2022四川省高三上学期数学(理)期末考试试题 (3)

高三期末考试

数学（理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页. 全卷满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1.已知全集UR,A{x|0x2}，B{x|x1}，则AU(CUB)

A．(0,1) B．(0,) C．(,1) D．(,2) 2.若复数zi(1i)，则z的共轭复数是

A. 1i B. 1i C.1i D.1i

223.x展开式中的常数项为

xA. 6 B.8 C. 12 D. 24

42xy44.已知实数x,y满足x2y4，则z3x2y的最小值是

y0A．4 B．5 C. 6 D．7

5.执行如图所示的程序框图，若输入t1,3，则输出s的取值范围是

22e,1eA． B． C. D．1,e01，,e

6.甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是

A．吉利，奇瑞 B．吉利，传祺 C. 奇瑞，吉利 D．奇瑞，传祺 7．在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角

的余弦值为

最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

1A．

5 B．5 6 C．5 5 D．2 28．若f(x)cosxsinx在[a,a]是减函数，则a的最大值是

A．

π 4 B．

π 2 C．

3π 4

D．π

9．已知alog2e，bln2，clog121，则a，b，c的大小关系为 3 C.cba

D.cab

A. abc

2 B. bac

1y21的左焦点F作圆C:x2(y3)2的切线，此切线与M的10.过双曲线M:x23左支、右支分别交于A，B两点，则线段AB的中点到x轴的距离为 A． 2 B．3 C. 4 D．5 11.将函数ysin2x3cos2x的图象向左平移(0的图象.若fx在(2)个单位长度后得到fx,)上单调递减，则的取值范围为 4255] D．[,] A．[,] B．[,] C. [,32623126122x212.已知函数f(x)(xR)满足f(2x)4f(x4)，若函数y与yf(x)图

x3像的交点为(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym),则

(xy)（ ）

iii1mA.3m B.5m C.6m D.10m

Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a(4,2)，b(x,1)，若a//b，则|ab| ▲ ．

14．已知在ABC中，a3,b1且bcosCccosB，则ABC的面积为 ▲ ．

最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

1)，且P(3)0.968，则P(13) 15.已知离散型随机变量服从正态分布N~(2，▲ ．

MN为球O16.已知球O是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，

的一条直径，点P为正八面体表面上的一个动点，则PMPN的取值范围是 ▲ ．

三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

18.（本大题满分12分）

如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA2sin(AB)，它的面积S572c 16（Ⅰ）求sinB的值；

（Ⅱ）若D是BC边上的一点，cosADB

最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

3BD，求的值. 4DC

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥中PABCD，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，ADC90，平面

PAD底面ABCD，PAPD，AD2BC.

（Ⅰ）判断平面PBC与平面PCD是否垂直，并给出证明；

（Ⅱ）若PA2，BC1，CD3，求二面角APBC的余弦值.

20.（本小题满分12分）

x2y2椭圆E:221(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，MF2x轴，直线MF1交yab轴于H点，OH2，Q为椭圆E上的动点，F1F2Q的面积的最大值为1. 4（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过点S(4,0)作两条直线与椭圆E分别交于A、B、C、D，且使ADx轴，如图，问四边形ABCD的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

21. （本小题满分12分）

最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

已知函数fxln1+xln1x.

（Ⅰ）讨论函数Fxfxaxa0的单调性；

（Ⅱ）若fxk(x33x)对x0,1恒成立，求k的取值范围.

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的参数方程是求l的斜率．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数f(x)5|xa||x2|．

（1）当a1时，求不等式f(x)0的解集； （2）若f(x)1，求a的取值范围．

xtcos（t为参数）, l与C交于A,B两点，|AB|10，

ytsin最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

数学（理）试题答案

一．选择题（每小题5分，共12题，共60分） 1.D 2.C 3.D 4. C 5.C 6.A 7.C 二、填空题

13.5 14.

8.A

9.A 10.B 11.D 12.B

43 15.0.936 16. [0,]

3417.（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．

3kCk4C3（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，

C372，3）．

所以，随机变量X的分布列为

X P 0 1 351 12 352 18 353 4 35随机变量X的数学期望E(X)011218412123． 353535357（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=以，事件A发生的概率为

6． 76．所718.解：（Ⅰ）因为sinA2sin(AB). 所以sinA2sinC. 由正弦定理得，a2c， 因为S1572acsinBc2sinBc， 21657； 1673，所以tanADB. 34所以sinB（Ⅱ）因为cosADB最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

在△ABD中，由正弦定理得：

ADAB5，所以ADc sinBsinADB455c333由余弦定理得：c2(c)2BD22BD.所以BDc或c，

4442831BD因为D是BC边上的一点，所以BDc，因为a2c，所以CDc，所以3.

22DC19.解：（Ⅰ）平面PBC与平面PCD不垂直. 证明如下： 假设平面PBC平面PCD 过点B作BQPC于Q

∵平面PBC平面PCD，平面PBC平面PCDPC ∴BQ平面PCD ∴BQCD

在直角梯形ABCD中，由ADC90，AD//BC知BCCD 又∵BQBCB

∴ CD平面PBC，故CDPC ∵ 平面PAD底面ABCD，平面PAD∴ CD平面PAD∴ CDPD

在PCD中，不可能有两个直角，所以假设不成立 （Ⅱ）设AD的中点为O，连接PO，OB ∵PAPD∴POAD

∵平面PAD底面ABCD，平面PAD∴PO底面ABCD

∵在直角梯形ABCD中，ADC90，AD2BC∴OBAD

以OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz ∵PA2，BC1，CD底面ABCDAD

底面ABCDAD，CDAD

3

∴A(1,0,0)，B(0,3,0)，C(1,3,0)，P(0,0,3)

∴AP(1,0,3)，AB(1,3,0)，BP(0,3,3)，BC(1,0,0)

最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

设平面PAB的法向量为n1(x,y,z)

n1APx3z0由， 取n1(3,1,1) n1ABx3y0同理可得平面PBC的法向量n2(0,1,1)

∴cosn1,n2n1n2|n1||n2|25210. 5由图形可知，所求二面角为钝角 ∴二面角APBC的余弦值10 5c2y2b220.解：（Ⅰ）设F(c,0)，由题意可得221，即yM.

aba∵OH是F1F2M的中位线，且OH2， 42b22∴|MF2|，即，整理得a22b4.① 2a2又由题知，当Q在椭圆E的上顶点时，F1F2M的面积最大， ∴

12cb1，整理得bc1，即b2(a2b2)1，② 26422242联立①②可得2bb1，变形得(b1)(2bb1)0，解得b1，进而a2.

x2y21. ∴椭圆E的方程式为2(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由对称性可知D(x1,y1)，B(x2,y1). 设直线AC与x轴交于点(t,0)，直线AC的方程为xmyt(m0)，

xmyt222联立x2，消去，得(m2)y2mtyt20， x2y12t222mt∴y1y22，y1y22，

m2m2最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

由A、B、S三点共线kASkBS，即

y1y2， x14x24将x1my1t，x2my2t代入整理得y1(my2tt)y2(my1t4)0，

2m(t22)2mt(t4)0，即2my1y2(t4)(y1y2)0，从而化简得2m(4t2)0，2m2111，于是直线AC的方程为xmy， 故直线AC过定点(,0).同理可得BD2221过定点(,0)，

21

∴直线AC与BD的交点是定点，定点坐标为(,0).

2

解得t11ax2a2a21.解：（1）F'x1x1， 1x1x1x2当2a0时，F'x0，∴Fx在1,1上单调递增.

当a0时，F'x0，故当2a0或a0时，Fx在1,1上单调递增. 当a2时，令F'x0，得1xa2a2或x1； aa令F'x0，得a2a2. xaa∴Fx在(a2a2a2a2,)上单调递减，在(1,)，(,1)上单调递增. aaaa3（2）设gxfxkx3x，则g'x23k1x21x222，

当x0,1时，1x22，23k1x0，则g'x0， 0,1，或k23∴gx在0,1上递增，从而gxg00.

3此时，fxkx3x在0,1上恒成立.

若k222，令g'x0x10,1，当x(0,1)时，33k3kg'x0；

最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

当x(12,1)时，g'x0. 3k22)g00，则k不合题意.

33k∴gxming(1故k的取值范围为[,).

22.（I）由xcos,ysin可得C的极坐标方程212cos110. （II）在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R) 由A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得

23212cos110.

于是1212cos,1211,

|AB||12|(12)2412144cos244,

由|AB|10得cos2,tan38151515，所以l的斜率为或. 3332x4,x1,23．解：（1）当a1时，f(x)2,1x2,

2x6,x2.可得f(x)0的解集为{x|2x3}． （2）f(x)1等价于|xa||x2|4．

而|xa||x2||a2|，且当x2时等号成立．故f(x)1等价于|a2|4． 由|a2|4可得a6或a2，所以a的取值范围是(,6][2,)．

最新 精品 Word 欢迎下载 可修改