两圆的公共弦(新高二)

如果两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则对应一条公共弦AB，将这两圆的方程相减可以得到

(D1−D2)x+(E1−E2)y+(F1−F2)=0,

因为两圆相交，所以D1−D2与E1−E2不同时为零，从而得到的方程表示一条直线，且两圆的公共点A,B的坐标满足圆的方程，故必满足直线的方程，从而知A,B在此直线上，故此直线就是两圆的公共弦所在的直线．

结论 如果两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则公共弦所在直线的方程为

(D1−D2)x+(E1−E2)y+(F1−F2)=0.

由这个结论我们可以给出“求圆外一点对应的切点弦方程”的另一个方法：

过圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线PA,PB，其中A,B为切点，求切点弦AB所在的直线方程．

解 因为∠PAC=∠PBC，所以P,A,C,B四点共圆，且PC为直径，所以这四点所在的圆的方程为

(x−a)(x−x0)+(y−b)(y−y0)=0,

记此圆为圆M． 则圆C与圆M的公共弦就是切点弦，两圆的方程相减即得切点弦所在直线的方程

(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2.

注 上面的过程中用到：以(x,y1),(x2,y2)为直径的圆的方程为

1(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0,

这个结论也是圆中常见的结论，很容易证明．

例题一 (1)圆C1:x2+y2+4x+1=0及圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦长为_____，以公共弦为直径的圆的方程为______________； (2)若圆(x−a)2+(y−b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长，则a,b满足的关系是__________________．

分析与解 (1)两圆相减得x−y=0，第二个圆的圆心(−1,−1)恰在公共弦上，所以公共弦为第二个圆的直径，从而知公共弦长为2，以公共弦为直径的圆的方程为x2+y2+2x+2y+1=0， (2)两圆相减得公共弦所在直线的方程为

(2+2a)x+(2+2b)y−(a2+1)=0,

由题意知，公共弦始终为第二个圆的直径，即第二个圆的圆心(−1,−1)始终在公共弦上，代入整理得

a2+2a+2b+5=0.

例题二 圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2−8x+8=0的公共弦为AB，则四边形OACB的面积为_____． 分析与解 将两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为x=．于是圆心O到公共弦AB的距离d=，从而知 971AB=4-=,

4223232故公共弦AB=7．又因为AB⊥OC，所以所求四边形面积

S=

1⋅OC⋅AB=27. 2 最后给出两道练习： 练习一 已知两圆x2+y2=50和x2+y2−12x−6y+40=0相交于A,B两点，则直线AB的方程是_______，弦AB的长度是_______． 答案 2x+y−15=0，25． 提示 第二个圆的圆心(6,3)在公共弦上，故AB是此圆的直径． 练习二 若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay−6=0(a>0)的公共弦长为2，则a=____． 答案 3． 3 注 “将两个圆的方程相减得到的方程是公共弦方程”的前提是两圆相交．当两圆相切时，方程相减得到的直线为两圆的一条公切线；当两圆相离时，方程相减得到的直线仍然与圆心连线垂直，且两圆的公切线的中点均在直线上．事实上，这条直线是这两个圆的根轴，即这条直线是到两圆的圆幂相等的点的集合（点P对圆O的圆幂定义为PO2−r2，其中r为圆O的半径）．