图，在△ ABC中， BD 和 CE是△ ABC的两条角平分线．若∠ A=52°，则∠ 1+

∠ 2 的度数为

．

．（结果精确到 0.01）

B.

tan38 ° 15≈′

．已知 ， 两点分别在反比例函数 13 A B y=

（ m≠0）和 y=

（ m≠ ）的图

象上，若点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则 m 的值为

．

14．如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ BAD=∠BCD=90°，连接 AC．若 AC=6， 则四边形 ABCD的面积为

．

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三、解答题：

15．（ 5 分）计算：（﹣ 16．（ 5 分）解方程：

）× ﹣

+| ﹣ 2| ﹣（ ） ． =1．

﹣

1

17．（ 5 分）如图，在钝角△ ABC中，过钝角顶点 B 作 BD⊥BC交 AC 于点 D．请 用尺规作图法在 BC边上求作一点 P，使得点 P 到 AC的距离等于 BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（ 5 分）养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学

为了了解七年级学生的早锻炼情况， 校政教处在七年级随机抽取了部分学生， 并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间 x（分钟）进行了调查．现把调查结果分成 A、B、C、D 四组，如下表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

（ 1）补全频数分布直方图和扇形统计图；

（ 2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在

区间内；

（ 3）已知该校七年级共有 1200 名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于 20 分钟．（早锻炼：指学生在早晨 7：00～7：40 之间的锻炼）

19．（7 分）如图，在正方形 ABCD中，E、F 分别为边 AD 和 CD 上的点，且 AE=CF，

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连接 AF、CE交于点 G．求证： AG=CG．

20．（7 分）某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为 “乡思柳 ”，不乘船

不易到达，每年初春时节，人们喜欢在 “聚贤亭 ”观湖赏柳．小红和小军很想知道

“聚贤亭 ”与 “乡思柳 ”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺

来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在

“聚贤亭 ”的 A 处，用侧

倾器测得 “乡思柳 ”顶端 M 点的仰角为

23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度

AB 为 1.7 米，然后，小军在 A 处蹲下，用侧倾器测得 “乡思柳 ”顶端 M 点的仰角 为 24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度 AC 为 1 米．请你利用以上测得的数据，计算 “聚贤亭 ”与“乡思柳 ”之间的距离 AN 的长（结果精确到 1 米）．（参考数据： sin23 °≈ 0.3907， cos23°≈ 0.9205， tan23 °≈0.4245， sin24 ≈°0.4067，cos24° ≈ 0.9135， tan24 °≈0.4452．）

21．（ 7 分）在精准扶贫中，某村的李师傅在县的扶持下，去年下半年，他

对家里的 3 个温室大棚进行修整改造，然后， 1 个大棚种植香瓜，另外 2 个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收， 现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完， 他高兴地说： “我的日子终于好了 ”．

最近，李师傅在扶贫工作者的指导下， 计划在农业合作社承包

5 个大棚，以后就

用 8 个大棚继续种植香瓜和甜瓜， 他根据种植经验及今年上半年的市场情况， 打算下半年种植时， 两个品种同时种， 一个大棚只种一个品种的瓜， 并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：

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品种

产量（斤 / 每棚） 销售价（元 / 每斤）

成本（元 / 每棚）

项目

香瓜

2000 4500

12 3

8000 5000

甜瓜

现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为

x 个，明年上半年 8 个大棚中所产

的瓜全部售完后，获得的利润为

y 元．

根据以上提供的信息，请你解答下列问题：

（ 1）求出 y 与 x 之间的函数关系式；

（ 2）求出李师傅种植的 8 个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于 10 万元．

22．（7 分）端午节 “赛龙舟，吃粽子 ”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为 A），豆沙粽子（记为 B），肉粽子（记为 C），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈

给一个白盘中放入了两个红枣粽子， 一个豆沙粽子和一个肉粽子； 给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．根据以上情况，请你回答下列问题：

（ 1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？ （ 2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子， 请用列表法或画树状图的方法， 求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．

23．（ 8 分）如图，已知⊙ O 的半径为 5，PA是⊙ O 的一条切线，切点为 A，连接PO并延长，交⊙ O 于点 B，过点 A 作 AC⊥PB 交⊙ O 于点 C、交 PB 于点 D，连接BC，当∠ P=30°时，

（ 1）求弦 AC的长； （ 2）求证： BC∥PA．

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24．（10 分）在同一直角坐标系中，抛物线 C1：y=ax﹣2x﹣ 3 与抛物线 C2：

2

y=x+mx+n关于 y 轴对称， C2 与 x 轴交于 A、 B 两点，其中点 A 在点 B 的左侧．

2

（ 1）求抛物线 C1， C2 的函数表达式； （ 2）求 A、B 两点的坐标；

（ 3）在抛物线 C1 上是否存在一点 P，在抛物线 C2 上是否存在一点 Q，使得以 AB

为边，且以 A、B、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P、

Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（ 12 分）问题提出

（ 1）如图①，△ ABC是等边三角形， AB=12，若点 O 是△ ABC的内心，则 OA 的

长为

；

问题探究

（ 2）如图②，在矩形 ABCD中， AB=12，AD=18，如果点 P 是 AD 边上一点，且

AP=3，那么 BC边上是否存在一点 Q，使得线段 PQ 将矩形 ABCD的面积平分？若

存在，求出 PQ 的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（ 3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ ABM 草地和弦 AB 与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在 M 处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水， 并且在用喷灌龙头浇水时， 既要能确保草坪的每个角落都能浇上水， 又能节约用水， 于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠ AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由 MA 转到 MB，然后再转回，这样往复喷灌．）

同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出 AB=24m， MB=10m，△ AMB 的面积为 96m；过弦 AB 的中点 D 作 DE⊥ AB 交 于点 E，又测得 DE=8m．

2

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请你根据以上信息， 帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，

才能实现他

的想法？为什么？（结果保留根号或精确到

0.01 米）

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答案

一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）。 1．C

2．B．

3．A．

4．C．

5．B

6．A．

7．解：∵直线 l2 与 x 轴的交点为 A（﹣ 2，0），

∴﹣ 2k+b=0，

∴

解得

∵直线 l1： y=﹣2x+4 与直线 l2：y=kx+b（k≠0）的交点在第一象限，

＞

∴

＞

解得 0＜k＜2．

故选： D．

8．解：如图，连接 BE．

∵四边形 ABCD是矩形，

∴ AB=CD=2，BC=AD=3，∠ D=90°，

在 Rt△ADE中， AE=

= = ，

∵ S△ ABE= S 矩形 ABCD=3= ?AE?BF， ∴ BF=．

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9．解：连接 OA、 OB、 OP，

∵∠ C=30°，

∴∠ APB=∠C=30°，

∵ PB=AB，

∴∠ PAB=∠APB=30°

∴∠ ABP=120°，

∵ PB=AB，

∴ OB⊥AP，AD=PD， ∴∠ OBP=∠OBA=60°，

∵ OB=OA，

∴△ AOB是等边三角形，

∴ AB=OA=5，

则 Rt△PBD中， PD=cos30°?PB= × 5= ，

∴ AP=2PD=5 ， 故选 D．

2

2

2

2

10．解： y=x ﹣2mx﹣ 4=x ﹣2mx+m ﹣m ﹣4=（x﹣m）∴点 M′（﹣ m， m2

+4）．

∴ m2+2m2﹣4=m2

+4． 解得

m=±2． ∵ m＞0， ∴ m=2．

∴ M（2，﹣ 8）．

二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）。

11．π．

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2

2

m ﹣4．

﹣

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12．解： A、∵∠ A=52°，

∴∠ ABC+∠ACB=180°﹣∠ A=128°，

∵ BD平分∠ ABC、CE平分∠ ACB， ∴∠ 1= ∠ABC、∠ 2= ∠ACB，

则∠ 1+∠ 2= ∠ABC+ ∠ ACB= （∠ ABC+∠ACB）=°，

B、

tan38 ° 15≈′2.5713×0.7883≈2.03，

13．解：设 A（a， b），则 B（ a，﹣ b）， 依题意得：

，

所以

=0，即 5m﹣ 5=0，

解得 m=1．

14．解：如图，作 AM⊥BC、AN⊥CD，交 CD的延长线于点∵∠ BAD=∠BCD=90°

∴四边形 AMCN 为矩形，∠ MAN=90°；

∵∠ BAD=90°，

∴∠ BAM=∠DAN；

在△ ABM 与△ ADN 中，

，

∴△ ABM≌△ ADN（ AAS），

∴ AM=AN（设为 λ）；△ ABM 与△ ADN 的面积相等；

∴四边形 ABCD的面积 =正方形 AMCN 的面积；

2 2 2

由勾股定理得： AC=AM +MC ，而 AC=6；

∴ 2λ ， λ

2 2 ，

=36 =18

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；

N

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三、解答题

15．（ 5 分）解：原式 =﹣

+2﹣ ﹣2

=﹣2

﹣

=﹣3

16．（ 5 分）解：去分母得，（x+3）2

﹣2（x﹣ 3）=（x﹣ 3）（x+3），去括号得， x2+6x+9﹣ 2x+6=x2

﹣9，

移项，系数化为 1，得 x=﹣6，

经检验， x=﹣6 是原方程的解．

17．（ 5 分）解：如图，点 P 即为所求．

18．（ 5 分）解：（ 1）本次调查的总人数为

10÷5%=200，

则 20～ 30 分钟的人数为 200× 65%=130（人）， D 项目的百分比为 1﹣（ 5%+10%+65%）=20%，

补全图形如下：

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（ 2）由于共有 200 个数据，其中位数是第 100、101 个数据的平均数，

则其中位数位于 C 区间内， 故答案为： C；

（ 3） 1200×（ 65%+20%）=1020（人）， 答：估计这个年级学生中约有

1020 人一天早锻炼的时间不少于 20 分钟．

19．（ 7 分）证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠ ADF=CDE=90°， AD=CD．

∵ AE=CF， ∴ DE=DF，

在△ ADF和△ CDE中

，

∴△ ADF≌△ CDE（SAS），

∴∠ DAF=∠DCE，

在△ AGE和△ CGF中，

，

∴△ AGE≌△ CGF（AAS），

∴ AG=CG．

20．（ 7 分）解：如图，作 BD⊥MN， CE⊥MN，垂足分别为点 D、 E，

设 AN=x米，则 BD=CE=x米，

在 Rt△MBD 中， MD=x?tan23°，在 Rt△MCE中， ME=x?tan24°，

∵ ME﹣ MD=DE=BC，

∴ x?tan24 °﹣ x?tan23 °=1﹣.71， ∴ x=

，解得 x≈34（米）．

答： “聚贤亭 ”与“乡思柳 ”之间的距离 AN 的长约为 34 米．

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21．（ 7 分）解：（ 1）由题意得，

y=（2000× 12﹣ 8000）x+（4500×3﹣5000）（ 8﹣ x）

=7500x+68000，

（ 2）由题意得， 7500x+6800≥100000，

∴ x≥4 ，

∵ x 为整数，

∴李师傅种植的 8 个大棚中，香瓜至少种植 5 个大棚．

22．（ 7 分）解：（ 1）由题意可得，

小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是：

= ，即小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是

；

（ 2）由题意可得，出现的所有可能性是： （ A， A）、（A，B）、（A， C）、（A，C）、 （ A， A）、（A，B）、（A， C）、（A，C）、 （ B， A）、（B，B）、（B，C）、（ B， C）、 （ C， A）、（C，B）、（C，C）、（ C， C），

∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是：23．（ 8 分）解：（ 1）连接 OA，

∵ PA是⊙ O 的切线， ∴∠ PAO=90°

∵∠ P=30°，

∴∠ AOD=60°，

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．

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∵ AC⊥PB，PB 过圆心 O， ∴ AD=DC

在 Rt△ODA 中， AD=OA?sin60°=

∴ AC=2AD=5

（ 2）∵ AC⊥ PB，∠

P=30°， ∴∠ PAC=60°，

∵∠ AOP=60° ∴∠ BOA=120°， ∴∠ BCA=60°，

∴∠ PAC=∠BCA

∴ BC∥PA

24．（ 10 分）解：

（ 1）∵ C1、C2 关于 y 轴对称，

∴ C1 与 C2 的交点一定在 y 轴上，且 C1 与 C2 的形状、大小均相同， ∴ a=1，n=﹣ 3， ∴ C1 的对称轴为 x=1， ∴ C2 的对称轴为 x=﹣ 1， ∴ m=2，

∴ C1 的函数表示式为 y=x﹣2x﹣ 3， C2 的函数表达式为 y=x+2x﹣3；

（ 2）在 C2 的函数表达式为 y=x+2x﹣ 3 中，令 y=0 可得 x+2x﹣3=0，解得 x=﹣3

2

2

2

2

或 x=1，

∴ A（﹣ 3，0）， B（ 1，

0）；（ 3）存在．

∵ AB的中点为（﹣ 1，0），且点 P 在抛物线 C1 上，点 Q 在抛物线 C2 上，

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∴ AB只能为平行四边形的一边， ∴ PQ∥AB 且 PQ=AB，

由（ 2）可知 AB=1﹣（﹣ 3） =4，

∴ PQ=4，

设 P（t ， t ﹣2t﹣3），则 Q（ t+4，t﹣2t﹣3）或（ t﹣ 4， t ﹣2t ﹣3），

222

①当 Q（t+4，t ﹣ 2t﹣3）时，则 t﹣2t﹣ 3=（t+4）+2（t+4）﹣3，解得 t=﹣ 2，

222

∴ t﹣2t﹣3=4+4﹣3=5， ∴ P（﹣ 2，5）， Q（ 2，5）；

②当 Q（t ﹣4，t﹣2t﹣3）时，则 t ﹣ 2t﹣3=（t ﹣4）+2（t﹣ 4）﹣3，解得 t=2，

2

2

2

2

∴ t﹣2t﹣3=4﹣ 4﹣3=﹣3， ∴ P（﹣ 2，﹣ 3），Q（2，﹣ 3），

综上可知存在满足条件的点

P、Q，其坐标为 P（﹣ 2，5），Q（2，5）或 P（﹣ 2，

2

﹣ 3），Q（2，﹣ 3）．

25．（ 12 分）解：（1）如图 1，过 O 作 OD⊥ AC于 D，则 AD= AC= × 12=6，

∵ O 是内心，△ ABC是等边三角形，

∴∠ OAD= ∠BAC= ×60°=30°，

在 Rt△AOD 中， cos∠OAD=cos30°= ， ∴ OA=6÷ =4 ，

故答案为： 4

；

（ 2）存在，如图 2，连接 AC、BD 交于点 O，连接 PO 并延长交 BC 于 Q，则线段

PQ 将矩形 ABCD的面积平分， ∵点 O 为矩形 ABCD的对称中心，

∴ CQ=AP=3，

过 P 作 PM⊥ BC于点，则 PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12， 由勾股定理得： PQ=

=

=12 ；

（ 3）如图 3，作射线 ED交 AM 于点 C ∵ AD=DB， ED⊥AB，

是劣弧，

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∴

所在圆的圆心在射线 DC上，

假设圆心为 O，半径为 r，连接 OA，则 OA=r，OD=r﹣8，AD= AB=12，

在 Rt△AOD 中， r=12+（r ﹣8）， 解得： r=13， ∴ OD=5，

过点 M 作 MN⊥ AB，垂足为 N，

∵ S△ ABM=96，AB=24， ∴ AB?MN=96，

222

×24×MN=96，

∴ MN=8，NB=6，AN=18，

∵ CD∥MN，

∴△ ADC∽△ ANM， ∴

， ，

∴

∴ DC= ，

∴ OD＜ CD，

∴点 O 在△ AMB 内部，

∴连接 MO 并延长交

于点 F，则 MF 为草坪上的点到 M 点的最大距离，

∵在

上任取一点异于点 F 的点 G，连接 GO，GM，

∴ MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即 MF＞MG，

过 O 作 OH⊥ MN，垂足为 H，则 OH=DN=6， MH=3，

∴ OM=

= =3 ，

∴ MF=OM+r=3 +13≈19.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为 19.71 米．

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