(完整版)专题1——利用定积分定义求极限(1)

对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法:

① 是n时的极限

② 极限运算中含有连加符号i1

n在定积分的定义中，我们把区间[a,b]平均分成n个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[a,b]，我们当然

baba[a,a]xnin，可以平均分割），那么每个小区间的长度为n（即定义中的），这个小区间分别为[ababababa,a2][a2,a3]nn,nn，……，

[a(n2)baba,a(n1)]nn

，

[a(n1)baba,b]aiinn(也可以,在定义中每个小区间上任意取的i我们一致取为每个小区间的右端点

nnbababaf()xf(ai)ia(i1)iinn，那么 n）,那么定义中的i1取左端点就变为i1limni1nbbabaf(ai)f(x)dxann

。（取左端点时

limf(a(i1)ni1nbbaba)f(x)dxann

1

1)

注意:定积分的定义中0表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n也表示把区间分割成无数个小区间,但是在任意分割的前提下，不能用n来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是

nlimnf(aibababi1n)naf(x)dx

，而不是

nlim0f(aibababi1n)naf(x)dx

。

如f(x)在区间[0,1]上的积分可以表示为

10f(x)dxlim1ninnf(i1n) -—i取每个小区间的右端点,或者

1(x)dxlim1n0fi1nnf(i1n) ——i取每个小区间的左端点。

2

1i3lim4ni1n 举例：求

n1i3xdxlim()30nf(x)x[0,1]nn(这里i取的是每个小区间i1分析：函数在区间上的定积分的定义可以表示为

13n的右端点），即

n1i3i3()lim40xdxlimnnnni1i1n 13n。所以

1i3x4113lim4xdx|00nn44 i1n对于这个考点的考法应该不会很深(这个方法经常在数学竞赛中用到)，给出的极限应该可以化为某个函数在区间[0,1]上的定积分，基于此,遇到这类题时，一定要把给出的极限化为如下形式：

n1i1ilimf()limf()nnnni1n i1nn或者

n1i11i1limf()limf()nnnnn i1ni1n，只要化为以上的几种形式，那么给出的极限就是函数f(x)在区间[0,1]上的积分，即



10nnn1i1i1i11i1f(x)dxlimf()limf()limf()limf()nnnnnnnnnnnni1i1i1i1

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