浅谈函数的一致连续性问题

２００７年１２月期　当代文化与教育研究　浅谈函数的一致连续性问题　王云花［１】诸秉政　【哈尔滨师范大学阿城学院　黑龙江哈尔滨　１５０３０１］　摘要：本文指出数学分析巾判别函数的一致连续性，可直接应用的理论是定义、康托定理、归结原则等。在具体解题时，通常利　用某些命题的结论作为解题的指导思想，帮助判知结论，迅速找到正确的解题方法，再利用可直接应用的理论对其加以仿证。　关键词：数学分析；一致连续；可直接应用的理论；解题的指导思想　中图分类号：Ｇ４２　文献标识码：Ａ　文章编号：１８１２—２４８５（２００７）１２—００９１—０３１　函数在区间上的一致连续性问题是数学分析中的典型问　续是局部性概念．而一致连续是整体性概念．并且有如下辨证　题之一　函数在区间上一致连续是函数在区ｆＨＪ上逐点连续的　关系：　加强，二者之『白】有着密切的联系，同时又有着本质上的区别。　－厂（　）在，上一致连续　亏　在　）在，上连续；　函数类型纷繁复杂．如何准确的判别函数在所给区间上　－厂（　）在，上非一致连续　在／（　）在，上不连　的一致连续性．很多人都觉得兀从下手．尤其是初学者．更是　续。　觉得解决问题的思路不清晰　现将解这一类型题的理论进行　即‘　）在，上连续”足‘　）在，上一致连续”的必要而　简单归纳　非充分条件　函数在区间上逐点连续与一致连续的本质及其关系　二、可直接应用的理论及相关命题的推广　）数学语言的刻画　（一）利用连续模数描述一致连续性　定义１函数ｆ（ｘ）在区间，上逐点连续．指的足：　若函数－厂（　）在，上适合相应的￡　语言或￡　语言，则　Ｖ轴∈，，　）在粕处连续，即，Ｖ粕∈，，Ｖｅ＞Ｏ，３８（Ｘ可判别函数在区间上的一致连续性。根据定义可有如下等价　ｏ　￣ｅ　当ＩＸ－－Ｘｏ　　Ｉ时，　）　）Ｉ＜￡　命题　注意：这里６不仅与￡有关，而且与任意给定的ｘ０有关。　命题１　函数厂（　）在区间，上一致连续当且仅当在６一　定义２．１函数ｆ（ｘ）在区间，上一致连续．指的是：　时　厂（　）在，上的连续模数　Ｖｅ＞Ｏ，３　丛＞０，Ｖ　１．　！∈，，　ｏ￣（６）＝ｓｕｐ　Ｉｆ（　）．厂（　）Ｉ是无穷小量。　只要ＩＸｌ一　：Ｉ　，便有　·）－ｆ（　！）Ｉ＜￡　注意：这里６仅与￡有关．　与区间，上的点无关　定义法及等价命题ｌ是判别函数一致连续的最根本的方　定义２．２若函数ｒ（ｘ）在区间ｆ上适合：　法　理论　；：　适合于一切函数的一致连续性的判别．但对于　３　ｅｏ＞Ｏ，Ｖ６＞０，尽管ＩＸｌ　２　Ｉ　，但　１）　２）Ｉ　￡０　具体问题来说．可巧妙的结合常见命题的结论作为解题的指　则称，Ｉ　）在区『日Ｊ，上非一致连续。　导思想帮助分析问题．判知结论．尤其是没有给出明确绪论的　（二）几何直观体现与通俗理解　讨论类问题更是有效．再利用可直接应用的理论加以佐证。　函数在区问上逐点连续．指的是函数在所定义区间上处　（二）康托定理及其推广　处连续，其函数图像连绵无间断：函数在区间上一致连续．指　由康托定理知．函数在闭区间上连续．在闭　间上一致连　的是其函数图像在定义的区间上连绵不断且函数值变化缓　续　这个定理简单好用．但仅限于在有限闭区间上可直接用．　慢．与区间上连续的非一致连续函数的图像形成鲜明的对比．　而对于有限开区间或无限区间上不能直接应用。因此，不妨将　非一致连续函数的图像在所定义的区间上．特别是在一致连　如下命题看作康托定理的推广　续性“破坏点”附近是“陡峭”的。　命题２．１厂（　）在有限开区间（口，ｂ）上连续　八　）在（ａ，６）　（三）二者的关系　上一致连续当且仅当厂（叶０）与ｆ（ｂ—Ｏ）都存在（有限值）。　由函数在区间上连续和一致连续的定义可推知．逐点连　命题２．２厂（　）在有限开区间（。，ｂ）上连续，若厂（。＋０）与／　（ｂ－Ｏ）至少有一者不存在。则厂（　）在（ａ，ｂ）上非一致连续。　［１］工云花，女，黑龙江省克东县，哈尔滨师范大学阿城学院助教，哈尔滨工业大学硕士研究生，主要研究厅向为泛函分析、偏微分方程。　８３　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００７年１２月期　洼意：若厂（ｏ＋０）不存在　）的一致连续性在ａ附近（右　侧１破坏．暂且把这样的点ａ称为一致连续性的“破坏点”。　证明提示：函数极限存在的柯西准则＋康托定理十一致连　续的定义　以上两个命题．是判别定义在有限开区问上的函数的一　致连续性的有效方法　尤其对于一些只需判别结论的问题来　说是一种快速的解法。　例１判别下列函数在（０．１）上的一致连续性　（１　Ｘ）ｍ　ＳＩＩＩＸ一；（２　）＝ｓｉｎ　；　（３　）＝等十ｌ　～ｉｎ１．；（４　）＝　ａｒｃｔａｎｘ’　；　由以上命题的结论易知，（１）（４）在（０，１）上一致连续，而　（２）（３）在（０，１）上非一致连续。但要注意，如果以上例题是一　个理论证明题．可先在头脑中判知结论．再采用严格理论对其　加以佐证　特别地．若口＝一ａｃ或６＝＋∞．命题２．１不真　例如斜直线ｆ（ｘ）＝ｋｘ＋ｂ，（ｋ≠０）在（一　，＋　）上虽然ｌｉｍ　）　不存在，但　）在（一ａｃ，＋ａｃ）上一致连续。因此，有如下命题。　命题３在无限开区问（一　，＋　）上连续，ｌｉｍ　）与ｌｉｍ　）都存在（有限值），则　）在（一　，＋　）上一致连续。　证明提示：函数极限存在的柯西准则＋康托定理十一致连　续的定义　注意：““ｍ　）与ｌｉｍ　）存在”是‘：厂【　）在（一ａｃ，＋　）上一　致连续”的充分非必要条件　例２研究函数厂（　）：；在（ｅ　一ａｃ，＋ａｃ）上的一致连续性。　分析：函数　）在无穷区间（一　，＋　）上连续，考察ｌｉｍｆ　（　）存在，把命题３作为解题指导思想，可知函数　）在（一　，　＋ａｃ）上一致连续．然后采用严格理论对其加以佐证。　由一致连续的几何意义及以上命题知．函数在区间上的　致连续性与曲线的渐近状态有关　命题４（１）若连续函数厂（　）在有限区『日Ｊ，上有垂直渐近　线，则　）在，上非一致连续；（２）若　）在无限区间，上有　斜渐近线．则ｆ（ｘ）在，上一致连续．　（三）归结原则及其等价形式　函数在区问上的一致连续性本质上是利用极限工具来定　义的，因而有相应的归结原则。　命题５．１　）在区间，上一致连续§Ｖ　｝，｛Ｙ　｝ＣＩ，只　要ｌｉｍ　Ｉ　Ｉ＿０，就有ｌｉｍ　）－ｆ（），　）Ｉ－０　对于命题本身要求在区间，上任取子列．这在实际解题　中是不易办到的．但其逆否命题是验证函数非一致连续的有　效方法。　命题５．２取｛　｝，｛Ｙ　｝ｅｌ（在破坏点附近取日．以破坏点为　聚点），尽管ｌｉｍ　Ｉ　Ｉ＝０，但是ｌｉｍ　）－ｆ（Ｙ　）Ｉ≠０，则　）在　区间，上非一致连续．　命题６　）在有限　间，上一致连续甘　｝为，上柯两　列时，ｔｆ（ｘ　）｝也是柯西列。　８４　当代文化与教育研究　例３讨论厂（　）＝　在（０，１）上是非一致连续的。　分析：由命题２．２知　）在（０，１）上是非一致连续的　Ｏ＋０）　不存在，则厂（　）的一致连续性在０点附近被破坏。因此，在破　坏点附近找点列（点）。利用命题５．２或￡ｏ－　定义证明即可。　在判别函数在区间上的一致连续性时．除了定义、康托定　理、归结原则等可直接应用于解题的理论外，通常结合以上命　题的等价命题或推广形式来作为解题的指导思想．帮助分析　问题，判别结论，迅速找到正确的解题方法。同时作为解题指　导思想的还有如下命题的结论。　三　常用于解题的指导思想　（一）若函数厂（　）在区间，上可导，其导函数在，上的性态　与函　）在，上的一致连续性有密切的关系。　命题７　）在　＋ａｃ】连续，在　，＋ａｃ）上可导，ｌｉｍｆ’（　）：　Ａ，则当且仅当ＩＡ　Ｉ＜＋ａｃ时　）在　，＋ａｃ）一致连续。　证明提示：ｊ）微分中值定理＋康托定理十一致连续的定　义：仁）反证法　注意：（１）该命题结论仅适用于无穷区间的无穷远处的情　形．而对于有限区问的有限点处不一定成立。　反例１　ｆ（　）＝、　在【０，１）上虽然ｌｉｍｆ　（　）＝　ｌｉⅡｌ　Ｌ—ａｃ但　、／１－－Ｘ　在　）－、／丁＝　在【０，１）上一致连续；　（２）通过证明发现，若ＩＡ　Ｉ－＋ａｃ，则　）在　，６）上非一致　连续　这为证明无穷远处的非一致连续性提供了一个有用的　思想。例如　）：　！在【０，＋ａｃ）上连续，在ｆ０，＋ａｃ）上可导，．７，ｌ，ｉｍ　ｆ　（ｘ）＝ｌｉｍ　２　＋ａｃ，则知非一致连续。　（３）若Ａ既不是有限值．也不是无穷大量，即Ａ不存在，则　不能说明　）在ｆ。，＋ａｃ）上的一致连续性。例如函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ　在『０，＋ａｃ）上一致连续而ｇ（ｘ）＝ｓｉｎｘ　在ｆ０，＋ａｃ）非一致连续。　命题７减弱条件．则有如下结论。　命题８若函数　）在区间，上的导函数有界，则　）在　，上一致连续．但反之不真。　反例２　ｆ（ｘ）：、／　在（０，＋０ｏ）上一致连续，但ｆ　（　）＝　—　：在（０，＋ａｃ）上无界。　２ｘ／　命题９若函数　）在区间，上满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件，即　对Ｖ　，ｙ∈，，有　）　），）Ｉ≤　Ｉ　Ｉ，（　＞０）则　）在区问Ｊ　上一致连续　例４讨论函数　）：　“　，　≠０　在【０＋∞）上的一　｝Ｏ，ｘ：０　致连续性．　为任意实数。　证明提示：对　分情况讨论　（１）　≤０时，ｌｉｍｆ（ｘ）存在，则　（　）在【０，＋∞）上不连续，从　而非一致连续：　（２）　＞０时　）在【０，＋　）上连续，且　（ｘ）＝ｘ￣：（ａｘｓｉｎ　－－一　１维普资讯 http://www.cqvip.com ２０Ｏ７年１２月期　ｃｏｓ　），因此，　当代文化与教育研究　相同　例５研究　Ｘ）＝ＣＯＳＸ，　在【Ｏ，＋。。）上的一致连续性。　分析：ｙ＝ｘ　在ｆＯ，＋　）上非一致连续，且破坏点为＋　．　＞２时，ｌｉｍｆ　（　）＝Ｏ，则＿厂（　）在【Ｏ，＋　）上一致连续；　２时，ｌｉｍｆ　（　）＝ｌ，则＿厂（　）在【Ｏ，＋　）上一致连续；　ＣＯＳＸｚ与　在无穷远处的一致连续性保持一致　证明提示：在破坏点＋　远处取点列．利用归结原则给出　证明　当ａ＜２，ｌｉａｆ　ｒ（　）＝＋。。，则＿厂（　）在ｆ０，＋　）上一致连续上非　致连续。　实际上，判别函数在区间上一致连续的指导思想还有很　多．如　（１）一致连续函数的线性性：即ｆ，ｇ在区间，上一致连续．　Ｖｎ，ｂ∈Ｒ，则　６ｇ在，上一致连续；（注意：两个一致连续函　（二）幂函数ｙ　，在定义域的有限区间（开或闭）上一致连　续，在无限区间上（以（０，＋　）为例）有如下结论：　非一致连续（破坏点为０），　ｃＫＯ　命题１０　ｙ－－ｘ　在（Ｏ，＋　）上　致连续．Ｏ≤　≤ｌ　数的积不一定仍一致连续。例如　）　，ｇ（　）＝、／　都在【Ｏ，十　）上一致连续，但ｆ（ｘ）·ｇ（　）＝、／　在【Ｏ，＋　）上非一致连续）　（２）一致　司可加性：即厂分别在，Ｉ，，１上一致连续，且　，　ｆ＇］１２－７￣　，则，在ｌ＝ｆ／　ｕ，’上一致连续；（注意：若，　ｎ，１＝　，则　非一致连续（破坏点为＋。。），　＞ｌ　证明提示：对　分情况讨论　结论不成立。例如　）＝　分别存（１，Ｏ）及（Ｏ，１）上一致　（１）当ａ＜０时，ｌｉ埘Ｘ“不存在，函数的一致连续性在０附近　连续，但在（一ｌ，０）ｕ（０，Ｉ）上非一致连续）　（３）整体与部分性：即厂在区间，上一致连续，ＶＪＣｌ，则　厂在ｔ，上一致连续：反之不然。　四、结束语　破坏．在０附近取点列，利用归结原则证得：　（２）当Ｏｓ　≤ｌ时．利用不等式　（１　）　机　≥（１＋ｘ）＋　，Ｖｘ∈【０，ｌ１，Ｖｎ∈（０，ｌ１　由一致连续的定义即可证得　（３）当ｏｔ＞ｌ时，由图像知在＋　远处函数非一致连续　根据以上归纳，可知任何一种判别方法都有其特定的应　用范畴，对待一个具体问题，不要孤立，片面的使用某个单一　的知识点，而是应将以上知识有机的结合在～起作为解题的　ｒ　＾Ｉ　“　１　利用极限等式　—　ｌｉａ｛（ｒ　）ｒ上一　“Ｊ＝ｌｉａｒ　·　ｆ　ｆ　１＋　１一Ｉ　ｆ＝＋∞　ｒ　【＼Ｘ　７　Ｊ　指导思想，帮助分析问题，判别结沦．并迅速找到合理的解决　方法。最后利用定义法、康托定理、归结原则等可直接应用的　理论对其加以佐证．　及非一致连续的Ｃｏ－－￣定义即可证得．　命题ｌｌ若　）在区间，满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件，则复合函　数ｆ（Ｘ　），　Ｒ的一致连续性与Ｘｎ在相应区间上的一致连续　性保持一致。例如ｓｉｎｘ＇＊，ｃｏｓｘ　在（Ｏ，＋　）上的一致连续性与ｘａ　存（０，＋　）上的一致连续性保持一致　参考文献：　［１】华东师范大学数学系擞学分析［Ｍ】．高等教育出版社．２００１．３．　［２】裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ】．高等教育出版社．２００６．２　注意：这里所说的“一致连续性保持一致”指的是函数曲　线的图像都是“平缓”的或都足“陡峭”的，但其具体状态不尽　［３】钱吉林．张祖发．刘敏思等擞学分析题解情粹［Ｍ】．崇文书局．２００３．　拉　口　牡　口　曲　（上接第８２页）　ｆ４】谢安邦等．高校扩招后教学质量调查与分析ＩＪ１．教育发展研　究－２０Ｏ５．８．　高等教育．２００３．２１．　【２】何解山，廖淑梅．普通高校扩招对成人高等教育的影响及对策ｌＪ１．　中国成人教育．２０００．８．　【５】张秀芳．从国外高等教育大众化看我国高校扩招现象『Ｊ１．黑龙江教　育学院学报．２００２．５．　ｆ３１李大寨等．探索与思考高校扩招后教学质量保障问题的探　讨ｌＪＩ．中国林业教育．２００５．１．　［６】许茂祖，张桂花．高等教育评估理论与方法ｆＭ】．北京：中周铁道出版　社．１９９７．　Ｉ　ｍｐｒｏｖｉｎｇ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　Ｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｃｕｒｒｅｎｔ　Ｈｉｇｈｅｒ　Ｍａｓｓ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　ＦａｎｇＪｉｅ　（Ｆｏｒｅｉｇｎ　Ｌａｎｇｕａｇｅｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｑｉｎｇｄａｏ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ，２６６０６１）　Ａｂｓｔｒａｃｔ－Ｔｈｅ　ｅｎｌａｒｇｅｄ　ｅｎｒｏｌｌｍｅｎｔｓ　ｉｎ　ｈｉｇｈｅｒ　ｉｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎｓ　ｈａｖｅ　ｂｒｏｕｇｈｔ　ｍａｎｙ　ｃｈａｌｌｅｎｇｅｓ　ａｓ　ｗｅｌｌ　ａｓ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｖａｒｉｏｕｓ　ｆａｃｔｏｒｓ　ａｒｅ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ａｎｄ　ｓｏｍｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ　ａｒｅ　ｓｕｇｇｅｓｔｅｄ　ｔｏ　ｅｎｓｕｒｅ　ａｎｄ　ｉｍｐｒｏ＇￣ｅ　ｔｈｅ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｏｆ　ｏｕｒ　ｈｉｇｈｅｒ　ｅｄｕｃａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｈｉｇｈｅｒ　ｍａｓｓ　ｅｄｕｃａｔｉｏｎ；ｅｎｌａｒｇｅｄ　ｅｎｒｏｌｌｍｅｎｔ；ｓｃｈｏｏｌｉｎｇ　ｉｄｅａｓ；ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｑｕａｌｉｔｙ　８５