对数公式的推导(全)

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对数函数公式的推导（全）

由指数函数

anb(a0且a1)

，可推知：

nlogab，从而：

a性质1、

logabb对数恒等式

loga(MN)logaMlogaNmnmn

<证法1> 由于aaamnMa,Na 设 则：

mlogaM

nlogaNmn MNa 于是：

loga(MN)mnlogaMlogaN<证法2>

MNMN对数恒等式alogaMNalogaMalogaN

即： a由于指数函数是单调函数，故： logaMNalogaMlogaN loga(MN)logaMlogaN 性质2、 loga<证明> MNlogaMlogaN MNMN对数恒等式alogaMNalogaMalogaNalogaMlogaN 由于指数函数是单调函数，故： loga性质3、 MNlogaMlogaN logaNlogab1logbalogbNlogba(b0,b1)(换底公式) 特例：

<证明> 由对数恒等式可知： NalogaNblogbN ，ablogba NblogbalogaNblogbalogaN NblogbNblogbalogaN 由于指数函数是单调函数，故： logbNlogbalogaNlogbNlogba 故：logaN 性质4、 logaMnnlogaMnlogM1anlogaM 特例： <证明> MM 可知：nnalogaMnalogaMn 即 alogaMnalogaMn 由于指数函数是单调函数，故：logaMnnlogaM

性质5、loganbmmnlogab <证明> lgbmmlgbmloganbnnlogabnlgalga m性质6、loganb1nlogab 注：性质4 和 性质6 都是 性质5的特例。