重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二数学下学期半期考试试题 理（含
解析）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.命题A. C. 【答案】B 【解析】 【分析】
按存在性命题的否定的规则写出【详解】因命题为“故其否定为：
，，选B.
，
，其否定为.
.存在性命题的一般
即可.
”，它是存在性命题，
，
的否定
是（ ）
B. D.
【点睛】全称命题的一般形式是：形式是 2.抛物线A. 3 【答案】C 【解析】 【分析】
利用焦半径公式可得【详解】
【点睛】如果抛物线的方程为
.
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，，其否定为
上的点到其焦点的距离为（ ） B. 4
C. 5
D. 6
长度.
，故选C.
，则抛物线上的点
到焦点的距离为
- 1 -
3.圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米，现向该铜钱上随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），那么该粒米落入小孔内的概率为（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
算出正方形小孔的面积和铜钱的面积，利用几何概型的概率公式可得所求的概率. 【详解】设为“该粒米落入小孔内”，因为正方形小孔的面积为
平方毫米，故
，故选A.
平方毫米，铜钱的面积为
【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．
4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若B. 若C. 若D. 若
，，，，
，则，则，，
，
，则，则
【答案】D 【解析】 【分析】
对于A，B选项均有可能为线在面内，故错误；对于C选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D正确. 【详解】若若
，
，
，则有可能在面内，故A错误；
面内，故B错误；
，有可能
若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误． 若
，
，
，则由直线与平面平行的性质知
，故D正确．
故选D.
【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.
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- 1 -
5.某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为为
，设表示下雨，表示刮风，则
B.
C.
D.
，刮风的概率为
，既刮风又下雨的概率
A. 【答案】B 【解析】
解：因为5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A
为下雨，B为刮风，则
6.A. 【答案】C 【解析】 【分析】 考虑【详解】故
的二项展开式中的常数项、一次项和二次项的系数后可得所求的系数.
的通项公式为的二项展开式中的常数项为
，
，故选C. ，
，
展开式中项的系数为（ ）
B.
C.
D.
一次项系数为，二次项的系数为
展开式中的系数为
【点睛】二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．
7.我市实行新高考，考试除了参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从物理和历史中选考一科，从化学、生物、政治、地理中选考两科，学生甲想要报考某高校的法学专业，就必
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须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为（ ） A. 8 【答案】B 【解析】 【分析】
就甲选择物理或历史分类计数即可.
【详解】如果甲选考物理，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有如果甲选考历史，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有综上，选考方法种数共有12种，选B.
【点睛】本题考查组合的计数，为基础题，解题时注意合理分类.
8.下表是某厂
月份用水量（单位：百吨）的一组数据，其中有一个数据模糊不清，已知
，则表中模糊不清的数据
选考方法种数；
B. 12
C. 18
D. 19
选考方法种数，
原来根据该数据由最小二乘法求得回归直线方程为为（ ） 月份 用水量 A. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】
利用线性回归方程对应的直线过【详解】因为回归直线方程设2月份用水量为，则故选D.
【点睛】本题考查线性回归方程对应的直线过
，属于基础题.
计算可得缺失的值.
，当
时，，故
B. 4.5
C. 3
1 4.5 2 3 3 4 2.5 D. 4
， ，
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9.某学期某大学数学专业的6名在校大学生到我校实习，则实习大学生按人数2,2,1，1安排到不同的四个年级的方案共有（ ） A. 1080 【答案】A 【解析】 【分析】
先把6人分组（按2，2，1，1）后再分配给四个不同的班级可得总的方案数. 【详解】不同的方案有
，故选A.
B. 540
C. 180
D. 90
【点睛】对于排列问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如组中人数确定等；（2）先选后排（或先分组再分配），比如要求所选的人满足一定的数目，我们得先选出符合数目要求的人，再把他们分配到相应的对象中，此处特别注意均匀分组问题；（3）去杂法，也就是从反面考虑．
10.平行四边形
的四个顶点均在双曲线
上，直线
的斜率分别
为，1，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A.
【答案】A 【解析】 【分析】 利用点差法可求【详解】因为双曲线故平行四边形设
，
的顶点，则
，从而可得渐近线方程.
是中心对称的，
关于原点对称，
，故
，
，
B.
C.
D.
所以，整理得到：
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即，故即，
所以渐近线方程为即，选A.
【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算. 11.观察：
，
，从而得到47的二进制数为
据三进制数“满三进一”的原则，则A. 202 【答案】B 【解析】 【分析】 把
分解为
后可得其三进制数的表示.
，
，故
，故选B.
B. 1202
，
，记作：（ ）
C. 021
D. 2021
，
，
，
，类比上述方法，根
【详解】因为所以
【点睛】本题为新定义题，弄清题设中一个正整数的二进制表示是如何得到的是关键. 12.定义在
上的函数
满足
（其中
为
的导函数），则下
列各式成立的是（ ） A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】 构建新函数
，根据题设条件有
，化简后可得
在.
上为增函数，从而得到
B. D.
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【详解】令
，则
在
上为增函数，
，即 ，即
，
亦即 ，亦即
及其导数
，故选.
的不等式，我们应根据该式的形式构建新函
【点睛】如果题设中有关于函数
数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为3号、16号、42号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为__________． 【答案】【解析】 【分析】
依据系统抽样可知学号是公差为
的等差数列，从而可求余下一个同学的学号.
的等差数列，故余下
【详解】因为该班总共52人，样本容量为4，故抽取的学号是公差为一个同学的学号为
.填
.
【点睛】本题考查系统抽样的性质，属于基础题.
14.已知随机变量【答案】【解析】 【分析】
利用公式直接计算即可. 【详解】因为所以
，所以，填
. ，.
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满足,，__________．
，
【点睛】一般地，如果，那么，
15.设
，若
，则非零实数
【答案】【解析】 【分析】
对题设中的等式两边求导后再令【详解】对等式
，
令因
，则有，故
即
，填
.
，
可得
，从而求得的值. 两边求导后可得
__________．
【点睛】二项展开式中项的系数性质的讨论，可利用赋值法来求讨论，所赋之值应该根据解析式的特点作合适选择，有时还需要对原有等式做合适的代数变形后（如求导等）再赋值，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来讨论．
16.某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为1），则该几何体外接球的表面积__________．
【答案】【解析】 【分析】
三视图对应的几何体为三棱锥，补体后可求其外接球的表面积.
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【详解】如图，几何体其中底面
三棱锥， 将三棱锥补形为直三棱柱，侧棱
，
，
为等腰直角三角形，其外接圆的半径为
，故三棱锥
故外接球的半径为外接球的表面积为.
【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在直角坐标系中，直线的参数方程为 （其中为参数），以直角坐标系的
原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线交于【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）曲线的极坐标方程可以化为
，利用
；（2）
两点，点.
，求
的值.
.
可得其直角坐标方程.
（2）把直线的参数代入抛物线的方程得到关于的一元二次方程，利用参数的几何意义可求
的值.
【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为所以直角坐标方程为（2）设直线上
；
，因为
，
两点的参数分别为，，
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则， ，
，
将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得化简得所以
，则
， .
【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造
（其中为
．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为
参数），注意表示直线上的点段的长度和、差、积等．
18.我校某数学老师这学期分别用
到
的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线
两种不同的教学方式在高一甲、乙两个班（人数均相同，
入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）进行教学实验，现随机抽取甲、乙两班各20名学生的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如下: 甲班 2 6 6 4 3 2 1 8 3 2 2 3 2 2 1 1 9 8 7 7 优秀 不优秀 合计 甲班 20 乙班 20 合计 40 乙班 9 8 7 6 5 4 0 1 5 6 8 0 1 2 5 6 6 8 9 3 6 8 5 7 9 9 最新 Word 可修改 欢迎下载 - 1 -
（1）依茎叶图判断哪个班的平均分高？
（2）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取三名同学，事件表示“抽到成绩为86分的同学至少1名”，求
.
列联表，并
（3）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，完成分类变量成绩教学方式的判断“能否在犯错误的概率不超过下面临界值表仅供参考：
（参考公式：
，其中
）
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
0.001 10．828 【答案】（1）乙班；（2）；（3）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据茎叶图可得乙班的平均分高. （2）利用古典概型的概率计算公式计算即可. （3）利用给出的公式计算出
的值，再结合临界值表可知在犯错误的概率不超过
的前提
下认为成绩优秀与教学方式有关.
【详解】（1）由茎叶图知甲班数学成绩集中于分之间，所以乙班的平均分高. （2）根据题意得（3）根据题意得到
列联表为
甲班 乙班 合计 分之间，而乙班数学成绩集中于
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优秀 不优秀 合计
3 17 20 10 10 20 13 27 40 因此在犯错误的概率不超过的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关.
【点睛】本题主要考查统计中茎叶图的应用、古典概型的概率计算和独立性检验，此类问题为容易题.
19.如图，已知多面体
.
的底面是边长为2的菱形，
底面
，
，且
（1）证明：（2）若直线
平面与平面
；
所成的角为
.
，求二面角
的大小.
【答案】（1）详见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）可证平面
平面
，从而可证平面.
（2）建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量可得二面角的余弦值，从而得到二面角的平面角的大小. 【详解】（1）底面因
平面
，平面
，
是菱形，平面
，所以，平面
， 平面
.
，
同理，平面
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又（2）故又底面取
平面，所以底面，
，中,
平面. 即为直线
，
，
与平面
所成的角，
是边长为2的菱形，
，则
，
中点，连
以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则各点坐标分别为
,
底面平面
设平面
,，平面
,
,
，又底面的法向量取
，则：
，令
,
二面角
的大小为
.
得
,
,是菱形，
,
,
,
,
的法向量
【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
20.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了
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的该农产品，以（单位：）表示下一
- 1 -
个销售季度内的市场需求量， （单位：元）表示下一个销售季度内经销该产品的利润.
（1）根据直方图估计下一个销售季度市场需求量的平均数、中位数和众数；
（2）在直方图需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若概率等于需求量落入【答案】（1）【解析】 【分析】
，则取
，且
的
（1）利用组中值可求平均数，众数就是频率最大的组的中值，而中位数就是能把诸矩形面积平分的那个值.
（2）先求出利润与的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望. 【详解】（1）
，
（2）
的的频率，）求利润的分布列和数学期望.
；
；（2）详见解析.
；
，
，
48000 0.1 56000 0.2 （元）.
,
利润的分布列为
60000 0.7 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列及其数学期望的求法，
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属于基础题. 21.椭圆
（1）求椭圆的方程； （2）直线求
的面积.
；（2）. 与椭圆交于
两点，椭圆上另一点满足
的重心为坐标原点，
的左焦点为
，点
在椭圆上.
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）列出关于（2）设
方程组，解出它们可得椭圆的方程.
，联立直线方程和椭圆方程，消元后可得
，利用韦达定理可用表示的坐标，再利用在椭圆上得到
，利用该式化简的面积表达式可得其值.
【详解】（1）依题意： 解得，
椭圆的方程为（2）设由于
.
，则
的重心为坐标原点，所以.
联立 ,得，
，
，
在椭圆上，
，
即 ，
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在椭圆上, ,，
，即，即，
，
的重心为坐标原点，
即
，
到直线的距离等于到直线的距离的3倍，即
，
， .
【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有
或
，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程
（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.已知函数（1）若函数（2）若【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）由题设有（2）
和
，从而
后可得
，令
，参变分离后可得的取值范围. 等价于
，其中
，令
，故
即
，分
；（2）. ，
. 在恒成立，求
单调递增，求实数的取值范围；
的最小值
的最大值.
，利用导数可求其最大值.
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【详解】（1），
若函数 在
对任意
，
当
时，
，
在 .
故所求实数的取值范围为（2）令
，则
若由当当
，则当得
时时
时， ，，
，与
单调递增；
. ， 恒成立 ，
单调递增， 恒成立，
单调递减，
即
恒成立矛盾，所以,
单调递减；
，
的最小值，
.
，
又当当
时，时，
.
【点睛】一般地，若函数；反之，若
在区间在区间
， ，
,
单调递增； 单调递减，
上可导，且，则在上为单调增（减）
．求函数
上可导且为单调增（减）函数，则
的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判
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断，如果导数的符合还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．
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