[教学目标]
1. 通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和有条理表达能力
2. 在具体情境中了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角，理解对顶角相等，并能运用它解决一些简单问题 [教学重点与难点]
重点:邻补角与对顶角的概念.对顶角性质与应用 难点:理解对顶角相等的性质的探索 [教学设计]
一.创设情境 激发好奇 观察剪刀剪布的过程，引入两条相交直线所成的角
在我们的生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，本章要研究相交线所成的角和它的特征。
观察剪刀剪布的过程，引入两条相交直线所成的角。 学生观察、思考、回答问题
教师出示一块布和一把剪刀，表演剪布过程，提出问题：剪布时，用力握紧把手，两个把手之间的的角发生了什么变化？剪刀张开的口又怎么变化？
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教师点评：如果把剪刀的构造看作是两条相交的直线，以上就关系到两条直线相交所成的角的问题， 二．认识邻补角和对顶角，探索对顶角性质 1．学生画直线AB、CD相交于点O，并说出图中4个角，两两相配
共能组成几对角？根据不同的位置怎么将它们分类？ 学生思考并在小组内交流，全班交流。
当学生直观地感知角有“相邻”、“对顶”关系时，教师引导学生用
几何语言准确表达
AOC与AOD有一条公共边OA，它们的另一边互为反向延长线； AOC与BOD有公共的顶点
O，而且AOC的两边分别是BOD两
边的反向延长线
2．学生用量角器分别量一量各角的度数，发现各类角的度数有什么关系？
（学生得出结论：相邻关系的两个角互补，对顶的两个角相等） 3学生根据观察和度量完成下表： 两条直线相交 所形成的分类 角 位置关系 数量关系 2 / 210
教师提问：如果改变AOC的大小，会改变它与其它角的位置关系和数量关系吗?
4．概括形成邻补角、对顶角概念和对顶角的性质 三．初步应用 练习：
下列说法对不对
（1） 邻补角可以看成是平角被过它顶点的一条射
线分成的两个角
（2） 邻补角是互补的两个角，互补的两个角是邻
补角
（3） 对顶角相等，相等的两个角是对顶角
学生利用对顶角相等的性质解释剪刀剪布过程中所看到的现象 四．巩固运用例题：如图，直线a,b相交，140，求2,3,4的度数。
AOC[巩固练习]（教科书5页练习）已知，如图，
35,COF80，
求：AOD和DOF的度数
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[小结]
邻补角、对顶角.
[作业]课本P9-1，2P10-7，8 [备选题] 一判断题：
如果两个角有公共顶点和一条公共过，而且这两个角互为补角，那么它们互为邻补角（ ）
两条直线相交，如果它们所成的邻补角相等，那么一对对顶角就互补（ ） 二填空题
1如图，直线AB、CD、EF相交于点O，AOE的对顶角是 ，COF的邻补角是
若AOC：AOE=2：3，EOD130，则BOC=
2如图，直线AB、CD相交于点O
COEFOB90,AOC30则EOF
5.1.2 垂线
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[教学目标] 1．
理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画
已知直线的垂线。 2． 3．
掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。 掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。
[教学重点与难点]
1．教学重点：垂线的定义及性质。 2．教学难点：垂线的画法。 [教学过程设计] 一. 复习提问： 1、 2、
叙述邻补角及对顶角的定义。 对顶角有怎样的性质。
二．新课： 引言：
前面我们复习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？下面我们就来研究这个问题。
（一）垂线的定义
当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，
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CAODB它们的交点叫做垂足。
如图，直线AB、CD互相垂直，记作ABCD，垂足为O。 请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例。 注意：
1、 如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直。 2、掌握如下的推理过程：（如上图）
ABCD(已知），AOCCOBBODAOD90(垂直定义）.
反之，
（二）垂线的画法 探究：
1、用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
2、经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 3、经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 画法：
让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动
AOC90(已知）ABCD(垂直定义）6 / 210
三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。 （三）垂线的性质
经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：
性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 练习：教材第7页 探究：
AOCP 如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O， A,B,C,……,其中POl（我们称PO为点P到直线
Bl的垂线段）。比较线段PO、PA、PB、PC……的长短，这些线段中，哪一条最短？
性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成： 垂线段最短。
A（四）点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点
BC到直线的距离。
如上图，PO的长度叫做点 P到直线l的距离。
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D例1 如图，BAC90,ADBC,垂足为D,则下列结论：
（1）AB与AC互相垂直； （2）AD与AC互相垂直；
（3）点C到AB的垂线段是线段AB； （4）点A到BC的距离是线段AD; （5）线段AB的长度是点B到AC的距离； A（6）线段AB是点B到AC的距离。 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解：A
例2 如图，直线AB,CD相交于点O,
OECD,OFAB,DOF65,求BOE和AOC的度数。CEOFDB
解：略
例3 如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A 向B行驶，M,N分别是位于公路两侧的村庄， 设汽车行驶到点P位置时，距离村庄M最近，
行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中公路AB上分别画出P,Q两点位置。
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解：如图所示，过M,N两点分别作MPAB,NQAB,垂足分别为P,Q,则点P,Q即为所求。
C练习： 1.
如图，已知ABC中，BAC为钝角。
AB（1）画出点C到AB的垂线段；（2）过A点画BC的垂线；
（3）点B到AC的距离是多少？2.教材第9页3、4
教材第10页9、10、11、12 小结：
1. 要掌握好垂线、垂线段、点到直线的距离这几个概念； 2. 要清楚垂线是相交线的特殊情况，与上节知识联系好，并能正确利用工具画出标准图形；
3. 垂线的性质为今后知识的学习奠定了基础，应该熟练掌握。 作业：教材第9页5、6.
5．2．1 平行线
[教学目标]
1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系； 2．理解并掌握平行公理及其推论的内容；
3．会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线；
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4．了解“三线八角”并能在具体图形中找出同位角、内错角与同旁内角；
4．了解平行线在实际生活中的应用，能举例加以说明． [教学重点与难点]
1．教学重点：平行线的概念与平行公理； 2．教学难点：对平行公理的理解． [教学过程] 一、复习提问 相交线是如何定义的？ 二、新课引入
平面内两条直线的位置关系除平行外，还有哪些呢？
制作教具，通过演示，得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念．
三、同一平面内两条直线的位置关系
1．平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．直线a与b平行，记作a∥b． （画出图形）
2．同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1）相交；（2）平行．
3．对平行线概念的理解：
两个关键：一是“在同一个平面内”（举例说明）；二是“不相交”．
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一个前提：对两条直线而言． 4．平行线的画法
平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）． 四、平行公理
1．利用前面的教具，说明“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”．
2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
提问垂线的性质，并进行比较．
3．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c． 五、三线八角
由前面的教具演示引出．
如图，直线a，b被直线c所截，形成的8个角中，其中同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．
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六、课堂练习
1．在同一平面内，两条直线可能的位置关系是 ． 2．在同一平面内，三条直线的交点个数可能是 ． 3．下列说法正确的是（ ）
A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有无数条直线与已知直线平行 C．经过一点有一条直线与已知直线平行
D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 4．若∠与∠是同旁内角，且∠=50°，则∠的度数是（ ）
A．50° B．130° C．50°或130° D．不能确定
5．下列命题：（1）长方形的对边所在的直线平行；（2）经过一点可作一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；（4）经过一点可作一条直线与已知直线垂直．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，直线AB，CD被DE所截，则∠1和 是同位角，∠1和 是内错角，∠1和 是同旁内角．如果∠5=∠1，那么∠1 ∠3．
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七、小结
让学生独立总结本节内容，叙述本节的概念和结论． 八、课后作业 1．教材P19第7题；
2．画图说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点情况． [补充内容]
1．试说明，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
2．在同一平面内，两条直线的位置关系仅有两种：相交或平行．但现实空间是立体的，
试想一想在空间中，两条直线会有哪些位置关系呢？（用长方体来说明）
5.2.2 直线平行的条件 (第2课时)
一．教学目标
(1) 使学生进一步理解并掌握判定两条直线平行的方法； (2) 了解简单的逻辑推理过程. 二．教学重点与难点
重点：判定两条直线平行方法的应用； 难点：简单的逻辑推理过程. 三．教学过程 复习提问：
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1．判定两条直线平行的方法有哪些？ 2.如图(1)
(1) 如果∠1=∠4，根据_________________，可得AB∥CD；
(2) 如果∠1=∠2，根据_________________，可得AB∥CD；
(3) 如果∠1+∠3=1800，根据______________，可得AB∥CD .
3．如图(2)
(1) 如果∠1=∠D，那么______∥________； (2) 如果∠1=∠B，那么______∥________； (3) 如果∠A+∠B=1800，那么______∥________； (4) 如果∠A+∠D=1800，那么______∥________；
新课：
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A C
F
2 3 1 如图(1)
4 E
B D
1 B C 如图(2) A D 例1 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直
线，那么这两条直线平行吗？为什么？
分析：垂直总与直角联系在一起，我们学过哪些判断两条直线平行的方法？
b c
答：这两条直线平行. 如图所示
a
┐1 ┐2
理由如下： ∵b⊥a,c⊥a
∴∠1=∠2=900(垂直定义) ∴b∥c(同位角相等，两直
线平行) 思考：
这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分，其中的横格线互相平行吗？你有多少种判别方法？
例2 如图所示，∠1=∠2，∠BAC=200，∠ACF=800. (1) 求∠2的度数；
(2) FC与AD平行吗？为什么？
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E 巩固练习
1． 教科书19页练习
2． 如图所示，如果∠1=470，∠2=1330，∠D=470，那么BC与DE平行吗？AB与CD平行吗？
3． 如图所示，已知∠D=∠A，∠B=∠FCB，试问ED与CFE D
平行吗？
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A B C F
2
1 B C A
F B C D A 2 1 D E
4． 如图，∠1=∠2，∠2=∠3，∠3+∠4=1800，找出图中互相平行的直线.
2
m
n
l
1 3 5 a
4
b
作业：教科书19页习题5.2第7、8题
5．2．2直线平行的条件（一）
[教学目标]
3. 借助用直尺和三角板画平行线的过程,,得出直线平行的条件.
4. 会用直线平行的条件来判定直线平行. 5. 激发学生学习数学的兴趣. [教学重点与难点]
重点: 理解直线平行的条件. 难点: 直线平行的条件的应用
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[教学设计]提问 复习题：
1．如图，已知四条直线AB、AC、DE、FG
（1）∠1与∠2是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角.
(2) ∠3与∠2是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角.
(3) ∠5与∠6是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角.
(4) ∠4与∠7是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角.
(5) ∠8与∠2是直线_____和直线____被直线________所截而成的________角.
2.下面说法中正确的是 ( ). (1) 在同一平面内,两条直线的位置关系有相交、平行、垂直三种 (2) 在同一平面内, 不垂直的两条直线必平行 (3) 在同一平面内, 不平行的两条直线必垂直 (4) 在同一平面内,不相交的两条直线一定不垂直
3．如果 a∥ b ,b ∥c ，那么_______,理由是
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_____________________.
导言:
上节课我们学习了平行线的意义, 在同一平面内,两条直线的位置关系,以及平行公理,
在此基础上,我们再来研究直线平行的条件. 新课:
直线平行的条件
演示用直尺和三角板画平行线的过程,
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如果∠4+∠2=180°, a∥ b吗?
三种方法可以简单地说成:
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例题 已知:如图，直线AB ,CD,EF被MN所截, ∠1=∠2, ∠3+∠1=180°,试说明CD ∥EF.
解:因为∠1=∠2, 所以 AB ∥CD. 又因为 ∠3+∠1=180°, 所以 AB ∥ EF.
从而 CD ∥EF (为什么?).
课堂练习:
1．下列判断正确的是 ( ). A. 因为∠1和∠2是同旁内角,所以∠1+∠2=180° B. 因为∠1和∠2是内错角,所以∠1=∠2 C. 因为∠1和∠2是同位角,所以∠1=∠2
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D. 因为∠1和∠2是补角,所以∠1+∠2=180° 2.如图:(1) 已知∠1=65°, ∠2=65°,那么DE与 BC平行吗?为什么?
(2)如果∠1=65°, ∠3=115°,那么AB与DF平行吗? 为什么?
(3) )如果∠4=60°, ∠2=65°,那么DE与BC平行吗? 为什么? 3.
4．如图所示：
(1)如果已知∠1=∠3，则可判定AB∥______,其理由是__________________;
(2)如果已知∠4+∠5=180°，则可判定___________∥______,其理由是__________________;
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(3)如果已知∠1+∠2=180°，则可判定___________∥______,其理由是__________________;
(4)如果已知∠5+∠2=180°那么根据对顶角相等有∠2=__, 因此可知∠4+∠5= ____,所以可确定 ___________∥______,其理由是__________________;
(5)如果已知∠1=∠6，则可判定_____∥______,其理由是__________________.
第第5题图
5.如图，（1）如果∠1=________,那么DE∥ AC; (2) 如果∠1=________,那么EF∥ BC;
(3)如果∠FED+ ∠________=180°,那么AC∥ED; (4) 如果∠2+ ∠________=180°,那么AB∥DF.
4
题
图
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6.
7.
课后作业:习题5.2 第1,2,4题. 补充练习:
已知:如图，AB ∥CD,EF分别交 AB、CD
于 E、F，EG平分∠ AEF ，
FH平分∠ EFD EG与 FH平行吗？为什么？
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§5.3平行线的性质（一）
教学目标
1．使学生理解平行线的性质和判定的区别．
2．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理． 重点难点
重点：平行线的三个性质．
难点：平行线的三个性质和怎样区分性质和判定． 关键：能结合图形用符号语言表示平行线的三条性质． 教学过程 一、复习
1．如何用同位角、内错角、同旁内角来判定两条直线是否平行？
2．把它们已知和结论颠倒一下，可得到怎样的语句？它们正确吗？ 二、新授
1．实验观察，发现平行线第一个性质 请学生画出下图进行实验观察．
设l1∥l2，l3与它们相交，请度量∠1和∠2的大小，你能发现什么关系？
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请同学们再作出直线l4，再度量一下∠3和∠4的大小，你还能发现它们有什么关系？
平行线性质1(公理)：两直线平行，同位角相等． 2．演绎推理，发现平行线的其它性质
（1）已知：如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD． 求证：∠1= ∠2．
（2）已知：如图2-64，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD． 求证：∠1+∠2=180°．
在此基础上指出：“平行线的性质2 (定理)”和“平行线的性质3 (定理)”．
3．平行线判定与性质的区别与联系 投影：将判定与性质各三条全部打出．
（1）性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补． （2）判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行． 联系是：它们的条件和结论是互逆的，性质与判定要证明的问题是不同的． 三、例题
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A BD．找出图中相等的角与互补B 例2如图所示，AB∥CD，AC∥
的角．
376C 12458
D
此题一定要强调，哪两条直线被哪一条直线所截．
答：相等的角为：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8．互补的角为：∠BAC+∠ACD=180°，∠ABD+∠CDB=180°，∠CAB+∠DBA=180°，∠ACD+∠BDC=180°．
相等的角还有：∠ACD=∠ABD，∠BAC=∠BDC．(同角的补角相等)
例3如图所示．已知：AD∥BC，∠AEF=∠B，求证：AD∥EF． 分析：(执果索因)从图直观分析，欲证AD∥EF，只需∠A+∠AEF=180°，
(由因求果)因为AD∥BC，所以∠A+∠B=180°，又∠B=∠AEF，所以∠A+∠AEF=180°成立．于是得证．
AEDFB27 / 210
C证明：因为 AD∥BC，(已知)
所以 ∠A+∠B=180°．(两直线平行，同旁内角互补) 因为 ∠AEF=∠B，(已知)
所以 ∠A+∠AEF=180°，(等量代换)
所以 AD∥EF．(同旁内角互补，两条直线平行) 四、练习：
1．如图所示，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD． 求证：∠1+∠2=90°． 证明：因为 AB∥CD， 所以 ∠BAC+∠ACD=180°，
又因为 AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， 所以11BAC，21ACD，
22故121(BACACD)11800900．
22即 ∠1+∠2=90°． (理由略)
2．如图所示，已知：∠1=∠2， 求证：∠3+∠4=180°． 分析：(让学生自己分析) 证明：(学生板书) 小结
我们是如何得到平行线的性质定理？通过度量，运用从特殊
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到一般的思维方式发现性质1(公理)，然后由公理通过演绎证明得到后面两个性质定理．从因果关系和所起的作用来看性质定理和判定定理的区别与联系． 作业：
1．如图，AB∥CD，∠1＝102°，求∠2、∠3、∠4、∠5的度数，并说明根据？
2．如图，EF过△ABC的一个顶点A，且EF∥BC，如果∠B＝40°，∠2＝75°，那么∠1、∠3、∠C、∠BAC＋∠B＋∠C各是多少度，为什么？
3．如图，已知AD∥BC，可以得到哪些角的和为180°？已知AB∥CD，可以得到哪些角相等？并简述理由．
5.3平行线性质（二）
[教学目标]
6. 经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条件表达能力
7. 理解两条平行线的距离的含义，了解命题的含义，会区分命
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题的题设和结论
8. 能够综合运用平行线性质和判定解题 [教学重点与难点]
重点:平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念
难点:平行线性质和判定灵活运用 [教学设计]
一.复习引入 1．平行线的判定方法有哪些？ 2．平行线的性质有哪些？ 3．完成下面填空
已知：BE是AB的延长线，AD//BC，AB//CD，若D100 则C,A,EBC
4．ab,cb那么a，c的位置关系如何？ 二．新课
1．例1，已知a//c,ab,直线b与c垂直吗？为什么？ 例2如图是一块梯形铁片的残余部分，量得A100,B115，梯形另外两个角分别是多少度？
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2．实践 与探究
（1）学生操作：用三角尺和直尺画平行线，做成一张55
个格子的方格纸。观察并思考：做出的方格纸的一部分，
线段B1C1,B2C2…B5C5都与两条平行线A1B5,A2C5垂直 吗？它们的长度相等吗？
教师给出两条平行线的距离定义：同时垂直于两条平行线， 并且夹在这两条平行线间的线段长度叫做两条平行线的距离。 问题：AB//CD，在CD上任取一点E，作EFAB,垂足F，问EF是否垂直DC？垂线段EF是平行线AB、CD的距离吗？
结论：两条平行线的距离处处相等，而不随垂线段的位置而改变 3．命题和它的构成 下列语句，分析语句的特点
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（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
（2）对顶角相等
（3）等式两边同加上同一个数，结果仍是等式 （4）如果两条直线不平行，那么同位角不相等
这些句子都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断 命题：判断一件事情的句子，叫做命题
（1）命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知项，结论是由已知项推出的事项 （2）形式：通常写成“如果…,那么…”的形式， 三．巩固练习
1．“等式两边乘以同一个数，结果仍是等式”是命题吗？如果是，它的题设和结论分别是什么？ 2举出一些命题的例子 四．作业 课本P25
5.4平移
[教学目标]
9. 了解平移的概念，会进行点的平移，理解平移的性质，能解决简单的平移问题
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10. 培养学生的空间观念，学会用运动的观点分析问题. [教学重点与难点]
重点:平移的概念和作图方法. 难点:平移的作图. [教学设计]
一. 观察图形 形成印象 同的特点，请 生活中有许多美丽的图案，他们都有着共
同学们欣赏下面图案.
观察上面图形,我们发现他们都有一个局部和其他部分重复,如果给你一个局部,你能复制他们吗? 学生思考讨论,借助举例说明. 二.提出新知 实践探索
平移:(1)把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.
(2)新图形中的每一点,都是由原图形中的某一个点移动后得
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到的,这两个点是对应点.
(3)连接各组对应 的线段平行且相等.
图形的这种变换,叫做平移变换,简称平移(translation) 探究:设计一个简单的图案,利用一张半透明的纸附在上面,绘制一排形状,大小完全一样的图案
三.典例剖析 深化巩固 例 如图,(1)平移三角形ABC,使点A运动到A`,画出平移后的三角形A`B`C`.
[巩固练习] 教材33页:1,2,4,5,6,7 [小结]
1. 在平移过程中,对应点所连的线段也可能在一条直线上,当图形平移的方向是沿着一边所在直线的方向时,那么此边上的对应点必在这条直线上
2. 利用平移的特征,作平行线,构造等量关系是接7题常用的方法.
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[作业]
必做题:教科书33页习题:3题 [备选题]
1. 经过平移,三角形ABC的边AB移到了EF,作出平移后的三角形,你能给出几种作法?
2. 如图,将半圆图形按箭头所指的方向平移,其中A点到了A`点,作出平移后的图形. 3. 如
图
,
在
四
边
形
ABCD
中,AD//BC,AB=CD,AD 35 / 210 6.1．1有序数对 [教学目标] 11. 理解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法 12. 培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣. [教学重点与难点] 重点:有序数对及平面内确定点的方法. 难点:利用有序数对表示平面内的点. [教学设计] [设计说明] 一.问题探知 星路第 8根电线杆 1．一位居民打电话给供电部门：“卫的路灯坏了，”维修人员很快修好了路灯同学们欣赏下面图案. 2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上 36 / 210 面写着“北纬44.2°，东经125.7°”。 3．某人买了一张8排6号的电影票，很快找到了自己的座位。 分析以上情景，他们分别利用那些数据找到位置的。 道 5大 道 4大 A 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？ 二.概念确定 有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对（ordered pair）,记作（a,b） 利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。 与3大道例1 如图，点A表示3街与5大道的十字路口，点B表示5街与3大道的十字路口，如果用（3，5）（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）表示由A到B的一条路径，那么你能用同样的方法写出由A到B的其他几条路径吗？ 6大 37 / 210 道 3大 道 2大 道 1大1街 2街 3街 4街 5道 街分析：图中确定点用前一个数表示大街，后一个数表示大道。 解：其他的路径可以是： （3，5）→（4，5）→（4，4）→（5，4）→（5，3）； （3，5）→（4，5）→（4，4）→（4，3）→（5，3）； （3，5）→（3，4）→（4，4）→（5，4） →（5，3）； 寻找规律确定路线 （3，5）→（3，4）→（4，4）→（4，3） →（5，3）； （3，5）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（5，3）； 根据描述的情景找出表示地点的数量 学生举例说明生活中的类似确定点的我位置的例子 明确数对的表示含义和格式 38 / 210 1．在教室里，根据座位图，确定数学课代表的位置 2．教材46页练习 三.方法归类 常见的确定平面上 的点位置常用的方法 （1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的舰有哪几艘？ （3）要确定每艘敌舰的位置，各需要行和列的位置来确定点的位置。 （2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。 1．如图，A点为原点（0，0），则B点记为（3，1 北B（小岛）45°？ A（灯塔） 2．如图，以灯塔A为观测点，小岛B在灯塔A北偏东45，距灯塔3km 处。 例2 如图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图 ，对我方舰艇来说： （1）北偏东方向上有哪些目标？要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？ （2）距我方潜艇图上距离为1cm处的敌 39 / 210 几个数据？ 北小岛敌方战舰B我方战舰2号我方潜艇敌方战舰C我方战舰1号敌方战舰A[巩固练习] 1． 如图是某城 市市区的一部分示意图，对市政府来说： （1） 北偏东60的 方向有哪些单位？要想确定单位的位置。还需要 哪些数据？ （2） 火车站与学校分别位于市政府的什 么方向，怎样确 结合实际问题归纳方法 40 / 210 学生尝试描述位置 象马 定他们的位置？ 购物中心酒店银行市政府学校摩天大楼火车站 2． 如图，马所处的位置为（2，3）. （1） 你能表示出象的位置吗？ （2） 写出马的下一步可以到达的位置。41 / 210 98765432[小结] 3. 为什么要用 有序数对表 示点的位置， 没有顺序可 以吗？ 4. 几种常用的表示点位置 的方法. [作业] 必做题:教科书49页:1题 仿照前面方法确定位置关系 可以变化出其他的象棋盘上的位置， 42 / 210 也可以引申到围棋盘或其他棋类。 43 / 210 6.1．2平面直角坐标系 [教学目标] 13. 认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位 14. 渗透对应关系，提高学生的数感. [教学重点与难点] 重点:平面直角坐标系和点的坐标. 难点:正确画坐标和找对应点. [教学设计] [设计说明] 一.利用已有知识，引入 1．如图，怎样说明数轴上点A和点B的位置， AB-4-3-2-10123 2．根据下图，你能正确说出各个象棋子的位置吗？ 44 / 210 二.明确概念 平面直角坐标系：平 面内画两条互相垂直、原 点重合的数轴，组成平面 直角坐标系（rectangula coordinate system）.水平的 数轴称为x轴（x-axis）或 横轴，习惯上取向右为正 方向；竖直的数轴为y轴 （y-axis）或纵轴，取向上 方向为 由数轴的表示引入，到两个数轴和有序数对。 从学生熟悉的物品入手，引申到平面直角坐标系。 45 / 210 描述平面直角坐标系特征和画法 正方向；两个坐标轴的交 点为平面直角坐标系的原点。 点的坐标：我们用一对有 序数对表示平面上的点， 这对数叫坐标。表示方法 为（a,b）.a是点对应横轴 上的数值，b是点在纵轴上对应的数值。 例1 写出图中A、B、C、D点的坐标。 的关系以及两点所确定的直线的位置关系。 [巩固练习] 3． 教材49页习题6.1 ACBDO 建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成 四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。 你能说出例1中各点在第几象限吗？ 例2 在平面直角坐标系中描出下列各点。 （）A（3，4）；B（-1，2）；C（-3，-2）；D（2，-2） 问题1：各象限点的坐标有什么特征？ 练习：教材49页：练习1，2。 三.深入探索 教材48页：探索： 识别坐标和点的位置关系，以及由坐标判断两点 46 / 210 ——第1题 4． 教材50页——第2， 4，5，6。 [小结] 1． 平面直角坐标系； 2． 点的坐标及其表示 3． 各象限内点的坐标 的特征 4． 坐标的简单应用 [作业] 必做题:教科书50页:3题 （教材51页综合运用7，8，9，10为练习课内容） 明确点的坐标的表示法 仿照例题，画坐标轴，描点，要求能正确画 47 / 210 通过探究，发现坐标 不但能代表点的位置，而 且能反映他所在的直线的特征 平面直角坐标系 6．2．1 用坐标表示地理位置 [教学目标] 1．知识技能 了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程；培养学生解决实际问题的能力． 2．数学思考 通过学习如何用坐标表示地理位置，发展学生的空间观念． 3．解决问题 通过学习，学生能够用坐标系来描述地理位置． 4．情感态度 通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置，培养学生的认真、严谨的做事态度． [教学重点与难点] 1．重点：利用坐标表示地理位置． 48 / 210 2．难点：建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题． [教学过程] 一、创设问题情境 观察：教材第54页图6．2-1． 今天我们学习如何用坐标系表示地理位置，首先我们来探究以下问题． 二、师生互动，探究用坐标表示地理位置的方法 活动1： 根据以下条件画一幅示意图，指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置． 小刚家：出校门向东走150米，再向北走200米． 小强家：出校门向西走200米，再向北走350米，最后再向东走50米． 小敏家：出校门向南走100米，再向东走300米，最后向南 49 / 210 走75米． 问题：如何建立平面直角坐标系呢？以何参照点为原点？如何确定x轴、y轴？如何选比例尺来绘制区域内地点分布情况平面图？ 小刚家、小强家、小敏家的位置均是以学校为参照物来描述的，故选学校位置为原点．根据描述，可以以正东方向为x轴，以正北方向为y轴建立平面直角坐标系，并取比例尺1：10000（即图中1cm相当于实际中10000cm，即100米）． 由学生画出平面直角坐标系，标出学校的位置，即（0，0）． 引导学生一同完成示意图． 问题：选取学校所在位置为原点，并以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向有什么优点？ 可以很容易地写出三位同学家的位置． 活动2：归纳利用平面直角绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程． 经过学生讨论、交流，教师适当引导后得出结论： （1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； （2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； （3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地 50 / 210 点的名称． 应注意的问题： 用坐标表示地理位置时，一是要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置；二是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致；三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度． 有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名称．（举例） 活动3：进一步理解如何用坐标表示地理位置． 展示问题：（教材第62页，公园平面图） 春天到了，初一（13）班组织同学到人民公园春游，张明、王丽、李华三位同学和其他同学走散了，同学们已经到了中心广场，而他们仍在牡丹园赏花，他们对着景区示意图在电话中向老师告诉了他们的位置． 51 / 210 张明：“我这里的坐标是（300，300）”． 王丽：“我这里的坐标是（200，300）”． 李华：“我在你们东北方向约420米处”． 实际上，他们所说的位置都是正确的．你知道张明和王丽同学是如何在景区示意图上建立的坐标系吗？你理解李华同学所说的“东北方向约420米处”吗？ 用他们的方法，你能描述公园内其他景点的位置吗？ 让学生分别画出直角坐标系，标出其他景点的位置． 三、小结 让学生归纳说出如何利用坐标表示地理位置． 四、课后作业 教材第60页第5题、第8题． 五、备选练习 1．根据以下条件画一幅示意图，标出某一公园的各个景点． 菊花园：从中心广场向北走150米，再向东走150米； 湖心亭：从中心广场向西走150米，再向北走100米； 松风亭：从中心广场向西走100米，再向南走50米； 育德泉：从中心广场向北走200米． 2．教材第65页第4题． 52 / 210 6．2．2 用坐标表示平移 [教学目标] 1．知识技能 掌握坐标变化与图形平移的关系；能利用点的平移规律将平面图形进行平移；会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程． 2．数学思考 发展学生的形象思维能力，和数形结合的意识． 3．解决问题 用坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中的应用． 4．情感态度 培养学生探究的兴趣和归纳概括的能力，体会使复杂问题简单化． [教学重点与难点] 1．重点：掌握坐标变化与图形平移的关系． 2．难点：利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题． [教学过程] 一、引言 上节课我们学习了用坐标表示地理位置，本节课我们继续研究坐标方法的另一个应用． 53 / 210 二、新课 展示问题：教材第56页图． （1）如图将点A（－2，－3）向右平移5个单位长度，得到点A1，在图上标出它的坐标，把点A向上平移4个单位长度呢？ （2）把点A向左或向下平移4个单位长度，观察他们的变化，你能从中发现什么规律吗？ （3）再找几个点，对他们进行平移，观察他们的坐标是否按你发现的规律变化？ 规律：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（ ， ））；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（ ， ））． 教师说明：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移． 54 / 210 例 如图（1），三角形ABC三个顶点坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）． （1）将三角形ABC三个顶点的横坐标后减去6，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，依次连接A1、B1、C1各点，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？ （2）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？ 引导学生动手操作，按要求画出图形后，解答此例题． 解：如图（2），所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到．类似地，三角形A2B2C2与三角形ABC的大 55 / 210 小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到． 思考题： 由学生动手画图并解答． 归纳： 三、练习 教材第58页练习；习题6．2中第1、2、4题． 四、作业 教材第59页第3题． 56 / 210 7.3.2 《多边形的内角和》教案 教 学 任 务 分 析 知识目了解多边形的内角和与外角和公式,进一步了解标 转化的数学思想 1、让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。 能力目2、通过把多边形转化为三角形,体会转化思想标 在几何中的运用,让学生体会从特殊到一般的认识 问题的方法。 3、通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。 情感情通过学生间交流、探索，进一步激发学生的求知欲望，养成良好的数学思维品质。 感 学习热情，教 学 目 标 重探索多边形的内角和及外角和公式 点 用分割多边形法推导多边形难如何把多边形转化成三角形，点 的内角和与外角和。 教 学 流 程 安 排 活 动 流 程 活 动 内 容 和 目 的 活动1 回顾三角形内角回顾三角形内角和知识，激发学生的和，引入课题 学习兴趣，为后继问题解决作铺垫。 活动2 探索四边形内角会转化的本质—将四边形转化为三角和 形问题来解决。 活动3 探索五边形内角和，推导出任意通过类比得出方法，探索多边形内角鼓励学生寻找多种分割形式，深入领57 / 210 多边形内角和和公式，体会数形间的联系，感受从公式 特殊到一般的思考问题的方法。 活动4 探索六边形及n掌握复杂问题化为简单问题，化未知边形外角和 为已知的思想方法。 活动5 多边形内角和与综合运用所学知识去解决问题。 外角和公式的运用 活动6 归纳总结，布置小结及课后探究习题梳理所学知识，作业 达到巩固，发展提高的目的。 教 学 过 程 设 计 问 题 与 情 况 活动1 师 生 行 为 设 计 意 图 回顾已学知识：三角形的内角和等于180°，为后继问题的解决作铺垫。 利用学生的好奇心设疑，激发学生的求知欲望，使他们能自觉地参与到下面多边形内角和探索的活动中去。 通过类比和扩展方法的使用，使学生1、教师提问，学生思考作答。 问题：你知道三角形2、教师总结：三角形的内角和等于的内角和是180°。 多少度吗？ 3、引出课题：您想知道任意一个多边 形的内角和吗？今天我们就来进一步A 探讨多边形的内角 和与外角和。 B C 三角形的内角和等58 / 210 于180° 课题：多边形的内角和与外角和 活动2 1、引导学生猜想：教师可点拨学长方形四边形的内角和等生从正方形、问题：你知道任意一这两个特殊的多边于360°。 个四边形的内角和进而猜2、学生分小组交流形的内角和，与探究，进一步来测出四边形的内角是多少吗？ 论证自己的猜想。 和等于360°。 学生展示探“解放学生的3、由各小组成员汇究成果 A 报探索的思路与方法，讲明理由。 4、教师汇总学生所手，解放学生的大脑”，鼓励学生积极参与，合作交流，用自己的语言表达解探索出的不同方决问题的方式方法， 法，除测量与拼凑发展学生的语言表D 法外，并提出疑问：达能力与推理能力。 你们添加辅助线的 鼓励学生寻找目的是什么？说一多种分割形式，深入 说你的想法。 领会转化的本质— B 5、教师在学生回答—将四边形转化为C 分成2个三角形 的基础上小结：借三角形问题来解决。 助辅助线把四边形分割成几个三角59 / 210 180°×2=360° D A O 形，利用三角形内角和求得四边形内角和。 B C 分割成4个三角形 180°×4-360°=360° A D B P C 分割成3个三角形 180°×3-180°=360° 60 / 210 1、教师提出问通过增加图形的题，学生思考后分复杂性，让学生再一问题1：你知道五边组活动。 次经历转化的过程，2、教师深入小加深对转化思想方法形的内角和是多少组，参与小组活动，的理解，在探索过程及时了解学生探索中进一步体现新课标度吗？ 的情况。 “以人为本”的思想， A 3、让学生归纳借再一次发展学生的平助辅助线将五边形理能力和语言表达能E 分割成三角形的不力。 同分法。 通过四边形、五 B 4、探究五边形的边形特殊，多边形内 边数与所分割的三角和的探索，让学生角形个数间的关从特殊到一般归纳总 系，进而得出五边结出多边形内角和公形内角和与边数的式，体会数形间的联D 关系。 系，感受从特殊到一 5、根据以上分割般的数学推理过程和三角形的方法，引数学思考方法。 C 导学生归纳n边形 A 内角和公式及不同公式间的联系，指E 明为了书写整齐，便于记忆，我们选 择(n-2)·180°这 O 个公式。 6、通过计算让学 B 生巩固并掌握n边形内角和公式。 D 活动3 C A 61 / 210 E B D P C 问题2：你知道n边形的内角和吗？ (n-2)·180° 180°n-360° 180°(n-1)-180° 板书： 多边形内角和公式：(n-2)·180° 例：求15边形内角和的度数 62 / 210 活动4 问题1：小明家有一张六边形的地毯，小明绕各顶点走了一圈，回到起点A，他的身体旋转了多少度？ 例：六边形外角和等于多少度？ E 4 D 5 1、学生思考作经历现实情况引答，教师作适当点出六边形的外角和等拨。通过课件演示，于360°，从学生已由学生发现：六边有的生活经验出发，形的外角和等于更能激发学生的学习360°。 兴趣。 2、教师引导学通过类比和扩展生利用多边形的内方法的使用，使学生角和公式，进一步掌握复杂问题化为简论证六边形外角和单问题，化未知为已等于360°。即：六知的思想方法。 个平角减去六边形内角和等于六边形外角和360° 3、进行类比推理并小结：n边形外角和等于n个平角减去n边形内角和，与边数无关。 180°n-（n-2）·180°=360° F 3 C 6 2 A B 1 63 / 210 问题2：n边形外角和等于多少度？ n边形外角和等于360° 活动5 问题：你能运用多边形内角和与外角和公式解决问题吗？ （1）教科书P88 例1 （2）求下列图中x值 150 2x° 120 ° °1、学生利用当堂所学的知识通过小组合作解决问题，巩固本节知识。 2、教师从学生的回答中，了解学生有条理表达自己的思考过程。 3、引导学生利用多边形的内角和公式解释小明的设想能否实现，进一步让学生感受到数学的趣味性，以及与实际生活间的密切联系。 学生自主探索巩固知识和获得技能，掌握基本的数学思想。 教师及时了解学生的学习效果，让学生经历用知识解决问题的过程。 同时激发学生的学习和积极性，建立学好数学的自信心。学生巩固、发展、提高。 64 / 210 x° 80 ° 120 ° 75 x° （3）一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？ 探究题：小明有一个设想:2008年奥运会在北京召开，他设计一个内角和是2008°的多边形图案多有意义，小明的想法能实现吗？ ° 65 / 210 1、学生反思学习通过回顾和反和解决问题的过程。 思，让学生看到自己问题：谈谈本节课2、鼓励学生大胆的进步，激励学生，表达，并对学生的进使学生自己在今后你有哪些收获？ 步给予肯定，树立学的学习中会不断进生学好数学的自信步，提高学生的学习 心。 热情。 作业：课本P90.2 活动6 P90.6 7.4课题学习《镶嵌》 一、 教材分析 1．教材地位和作用 第七章《三角形》首先介绍了三角形的有关概念和性质，接着介绍了多边形的有关概念及其内角和、外角和公式. 镶嵌作为课题学习的内容，安排在本章的最后，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 通过课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，到综合运用已有的知识解决问题的全过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力. 2．重难点分析 教材由铺地板砖铺地引入镶嵌问题后提问:为什么这样的地砖可以进行平面镶嵌？引发学生的思索，接着又提出：哪几种多边形可以平面镶嵌？为了深化课题研究，教材进一步提出:哪两种正多边形可以平面镶嵌？设问层层递进，不断引发学生的认知冲突，从而引领学生完成课题学习. 因此，本节的重点是经历平面镶嵌条件的探究过程，难点是用两种正多边形进行的平面镶嵌. 为了突出重点，突破难点，本课题的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，关注学生的实践与操作，让学生自己准备正多边形，自己拼图，自主发现数学问题，进而解决问题，教师要适时启发学生把平面镶嵌的条件与内角和公式联系起来，进而建立解题模型. 二、 教学目标分析 课题的学习，要求学生先实验得出结论，再把结论运用于实 66 / 210 验，是对已学知识的复习、巩固和应用的过程，也是培养学生多种能力的过程，所以确定如下教学目标： 1．知识技能目标：①了解平面镶嵌的条件，会用一个三角形、四边形、正六边形平面镶嵌，形成美丽的图案，积累一定的审美体验. ②经历探索多边形平面镶嵌的条件过程，并能运用几种图形进行简单的镶嵌设计. 2．数学思考目标：由多边形的内角和公式说明注意三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面. 3．解决问题目标：观察常见的地板砖密铺，综合运用所学的知识技能解决平面镶嵌的条件. 4．情感态度目标：平面镶嵌是体现多边形在现实生活中应用价值的一个方面，通过探索多边形平面图形的镶嵌并且欣赏美丽图案，从而感受数学与现实生活的密切联系，体会数学活动充满了探索性与创造性，培养学生学习数学的兴趣，促进创新意识、审美意识的发展. 三、 教学流程安排 活动流程图 活动内容和目的 活动1 引入背景 创设情境，导入新课，了解多 边形平面覆盖来自生活实际 活动2 实验探究 发现有的多边形能够覆盖平 面，有的则不能 活动3 结果分析 讨论多边形能覆盖平面的基本 条件，运用多边形内角和公式对实活动4 知识运用 验结果进行分析. 进行简单的镶嵌设计，把所学知识运用到实践中. 四、 教学过程设计 问题与情景 师生行为 设计意图 [活动1] 学生欣赏美丽的校从观察生活现象入1．引入背景 园一角，教师指出：用手，抽象出数学问题— 地砖铺地，用瓷砖贴墙，—平面镶嵌的问题,激 都要求砖与砖严丝合发学习兴趣. 缝，不留空隙，把地面 或墙面全部覆盖.从数 学角度去分析，这些工 作就是用一些不重叠摆 放的多边形把平面一部 分完全覆盖，通常把这67 / 210 [活动2] 实验探究 实验1 尝试用手中的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形进行平面镶嵌 实验2 用正三角形与正四形镶嵌成一个平面图案,用正三交形与正六边形镶嵌成一个平面图案 实验3 用任意三角形或任意四边形镶嵌成一个平面图案 问题与情景 类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题. 学生动手操作，记录结果.教师巡回指导,并展示镶嵌效果图案. 通过实验,让学生发现正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌成一个平面图案,而正五边形则不能. 学生在拼图的过程学生通过实验知道中,教师巡回指导. 教师两种正多边形也可以进对出现的不同的拼图方行平面镶嵌. 法予以肯定.学生完成实验后,出示镶嵌效果图案. 学生拼图,教师重点关注学生能否把不相等的角拼接在一个顶点处，能否把相等的边拼在一起. 教师出示镶嵌效果图. 师生行为 培养学生的操作能力,了解一般的三角形或四边形可以进行平面镶嵌. 设计意图 68 / 210 [活动3] 问题1 学生观察上述的实分析实验结验结果,分组讨论平面果 镶嵌的条件, 发现问题 与多边形的内角大小有 密切关系，教师出示图 例，引导学生发现拼接 在同一点的各个角的和 恰好等于360°. 师生归纳得出多边 形平面镶嵌的条件: ①拼接在同一点的 各个角的和恰好等于 360°; ②相邻的多边形有 公共边. 例如下图中的点O 处∠1+∠2+∠3+∠ 4=360°,OA两侧的多 边形有公共边OA. 图 问题2 解释实验结 果 学生解释任意三角形能够进行平面镶嵌的理由:图中 ∠1+∠2+ ∠3=180°,把6个全等的三角形适当地拼接在同一个点,一定能使这点为顶点的6个角的和恰好等360°,并且使边长相等的两边贴在一起. 于是, 用三角形能镶嵌成一个平面图案. 学生说明正五边形不能镶嵌成一个平面图案的原因: 由多边形内角和公司,可以得到五边形内角和等于（5-269 ）×180°/ 210 学生运用已有的知识对实验结果进行推理分析,把感性认识上升到理性认识的高度,说明了理论来源于实践. 验证平面镶嵌的条件,说明理论来源于实践又运用于实践. 问题与情景 [活动4] 问题1 小结反思 问题2 自由设计 师生行为 学生自由谈本节课的收获.教师注意纠正学生的错误与不足，对学生的进步予以表扬. 教师先展示几组其它平面镶嵌的图形,扩展学生视野,然后要求学生独立设计一份平面镶嵌的图案，教师先个别辅导，再集中欣赏学生的作品. 设计意图 复习巩固已学知识，学生学会小结反思. 将已学的知识用于实际.培养学生的创造能力,发展学生的审美意识. 五、 回顾与小结 本课题的教学采取实验操作、观察发现、启发引导、探索交流等多种方法相结合的教法，特别关注了从实践到理论,再从理论到实践的全过程,教师对学生的实践进行指导,帮助学生优化思维过程，在此基础上，学生互相交流思维策略，设计创意，既满足了学生学习的多样化的要求，又扩展了学生的数学知识和使用数学语言的能力. 课题：8.1 二元一次方程组 1、弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并教学目标 会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解； 2、学会用类比的方法迁移知识；体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受数学的乐趣． 教学难弄懂二元一次方程组解的含义。 点 70 / 210 知识重二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。 点 教学过程（师生活动） 幻灯：古老的“鸡兔同笼问题” 设计理念 以古老的数学“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九名题引入，可十四足．问鸡、兔各几何？” 以增强学生的师：这是我国古代数学著作《孙子算经》民族自豪感，中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起激发学好数学过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各的感情 位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？ 创设情境 学生思考自行解答，教师巡视．最后，在 学生动手动脑的基础上，班级集体讨论给出各 能用方案本来导入课种解决方案． 题 方案一：算术方法 把兔子都看成鸡，则多出94－35 × 2=24解的学生算术只脚，每只兔子比鸡多出两只脚，故，由此可功底比较好，先求出兔子有24÷2=12只， 进而鸡有35－12=23只． 或类似的也可以先求鸡的数量． 35×4－94=46，46÷2＝23 方案二：列一元一次方程解 应给予高度赞赏． 方案二既是对71 / 210 设有x只鸡，则有（35－x）只兔．根据题一元一次方程意，得 2x十4(35－x)=94. （解方程略） 的复习与巩固，又为二元一次方程组的教师不失时机地复习一元一次方程的有关引出做好铺垫概念，“元”是指什么？“次”是指什么？ 在。 （一）讨论二元一次方程、二元一次方程组的 概念 师：上面的问题可以用一元一次方程来解， 还有其他方法吗？（若学生想不到，教师要引 导学生，要求的是两个未知数，能否设两个未引导学生利用知数列方程求解呢？让学生自己设未知数，列一元一次方程方程） 分析问方案三：设有x只鸡，y只兔，依题意得 题 x＋y=35，① 2x＋4y=94.② 学生用原有的认知结构去同移与奚比，让进行知识的迁针对学生列出的这两个方程，提出如下问化新知识，符题： （1）、你能给这两个方程起个名字吗？ （2）为什么叫二元一次方程呢？ （3）什么样的方程叫二元一次方程呢？ 合建构主义理念 72 / 210 结合学生的回答，教师板书定义1：含有两 个未知数，并且未知数的指数都是1的方程， 叫做二元一次方程． 师：在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同通过探究活动时满足①②两个方程．把①②两个二元一次方得出结论： 程结合在一起，用花括号来连接．我们也给它1、二元一次方起个名字，叫什么好呢？ xy35 2x4y94程的解是成对出现的；2、二元一次方程的解有无 定义2：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． 数多个．这与（二）讨论二元一次方程、二元一次方程组的一元一次方程解的概念 有显 探究活动：满足x＋y=35的值有哪些？请填著的区别． 入表中： X y … … 教师启发： （1）若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？ （2）你能模仿一元一次方程的解给二元一 73 / 210 次方程的解下定义吗？ （3）它与一元一次方程的解有什么区别？ 定义3：使二元一次方程两边相等的两个未 知数的值，叫二元一次方程的解，记为xa yb 师：那么什么是二元一次方程组的解呢？ 学生讨论达成共识：二元一次方程组的解必 须同时满足方程组中的两个方程．即：既是方 程①又是方程②的解． 定义4：二元一次方程组的两个方程的公共通过对比，让解叫做二元一次方程组的解． 学生体脸到从比如：从方案一，我们知道，x=23，y=12算术方法到代使方程组中每一个方程成立．所以我们把x=23，数方法是一种y=12叫做 进步．而当我 xy35x23的解记为： 2x4y94y12们遇到求多个 注意：二元一次方程组的解是成对出现的，未知量，而且用花括号来连接，表示“且”． 数量关系较复 议一议：将上述“鸡兔同笼”问题的三种杂时，列二元方案进行优劣对比，你有哪些想法呢？ 一次方程组比列一元一次方程容易，它大74 / 210 大减轻了我们的思维负担． 例1 下列各对数值中是二元一次方程x＋2y=2本例先检验二的解是 （ ） 元一次方程的A x2x0x1x2 B C D y2y1y0y0解，再检脸二巩固新知 解法分析： 元一次方程组将A、B,C,D中各对数值逐一代人方程检验是否满足方程，选A,B,C. 的解，符合从x2y2变式：其中是二元一次方程组解是2xy2简单到复杂的( ) 认知规律．使 解法分析： 在例1的基础上，进一步检验A、B、C中各学生更深刻地对值是否满足方程2x＋y=－2，使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方理解二元一次程． 方程组的解的 例2（教材102页练习） 概念． 解答过程略 目的在于培养分析等量关系并列方程组的能力；培养观察估算能力；使学生进一步熟悉二元一次75 / 210 方程组及其解的概 在学生畅所欲言话收获的基础上，通过老发挥学生主体师进行补充的方式进行． 本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？ 意识，培养学（什么叫二元一次方程？什么叫二元一次生归纳小结的方程组？什么叫二元一次方程组的解？） 能力。 1、必做题：教科书102页习题8.1第1、2题． 2、选做题：教科书102页习题8.1第3题． 3、备选题： （1）根据下列语句，列出二元一次方程： 2 ①甲数的一半与乙数的的和为11 ②甲数和乙数的2倍的差为17 （2）方程x＋2y=7在自然数范围内的解（ ） A 有无数个 B 有一个 C 有两个D 有三个 （3）若mx＋y=1是关于x,y的二元一次方程，不同层次的学那么m 的值应是（ ） 生根据自身的 A.m≠O B. m=0 C. m是正有理数D. m是负有理数 需要选择不同（4）李平和张力从学校同时出发到郊区某公园游玩，两人从出发到回来所用的时间相同，但的备用题，实是，李平游玩的时间是张力骑车时间的4倍，现不同的人在而张力游玩的时间是李平骑车时间的5倍，请问他俩人中谁骑车的速度快？ 数学上获得不同的发展的教学理念． 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 3小结提高 布置作业 76 / 210 本课的设计是从提出“鸡兔同笼”的求解问题人手，激发学生的学习兴趣与民族自豪感，让学生经历从不同角度寻求不同的解决方法的过程，体现出解决问题策略的多样性，激发了学生的学习兴趣．以算术的方法衬托出方程解法的优越性，以列一元一次方程解法衬托出列二元一次方程组解法的优越性，更使学生感到二元一次方程组的引人顺理成章． 本课内容是在学生已经掌握了一元一次方程的基础知识，初步具有提取数学信息、解决实际问题的能力后展开的．根据建构主义理念，学生完全有能力利用自己原有的知识去同化新知识，主动地将其纳人自己的知识体系中．所以本课的通篇整体设计，突出了一元一次方程的样板作用，让学生在类比中，主动迁移知识，建立起新的概念．使得基础知识和基本技能在学生头脑中留下较深刻的印象是很有必要的。 课题： 8.2 消元（1） 1、使学生学会用代人消元法解二元一次方程组； 教学目标 2、理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法； 3、逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想． 教学难代入消元法的基本思想。 点 77 / 210 知识重用代入法解二元一次方程组。 点 教学过程（师生活动） 播放学生篮球赛录像剪辑． 体育节要到了．篮球是初一(1）班的拳头项目．为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得创设情境 引入课题 2分，负队得1分．那么初一(1)班应该胜、负各几场？ 你会用二元一次方程组解决这个问题吗？ 根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以更容易地列出方程． xy20 2xy40设计理念 问题情境是学生喜闻乐见的体育活动，增强求知欲，对所学知识产生亲切感。 那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？ 1、 引导：什么是二元一次方程组的解？（方程 可以采用组中各个方程的公共解） 探究新知 满足方程①的解有： x21x20x19x18x17，，，, y1x2x3x4y5满足方程②的解有： 78 / 210 x19x18x17x16，，，… y6y2y4y6x18这两个方程的公共解是 y4观察与估算的方法．但很麻烦，故引发学生产生寻找新方法的需求． 2、师：这个问题能用一元一次方程来解决吗？ 学生思考并列出式子． 设胜x场，负(22－x)场，解方程 2x＋(22－x) =40 ③ 解法略． 观察：上面的二元一次方程组和一元一次方程 有什么关系？ 以退为 若学生还是感到困难，教师可通过提问进一步进的思想． 引导． （1）在一元一次方程解法中，列方程时所用的 等量关系是什么？ （2）方程组中方程②所表示的等量关系是什么？ 重视知识的发 （3）方程②与③的等量关系相同，那么它们的生过程，让区别在哪里？ 学生了解 （4）怎样使方程②中含有的两个未知数变为只代入消元含有一个未知数呢？ 结合学生的回答，教师做出讲解． 法解二元一次方程79 / 210 由方程①进行移项得y=22－x, 组的过程 由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的及依据．体场数，故可以把方程②中的y用(22-劝来代换， 会未知向 即得2x+（22－x) =40.由此一来，二元化为一已知，陌生元了． 解得x=18. 问题解完了吗？怎样求y 将x=18代入方程y=22－x，得y=4. 能代入原方程组中的方程①②来求y吗？代入哪个方程更简便？ 这样，二元一次方程组的解是x18 y4向熟悉转化这一重要思想—化归思想． 归纳：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．（板书课题） 例1 用代入法解方程组 xy3 3x8y14例1改编自教材巩固新知 本题较简单，直接由学生板演，师生共同评价． 解：把①代入②，得 105页例 3（y＋3）-8y＝14 1， 暂时 所以y=－1 把y=－1代人①，得x=2. 省略了x2 所以 y1“用含 解后反思．教师引导学生思考下列问题： 80 / 210 (1）选择哪个方程代人另一方程？其目的是什么？ (2)为什么能代？ (3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？ (4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？ (5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？ （与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等．检验可以口算，也可以在草稿纸上验算） 例2（为例1的变式）解方程组 1xy3 23x8y14一个未知数的式子去表示另一未知数”这一步骤，而将其放在例2中介绍，这样处理降低了难度，利于分阶段达成本课的知识目标．本例的重点在于让学生 分析： (1)从方程的结构来看：例2与例1有什么不同？ 例1是用x=y＋3直接代人②的．而例2的两个方程都不具备这样的条件都不能直接代入另一条方程． (2)如何变形？ 把一个方程变形为用含x的式子表示y（或含y的式子表示x）． (3)那么选用哪个方程变形较简便呢？ 通过观察，发现方程①中y的系数为－1，因此，可先将方程①变形，用含x的代数式表示y，再代入方程②求解． 解：由①得，y=1x3，③ 2把③代人②，得（问：能否代入①中？） 1 3x－8（x3）=14， 2 所以－x=－10, x=10. 81 / 210 （问：本题解完了吗？把y=37代入哪个方程求x较简单？） 把x=10代入③，得 y=1x103 2掌握代入法的基本步骤． 所以y=2 x10 所以 y2 （本题可由一名学生口述，教师板书完成） 例2进一步巩固代入法的步骤．重点在于说明解二元一次方程组的一些技巧问题，主要表现在如何选择一个方程，如何用含一82 / 210 个未知数的式子去表示另一未知数． 小结与作业 合作交流：你从上面的学习中体会到代人法的基本思路是什么？主要步骤有哪些呢？与你的同伴交流． 学生畅所欲言，互相补充，小组派中心发言人进行总结发言．最后，由老师出示幻灯片． 及时梳理 代入法的实质是消元，使两个未知数转化为知识，形成一个未知数一般步骤为： 模—用代小结提高 ①从方程组中选一个未知数系数比较简单入法解二的方程．将这个方程中的一个未知数，例如y，用元一次方含x的式子表示出来，也就是化成y=ax＋b的形程一般步式； 骤。 ②将y=ax＋b代人方程组中的另一个方程中，消去y,得到关于二的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x的值； ④把求得的x值代人方程y=ax＋b中，求出y的值，再写出方程组解的形式； 83 / 210 ⑤检验得到的解是不是原方程组的解．这一步不是完全必要的，若能肯定解题无误，这一点可以省略。 反馈练习 1、 教材105页1.（补充：再改写成用含y的 式表示x） 2、 教材105页练习2用代入法解方程组 3、 教材107页3应用题 1、必做题：教科书111页习题8.2第1题，112页习题 2第2(1)(2)题． 2、选做题：教科书112页习题8.2第6题． 布置作业 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 代入消元法体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，化归的原则就是将不熟悉的问题化归为比较熟悉的问题，从而充分调动已有的知识和经验，用于解决新问题．基于这点认识，本课按照“身边的数学问题引入—寻求一元一次方程的解法—探索二元一次方程组的代入消元法—典型例题—归纳代入法的一般步骤”的思路进行设计．在教学过程中，充分调动学生的主观能动性和发挥教师的主导作用，坚持启发式教学．教师创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识发现过程融于有趣的活动中．重视知识的发生过程．将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的代入（消元）解法，这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的． 84 / 210 课题： 8.2 消元（2） 1、使学生熟练地掌握用代人法解二元一次方程组； 教学目标 2、使学生进一步理解代人消元法所体现出的化归意识； 3、体会方程是刻画现实世界的有效数学模型． 教学难点 进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现的化归意识。 学会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程知识重点 组。 教学过程（师生活动） 设计理念 1、 请你编一个能用代人法求解的二元一次 本课是方程组，考考你的同桌，看看他是否掌握对代入消了． 创设活动 元法的巩固和深化，设置活动2、结合你的解答，回顾用代人消元法解方程目的在于组的一般步骤． 帮助学生迅速再现以往的知识经验，起85 / 210 到承上启下的作用。 1、探索分析问题： 教材105页例2：根据市场调查，某种消毒液 的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售 数量比（按瓶计算）为2：5.某厂每天生产这种消 毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两 种产品各多少瓶？ 学生独立分析，列出方程组，全班交流． 解：设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶，则 探究新知 5x2y 500x250y22500000 这里的反思突出了本课的重点，既2、引导学生思考： 问题1：此方程与我们前面遇到的二元一次方帮助学生程组有什么区别？ 进一步完 （两个方程里的两个未知数系数的绝对值均不善代入法为1） 解题的步 问题2：能用代入法来解吗？ 骤，又渗透 问题3：选择哪个方程进行变形？消去哪个未解决实际知数？ 问题的程在师生对话交流中，完成本题的板书示范． 序化思想。 86 / 210 3、解后反思： （1）如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为1的二元一次方程组？ （2）列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系。 (3)列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、 设、列、解、检、答． 练习1：用代入法解下列方程组． 2s3t（1） 3s2t55x6y13（2） 7x18y1整体代入无代入法的一种重巩固新知 两名学生演示，老师巡视，着重讲评第(2)小要技巧，它题． 第(2)题大多数同学的方法是： 实质就是136y 由①得：x= ③ 把③代入②，… 5换元的思这种方法计算量较大，容易出错．提出疑问：“是否还有更好的解答方法？通过自主探究后发想．若学生现 由①得，6y=13-5x ④，把④代人②解得， 仍感困惑x=5，把x=5代入④解得：y=－2 也可用新x5∴ y2未知数去 解后反思： 1、把6y看作一个整体，代入消元，使解方程替换原来变得简单许多． 2、拿到方程，要善于观察结构特点，不急于视为整体动笔． 的那一部 87 / 210 练习2.分层练习： 分． 学生必须先尝试完成B层练习，如果有困难，那么可以先完成A层练习后再做B层练习，顺利完 成B层的同学可以尝试完成C层练习． A层： 1.将二元一次方程5x＋2y=3化成用含有x的式这里安排子表示y的形式是y= ；化成用含有y的式子表示x的形式是x= 。 分层次练2．已知方程组：4yx4,指出下列方法中比5y4x3习，让学生根据自身的需要自由选择不同的题目，在自我挑战中获得成就感教师根据实际情况，对不同的学较简捷的解法是（ ） A.利用①，用含x的式子表示y，再代入②； B利用①，用含y的式子表示x，再代入②； C.利用②，用含x的式子表示y,再代入①； D.利用②，用含x的式子表示x，再代人①; B组 3、用代入法解方程组： mn23x5y144 （1） （2） mn2x3y263 C组 4、解方程组： 3x2y202 3x2y155x1axby15、已知方程组的解为1，求bxay3x2a、b 生进行有针对性的指导，使不同的学生都有发练习3：实践活动 xy16请你根据方程组编一道符合实际的应3x5y60用题。 88 / 210 展．这符合新课标的新理念：不同的人在数学上都能获得不同的发展. 小结与作业 1、这节课你学到了哪些知识和方法？ 让学生更比如：①对于用代入法解未知数系数的绝对值加明确本不是1的二元一次方程组，解题时，应选择未知数小结提的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可高 使运算简便．②列方程解应用题的方法与步骤．③查漏补缺整体代入法等． 的目的。 2、你还有什么问题或想法需要和大家交流？ 1、 做题：教科书112页习题8.2第2（3）（4）不题，第4题。 2、 选做题：教科书107页练习。 的3、 备选题： 据5s3t0（1） 解方程组 5t3s50需（2） 利用你学会的整体代入法解下面的方程同层次学生根自身的要选择识点，达到节课的知 布置作业 89 / 210 组： 3(x3)y1 5(y1)2(x5)不同的备用题，达到（3）小明外婆送来一篮鸡蛋．这篮鸡蛋最多只能装55只左右．小明3只一数，结果剩下1只，但因材施教忘了数多少次，只好重数．他5只一数，结果剩下的目的。 2只，可又忘了数多少次．他准备再数时，妈妈笑着说：“不用数了，共有52只．”小明惊讶地问妈妈怎么知道的．妈妈笑而不答．同学们，你们知道这是为什么吗？ 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 代入法解二元一次方程组是一项重要的数学基本技能．它需要通过一定的训练才能达到熟练、准确的程度．而学生最反感的就是机械的训练．本课设计充分考虑到这点，因而使练习呈现形式的多样化．比如自编考题、分层练习、实践活动等不时地给学生以新鲜感，而无重复枯燥之感． 学习数学，要不断归纳总结才能事半功倍，借以提高技能，提高才智．代入消元法的消元思想体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，它是极重要的数学思想法．因此本课在练习结束后，都及时安排反思，加强化归思想的总结和提炼，这对于提高学生的能力，发展学生的思维极有好处． 课题： 8.2 消元（3） 教学目标 1、掌握用加减法解二元一次方程组； 2、使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思90 / 210 想方法； 3、体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心． 教学难用“加减法“解二元一次方程组。 点 知识重点 学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组。 教学过程（师生活动） 设计理念 王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果 问题解和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买决过程中了2千克苹果和3千克梨共花了12元，梨每千克蕴含了朴的售价是多少？比一比看谁求得快． 素的加减最简便的方法：抵消掉相同部分，王老师比消元的思李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每想．反映创设情千克的售价为2元． 境 每一次进步，都可以在实 际的实戏活动中找到依据． 出，科学的91 / 210 1、 解方程组 2x3y1 2x5y7 代人方程②，消去使学生进一步巩固用“代入（由学生自主探究，并给出不同的解法） 13y解法一由①得：x=y2x. 解法二：把2x看作一个整体，由①得2z=－1法”解二元－3y,代入方程②，消去2x. 一次方程肯定两解法正确，并由学生比较两种方法的组，并在体优劣．解法二整体代入更简便，准确率更高． 会“代入有没有更简洁的解法呢？教师可做以下启法＂存在探究新知 发： 不足的同问题1.观察上述方程组，未知数z的系数有什时，感受用么点？（相等） “加减法” 问题2.除了代入消元，你还有别的办法消去x解二元一吗？ 次方程组（两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，的优越性，得到一个一元一次方程．） 并掌握“加解法三：①－②得：8y=－8,所以y=－1 减法”． Y=－1代人①或②，得到x=1 所以原方程组的解为x1 y1 92 / 210 2、变式一 2x3y1 2x5y7 启发： 问题1.观察上述方程组，未知数x的系数有什 么特点？（互为相反数） 问题2.除了代人消元，你还有别的办法消去 x吗？ 变式的意 （两个方程的两边分别对应相加，就可消去义在于从x，得到一个一元一次方程．） “减“的情解后反思：从上面的解答过程来看，对某些二形自然地元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相过渡到”加减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方“的情形，程，从而求出它的解．这种解二元一次方程组的浑然一体。 方法叫做加减消元法，简称加减法． 想一想：能用加减消元法解二元一次方程组 的前提是什么？ 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反 或相等. 4x3y13、变式二： 2x5y7 观察：本例可以用加减消元法来做吗？ 必要时作启发引导： 93 / 210 问题1.这两个方程直接相加减能消去未知数 吗？为什么？ 例题及变 问题2.那么怎样使方程组中某一未知数系数式一解决的绝对值相等呢？ 用了加减启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x法解某一的系数成整数倍数关系． 因此：②×2，得4x－10y=14③ 未知数的系数的绝 由①－③即可消去x，从而使问题得解． 对值相等 （追问：③－①可以吗？怎样更好？） 的二元一4、变式三：2x3y1 3x5y7次方程组的问题。 想一想：本例题可以用加减消元法来做吗？ 让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中 某一未知数系数的绝对值相等呢？ 分析得出解题方法： 解法1：通过由①×3，②×2，使关于x的系 数绝对值相等，从而可用加减法解得． 变式二解 解法2：通过由①×5，②×3，使关于y的系决用加减数绝对值相等，从而可用加减法解得． 法解某一 怎样更好呢？ 未知数的 通过对比，使学生自己总结出应选择方程组系数成整94 / 210 中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未数倍数关知数消元． 系的二元 解后反思：用加减法解同一个未知数的系数一次方程绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组组。 时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数， 使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从 而化为第一类型方程组求解． 变式三的设置目的是引导学生学会用加减法解同一个未知数的系95 / 210 数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组．这是本课的难点．通过三个变式，搭建了降低难度的阶梯． 练习1：教科书第111页练习第1题 练习2：自行设计一些错题让学生判断。 收集学生的易错巩固新知 点，让学业生在改错中，自我诊断。 小结与作业 小结提 回顾：用加减法解二元一次方程组的基本思引导学生96 / 210 高 想是什么？ 思考、交 这种方法的适用条件是什么？步骤又是怎样流、梳理所的？ 学知识，培养学生的理性思维能力和良好的口头表达能力． 布置作业 4、 5、 做题：教科书112页习题8.2第3题。 选做题：教科书112页习题8.2第6题。 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 在学习加减法解题之前，学生们已经知道了代人法解二元一次方程组的核心是代人“消 元”，以使二元方程转化为一元方程求解．因此本节课例1的提出既是对代人法的复习，又是 加减法的探索．同时，也通过一题多解培养学生开放性思维． 解题方法应由学生自己去探索、发现，只有自己探索出来的，才是属于自己的，印象也就最深刻．本课设计没有直接告诉学生加减法解题的过程，而是通过引导学生观察不同方程组的结构特点，比较不同解法的优劣，自己探索发现解题的技巧．这样使学生在积极参与的学习中不仅能感受到学习的乐趣，更重要的是在这种积极求索的学习中，品尝到了成功的喜悦，97 / 210 促使其能力得到充分的发挥、提高． 思维发散，是培养创新思维的基础．透彻理解一个题，胜过盲目的多个演练题．本课设计采用变式教学，充分利用一道例题，由浅人深，不断地注人新元素，不时地给学生以新鲜感，避免了频繁地更换例题带给学生的枯燥与疲惫感，并且使整堂课节奏紧凑，一气呵成．的消元思想体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，它是极重要的数学思想法．因此本课在练习结束后，都及时安排反思，加强化归思想的总结和提炼，这对于提高学生的能力，发展学生的思维极有好处． 课题： 8.2 消元（4） 1、熟练掌握加减消元法； 教学目2、能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组， 标 3、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性． 教学难教材中例4的数量关系较复杂，是本课的难点。 点 知识重能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。 点 教学过程（师生活动） 创设情1、 复习提问 设计理念 引例生动98 / 210 境 解二元一次方程组有哪几种方法？它们的实质是活波，激发二元一次方程消元 代入、加减 什么？ 一元一次方程学生的探究欲望，让学生在看、听、想的过程中愉悦地获得数2、播放动画《西游记》场景，配数学诗． 悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟． 归时四分行六百，风速多少才称雄？ 请一名学生解释诗歌大意：孙悟空顺风去查妖学知识． 精的行踪，仅用4分钟就飞跃千里．逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？ 学生思考，根据题中等量关系，列出方程． 设悟空行走速度为x里／分，风速为y里／分，则 4x4y1000 4x4y600 你会解这个方程组吗？ 学生独立完成后．在班级里交流解法． 解法一：①＋②，消去y，得8x=1600 探究新知 ∴ x=200，代人①，得y=50 原方程组的解为x200 y50尝试不同的解法，培养学生的发散性思维和解法二：①－②，消去x。以下略． 99 / 210 解法三：整体代入．由①得：4x=1000－4y，代择优意识。 入②，消去x. 同理，也可消去y. 解法四：化简原方程组为消元，或代入消元均可． 反思：试着从各个角度比较“代入法”与“加 减法”的共同点与不同点．（同学间相互交流）它们 各适用于什么情况？ 解二元一在学生回答的基础上，教师指出：当方程组中次方程组某一个未知数的系数绝对值是1或一个方程的常数不管采用项为零时，用代入法较方便；当两个方程中，同一哪种方法，个未知数的系数绝对值相等或成整倍数时，用加减都可以获法较方便． 得它的解，练习1：根据方程组的特点选择更适合它的解但根据题法．你会怎样解呢？（第1，2小题完成后再出示第目形式的3小题．） 特点，选择（1）2xy1.54x8y12 （2） 3.2x2.4y5.23x2y5xy250,再利用加减xy150 不同的方法可以减少弯路，加快速度使2x3y10（3） 5x4y2第1小题用代入法，第2小题用加减法，都很100 / 210 明确，第3小题有争议．全班分成两部分．1、2大解题过程组用代入法做，3、4大组用加减法做．比较两解法简洁提高的简便程度． 反思：当方程组中任一个未知数的系数绝对值不是1，且不成倍数关系时，一般经过变形利用加减法会使解法更简单． 教材第109页例4. 2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦 3．6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，问：1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？ 分析： 问题1．列二元一次方程组解应用题的关键是什么？ （找出两个等量关系） 问题2.你能找出本题的等量关系吗？ 实际应 2台大收割机2小时的工作量＋5台小收割机2用 小时的工作量=3.6 3台大收割机5小时的工作量＋2台小收割机5小时的工作量=8 问题3.怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢？ 设1台大收割机1小时收割小麦x公顷，则 2台大收割机1小时收割小麦＿公顷， 2台大收割机2小时收割小麦＿公顷． 现在你能列出方程了吗？ 解后反思：应用题中，如何化解较复杂数量关系？ 练习2：教科书第111页练习第3题应用题． 正确率． 体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。 101 / 210 小结与作业 在学生畅所欲言话收获的基础上，通过老师进小结提行补充的方式进行。 高 本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？ 布置作6、 7、 业 做题：教科书112页习题8.2第5、7题。 选做题：教科书112页习题8.2第8题。 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 1、能根据教材编写思路，遵循学生的心理特点，创造性使用新教材中的问题情境（引入与111页练习3属同种数学模型），把教材中不动的问题情境转化为动的问题情境． 2、真正把课堂还给了学生，使学生真正地变为课堂学习的主人，老师只是学生学习的引导者和组织者．由于学生的个体差异，思维方式的不同，为了给学生创造个性化的学习空间，鼓励学生们用自己的方式去学习，把学习的主动权还给他们，让他们自己去探究不同的解题方法．通过例题分析、启发提问、集体讨论等形式，使学生能准确而迅速地确定解题方法从而突出了本课的重点、难点—选择适当方法求解二元一次方程组． 课题： 8.3 再探实际问题与二元一次方程（1） 教学目标 1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实102 / 210 世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型； 2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组； 3、学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答； 4、培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化。 教学难点 确定解题策略，比较估算与精确计算。 知识重点 以方程组为工具分析，解决含有多个未知数的实际问题。 教学过程（师生活动） 设计理念 前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示开门见山，问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探直接提出究如何用方程组解决实际问题． 本节学习 （出示问题）养牛场原有30只母牛和15只小目标，强化牛，一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只母本章的中创设情境 牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养心问题． 员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18～以学生身20 kg,每只小牛1天约需用饲料7～8 kg.你能否通边的实际过计算检验他的估计？ 问题展开讨论，突出数学与现103 / 210 实的联系． 学生思考、讨论． 判断李大叔的估计是否正确的方法有两种： 引导学生 一、先假设李大叔的估计正确，再根据问题中探寻解题给定的数量关系来检验． 思路，并对 二、根据问题中给定的数量关系求出平均每只各种方法母牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李进行比较，探索分析 大叔的估计是否正确． 方法一主解决问题 学生在比较探究后发现用方法二较简便． 要是要估设问1：如果选择方法二，如何计算平均每只母算的运用，牛和每只小牛1天各约需用饲料量？ 而方法二（有前面几节的知识准备，学生可以回答） 是方程思 列方程组求解． 想的应用。 主要思路： 104 / 210 设未知数 数学问题 实际问题 列方程组 （二元一次方程组） 学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程． 解：设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg. 找出相等关系列方程组 30x15y675 42x20y940x20 y5 分步到位，渗透模型化的思想。 规范解题步骤，培养学生有 解这个方程组，得 实际应用 这就是说，平均每只母牛和每只小牛1天各条理地思约需用饲料20kg和5kg.饲养员李大叔对母牛的食考、表达的量估计正确，对小牛的食量估计不正确． 习惯。 让学生认识到检验的重要性，并学会正确作答。 设问2：以上问题还能列出不同的方程组吗？比较分析，结果是否一致？ 个别学生可能会列出如下方程组 拓广探索 加深对方比较分析 30x15y675 12x5y265程组的认识。 但结果一致． 105 / 210 《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？ 课堂练习 出示古典名题一方面及时巩固用方程组解决实际问题的过程，另一方面让学生感受数学文化。 小结与作业 提问：通过这节课的学习，你知道用方程组解以问题的决实际问题有哪些步骤？ 学生思考后回答、整理： ①设未知数． ②找相等关系． 小结提高 ③列方程组． ④检验并作答． 学知识，建立起符合自身认识特点的知识结构．训形式出现，引导学生思考、交流，梳理所106 / 210 练口头表达能力，养成及 时归纳总结的良好学习习惯． 8、 必做题：教科书116页习题8.3第1（1）3、布置作业 5题。 9、 选做题：教科书112页习题8.3第8题。 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 从实际问题出发，通过分析实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组这种数学模 型，通过对方程组解的检验，让学生认识到检验不仅要检查求得的解是否适合方程组中的每一个方程，而且还要考查所得的解答是否符合实际问题的要求，初步体验用方程组解决实际问题的全过程． 在重视方程的应用价值的同时关注其文化内涵．给出《一千零一夜》（希腊文集）中的数学名题，使学生在数学知识和能力得到提高的同时能够感受到数学文化的熏陶．． 课题： 8.3 再探实际问题与二元一次方程（2） 教学目标 1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实107 / 210 世界的有效数学模型； 2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组； 3、学会开放性地寻求设计方案，培养分析 教学难点 用方程组刻画和解决实际问题的过程。 知识重点 经历和体验用方程组解决实际问题的过程。 教学过程（师生活动） 设计理念 前面我们初步体验了用方程组解决实际问题以学生身的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用边的实际方程组解决． 问题展开（出示问题）据以往的统计资料，甲、乙两种作学习，突出创设情境 物的单位面积产量的比是1：1 ：5，现要在一块长数学与现200 m，宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，实的联系，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物培养学生的总产量的比是3：4(结果取整数)？ 用数学的意识。 以上问题有哪些解法？ 学生自主探索，合作交流，整理思路： 探索分析 (1)先确定有两种方法分割长方形；再分别求策略解决研究策略 出两个小长方形的面积；最后计算分割线的位置． 问题，提高(2)先求两个小长方形的面积比，再计算分割思维的发多角度分析问题，多108 / 210 线的位置． (3)设未知数，列方程组求解． …… 学生经讨论后发现列方程组求解较为方便． 路 （1） 设未知数 （2） 找相等关系 （3） 列方程组 （4） 检验并作答 如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=xm，BE=ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组 散性。 引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思比较分析，加深对方程组的认识。 合作交流 xy200 100x:1.5100y3：415x10517y94217 解决问题 解这个方程组得 画图，数形结合，辅助学生分析。 过长方形土地的长边上离一端约106 m处，把这块地分 为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物． 你还能设计别的种植方案吗？ 用类似的方法，可沿平行于线段AB的方向分割长 方形． 教师巡视、指导，师生共同讲评． 109 / 210 进一步渗透模型化的思想。 引发学生思考，寻求解决途径。 学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：要用20张白卡纸制作包装纸盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个，如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装纸盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法． 按以下步骤展开问题的讨论： 拓展探究 （l）学生独立思考，构建数学模型． (2)小组讨论达成共识． 综合应用 （3）学生板书讲解． （4）对方程组的解进行探究和讨论，从而得到实际问题的结果． (5)针对以上结论，你能再提出几个探索性问题吗？ 以学生学习生活中遇到的 问题展开讨论，巩固用二元一次 方程组解决实际问题的一般110 / 210 过程，并不断提高分析问题的能力．安排开放题，以利于培养学生探索精神和创新意识． 小结与作业 提问：通过本节课的讨论，你对用方程解决实小结提高 际的方法又有何新的认识？ 学生思考后回答、整理． 10、 必做题：教科书116页习题8.3第1（2）、4题。 11、 选做题：教科书117页习题8.3第7题。 12、 备选题： （1） 解方程组布置作业 5x3y6 3x2y15 （2）小颖在拼图时，发现8个一样大小的矩形（如 图1所示），恰好可以拼成一个大的矩形． 小彬看见了，说：“我来试一试．”结果小彬七分层次布1拼八凑，拼成如图2那样的正方形．咳，怎么中间作业．其中还留下一个洞，恰好是边长2 mm的小正方形！ 你能帮他们解开其中的奥秘吗？ “必 111 / 210 做题”面向全体学生， 提示学生先动手实践，再分析讨论． 巩固知识、 方法，加深理解厂选做题”面向 部分学有余力的学生，给他们一 定的时间和空间，相互合作，自主探究，增强实践能力．备选通供教师参考． 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本课所提供的例题、练习题、作业题突出体现以下特点： 112 / 210 1、活动性．学生在图形分割、手工操作、拼图游戏中展开数学问题的讨论，更具趣味性，学生在玩中学、做中学，在增强能力的同时，收获快乐． 2、探索性．问题解决的策略不易获得，问题中的数量关系不易发现，问题中的未知数不 易设定，这为学生开展探究活动提供了机会． 3、开放性．解决问题的策略、方法、问题的结论的开放性设计，意在增强学生的创新意识和培养勇于挑战、克服困难的能力． 课题： 8.3 再探实际问题与二元一次方程（3） 1、进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型； 教学目标 2、会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组； 3、培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值． 教学难借助列表分问题中所蕴含的数量关系。 点 知识重用列表的方式分析题目中的各个量的关系。 点 113 / 210 教学过程（师生活动） 设计理念 最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张以一道生的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合活热点问理用电，各地出台了峰谷电价试点方案． 题引入，具电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形有现实意象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的用义．激发学电比较集中、用电功率比较大，而夜里人们休息时生学习兴用电比较小，所以通常白天的用电称为是高峰用趣，同时培电，即8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电即养学生节创设情境 22:00～次日8:00.若某地的高峰电价为每千瓦时约、合理用0.56元；低谷电价为每千瓦时。．28元．八月份小电的意识． 彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元， 理解你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千题意是关瓦时吗？ 学生独立思考，容易解答． 健．通过该题，旨在培养学生的读题能力和收集信息能力． 探索分析 （出示例题）如图，长青化工厂与A，B两地本例所涉有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨及的数据114 / 210 解决问题 1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产较多，数量品运到B地．公路运价为1. 5元（吨·千米），铁关系较为路运价为1.2元（吨·千米），这两次运输共支出复杂，具有公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品一定挑战的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ （图见教材115页，图8.3-2） 学生自主探索、合作交流． 设问1.如何设未知数？ 性，能激发学生探索的热情． 销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有 关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量 都有关．因此设产品重x吨，原料重y吨． 设问2.如何确定题中数量关系？ 列表分析 原料y 公路运费 （元） 铁路运费 （元） 价值（元） 知数的愈义． 借助表格辅助分析题中较复产品x吨 吨 合计 认识到合理设定未 通过讨论让学生由上表可列方程组 115 / 210 1.520x10y15000 1.2110x120y97200杂的数量关系，不失为一种好解这个方程组，得 x300 y400方法． 因为毛利润－销售款－原料费－运输费 所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1887800元. 引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的 学生讨论、分析：合理设定未知数，找出相等关系。 某瓜果基地生产一种特色水果，若在市场上每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润增为4500元；经精加工后销售，每吨利润可达7500元。一食品公司 购到这种水果140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须将这批水果全部销售或加工完毕，为此公司研制二种可行的方案： 方案一：将这批水果全部进行粗加工； 方案二：尽可能多对水果进行精加工，没来得及加工的水果在市场上销售； 方案三：将部分水果进行精加工，其余进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 学生合作讨论完成 选择经济领城问题让学生展开讨论，增强市场经济意识和决策能力，同时巩固二元一次方程组的课堂练习 反馈调控 116 / 210 应用． 小结与作业 1、在用一元一次方程组解决实际问题时，你这是第一会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析问题次比较完中的相等关系？ 整地用框2、小组讨论，试用框图概括“用一元一次方图反映实程组分析和解决实际问题”的基本过程． 学生思考、讨论、整理． 际问题与二元一次方程组的关系． 小结提 让学高 生结合自己的解题过 程概括整理，帮助理解，培养模 型化的思想和应用117 / 210 数学于现实 生活的意识． 13、 必做题：教科书116页习题8.3第2、6题。 14、 选做题：教科书117页习题8.3第9题。 15、 备选题： （1）一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所示． 甲种货车乙种货车总量（辆） （辆） （吨） 第14 5 28.5 次 第23 6 27 次 这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问：菜农应付运费多少元？ (2)某学校现有学生数1290人，与去年相比，男生增加20％，女生减少10％，学生总数增加7. 5％，问现在学校中男、女生各是多少？ 布置作业 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本课探究的问题信息量大，数量关系复杂，未知数不容易设定，对学生来说是一种挑战，因此安排学生合作学习．学生先独立思考，自主探索，然后在小组讨论中合理设定未知数，借助表格分析题中的数量关系，列出方程组求得问题的解．在本节的小结中，让学生结合自己的解题过程概括整理实际问题与二元一次方程组的关系，并比较完整地用框图反映，培养118 / 210 模型化的思想． 同时本节向学生提供了社会热点问题、经济问题等现实、具有挑战性的、富有数学意义的学习素材，让学生展开数学探究，合作交流，树立数学服务于生活、应用于生活的意识． 课题：9.1.1 不等式及其解集 1、感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地 寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上； 2、经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解教学目标 与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想； 3、通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识；让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。 正确理解不等式、 不等式解与解集的意义，把不等式的解集教学难点 正确地表示到数轴上。 建立方程解决实际问题，会解 “ax＋b=cx+d”类型的一元一知识重点 次方程 教学过程（师生活动） 设计理念 119 / 210 多媒体演示： 1、两个体重相同的孩子正在跷跷板上做 通过实例创设游戏．现在换了一个小胖子上去，跷跷板发情境，从“等”生了倾斜，游戏无法继续进行下去了．这是 什么原因呢？ 提出问题 2、一辆匀速行驶的汽车在11：20时距察能力，激发他离A地50千米。要在12：00以前驶过A地，们的学习兴趣． 车速应该具备什么条件？若设车速为每小时x千米，能用一个式子表示吗？ （一）不等式、一元一次不等式的概念 1、 引导学生仔细培养学生的观过渡到“不等”，在学生充分发表自己意见的基础上，观察并归纳出师生共同归纳得出：用“＜”或“＞”表不等式的意义。 示大小关系的式子叫做不等式；用“并” 表示不等关系的式子也是不等式。 2、下列式子中哪些是不等式？ 探究新知 （1）a＋b=b+a （2）－3＞－5 （3）对不等式意义x≠l 的理解，引出一在甄别不等式的过程中，加深 （4）x十3>6 （5） 2m< n （6）元一次不等式2x-3 的概念． 上述不等式中，有些不含未知数，有些 含有未知数．我们把那些类似于一元一次方 120 / 210 程，含有一个未知数且未知数的次数是1的 不等式，叫做一元一次不等式． 3、小组交流：说说生活中的不等关系． 培养学生主动参与、合作交流分组活动．先独立思考，然后小组内互相的意识，同时体交流并做记录，最后各组选派代表发言，在会到在现实生此基础上引出不等号“≥”和“≤”．补充说活中，不等关系明：用“≥”和“≤”表示不等关系的式子要比相等关系也是不等式． （二）不等式的解、不等式的解集 多得多.“补充说明”是为了让 问题1.要使汽车在12：00以前驶过A学生能完整地地，你认为车速应该为多少呢？ 理解不等式的 问题2.车速可以是每小时85千米吗？定义． 每小时82千米呢？每小时75.1千米呢？每 小时74千米呢？ 问题3.我们曾经学过“使方程两边相等让学生充分发的未知数的值就是方程的解”，我们也可以把表意见，并通过使不等式成立的未知数的值叫做不等式的计算、动手验解．刚才同学们所说的这些数，哪些是不等证、动脑思考，式2x > 503的解？ 2x > 503初步体会不等的解： 式解的意义以问题4，数中哪些是不等式 76，73，79，80，74. 9，75.1，90，及不等式解与121 / 210 60 方程解的不同 你能找出这个不等式其他的解吗？它到之处． 底有多少个解？你从中发现了什么规律？ 32时，不等式x > 503 讨论后得出：当x > 75时，不等式2x > 50 成立；当x < 75 或x=75遵循学生的认不成立。这就是说，任何一个大于75的数都知规律，有意是不等式250x > 3的解，这样的解有无数个。识、有计划、有2x > 503因此,x > 75表示了能使不等式成立条理地设计一的“x”的取值范围。我们把它叫做不等式些引人入胜的2x > 503的解的集合，简称解集．这个解集问题，可让学生还可以用数轴来表示（教师示范表示方始终处在积极法）．回到前面的问题，要使汽车在12：00的思维状态，不以前驶过A地，车速必须大于每小时75千米。 知不觉中接受一般地，一个含有未知数的不等式的所有了新知识，分散的解，组成这个不等式的解集．求不等式的了难点. 解集的过程叫做解不等式． 1、 巩固新知 下列哪些是不等式x＋3 > 6的解？哪 些不是？ －4，－2. 5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，122 / 210 12 2、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来： （1）x＋3 > 6（2）2x < 8（3）x－2 > 0 对于问题1还有不同的未知数的设法巩固对不等式吗？ 学生思考回答：若设去年购买计算机x解的概念的理台，得方程 解。巩固对不等xx2x140 拓广探索 2式解集概念的若设今年购买计算机x台，得方程 比较分析 xxx140 理解，并会在数42轴上表示不等式的解集。 某开山工程正在进行爆破作业．已知导火索燃烧的速度是每秒0.8厘米，人跑开的解决问题 速度是每秒4米．为了使放炮的工人在爆炸时能跑到100米以外的安全地带，导火索的长度应超过多少厘米？ 1、不等式与一元一次不等式的概念； 2、不等式的解与不等式的解集； 3、不等式的解集在数轴上的表示． 总结归纳 进一步巩固所学知识，感受新知识的用途。 通过总结归纳，完善学生已有的知识结构。 小结与作业 1、必做题：教科书第134页习题9.1第1、2布置作业 题 2、选做题：教科书第134页习题9. 1第3 123 / 210 题． 3、备选题： （1）用不等式表示下列数量关系： ①a比1大； ②x与一3的差是正数； ③x的4倍与5的和是负数 (2)在－4，－2，－1，0，1，3中，找出使不等式成立的x值： （1）x+5 > 3，（2） 3x < 5 （3）在数轴上表示下列不等式的解集： ① x < 2 ② x ＞－3 (4)不等式x < 5有多少个解？有多少个正整数解？ 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本课设置了丰富的实际情境，比如跷跷板游戏、爆破问题等，研究这些问题，可以使学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效模型． 教学中要突出知识之间的内在联系．不等式与方程一样，都是反映客观事物变化规律及其关系的模型．在教学中，类比已经学过的方程知识，引导学生自己去探索、发现、甄别，从而得出一元一次不等式、不等式的124 / 210 解与解集的意义． 教学过程也是学生的认知过程，只有学生积极地参与教学活动才能收到良好的效果．因此，本课采用启发诱导、实例探究、讲练结合的教学方法，揭示知识的发生和形成过程．这种教学方法以“生动探索”为基础，先“引导发现”，后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的过程中充分发挥自己的观察力、想像力和思维力，再加上多媒体的运用，使学生真正成为学习的主体。 课题：9.1.2 不等式的性质（1） 1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质； 教学目2、初步体会不等式与等式的异同； 标 3、通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与数学活动，提高学习数学的兴趣，增进学习数学的信心，体会在解决问题的过程中与他人交流合作的重要性． 教学难正确运用不等式的性质。 点 125 / 210 知识重理解并掌握不等式的性质。 点 教学过程（师生活动） 教师出示天平，并请学生仔细观察老师的操作过程，回答下列问题： 1、天平被调整到什么状态？ 码，天平会有什么变化？ 提出问3、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝让学生感题 码，天平会有什么变化？ 受生活中4、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩的不等关大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数系。 呢？ 1、用“＞”或“＜”填空． 通过动手、察和思考，通过天平演示，结合设计理念 2、给不平衡的天平两边同时加人相同质量的砝自己的观（1）－1 < 3 －1＋2 3＋2 －1－3 3－3 动口、动(2) 5 >3 5＋a 3+a 5－a 3－a 探究新(3) 6 > 2 6×5 2×5 6×（－5）2×（－5） 知 (4) －2 < 3（－2）×6 3×6 （－2）×（－6） 3×（一6） （5）－4 ＞－6 （－4）÷2（－6）÷2 （－4）十（－2） （－6）十（－2） 脑，引导学生运用类比、归纳的数学思想去探究问题，在品尝126 / 210 2、从以上练习中，你发现了什么？请你再用几个例成功的喜子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉悦中激发同学们并与他们交流． 出学数学3、让学生充分发表“发现”，师生共同归纳得出： 的兴趣。 不等式性质1：不等式两边都加上（或减去） 同一个数（或式子），不等号的方向不变． 渗透类比 不等式性质2：不等式两边都乘（或除以）同思想。 一个正数，不等号的方向不变． 不等式性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4、你能说出不等式性质与等式性质的相同之处与不同 之处吗？ 2、 探究新－4，－2. 5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12 知 2、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来： （1）x＋3 > 6（2）2x < 8（3）x－2 > 0 1、 判断 巩固新（1）∵a < b ∴ a－b < b－b ab（2）∵a < b ∴ 33知 （3）∵a < b ∴ －2a < －2b 设置这几个练习，既可以培养 下列哪些是不等式x＋3 > 6的解？哪些不是？ 127 / 210 （4）∵－2a > 0 ∴ a > 0 （5）∵－a < 0 ∴ a < 3 2、 填空 （1）∵ 2a > 3a ∴ a是 数 （2）∵ aa ∴ a是 数 32学生独立思考的能力，又可强化对概念（3）∵ax < a且 x > 1 ∴ a是 数 3、 根据下列已知条件，说出a与b的不等关系，的理解，使并说明是根据不等式哪一条性质。 （1）a－3 > b－3 （2） ab 33学生真正认识不等式的性质。 （3）－4a > －4b 学生通 在学生自己总结的基础上，教师应强调两点： 过总结，可1、等式性质与不等式性质的不同之处； 2、在运用“不等式性质3\"时应注意的问题． 以帮助自 己从整体上把握本节课所学总结归知 纳 识，培养良好的学习习惯，也为 下节课学好解不等式打下基128 / 210 础。 小结与作业 1、必做题：教科书第134页习题9.1第4、5题 布置作2、选做题：教科书第134页习题9. 1第7题． 业 3、备选题： 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本节课设计旨在让学生经历通过实验、猜测、验证，发现不等式性质的探索过程．用类比和实验探究法作为主要方法贯穿整个课堂教学之中，并以多媒体作为辅助教学手段．让学生充分进行讨论交流，在自主探索和合作学习中掌握不等式的性质．这样就能有效地突破本节课的难点，为学生今后的学习打下坚实的基础． 教学过程中贯穿了一条“创设情境，引出新知—实验讨论，得出性质—探究辨析，突破难点—运用性质，解决问题”的线索，使学生真正成为学习的主人．在师生交流合作中营造互动的氛围，让学生积极主动地参与教学的整个过程，使他们的学习态度、情感意志和个性品质等都得到不同程度的提高． 为了突破教学难点，让学生能熟练准确地运用“不等式性质3\"，本课设计了多样化的练习以巩固所学知识．在学生回答、板演、讨论的过程中，课堂气氛被激活，教学难点被突破，使学生在轻松愉快的氛围中扎实地掌握性质并灵活运用．同时，学习伙伴之间进行了思维的碰撞和沟通． 129 / 210 课题：9.1.2 不等式的性质（2） 1、会根据“不等式性质1 \"解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集； 教学目2、学会运用类比思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳标 的能力； 3、在积极参与数学活动的过程中，培养学生大胆猜想、勇于发言与合作交流的意识和实事求是的态度以及独立思考的习惯． 教学难根据“不等式性质1”正确地解一元一次不等式。 点 知识重根据“不等式性质1”正确地解一元一次不等式。 点 教学过程（师生活动） 设计理念 小希就读的学校上午第一节课上课时间是8设里一个学点开始．小希家距学校有2千米，而他的步行速生很熟悉的度为每小时10千米．那么，小希上午几点从家问题情境，能 里出发才能保证不迟到？ 提出问1、 题 到，则x应满足怎样的关系式？ 2、 3、 体的实例建你会解这个不等式吗？请说说解的过程． 立不等式模你能把这个不等式的解集在数轴上表示出型的过程，既若设小希上午x点从家里出发才能不迟力．经历由具增强亲和130 / 210 来吗？ 可让学生感受不等式在实际生活中的应用，又非常自然地引入新课． 1、 分组探讨：对上述三个问题，你是如何考培养学生主虑的？先独立思考然后组内交流，作出记录，动参与、合作最后各组派代表发主。 2、 交流的意识，在学生充分讨论的基础上，师生共同归纳提主同学生的观察、分15得出： （1） x应满足的关系是：x≤8 探究新知 析、概括和抽（2） 根据“不等式性质1”,在不等式的两象能力 边减去，得：x＋－≤8－，即x 强调“≤”5555≤7 451111与“<”在意（3） 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 义上和数轴表示上的区 4我们在表示7的点上画实心圆点，意思是取5别。 值范围包括这个数。 3、 例题 131 / 210 解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）3x < 2x＋1 （2）3－5x ≥ 4－6x 师生共同探讨后得出：上述求解过程相当于 由3x< 2x+1，得3x-2x < 1；由3－5x≥4－6x，得－5x+6x ≥4-3.这类似于解方程中的“移项”．可见，解 不等式也可以“移项”，即把不等式一边的某项类比解方程变号后移到另一边，而不改变不等号的方向． 最后由教师完整地板书解题过程． 的方法，让学生初步感觉不等式与方程的关系。 1、解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）x＋5＞－1（2）4x < 3x-5（3）8x-2 < 7x巩固新＋3 知 2、用不等式表示下列语句并写出解集： （1）x与3的和不小于6； （2）y与1的差不大于0. 解决问 题 1、某容器呈长方体形状，长5 cm，宽3 cm，高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm。现准备继续向它注水．用V cm,示新注入水的体积，写出V提出这类实际问题，容易引起学生关注，激发他们进一步巩固所学知识。 132 / 210 的取值范围。 参与学习 2、三角形任意两边之差与第三边有着怎样的大小关系？ 的热情．同时能体会到生活中蕴含着数学知识，反过来数学知识又帮助解决了生活中的许多实际问题，从而感受到新知识的用途． 师生共同归纳本节课所学内容：通过学习，总结归我们学会了简单的一元一次不等式的解法。还明 纳 白了生活中的许多实际问题都是可以用不等式的知识去解决的。 小结与作业 1、必做题：教科书第134页习题9.1第6题（1）布置作（2） 业 2、选做题：教科书第134页习题9、12题． 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本课从发生在学生身边的事情入手，创设问题情境，激发学生的学 133 / 210 习兴趣和求知欲望．以问题为中心，使每一位学生都能积极思考，发散思维．让学生在“做数学”的过程中，亲身体验问题的发生、发现、发展与解决的全过程，采取自主探索、合作交流、深人研讨、步步为营的措施，为学生营造一个自主学习、主动发展的广阔空间，开辟探究、研讨、解决问题的广阔天地，使学生快快乐乐地成为学习的主人． 教学要以实际生活为背景．学生亲身经历过现实问题数学化的过程，就会获得富有生命力的数学知识，进一步认识数学，体验数学的价值．只有让学生真切地体会到生活中处处有数学，才有生活中处处用数学的可能，以此培养学生的应用意识． 教师在教学中要敢于打破教材格局．本课对教材作出全新的调整，注重以问题为线索来探究不等式的解法，再用所学知识去解决问题．放开手脚让每个学生从不同的角度、用不同的方法充分展现“自我”，真正构建起学生的课堂主人的地位，使他们的思维能力、情感态度和价值观念等各个方面都能迈上一个新的台阶． 课题：9.1.2 不等式的性质（3） 教学目标 1、使学生熟练掌握一元一次不等式的解法，初步认识一元一次不等式的应用价值； 134 / 210 2、对比一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法，让学生感知不等式和方程的不同作用与内在联系，体会其中渗透的类比思想； 3、让学生在分组活动和班级交流的过程中，积累数学活动的经验并感受成功的喜悦，从而增强学习数学的自信心。 教学难熟练并准确地解一元一次不等式。 点 知识重熟练并准确地解一元一次不等式。 点 教学过程（师生活动） 设计理念 某地庆典活动需燃放某种礼花弹．为确保以学生身边的人身安全，要求燃放者在点燃导火索后于燃放事例为背景，突前转移到10米以外的地方．已知导火索的燃出不等式与现 烧速度为0.02 m/s,人离开的速度是4 m/s，实的联系，这个提出问导火索的长x(m)应满足怎样的关系式？ 题 你会运用已学知识解这个不等式吗？请入新课，可以激你说说解这个不等式的过程． 发学生的学习兴趣。 1、在学生充分发表意见的基础上，师生共同不同层次的学探究新归纳出这个不等式的解法．教师规范地板书解生经过尝试会知 的过程． 有不同的收问题为契机引135 / 210 2、例题． 获．一些学生能 解下列不等式，并在数轴上表示解集： 独 （1）x ≤ 50 (2)-4x < 3 23立解决；还有一 (3) 7－3x≤10 （4）2x-3 < 3x＋1 些学生虽不能分组活动．先独立思考，然后请4名学生解答，但在老师上来板演，其余同学组内相互交流，作出记录，的引导下也能最后各组选派代表发言，点评板演情况．教师受到启发，这比作总结讲评并示范解题格式． 单纯的教师讲3、教师提问：从以上的求解过程中，你比较解更能调动学出它与解方程有什么异同？ 习的积极性．另 让学生展开充分讨论，体会不等式和方程外，由学生自己的内在联系与不同之处。 来纠错，可培养他们的批 判性思维和语言表达能力． 比较不等式与解方程的异同中渗透着类比思想． 巩固新知 1、解下列不等式，并在数轴上表示解集： 16 （1）x （2）－8x < 10 77 136 / 210 2、用不等式表示下列语句并写出解集： （1）x的3倍大于或等于1； （2）y的的差不大于－2. 测量一棵树的树围（树干的周长）可以计让学生在解决算它的树龄一般规定以树干离地面1.5 m的地方作为测量部位．某树栽种时的树围为5 cm,问题的过程中以后树围每年增加约3 cm.这棵树至少生一长深刻感悟数学多少年，其树围才能超过2.4 m? 来源于实践，又题 服务于实践，以培养他们的数学应用意识。 围绕以下几个问题： 让学生自己归1、这节课的主要内容是什么？ 2、通过学习，我取得了哪些收获？ 纳小结，给学生3、还有哪些问题需要注意？ 让学生自己归纳，教师仅做必要的补充和创造自我评价点拨． 和自我表现的机会，以达到激发兴趣、巩固知识的目的。 小结与作业 1、必做题：教科书第134~135页习题9.1第布置作6题（3）（4）第10题。 业 2、选做题：教科书第135页习题9、12题． 14解决问总结归纳 137 / 210 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 通过创设与学生实际生活密切联系的向题情境，并由学生根据自己掌握的知识与经验列出不等式，探究它的解法，可以激发学生的学习动力，唤起他们的求知欲望，促使学生动脑、动手、动口，积极参与教学的整个过程，在教师的指导下，主动地、生动活泼地、富有个性地学习． 新课程理念要求教师向学生提供充分的从事数学活动的机会．本课教学过程中贯穿了“尝试—引导—示范—归纳—练习—点评”等一系列环节，旨在改变学生的学习方式，将被动的、接受式的学习方式转变为动手实践、自主探索和合作交流等方式．教师的组织者、引导者与合作者的角色在这节课中得到了充分的演绎． 教师要尊重学生的个体差异，满足多样化学习的需求．对学习确实有困难的学生，要及时给予关心和帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，尝试着用自己的方式去解决问题，勇于发表自己的观点．除了演好组织者、引导者的角色外，教师还应争当“伯乐”和“雷锋”，多给学生以赞许、鼓励、关爱和帮助，让他们在积极愉悦的氛围中努力学习． 课题：9.2 实际问题与一元一次不等式（1） 1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决教学目标 实际问题； 2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，渗138 / 210 透分类讨论思想，感知方程与不等式的内在联系； 3、在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识一元一次不等式的应用价值，形成实事求是的态度和独立思考的习惯。 教学难点 知识重寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型。 点 教学过程（师生活动） 设计理念 弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式。 某学校计划购实若干台电脑，现从两家商通过买电脑店了解到同一型号的电脑每台报价均为6000这个学生非元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠常熟悉的生条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠活实例，引起 25％；乙商场的优惠条件是：每台优惠20％．如学生浓厚的提出问果你是校长，你该怎么考虑，如何选择？ 题 （多媒体展示商场购物情景） 受到数学来源于生活，生活中更需要数学。 1、分组活动．先独立思考，理解题意．再组内鼓励学生大探究新交流，发表自己的观点．最后小组汇报，派代胆猜想，对研知 表论述理由． 究的问题发学习兴趣，感139 / 210 2、在学生充分发表意见的基础上，师生共同归表见解，进行纳出以下三种采购方案： (1)什么情况下，到甲商场购买更优惠？ (2)什么情况下，到乙商场购买更优惠？ (3)什么情况下，两个商场收费相同？ 3、我们先来考虑方案： 探索、合 作与交流，涌现出多样化的解题思路．教师及时 设购买x台电脑，如果到甲商场购买更优予以引导、归惠． 问题1：如何列不等式？ 问题2：如何解这个不等式？ 纳和总结，让学生感知不等式的建模。 在学生充分讨论的基础上，教师归纳并板 书如下：解：设购买x台电脑，如果到甲商场 完整的解购买更优惠，则6000＋6000（1－25％）（x－1）题过程的展＜6000（1－20％）x 去括号，得 去括号，得：6000＋4500x－45004＜4800x 移项且合并，得：－300x＜1500 不等式两边同除以－300，得：x<5 答：购买5台以上电脑时，甲商场更优惠． 4、让学生自己完成方案(2)与方案(3)，并汇报完成情况． 现，有利于培养学生有条理地思考和表达的习惯。 140 / 210 教师最后作适当点评． 甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的设置开商品，同时又各自推出不同的优惠措施．甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再放性问题，为买的商品按原价的90％收费；乙商场则是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％学生开放性收费．顾客选择哪个商店购物能获得更多的优思维提供时惠？ 问题1：这个问题比较复杂．你该从何入手间和空间，可考虑它呢？ 问题2：由于甲商场优惠措施的起点为购物极大调动学100元，乙商场优惠措施的起点为购物50元，生的创造积起点数额不同，因此必须分别考虑．你认为应分哪几种情况考虑？ 极性．应把 分组活动．先独立思考，再组内交流，然握学生的创后各组汇报讨论结果． 最后教师总结分析： 新潜能，使不1、如果累计购物不超过50元，则在两家商场购物花费是一样的； 同层次的学2、如果累计购物超过50元但不超过100元，生都能得到则在乙商场购物花费小。 3、如果累计购物超过100元，又有三种情况： 发展。 (1)什么情况下，在甲商场购物花费小？ (2)什么情况下，在乙商场购物花费小？ 这些问 (3)什么情况下，在两家商场购物花费相题能培养学同？ 上述问题，在讨论、交流的基础上，由学生思维的深生自己解决，教师可适当点评。 刻性和灵活性，优化学生的思维品质． 解决问题 141 / 210 引导学生用数学眼光去观察周围的生活现象，思考能否用数学知识、方法、观点和思想去 解决所遇到的问题． 通过体验买电脑、选商场购物，感受实际让学生在积生活中存在的不等关系，用不等式来表示这样的关系可为解决问题带来方便．由实际问题中极愉快的气的不等关系列出不等式，就把实际问题转化为数学问题，再通过解不等式可得到实际问题的氛中温习本答案． 节课学到的知识和技能，体会收获的喜悦。 小结与作业 1、必做题：教科书第140页习题9.2第1题（1）布置作（2）第3题1、2。 业 2、选做题：教科书第141页习题9.2第5、6 总结归纳 142 / 210 题 3、备选题． (1)某校两名教师拟带若干名学生去旅游，联系了两家标价相同的旅游公司．经洽谈，甲公司的优惠条件是一名教师全额收费，其余师生按7. 5折收费；乙公司的优惠条件则是全体师生都按8折收费． ①当学生人数超过多少时，甲公司的价格比乙公司优惠？ ②经核算，甲公司的优惠价比乙公司要便宜金，问参加旅游的学生有多少人？ (2)某单位要制作一批宣传资料．甲公司提出：每份材料收费20元，另收设计费3 000元；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费． ①什么情况下，选择甲公司比较合算？ ②什么情况下，选择乙公司比较合算？ ③什么情况下，两公司收费相同？ (3)某移动通讯公司开设两种业务：“全球通”月租费30元，每分钟通话费o.2元；“神州行”没有月租费，每分钟通话费0.4元（两种通话均指市内通话）．如果一个月内通话x分143 / 210 钟，选择哪种通讯业务比较合算？ (4)某商场画夹每个定价20元，水彩每盒定价5元．为了促销，商场制定了两种优惠办法：一是买一个画夹送一盒水彩；一是画夹和水彩均按九折付款．章老师要买画夹4个，水彩若干盒（不少于4盒）．问：哪种方法更优惠？ 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本课设置了丰富的实际情境，比如跷跷板游戏、爆破问题等，研究这些问题，可以使学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效模型． 教学中要突出知识之间的内在联系．不等式与方程一样，都是反映客观事物变化规律及其关系的模型．在教学中，类比已经学过的方程知识，引导学生自己去探索、发现、甄别，从而得出一元一次不等式、不等式的解与解集的意义． 教学过程也是学生的认知过程，只有学生积极地参与教学活动才能收到良好的效果．因此，本课采用启发诱导、实例探究、讲练结合的教学方法，揭示知识的发生和形成过程．这种教学方法以“生动探索”为基础，先“引导发现”，后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的过程中充分发挥自己的观察力、想像力和思维力，再加上多媒体的运用，使学生真正成为学习的主体． 144 / 210 课题：9.2 实际问题与一元一次不等式（2） 1、会根据实际问题中的数量关系建立数学模型，学会用去分母的方法解一元一次不等式； 2、通过去分母的方法解一元一次不等式，让学生了解数学中的教学目化归思想，感知不等式与方程的内在联系； 标 3、结合实际，创设活泼有趣的情境，提高学生的学习兴趣．让他们在活动中获得成功的体验，激发起求知的欲望，增强学习的自信心． 教学难在实际问题中如何建立不等关系，并根据不等关系列出不等式。 点 知识重列不等式解决问题中如何建立不等式关系，并根据不等关系列出点 不等式。 教学过程（师生活动） 解下列不等式： 复习巩③2（一3＋x）＜ 3（x＋2） 固 ④ (x＋5)<3(x－5)－6 既可巩固已先让学生板演、练习，然后师生共同点评、学内容，又为目的地思考，设计理念 让学生在解①5x+54＜x-1 ②2（1一3x） > 3x＋20 题过程中有145 / 210 订正，指出解题中应注意的地方，复习一元一次下面的新课不等式的解法． 做好铺垫。 2002年北京空气质量良好（二级以上）的天选择学生感数与全年天数之比达到55％．若到2008年这样兴趣的问题，的比值要超过70％，那么,2008年北京空气质量可以激发学提出问良好（二级以上）的天数至少要增加多少天？ 题 习热情，此题既承上启下，又能增强学生的应用意识。 1、2002年北京空气质量良好的天数是多少？ 一连串的问2、用x表示2008年增加的空气质量良好的天数，则2008年北京空气质量良好的天数是多少？ 题引发学生3、2008年共有多少天？与x有关的哪个式子的阵阵思考。 值应超过70％？这个式子表示什么？ 4、怎样解不等式x3650.5570% 366 展示整个解题过程，有利于学生发现解一元一次不等式与 解一元一次方程的关系， 在学生讨论后，教师做解题过程示范． 解决问题 x3650.555、比较解这个不等式与解方程70% 366的步骤，两者有什么不同吗？ 在学生充分讨论的基础上，师生共同归纳得出： 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，只是不等式两边同乘以（或除以）一个数时，要注意不等号的方向．解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x－a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x>a或x 业 ~（6）、第3题（3）、（4）。 2、选做题：教科书第135页习题9.2第4、7题 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本课设计充分体现教科书的编写意图，通过创设与学生实际生活联系密切的问题情境，并由学生根据自己的经验列出一元一次不等式解决问题，从中发现一元一次不等式与一元一次方程之间的内在联系，从而学会用去分母的方法解一元一次不等式．要让学生懂得：熟学学习的目的就是为了学以致用． 为实现上述构想，本课设计了一系列的学生活动．特别是在“探究新知”中一连抛出5个问题，引发学生独立思考，讨论交流，尝试练习，自主建构一元一次不等式的解法．在这些活动中，又采用了个体活动、小组活动、全班活动等多种形式，为学生的自主学习提供了广阔的“舞台”，真正凸现出学生是数学学习的主人，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式这一全新的理念． 课题：9.2 实际问题与一元一次不等式（3） 1、会根据实际向题中的数量关系列不等式解决问题，熟练掌握教学目标 一元一次不等式的解法； 2、初步感知实际问题对不等式解集的影响，培养学生的数学建模能力和分析问题、解决问题的能力； 148 / 210 3、通过开放性问题的设计，增强学生的创新意识和挑战自我意识，激发学习兴趣． 教学难把生活中的实际问题抽象为数学问题。 点 知识重点 根据题意，分析各类问题中的数量关系，会熟练列不等式解应用问题。 教学过程（师生活动） 设计理念 前面我们结合实际问题，讨论了如何根据在前面所学内数量关系列不等式以及如何解不等式．在本节容的基础上，本课上，我们将进一步探究如何用一元一次不等节课承上启下，引入新课 式解决生活中的一些实际问题． 进一步探究如何运用一元一次不等式解决生活中的实际问题。 某次知识竞赛共有20道题．每道题答对利用身边的问加10分，答错或不答均扣5分：小跃要想得题创设情境，以提出问题 分超过90分，他至少要答对多少道题？ 激发学生的学习热情，感受数学在生活中无处不在。 149 / 210 1、与题目数量有什么关系？ 2、跃答对了x道题，则如何用含有x的式子表示 得分？ 3、不等式应用题的解法． 教师在学生充分讨论的基础上板书解题过程，并指出：用不等式解应用问题时，必须注意对未知数的限制条件． 探究新知 设置问题，引导学生观察、思考、讨论、交流，自主构建不等式应用师的解法。 便于学观察并掌握不等式应用题的解题步骤。 解决问题 某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评活动．聘请A,B,C,D,E五位老师为评委，对演讲答辩进行评分；全班50位同学参与了民主测评．两项结果见下表： 表一演讲答辩得分表（单位：分） A B C D E 甲 90 92 94 95 88 乙 89 86 87 94 91 表二 民主测评得分表 较好票一般票 好票数 数 数 甲 40 7 3 乙 42 4 4 设置挑战性、兴趣的问题，营造生动活波的课堂氛围，更大限度地发挥学生的想像力和创造力，启发学生学会多角地认识问题、解决问题，从中感悟数150 / 210 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分，再算平均分”的方法确定；民主测评得分一“好”票数×2分十“较好”票数×l分＋“一般”票数×．综合得分一演讲答辩得分× (1－a)＋民主测评得分×a(0≤a≤0.8 (1)当a=0.6时，甲的综合得分是多少？ (2 )a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高？ 学的奥妙与价值，增强创 造性地学数学、主动性地用数学的意识． 总结归纳 这节课上，我感受最深的是…… 启发学生思考， 这节课上，我感到最困难的是…… 这节课上，我发现生活中…… 归纳并总结所 这节课上，我学会了…… 学生自己总结，并在班上或同桌之间交流 学知识，培养学生简明的概括能力和准确的语言表达能力。 小结与作业 1、 必做题：教科书第140-141页习题9.2 第2、7、8题 布置作业 2、 3、 教科书第141页习题9.2第10、11题 备选题： （1）小颖准备用21元钱买笔和笔记本．已知每支铅笔3元，每本笔记本2元2角．她买了151 / 210 两本笔记本后，还可买几支铅笔？ (2)某市自来水公司按如下标准收费：用户每月用水在5立方米之内，按每立方米1. 5元收费；超出5 立方米部分，每立方米收费2元． 小希家某月的水费超过了15元，那么他家这个月的用水量至少是多少？ (3)某单位计划在新年期间组织员工去某地旅游．参加旅游的员工估计有10-r-25人左右．甲乙两家旅行社服务质量相同，报价也都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客7．5折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客按8折收费．该单位选择哪一家旅行社，支付的旅游费用较少？ 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本课主要采用“教师创设问题情境—学生自主探索与小组合作交流—师生共同概 括明晰”的教学思路，把探索知识的主动权完全交给学生，让学生真正成为学习的主人．通过问题情境的设置，诱发学生的学习兴趣，营造师生之间民主和谐的学习氛围和每个学生平等参与学习的机会，从而达到培养学152 / 210 生善于思考、勤于学习的习惯和分析问题、解决问题的能力的目的． 在教学中，要给予学生充分的思维空间，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使学生在对数学问题理解的同时，在思维能力、情感态度、价值观念等方面得到进一步发展，使自主探索、动手实践和合作交流成为学生学习的主要方式．要努力创设现实的、有意义的、富有挑战性的情境来说明学习数学知识的有用性、必要性，使学生认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息，启迪学生面对实际问题时，应主动尝试从数学角度运用所学知识和方法加以解决． 课题： 9.3 一元一次不等式组（1） 1.了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集教学目的意义，掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法； 标 2.经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式组的必要性； 3.逐步熟悉数形结合的思想方法，感受类比与化归的思想。 教学难一元一次不等式组解集的理解 点 知识重一元一次不等式组的解集和解法。 点 教学过程（师生活动） 创设情小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，设计理念 用学生身153 / 210 境提出爸爸体重为72千克，体重只有妈妈一半的小宝边有趣的实例问题 和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一引入，一方面端仍然着地。后来，小宝借来一副质量为66千引起学生的参克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被与欲， 跷起离地．猜猜小宝的体重约是多少？在这个问一方面也是知题中，如果设小宝的体重为x千克， 识拓展的需（1）从跷跷板的状况你可以概括出怎样的要．设计此情不等关系？ 境的意图在（2）你认为怎样求x的范围，可以尽可能于：1、复习用地接近小宝的体重？ 在讨论或议论中，列出不等式： 2x十x < 72 2x十x＋6＞72 其中x同时满足以上两个不等式． 在议论的基础上，老师揭示： 一元一次不等式解应用题；2、感受同一个x可以有不同的不等式；3、x应该同时符 一个量需要同时满足几个不等式的例合两个不等式子，在现实生活中还有很多． 的要求，为引出解集做铺垫． 类比探问题2(教科书第143页） 把教科书上的索引出 现有两根木条a和b，a长10 cm，b长3 cm.“问题”作为154 / 210 新知 如果再找一根木条。，用这三根木条钉成一个三“问题2”，是角形木框，那么对木条的长度有什么要求？ 等式的性质1。 因为三角形的三边关系问如果设木条长x cm，那么x仅有小于两边之题，学生可能和还不够，仅有大于两边之差也不行，必须同时习惯于10-3＜满足x<10+3和x>10-3. x＜10十3这类似于方程组，引出一元一次不等式组的概种形式的表念和记法．（教科书143页） 达，因而此处 类比方程组的解，引出一元一次不等式组的设计把它作为解集的概念．（教科书144页） 变量需同时满利用数轴，师生一起将问题1、问题2的解足两个不等式集求出来． 实例的一个补充。 渗透类比思想。初步感受求解集的方法。 155 / 210 出示教科书例1，解下列不等式组： 2x3x112x1x1（1） （2） 2x512xx84x13 对于例1，解不等式并非新内容．解题步骤的归纳和各解集 公共部分的求取，才是新知识，却是学生自己可以领会的．通过此处小组讨论： 根据不等式组的解集的意义，你觉得解决例1需要哪些步骤？在这些步骤中，哪个是我们原有的知识，哪个是我们今天获得的新方法？ 在讨论的基础上，师生一起归纳解一元一次不等式组的步骤：(1)求出各个不等式的解集；(2)找出各个不等式的解集的公共部分（利用数轴）． 师生一起完成例1． 解法探的讨论探索，讨 对于多于两个不等式组成的不等式组的解集的求取，期望学生能实现无师自通．先自主探究解题步骤，后具体解题，可以居高临下地看待156 / 210 一元一次不等式组的解法． 学生练习：教科书第147页练习1 教师巡视、指导，师生共同评讲 进一步熟悉解题步骤，熟练地利用数轴正巩固练确地查找公共习 部分。教师及时调控。 小结与作业 1、 2、 课堂小结 这节课你学到了什么？有哪些感受？ 教师归纳： 学习一元一次不等式组是数学知识拓展的需提纲挈领，梳要，也是现实生活的需要；学习不等式组时，理总结。 我们可以类比方程组、方程组的解来理解不等式组、不等式组的解集的概念；求不等式157 / 210 组的解集时，利用数轴很直观，也很快捷，这是一种数与形结合的思想方法，不仅现在有用，今后我们还会有更深的体验． 1、 必做题：课本第147页习题9.3第1、2、 3题 布置作2、 业 选做题： （1） 解不等式3≤2x－1≤5，你觉得该怎样思考这个问题，你有解决的办法吗？ 分层次布置作（2） 求出不等式组整数。 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 3x72的解集中的正3x78业。 本节课的设计，以实际问题建立数学模型，通过数学问题引导学生找出问题解决的思 路．在这一过程主线下，辅以类比、探索、概括的学习方法，合理设计问题，安排讨论的最佳契机，及时揭示数学本质，引发数学思考，期望让学生在自主探索中学得自然、学得真切、学得主动、学得有效．本节课的重点内容是一元一次不等式组的正确求解，关键却是不等式组求解的步骤总结，这一总结让学生自己归纳比教师直接告之效果更好；创设实际问题情境引出一元一次不等式组的意义，让学生产生学习不等式组的需求，也对解不等式的方法有很自然的联想．看似费时，实是数学素养和数学思考的隐性提升． 158 / 210 课题： 9.3 一元一次不等式组（2） 1、熟练掌握一元一次不等式组的解法，会用一元一次不等式组解决有关的实际问题； 教学目2、理解一元一次不等式组应用题的一般解题步骤，逐步形成分标 析问题和解决问题的能力； 3、体验数学学习的乐趣，感受一元一次不等式组在解决实际问题中的价值。 教学难正确分析实际问题中的不等关系，列出不等式组。 点 知识重建立不等式组解实际问题的数学模型。 点 教学过程（师生活动） 设计理念 在习题9.3第1题中，我们知道以下不等式复习归纳 复习归组与解集的对应关系 纳 x4x4x4x4 x2x2x2x2 159 / 210 （1） 做出答案，请问你从中发现了什么？ （2） 如果a、b都是常数，且a 教师揭示：列不等式解应用题时，（1)不等号方向要符合实际的数量关系，不能颠倒；(2)未知数所代表的量要确切，不能含含糊糊． 知数时，往往受方程应用题的迁移，沿用求什么设什么的做法，常给列式带来困难甚至出错． 此处设计：（1)突出设与列；(2)期望起到防患于未然的作 用． 反馈与作业 基本练习 （1） 教科书147页练习第2题。 （2） 某校在一次参观活动中，把学生编为8个练习反组，若每组比预定人数多1人，则参观人数馈 超过200人，若每组比预定人数少2人，则参观人数不大于184人，试求预定每组学生 的人数． 提纲挈领，梳理总结。 162 / 210 备选练习（只要求设出未知数，列出不等式） (1)已知点A(x－2，5－x)在第三象限，求x的取值 范围． (2)课外阅读课上，老师将43本书分给各个小组．每组8本，还有剩余；每组9本，却又不够．有几个小组？ (3)一次智力测验，有20道选择题．评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答．至少答对几道题，总分才不会低于60分？ 教师巡视、指导、调控。 1、必做题：教科书148页习题9，3第4、5、6题． 2、选做题：教科书148页习题9.3第7、8、9题． 3、备选题： (1)某车间生产机器零件，若每天比预定计划布置作多做几件,8天所做零件的总数超过100件，如果业 每天比预定计划少做一件，那么8天可做零件的总数不到90件，问预定计划每天做多少件？（件数是正整数） 3x4ya (2）是否存在这样的整数。，使方程组4x3y5 分层练习，各得其所。 的解是一对非负数？如果存在，求出它的解；若不存在，请说明理由． 163 / 210 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本节课对不等式的解集的求法做概括小结，着重引导学生对一元一次不等式组应用题 进行探究．求解集的归纳不放在前一课时，而放在本课时的开头，其思路是让学生对不等式组及解集概念的形成和数形结合方法的运用有一个过程性的体验和感受，让学生在具备一定的感性积累的基础上，及时地加快解题速度．这里占用的时间少，学生理解容易．对于应用题教学的设计，让学生在与二元一次方程组应用题的类比中，理解一元一次不等式组应用题的解题步骤，侧重于列式及平时练习中的错误暴露．这样既突出设与列，又防患于未然。 课题： 9.4 利用不等关系分析比赛 教学目1、了解部分体育比赛项目判定胜负的规则，复习并巩固不等式164 / 210 标 的相关知识； 2、以体育比赛问题为载体，探究实际问题中的不等关系，进一步体会利用不等式解决问题的基本过程； 3、在利用不等关系分析比赛结果的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，发展逻辑思维能力和有条理表达思维过程的能力； 4、感受数学的应用价值，培养用数学眼光看世界的意识，引导学生关注生活、关注社会． 教学难点 知识重在开放的问题情境中促使学生的思维从无序走向有序；在分析、解决问题的过程中发展学生用数学眼光看世界的主动性 利用不等关系分析预测比赛结果。 点 教学过程（师生活动） 设计理念 多媒体展示有关雅典奥运会射击比赛的场在真实、熟悉创设情景，进而引出问题1：某射击运动员在一次比的背景中切入境引出赛中前6次射击共中52环，如果他要打破89话题，激发学话题 环（10次射击）的纪录，第7次射击不能少于生数学学习的多少环？ 牛刀小试 初享成兴趣 引出话题后，由于问题本身并不复杂，在初一学生好胜同学解决此问题后，教师适当予以表扬后应及心强，课堂比时将问题变维发散，在探究中将思维引向深人． 较活跃，但这165 / 210 功 （1）如果第7次射击成绩为8环，最后三次射只是表面的繁击中要有几次命中10环才能破纪录？ 荣．教师在初（2）如果第7次射击成绩为10坏，最后三次享成功后，要射击中是否必须至少有一次命中10环才能破利用带动的课纪录？ 堂气氛，使学生顺利以研究者的姿态进入问题再生与问题解决中，从而有利于问题2,3的探究． 媒体展示多种场景，除了射击比赛，在竞教材中的问题技场上还有许许多多扣人心弦、精彩纷呈的比赛，同学们有兴趣对他们也进行一些分析吗？ 已经给出了探 问题2：有A，B，C，D，E五个队分同一小组进行单循环赛足球比赛，争夺出线权．比究的主要步赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，骤，对思考过负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线， 小组赛结束后，A队的积分为9分．你认程做了一些提为A队能出线吗？请说明理由． 学生充分发表意见，在辩论中发现此问题示，同时这些不能一概而论，需要考虑其他队的情况，于是提示也限制了形成问题假设： (1)如果小组中有一个队的战绩为全胜，A学生的思队能否出线？ (2)如果小组中有一个队的积分为10分，A维．这样的探队能否出线？ 究还是属于较 (3)如果小组中积分最高的队积9分，A队扩大视野 乘胜追击 166 / 210 能否出线？ 低层次的，而 在讨论交流中形成问题、解决问题，在解决问题中自然涉及足球比赛的相关规则． 若在背景中直接提出问题，则问题就有了一定的开放性，给学生以创新的空间，使学生更能体会课题的味道，有利于课后自己从其他背景中提出问题并尝试解决． 总结与作业 问题反思 归纳总结 1、 在上述利用不等关系分析比赛的问题解 2、 通过本节课的学习，你有哪些感受或体会。 决中，我们是怎样进行思考的？ 167 / 210 布置作业 1、必做题：．必做题： (1)足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分一个队打14场比赛 负5场共得19分．那么这个队胜了几场？ (2)甲、乙、丙三位同学进行立定跳远比赛，每 人跳一次称为一轮，每轮按名次高低分别得3,2,1分（没有并列名次）．他们进行了五轮比 赛，结果甲共得14分；乙第一轮得3分，第二分层练习，各轮得1分，且总分最低．那么丙得到的分数是 （ ） 得其所。 A. 8分 B. 9分 C. 10分 D. 11分 (3)教科书157页复习题9第11题． 第二课时 复习引入 在上节课中，我们曾利用不等关系对一些体育比赛的结果进行分析，初步感触了分析解决此 类问题的思想方法。 多媒体展示一场篮球比赛的录像片断，并在已有成功经提出问题：某次篮球联赛中，火炬队与月亮队验的基础上，要争出线权．火炬队目前的战绩是17胜13负继续探究与应研究的（其中有一场以4分之差负于月亮队），后面还用，巩固与发继续 要比赛6场（其中包括再与月亮队比赛1场）；展已有经验， 月亮队目前的战绩是15胜16负，后面还要比提升分析解决赛5场．为确保出线，火炬队在后面的比赛中问题的能力并至少要胜多少场？ 增进应用数学168 / 210 在分析解决前述问题的过程中，自然会引的情感体验。 发一些争论，提出一些问题假设，如： (1）如果火炬队在后面对月亮队1场比赛中至少胜月亮队5分，那么它在后面的其他比赛中至少胜几场就一定能出线？ (2)如果月亮队在后面的比赛中3胜（包括胜火炬队1场)2负，那么火炬队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线？ (3)如果火炬队在后面的比赛中2胜4负，未能出线，那么月亮队在后面的比赛中战绩如何几 (4)如果火炬队在后面的比赛中胜3场，那么什么情况下它一定出线？ 以上问题由学生讨论交流最终得以解决，对于教学过程中生成的其他假设性问题可视情况处理，或当堂继续或提议学生课外合作完成． 在2003^2004乒超联赛中，广东全球通与展示真实材山东鲁能是最有实力赢得冠军的两支队伍，广料，经历并感初步应东全球通目前的战绩是16胜1负积33分，山受从现实背景用 东鲁能目前的战绩是13胜4负积30分． 到提出问题，在已经进行的两队之间的上一次比赛中，再到分析、尝 169 / 210 山东鲁能曾以3：1胜广东全球通，目前两队后试、解决问题面都还有5场比赛（包括两队之间的另一场比的全过程。 赛）． 根据背景资料，你能提出哪些问题与假设？你能运用学过的知识解决它吗？在解决问题的过程中，你需要哪些知识上的帮助？ 对学习过程的反思有利于学生真切感受分教师以问题促反思的形式让学生进行回顾总析此类问题的反思小结，感受数学的应用价值以及如何用数学的方思维方式，提结 法以去分析解决问题。 升运用数学的意识与能力，并形成个性的学习体验。 课外拓展 可以学生结合某次实际的体育比赛，运用数学知识预测比赛结果，并写出简单的预测报告，可以分小组进行。 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 在本节的整体教学设计理念中，首先体现了现实数学教育的思想．在现实数学教育思想体系中，情景问题和数学化是最基本、最重要的概念．在 170 / 210 本设计中，问题的产生与提出始终立足于学生熟悉且感兴趣的现实背景之中，正如新课程所强调的，学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的．而在问题讨论、解决、发散过程中，又始终渗透着数学模型思想和对学生进行思维训练的目的，立足于发展学生的应用意识，致力于使学生“认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用．”并期待通过“仿真”训练使学生在面对现实问题时也能主动从数学角度进行思考并解决问题． 在讨论解决问题的过程中，突出了探究性学习的思想，通过对实际背景的审视与分析，提出有意义的数学问题，猜测、探求其结论并给出解释．在教学方法上主要采用开放讨论式的策略，教学设计具有探究性、主体性、开放性、体验性的特点． 课题： 10.1 平方根（1） 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，教学目标 并了解算术平方根的非负性； 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 171 / 210 3.通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣。 教学难根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 点 知识重算术平方根的概念。 点 教学过程（师生活动） 设计理念 同学们，2003年10月15日，这是我们每“神舟”五号个中国人值得骄傲的日子．因为这一天，“神舟”成功发射和安五号飞船载人航天飞行取得圆满成功，实现了全着陆，标志中华民族千年的飞天梦想（多媒体同时出示“神着我国在攀登舟”五号飞船升空时的画面）．那么，你们知道世界科技高峰宇宙飞船离开地球进人轨道正常运行的速度是的征程上又迈情境导在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙出具有重大历入 速度v1（米／秒）而小于第二宇宙速度：v2（米史意义的一／秒）．v1、v2的大小满足v12gR,v22gR.怎样2步，是我们伟求v1、v2呢？这就要用到平方根的概念，也就大祖国的荣是本章的主要学习内容． 耀．此内容有这节课我们先学习有关算术平方根的概感染力，使学念． 生对 172 / 210 请看下面的问题． 本章知识的应用价值有一个感性认识，同时激发学生的好奇心和学习的兴趣．这里的计算实际上是已知 幂和乘方的指数求底数的问题，是乘方的逆运算，学生以前没有见过，由此引出了本章所要研究的主要内容，以及研究这些内容的大体思路． 提出问题 多媒体展示教科书第160页的问题（问题练习：教科书略），然后提出问题： 第160页的填173 / 210 感知新知 你是怎样算出画框的边长等于5dm的表．这个问题呢？（学生思考并交流解法） 抽象成数学问这个问题相当于在等式扩=25中求出正数x的题 值． 练习：教科书第160页的填表． 就是已知正方形的面积求正方形的边长，这与学生以前学过的 已知正方形的边长求它的面积的过程互逆，教学时可以让学生初步体会这种互逆的过程，为后面的学习做准备。 174 / 210 归纳新知 上面的问题，可以归纳为“已知一个正数 a也可以写的平方，求这个正数”的问题．实际上是乘方运算中，已知一个数的指数和它的幂求这个数． 成2a,读作“二 一般地，如果一个正数x的平方等于a，。 即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a次根号a”的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫算术平方做被开方数．规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式x2=a (x≥0)中，规定x 根的概念比较=a. 思考：这里的数a应该是怎样的数呢？ 抽象，原因之 试一试：你能根据等式：122=144说出144一是学生对石的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来． 想一想：下列式子表示什么意思？你能求这个新 出它们的值吗？ 建议：求值时，要按照算术平方根的意义，的符号的理解写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根要有一个过的记法写出对应的值．例如25表示25的算术平方根，因为…… 程．通过此问题，使学生对符号“而”表示的具体含义有更具体、更深刻的认识． 例．（课本第160页的例1）求下列各数的算术例题的解答展平方根： 49示了求数的算 （1）100；(2)1；(3)；(4)0.0001 64应用新知 建议：首先应让学生体验一个数的算术平方术平方根的思根应满足怎样的等式，应该用怎样的记号来表示它，在此基础上再求出结果，例如求100的考过程．在开算术平方根，就是求一个数x，使x2=100，因始阶段，宜让为102100 175 / 210 学生适当模仿，熟练后可以直接写出结果． 提出问题：（课本第160页）怎样用两个面 积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？ 方法1：课本中的方法，略； 方法2： 教科书在边空 可还有其他方法，鼓励学生探究。 问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？ 大正方形的边长是2，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？ 建议学生观察图形感受2的大小．小正方形的对角线的长是多少呢？（用刻度尺测量它与大正方形的边长的大小）它的近似值我们将在下节课探究． 提出问题“小正方形的对角线的长是多少”， 这是为在10．3节介绍在数轴上画出表示2探究拓展 的点做准备． 176 / 210 小结与作业 提问:1、这节课学习了什么呢？ 课堂小 2、算术平方根的具体意义是怎么样的？ 结 3、怎样求一个正数的算术平方根？ 在本节的第一个“探究”3、 必做题：课本第167页习题10.1第1、2、栏目之前，重点是介绍算术平方根的概 3题；168页第11题。 4、 备选题： 布置作业 （1）判断下列说法是否正确： 念，因此所涉i. 是25的算术平方根； ii. 一6是62的算术平方根； 及的数（包括iii. 0的算术平方根是0； 例题中的数）iv. 0.01是0.1的算术平方根； ⑤一个正方形的边长就是这个正方形都是完全平方的面积的算术平方根． （2）下列各式哪些有意义，哪些没有意义？ 数（能表示成①－3 ②3 ③ 32 ④102 （3）一个正方形的面积为10平方厘米，求一个有理数的以这个正方形的边为直径的圆的面积。 平方），所求的 是这些完全平方数的算术平177 / 210 方根． 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本节课是本章的第一节课，主要是要建立算术平方根的概念为了使学生体会引入算 术平方根的必要性，感受新数（无理数）的产生是实际生活和科学技术发展的需要，也为了激发学生的学习热情，所以章前图的学习不要省略．特别地应提醒学生这里求速度的问题实际上是已知幂和乘方求底数的问题，是一个新的数学问题． 通过一个简单的实际问题，引人算术平方根的概念对学生来说是容易接受并有兴趣 的．教学中要注意算术平方根的非负性，对它的符号的理解与接受要有一个过程，但这也是最重要的，能从根号很自然地联想到算术平方根的意义（应满足的一个等式）这是学好平方根概念的基本保证，所以在例题之前安排了试一试和想一想，教师还可根据学生实际情况进行有关的训练． 通过对两个小正方形拼成一个大正方形的探究活动，一方面是培养学生的动手能力和思维能力，调动学生的学习积极性，另一方面是使学生理解引人算术平方根符号的必要性，明确有些正数的算术平方根不能容易地求得，为下节课的学习做准备． 178 / 210 课题： 10.1 平方根（2） 1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律； 教学目2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值； 标 3、体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。 教学难夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。 点 知识重夹值法及估计一个（无理）数的大小。 点 教学过程（师生活动） 设计理念 2出现之我们已经知道：正数x满足x2=a,则称x是a 在的算术平方根．当a恰是一个数的平方数时，我前，学生已经们已经能求出它的算术平方根了，例如，情境导又该怎祥求呢？例如课本第161页的大正方形的察的方法求一入 边长2等于多少呢？ 2究竟有多大？ 16=4；知道利用乘方但当a不是一个数的平方数时，它的算术平方根运算，通过观些完全平方数的算术平方 问题：建议：1、先让学生思考讨论并估计大概有多大，根，但是对于在此基础上按书本讲解并板书．可以这样提出问像2这样的非179 / 210 题并讲解：由直观可知招大于1而小于2，那么完全平方数，了2是1点几呢？（接下来由试验可得到平方数如何求它的算最接近2的1位小数是1.4，而平方数大于2且术平方根，对最接近的1位小数是1.5，1.5...... 这里默认了非负数a和b当a＜b时，a这里可以从49得到。 b2大于1.4而小于学生来讲是一个新问题． 教科书给出两种求2的2、用夹值法去逼近一个（无理）数，是一方法：一种是个重要的求近似数的方法，也是一种无限逼近的估算，一种是数学思想，教师应加以重视，让学生体验它的妙使用计算处． 3、关于2是一个“无限不循环小数”要向器．对于第一方法，教科书学生详细说明．为无理数的概念的提出打下基利用夹值的办础． 法，夹值法是归纳（提出问题）：你对正数a的算术平方根重要的有效的a的结果有怎样的认识呢？ a的结果有两种情：当a是完全平方数时，a求近似值的方法，所以应详细讲解． 对于无限不循环小数这个概念，教学是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。 a180 / 210 时可以适当回忆以前学生学过的数，通过比较，了解无限不循环小数的特征，为后面学习实数做铺垫。 例1（课本第162页的例2)用计算器求下列各式的值： 用计算 （1）器求一可按照书本讲．注意计算器的用法，指出计计算器求算术个正有算器上显示的也只是近似值，但我们可以利用计平方根的方理数的算器方便地求出一个正数的算术平方根的近似法，可以和上算术平值． 方根 安排学生独立解决引言中的问题，利用计算的大小比较。 器求出v1和v2的值． 面所估计的23136通过例题，使（2）2（精确到0.001） 学生掌握使用181 / 210 例2（用多媒体显示课本第163页的例3）例题给出了一题略． 建议：1、首先要注意学生是否弄清了题意；个实际问题背然后分析解题思路：能否裁出符合要求的纸片，就是要比较两个图形的边长，而由题意，易知正景，学生一般方形的边长是20 cm，所以只需求出长方形的边会认为一定能长，设长方形的长和宽分别是3xcm和2xcm, 求得长方形的长为350cm后，接下来的问用一块面积大题是比较350和20的大小，这是个难点，要让学生思考，充分发表自己的意见，然后再比较． 的纸片裁出一2、视学生掌握知识的情况在例3前可先解块面积小的纸综合应决下面的问题：比较4和15，27和27大小． 片，通过学习用 可以纠正学生的认识．重点使学生掌握通过平方数比较有理数与无理数大小的一种方法． 课本第164页的练习（其中第2题要求不用计算练习 器） 课本第163页中的用计算器探究被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）探究规的规律． 对于（1）应有如下的规律：当被开方数扩大律 （或缩小）100倍，10000倍…时，其算术平方根相应地扩大（或缩小）10倍，100倍… 小结与作业 182 / 210 1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值； 课堂小2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根 结 的近似值； 3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？ 4、怎样的数是无限不循环小数？ 布置作业 课本第167~168页习题10.1第5、6、9、10题； 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 1、本节课首先提出“2有多大”的问题，这是一个学生关注的具有挑战性的问题，也是说明引入算术平方根必要性的好问题（如果算术平方根都可以像完全平方数的算术平方根那样求得，恐怕就没有必要花那么多的精力来学习算术平方根了），所以教学中要引起重视．解决这个问题的过程体现了“数学中的无限逼近的思想”并使学生体验“无限不循环”小数的特点（学生对无限的体会没有障碍，但对不循环会因计算实际的局限无法体会，是本节课的一个疑点，教师可适当说明，不要深究）． 2、课本的例3是一个实际问题，它有两个作用：一是用算术平方根解决实际问题，二是涉及了一个有理数与一个无理数的大小比较的问题．后者提供的方法在今后的学习中会经常用到，所以要引起重视． 183 / 210 3、利用计算器求一个数的算术平方根是本章的一个重要教学要求，学生掌握其方法应该不成问题，但对精确度和有效数字的要求要重视，另一方面要求学生掌握被开方数的扩大和缩小与平方根的扩大和缩小之间的规律． 课题： 10.1 平方根（3） 1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别； 教学目2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘标 方运算之间的互逆关系； 3、培养学生的探究能力和归纳问题的能力． 教学难平方根和算术平方根的联系与区别 点 知识重平方根的概念和求数的平方根。 点 教学过程（师生活动） 思考归纳 导入概如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 设计理念 这个思考题是引入平方根概学生思考并讨论，使学生明白这样的数有念的切入点，要184 / 210 念 两个，它们是3和－3.受前面知识的影响学生让学生有充分的可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，时间进行思考和这里的这个数可以是负数．注意32号的作用． 又如：x24，则259中括体验． 在等式中求x等于多少呢？ 出x的值，为填表做准备． 使学生完成课本165页的填表练习． 给出平方根的概念：如果一个数的平方等 通过填表中于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：如的x的值，进一果x2=a，那么x叫做a的平方根． 步加深时“两个求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 互为相反数的平例如：9的平方根是3，方等于同一个3的平方等于9，所以平方与开平方互为逆运算． 观察：课本165页中的图10.1-2. 数”的印象，为平方根的引入做图10.1-2中的两个图描述了平方与开平准备． 方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算 教学中可以的本质． 引导学生通过查让学生体验平方和开平方的互逆关系，并阅资料等方式，根据这个关系说出1,4,9的平方根． 了解平方根产 注意：这阶段主要是让学生建立平方根的生发展的过概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完程．（通常称为平全平方数． 方根．在研究有185 / 210 关n次方根的问题 时，为使各次方例1：（课本165页的例4）。求下列各数的平根的说法协调起方根。 （1） 100 （2） 建议教师要规范书写格式。 9 （3） 0.25 16见，常采用二次方根的说法． 3表示＋3和一3两个数．这种写法学生不太习惯，在以后的教学中宜不断提到。 通过此例使学生明白平方根可以从平方运算中求得，并能规范地表述一个数的平方根．这个例题也为后面探讨平方根的特征做好准备． 186 / 210 按照平方根的概念，请同学们思考并讨论通过讨论，使学下列问题： 生对有理数的平正数的平方根有什么特点？0的平方根是方根有一个全面多少？负数有平方根吗？ 的认识．也是平建议：可引导学生通过观察x2=a中的a方根概念的进一和x的取值范围和取值个数得出． 步深化． 根据上面讨论得出的结果填课本166页 的表． 讨论归能不太习惯，一个是正数有两个平方根，即正 纳 数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去深化概遇到的运算结果惟一的情况有所不同，另 念 一个是负数没有平方根，即负数不能进行概念． 开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(0作除数的情况除外）．教学时，可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后的教学中继续强化这两点． 引入符号：正数a的算术平方根可用示；正数a的负的平方根可用-如…… aa表 注：学生刚开始接触平方根时，有两点可 体验分类思想，巩固平方根 加深对符号意义的理解和对平表示．例方根概念的灵活应用． 187 / 210 思考：a表示什么意思，这里的x可取 什么样的数呢？ 而对于x1又该怎样理解呢？这里的x 测试学生对平方根概念的掌握情况． 又可取什么样的数呢？ 例2 下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。 －64、0，42，102 如果有要用平方根的符号来表示。 例3：课本第166页的例5，求下列各式的值。 （1）144熟练应用平方根的概念，计算有关算式的值，是本课的主要内容。 被开方数不是完全平方数时，可用计算器求出它的近似值 ，（2）－20.81，（3）121196 （4）562，56 应用 建议：要让学生明白各式所表示的意义；根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式。平方根和算术平方根的概念是本章重点内容，两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术平方根来研究平方根． 思考：－15的值是多少？ 课本第167页的练习 练习巩小结： 固 1、 什么叫做一个数的平方根？ 2、 正数、0、负数的平方根有什么规律？ 188 / 210 3、 怎样求出一个数的平方根？数a的平方怎样表示？ 小结与作业 布置作教科书第167页习题10.1第3、4、7、8、11、业 12题。 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 2、本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等式x2=a和已有算术 平方根概念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，明确开平方与平方之间的互逆关系，把握了这些平方根的有关概念，正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了． 2、有关求算式的值的问题，一定要使学生体会到这个算式所表示的具体意义，这样才能使学生在本质上掌握其求法． 课题： 10.2 立方根（1） 1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根； 2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立教学目标 方根； 3、让学生体会一个数的立方根的惟一性； 4、分清一个数的立方根与平方根的区别； 189 / 210 5、使学生理解“两个互为相反数的立方根的关系，即36、渗透特殊一般-特殊的思想方法。 教学难点 立方根与平方根的区别。 知识重点 立方根的概念和求法。 教学过程（师生活动） （出示电热水器图片） a3a. 设计理念 从学生生活实 问题(1)：同学们在家里或者商场里都见际中常常见到的过电热水器，像一般家庭常用的是容积50 L热水器引入课题，的．如果要生产这种容积为50L的圆柱形热让学生从 水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种实际问题情境中容器的底面直径应取多少？ 感受立方根的计（学生小组讨论，并推选代表发言，教师板算在生活中有着演．） 情境导入 解：设容积的底面直径为xdm,则 x ·22广泛的应用． 空间图形都是三维的，有关空间图形的计算常常涉及开立方． 这个实际问·2x=50 可得，x310031.84 问题是什么数的立方会等于31.84呢？学生百思不得其解，教师可在此处设置一个题中的数量关系台阶，再设问：要制作一种容积为27 m3的的分析对于学生正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应来说是不成 190 / 210 该是多少？ 问题的，但在解决在学生充分讨论的基础上教师给出解决问题的过程中引问题的过程： 设这种包装箱的边长为x m,则x3=27 入了新问题，这对学生来说是一个 这就是求一个数，使它的立方等于挑战，从而激发学27. 因为33=27， 所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m. 生学习的兴趣． “什么数的立方会等于31.84?”这个问题对于学生来说 是难解决的，但该问题设置的目的是激发学生学习的兴趣． 体会开立方与立方互为逆运算． （1）学生回忆平方根的概念，并联系上联系平方根的概面的问题，请学生归纳得出立方根的概念。 念，让学生根据上试一试 （2）学生联系开平方的概念，给出开立述问题类比地给方的概念。 出立方根的概念，191 / 210 初步体会立方根与平方根的联系与区别。 (1)请学生完成课本第172页习题10.2体会开立方与立的第2题． (2)请学生口头回答以下问题： 方互为逆运算，因根据立方根的意义，求下列各数的立方练一练 根： 此求一个数的立1251，－64，，1，－1 827方根可以通过立方运算来求。 完成课本第169页的探究题： (1)对于238，可以进一步追问学生，除了2以外是否有其他的数，它的立方也等于8呢？对于下面几个问题可以类似设问． (2)思考正数、0、负数的立方根各有什深入探究 么特点？并追问一个正数有几个立方根？一个负数有几个立方根？零的立方根是什么？（学生独立探究，再小组合作交流，给出立方根的性质） (3)尝试用符号给出数a的立方根的表示方法．（3a并问a可以取什么数？） 例1 （1）求下列各数的平方根：0 （2）求下列各数的立方根。 巩固新知 83,3，1，0，－1，－343，－0.729 1258通过学生自己动手计算，让学生感受任何一个数都有立方根，以及一个数的立方根的惟一性。 9；1；25让学生进一步体会立方根与平方根的联系与区别． 例题着眼于弄清立方根的概 解：略 例2 求下列各式的值 （1）364； （2）27； （3）321027 念，因此不仅用立192 / 210 （4）311000；（5）64； （6）36464 方的方法求 立方根，且在书写（7）3512813132 请学生思考数的平方根与数的立方根有什么上采用了语言叙区别与联系呢？（学生小组讨论后，请学生述和符号表示相相互补充．） 例3判断题： 互补充的方 3 （1）64的立方根是64=4（ ） （2）是－的立方根 （ ） （3）3立方根与立方是 （4）立方根等于它本身的数是0和1（ ） 互逆运算中寻找拓展新知： (1)学生独立研究课本第170页的探究题，并不妨请同学再举几个例子，探索从上面的计解题途径． 算结果中可以得到什么结论？ 学生自己总结出两个互为相反数的立方根的关系：3a3a, 请同学再试试看 3112627327 （ ） 式，让学生学会从27,311000可以怎样解？ （2）小组学习：课本第173页的第9题，探学生讨论，自己体索从上面计算结果中可以得到什么结论？ 会平方根与立方根的区别。 教学中应该给予学生充分思考、讨论的时间，让他们193 / 210 自己探索并总结出两个互为相反数的立方根之间的关系。 小结与作业 1.立方根和开立方的定义． 课堂小结 2.正数、0、负数的立方根的特征． 3.立方根与平方根的异同． 布置作业 课本第172页习题10.2第1、3、5、6题； 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本节课的教学设计是以人教版教材和课程标准为依据，在教学方法上突出体现了创设 情境-提出问题-建立模型-解决问题的思路，在实际教学中采用了学生自主学习的教学 方式． 1、在导入新课时，创设了一个学生生活实际中常常见到的热水器制造问题，让学生从实际问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用，体会学习立方根的必要性，激发学生的学习兴趣． 2、在例题中做了适当的处理，把课本上的一个习题作为导入新课的引例．这个实际问题中的数量关系的分析对于学生来说是不成问题的，但在解决问题的过程中引入了新问题， 194 / 210 “什么数的立方会等于31.84？”，这对学生来说是一个挑战，是一个学生只有“跳一跳”才能解决的问题，所以在此处铺设了一个台阶，再设置了一个学生容易解决的问题，将学生的注意力朝着开立方运算转化为立方运算的思路引导，让学生对立方运算与开立方运算之间的互逆关系有初步认识，为进一步探究新知做好准备． 3、本章前两节的内容“平方根”“立方根”在内容安排上也有很多类似的地方，因此在教学中利用类比方法，让学生通过类比旧知识学习新知识．教学中突出立方根与平方根的对比，分析它们之间的联系与区别，这样新旧知识联系起来，既有利于复习巩固平方根，又有利于立方根的理解和掌握．通过独立思考，小组讨论，合作交流，学生在“自主探索，合作交流”中充分发挥了他们的主观能动性，感受了立方运算与开立方运算之间的互逆关系，并学会了从立方根与立方是互逆运算中寻找解题途径． 4、在“深入探究”环节中讨论数的立方根的特征，以填空的方式让学生计算正数,0,负数的立方根，寻找它们各自的特点，通过学生讨论交流等活动，归纳得出“正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数”的结论，这样就让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程．教学中注意为学生提供一定的探索和合作交流的空间，在探究活动的过程中发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式． 5、在“拓展新知”环节中，让学生探讨了一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，由此可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题，让学生体会转化的思想． 195 / 210 课题： 10.2 立方根（2） 1、 使学生进一步理解立方根的概念，并能熟练地进行求一个数的立方根的运算； 教学目标 2、 能用有理数估计一个无理数的大致范围，使学生形成估算的意识，培养学生的估算能力； 3、 经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力。 教学难用有理数估计一个无理的大致范围。 点 知识重用有理数估计一个无理的大致范围。 点 教学过程（师生活动） 1、 判断题： 4的平方根是2（ ） 复习引新 1的立方根是1（ ） －0.125的立方根是－0.5（ ） 82的立方根是（ ） 273设计理念 进一步理解立方根的概念，及立方根与平方根的区别。 －6是216的立方根（ ） 196 / 210 2、 3求下列各式的值 21027；30.13；52 这里在提出问问题：350有多大呢？ （这里可以让学生回忆前面学习过程中讨题后，让学生论2有多大时的方法）。 回忆：在前一节课讨论“2学生小组讨论，并交流学方法。 因为3327，4364 所以33504 因为3.6346.656，3.7350.653 所以3.63503.7 因为3.68349.836032，3.69350.24349 讨论 所以3.683503.69 …… 有多大”的方法，目的是让学生从中类比解决新问题。 立方与开立方是互逆运算，以此可以些数如此循环下去，可以得到更精确的350的近的立方根。 350=一3．似值，它是一个无限不循环小数，684 031 49……事实上，很多有理数的立方根都是 无限不循环小数．我们用有理数近似地表示它 们． 197 / 210 让学生经历这个估计的过程，不仅估算出350有多大，培养学生的估算能力，同时也理解350是无限不循环小数这个事实。 1、利用计算器来求一个数的立方根，并完成课本第171页的练习2. （学生利用计算器的说明书独立学习．对于一些暂时还没有学会的学生，可以采用同学之间互帮互学的方式解决．） 2、学生解决上节课未解决的一个问题，简单回忆：如果要生产这种容积为50L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应取多少？（结果保留两个有效数字） 解：略 在教学中，鼓励学生自己探索计算器的用法。 通过计算器的使用，解决了上节课未能解决的一个问题。 探一探，1、 利用计算器计算，并将计算结果填在表计算器的使用自主学习 198 / 210 说一说 中，你发现了什么吗？你能说说其中的道理吗？ … 30.000216 30.216 3216 … 2、用计算器计算3100（结果个有效数字）。并利用你发现的规律说出30.0001，30.1，3100000 的近似值。 可以使学生从繁杂的运算中解放出来，将更的精力放在更有意义的活动，如探索规律的问题，引导学生注意观察被开方数与立方根的小数点的位置移动有无规律。 小结与作业 布置作业 必做：课本第172页第4、8题； 选做：课本第173页第10、11题。 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本节课是立方根教学的第二节，主要采用学生自主学习的方式进行． 在教学设计中，设计了一个“350有多大？’’的问题，因为学生在学习平方根时已经接触了论“2的大小的问题，这里在提出问题后让学生回忆讨2有多大”时的方法，目的是让学生从中类比解决新问题，在教学中让学生经历这个估计的过程，不仅估算出350有多大，培养学生的估算能199 / 210 力，同时也理解350是无限不循环小数这个事实． 对于计算器的使用，在教学中采用学生自己阅读计算器的说明书、自己操作练习来掌握用计算器进行开立方运算的方法，并让学生互相交流，让学生亲身体会到利用计算器不仅能给运算带来很大的方便，也给探求数量间的关系与变化带来方便．在教学过程中，教师要关注学生能否通过阅读，掌握用计算器进行开立方运算的简单操作；能否利用计算器探究数量间的关系，从而寻找出数量的变化关系． 使用计算器进行复杂运算，可以使学生学习的重点更好地集中到理解数学的本质上来，而估算也是一种具有实际应用价值的运算能力，在本节课的课堂教学中综合运用笔算、计算器和估算等培养学生的运算能力． 课题： 10.3 实数（1） 1、了解无理数和实数的概念；会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力； 教学目2、了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集标 合”的含义； 3、了解实数范围内相反数和绝对值的意。 教学难理解实数的概念。 点 200 / 210 知识重正确理解实数的概念。 点 教学过程（师生活动） 设计理念 学生以前学过有理数，可以请学生简单地说学生自己回忆一说有理数的基本概念、分类． 试一试 有理数的分类，为引入实1、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的分类作好数的形式，你有什么发现？ 3，，35479115，，， 81199铺 垫． 动手试一试，说说你的发现并与同学交流． 让学生动（结论：上面的有理数都可以写成有限小数手实践，自己或无限循环小数的形式） 试一试 可以在此基础上启发学生得到结论：任何一与他人交流． 个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数 在学生解的形式． 决了一个问题去发现并学会2、追问：任何一个有限小数或无限循环小后，层层深入数都能化成分数吗？ （课件展示） 阅读下列材料： =0.333…① 设x=0.3地提出了一个对学生 有更大挑战性的问题，激发学生学习探索 则10x=3.333…② 201 / 210 则②－①得9x－3，即x=1 3 =0.333…= 即0.3的兴趣． 134化，0.1根据上面提供的方法，你能把0.7成分数吗？且想一想是不是任何无限循环小数都可以化成分数？ 在此基础上与学生一起得到结论：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数，所以任何一个有限小数或无限循环小数都是有理数。 1、在前面两节的学习中，我们知道，许多给出无理数的平方根和立方根都是无限不循环小数，它数定义后，请们不能化成分数．我们给无限不循环小数起个学生自己找找名，叫“无理数”．有理数和无理数统称为实数． 无理数，让学例1（1）你能尝试着找出三个无理数来吗？ 生在寻找的过引入新 （2）下列各数中，哪些是有理数？哪程中，体会无知 些是无理数？ 理数的基本特征． 解决问题后，可以再问同学：“用根号形 应该让学式表示的数一定是无理数吗？” 2、实数的分类 生自己小结得出结论：判断202 / 210 （1）画一画 一个数是有理 学生自己回忆并画出有理数的分类数还是 图． （2）挑战自己 请学生尝试画出实数的分类图． 例2把下列各数填人相应的集合内： 无理数，应该从它们的定义去辩别，而不能从形式上去分辩． 整数集合｛ … ｝ 尝试画出实数负分数集合｛ …｝ 的分类图，体 正数集合｛ …｝ 会依据分类标 负数集合｛ …｝ 准的不 有理数集合｛ …｝ 同会有不同的 无理数集合｛ …｝ 分法． 我们知道，在有理数中只有符号不同的两随着数从有理个数叫做互为相反数，例如3和－3，和－等，实数的相反数的意义与有理数一样。 探一探 3434 学生自己数扩充到实数，原来在有请学生回忆在有理数中绝对值的意义．例理数范围里讨如，|－3|=3，|0|=0，||=等等．实数绝对论的相反数、33值的意义和有理数的绝对值的意义相同． 试一试完成课本第176页思考题． 绝对值等，自然地拓展到实22203 / 210 引导学生类比地归纳出下列结论： 数a的相反数是－a 一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 例1 求下列各数的相反数和绝对值： 2.5，－7，数范围内。 ，0，32，－3 53，求这个数。 教学中应该给学生充分发表自己想法的时间，自己体会有理数关于相例2 一个数的绝对值是例3 求下列各式的实数x： 练一练 （1）|x|=|－3|； 23的整数（2）求满足x≤4x 反数和绝对值的意义同样适用于实数。 小结与作业 布置作业 必做：课本第178页习题10.3第1、2、3题； 选做：课本第179页习题10.3第7题 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 波利亚认为，“头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学不到更多的东西”“学东西的最好途径是亲自去发现它”“学生在学习中寻求欢乐”．在本节课的教学设计中注意从学生的认知水平和亲身感受出发，创设学习情境，提高学生学习数学的积极性和学习兴趣，设计系列活动让204 / 210 学生经历不同的学习过程．在活动过程中让学生动手试一试，说说自己的发现并与同学交流结论，在交流中尝试得出结论：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．进一步地提出问题：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？引入了无理数和实数的概念后要求学生对所学过的数按照一定的标准进行分类．分类思想是解决数学问题的常用的思想，在教学过程中，教师应该创造条件，让学生体会分类标准与分类结果之间的关系．本课提出的问题“你能尝试着找出三个无理数来吗？”具有较大的开放性，给学生提供了思维空间，能促使学生积极主动地参与到数学学习过程中，亲自体验知识的形成过程． 课题： 10.3 实数（2） 1、知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应； 2、学会比较两个实数的大小； 教学目标 母了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算； 3、通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数学结合”的数学思想。 205 / 210 教学难对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解 点 知识重实数与数轴上的点一一对应关系 点 教学过程（师生活动） 设计理念 我们知道有理数都可以用数轴上的点来表除了课件演示示，但是数轴上的点是否都表示有理数？无理外再让学生动数可以用数轴上的点来表示吗？ 手实践操作的1、课件演示课本第175页探究题；学生动目的是让学生手操作，利用课前准备好的硬纸板的圆片在自直现认识到可己画好的数轴上实践体会． 2、你能在数轴上画出坐标是一画，说说你的方法． 试一试 教师启发学生得出结论：每一个无理数都可无理数都可以以用数轴上的一个点表示出来． 用数抽上的一2的点吗？画以用数轴上的点来表示无理数，而每一个练习：学生自己完成课本第178页练习第1个点来表示，题． 即无理数与数在此基础上，教师引导学生进一步得出结轴上的点之间论：在数从有理数扩充到实数后，实数与数轴的对应关系． 上的点是一一对应的．即：每一个实数都可以 通过练用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表习，让学生对206 / 210 示一个实数． 于实数可以用类比在有理数范围内相反数、绝对值的几何数抽上的点表意义，结合数轴，在实数范围内理解相反数、示，数抽上的绝对值的几何意义． 一个点表示一3、深入探讨：平面直角坐标系中的点与有个实数有了直序实数对之间也存在着一一对应关系吗？ 现的认识，体会实数与数抽上的点之间的一一对应关系．将数与图形联系起来，体会数形结合的思想． 教师在此环节中要留给学生充足的时间，让学生自己归纳 和总结． 207 / 210 1、问：利用数轴，我们怎样比较两个有理数的让学生回忆有大小？在数轴上表示的数，右边的数总比左边理数范围内比的大．这个结论在实数范围内也成立。 较大小的方 2、我们还有什么方法可以比较两个实数的大小法，体会在实吗？两个正实数的绝对值较大的值也较大；两数范围内这些个负实数的绝对值大的值反而小；正数大于零，两个数大小的负数小于零，正数大于负数。 比一比 例1比较下列各组数里两个数的大小 立。 （1）2，1.4；（2）5，-6；（3）－2，33 方法依旧成 分析：像例1(1)，即可以将小比较转化为求出2，1.962，1.4的大通过例题，使学生掌握比较的大小比较；也可以先两数大小的方2的近似值，再通过比较它们近似值（取近似值时，注意精确度要相同）的大小，从而法。 比较它们的大小。 问：在数从有理数扩充到实数后，我们已鼓励学生多举经学过哪些运算？ 一些实际例子答：加、减、乘、除、乘方和开方运算． 来验证．其意算一算 接着问：有哪些规定吗？ 义一是为了避除法运算中除数不为0,而且只有正数及0免学生产生片可以进行开平方运算，任何一个实数都可以进面认识，以为行开立方运算． 从几个例子就208 / 210 问：有理数满足哪些运算律？ 加法交换律：a十b=b＋a 可以得出普遍结论，二让学 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 生了解结论的 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c＝a（bc） 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac 重要性． 例2与例3要求是不同我们如何知道运算律在实数范围内是否适用？ 的．例2在运例2计算下列各式的值： （1）（2＋3）－2；（2）33＋23 算中遇到无理数但并 不需要求出结果的近似值，例3却不同，例3计算： （1）（2）35十(精确到0.01) 3＋232（保留三个有效数字） （在实数运算中，当遇到无理数并且需要求不仅在运算中出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度遇到无理数且用相应的近似的有限小数去代替无理数，再进需要求出结果行计算．） 的近似值，在教学中应该提醒学生注意按照问题的要求解决问题． 练一练 课本第178页练习第2、3题 209 / 210 小结与作业 布置作业 必做：课本第179页习题10.3第4、5、6、7题； 选做：课本第179页习题10.3第9题 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本节课的教学设计中注重从学生已有的知识经验出发，如学生在有理数章节中已经学习了有理数可以用数轴上的点表示，所以在教学中充分发挥学生的主体意识，让学生主动参与学习活动，除了让学生看课件演示外，更通过让学生动手实验操作，感悟知识的生成、发展和变化，自己探索得到结论：实数与数轴上的点的一一对应关系，从而培养学生自主探索的学习方法， 在“比一比”教学环节中，先让学生回忆有理数范围内数的大小的比较芳法，体会在实数范围内这些比较两个数大小的方法依旧成立，在比较的过程中让学生体会一个很重要的数学思想：转化思想． 在“算一算”教学环节中，先复习七年级上已经学习过的有理数范围内的运算律，然后提出一个富有启发性且具有探索意义的问题“我们如何知道运算律在实数范围内是否适用？” 210 / 210 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容