考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷7 (题后含答案及
解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )． A．矩阵A与单位矩阵E合同 B．矩阵A的特征值都是实数
C．存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵 D．存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵
正确答案：A
解析：根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选(A)． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量
2． 设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则( )． A．A的n个特征值都是单值 B．A是可逆矩阵
C．A存在n个线性无关的特征向量 D．A一定为n阶实对称矩阵
正确答案：C
解析：矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量
3． 设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβT，则A的线性无关特征向量个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
正确答案：C
解析：因为α，β为非零向量，所以A=αβT≠O，则r(A)≥1，又因为r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1．令AX=λE，由A2X=αβT.αβTX=O=λ2X得λ=0，因为r(OE-A)=r(A)=1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选(C)． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量
4． 设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )． A．CTAC B．A-1+B-1 C．A*+B* D．A-B
正确答案：D
解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A，B正定，所以A-1，B-1及A*，B*都是正定的，对任意X≠0，XT(CTAC)X=(CX)TA(CX)＞0(因为C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A-1+B-1与A*+B*都是正定矩阵，选(D)． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量
填空题
5． 设A～B，其中A=，则x=_______，y=______
正确答案：3,1
解析：因为A～B，所以，解得x=3，y=1． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量
6． 设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1=3，λ2=λ3=5，且λ1=3对应的线性无关的特征向量为α1=，则λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为_______
正确答案：
解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令λ2=λ3=5对应的特征向量为=0得λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为α2= 知识模块：矩阵的特征值和特征向量
7． 设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβT，则A的特征值为_______
正确答案：0或者3
解析：因为A2=3A，令Ax=λX，因为A2X=λX，所以有(λ2-3λ)X=，而X≠0，故A的特征值为0或者3，因为λ1+λ2+λ2=tr(A)=(α，β)，所以λ1=3，λ2=λ3=0． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量
8． 设α=的特征向量，则a=_______，b=________
正确答案：2,3
解析：由Aα=λα得解得λ=5，a=2，b=3． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
设矩阵A=有一个特征值为3．
9． 求y；
正确答案：因为3为A的特征值，所以｜3E-A｜=0，解得y=2． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
10． 求可逆矩阵P，使得(AP)T(AP)为对角矩阵．
正确答案：(AP)T(AP)=PTATAP=PTA2P，A2=，｜λE-A1｜=0得λ1=1，λ2=9，当λ=1时，由(E-A1)X=0得α1=；λ=9时，由(9E-A1)X=0得α2=单位化得 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
设A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A2-3A=O，设(1，1，-1)T为A的非零特征值对应的特征向量．
11． 求A的特征值；
正确答案：A2-3A=O｜A｜｜3E-A｜=0λ=0，3，因为r(A)=1，所以λ1=3，λ2=λ3=0． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
12． 求矩阵A．
正确答案：设特征值0对应的特征向量为(x1，x2，x3)T，则x1+x2-x3=0，则0对应的特征向量为α2=(-1，1，0)T，α3=(1，0，1)T，令 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
13． 设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=8，λ2=λ3=2，矩阵A的属于特征值λ1=8的特征向量为ξ1=，属于特征值λ2=λ3=2的特征向量为ξ2=，求属于λ2=λ3=2的另一个特征向量．
正确答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有令λ2=λ3=2对应的另一个特征向量为考ξ3=，由不同特征值对应的特征向量正交，得x1+x2+x3=0 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
14． 设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．
正确答案：由(αE-A)(bE-A)=O，得｜aE-A ｜.｜bE-A｜=0，则｜aE-A｜=0或者｜bE-A｜=0．又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n．同时r(aE-A)+r(bE-A)≥r(aE-A)-(bE-A)]=r[(a-b)E]=n．所以r(aE-A)+r(bE-A)=n．(1)若｜
aE-A｜≠0，则r(aE-A)=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE．(2)若｜bE-A｜≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE．(3)若｜aE-A｜=0且｜bE-A｜=0，则a，b都是矩阵A的特征值．方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r(aE-A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r(aE-A)个；方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个．因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
15． 设非零n维列向量α，β正交且A=αβT．证明：A不可以相似对角化．
正确答案：令λ为矩阵A的特征值，X为λ所对应的特征向量，则AX=λX，显然A2X=λ2X，因为α，β正交，所以A2=αβT.αβT=O，于是λ2X=0，而X≠0，故矩阵A的特征值为λ1=λ2=…=λn=0．又由α，β都是非零向量得A≠O，因为r(0E-A)=r(A)≥1，所以n-r(OE-A)≤n-1＜n，所以A不可相似对角化． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
设A=
16． 证明：A可对角化；
正确答案：由｜λE-A｜=(λ=1)2(λ+2)=0得λ1=λ2=1，λ3=-2．当λ=1时，由(E-A)X=0得λ=1对应的线性无关的特征向量为ξ1=当λ=-2时，由(-2E-A)X=0得λ=-2对应的线性无关的特征向量为ξ3=因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
17． 求Am
正确答案：令P=于是Am= 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
18． 设A=有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件．
正确答案：由｜λE-A｜==(λ+1)(λ-1)2=0得λ1=-1，λ2=λ3=1，因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，所以r(E-A)=1，由E-A=得x+y=0． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
19． 设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=O．证明：A不可以对角化．
正确答案：方法一 令AX=λX(X≠0)，则有AkX=λkX，因为Ak=O，所以λkX=0，注意到X≠0，故λk=0，从而λ=0，即矩阵A只有特征值0．因为
r(0E-A)=r(A)≥1，所以方程组(0E-A)X=0的基础解系至多含n-1个线性无关的解向量，故矩阵A不可对角化．方法二 设矩阵A可以对角化，即存在可逆阵P，使得P-1AP=从而有λ1=λ2=…=λn=0，于是P-1AP=O，进一步得A=O，矛盾，所以矩阵A不可以对角化． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
20． 设A为三阶矩阵，Aαi=iαi(i=1，2，3)，α1=，求A．
正确答案：令P= 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
21． 设α=的逆矩阵A-1的特征向量．求x，y，并求A-1对应的特征值μ．
正确答案：令Aα=μ0α，即，解得μ0=4，x=10，y=-9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
22． 设A=为A*的特征向量，求A*的特征值λ及a，b，c和A对应的特征值μ．
正确答案：因为A*的特征向量也是A的特征向量，由因为｜A｜=-1，所以a=2，于是a=2，b=-3，c=2，λ==1． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
设A～B，A=
23． 求a，b；
正确答案：方法一 因为A～B，所以A，B有相同的特征值，λ1=λ2=2，因为A相似于对角阵，所以r(2E-A)=1，而2E-A=，于是a=5，再由tr(A)=tr(B)得b=6．方法二 ｜λE-A｜=(λ-2)[λ2-(a+3)λ+3(a-1)]=f(λ)，因为λ=2为A的二重特征值，所以a=5，于是｜λE-A｜=(λ-2)2(λ-6)，故b=6． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
24． 求可逆矩阵P，使得P-1AP= B．
正确答案：由(2E-A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为ξ=由(6E-A)X=0得λ=6对应的线性无关的特征向量为ξ3=令P=，则P-1AP=
B． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
设A=且A～B
25． 求a；
正确答案：因为A～B，所以tr(A)=tr(B)，即2+a+0=1+(-1)+2，于是a=0． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
26． 求可逆矩阵P，使得P-1AP= B．
正确答案：由｜λE-A｜==(λ+1)(λ-1)(λ-2)=0得、A，B的特征值为λ1=-1，λ2=1，λ3=2．当λ=-1时，由(-E-A)X=0即(E+A)X=0得ξ1=(0，-1，1)T；当λ=1时，由(E-A)X=0得ξ2=(0，1，1)T；当λ=2时，由(2E-A)X=0得ξ3=(1，0，0)T，取P1=当λ=-1时，由(-E-B)X=0即(E+B)X=0得η1=(0，1，2)T；当λ=1时，由(E-B)X=0得η2=(1，0，0)T；当λ=2时，由(2E-B)X=0得η3=(0，0，1)T，取P2= 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
设A=有三个线性无关的特征向量．
27． 求a；
正确答案：由｜λE-A｜==(λ+2)(λ-1)2=0得矩阵A的特征值为λ1=-2，λ2=λ3=1， 因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以相似对角化，从而r(E-A)=1，由E-A=得a=-1． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
28． 求A的特征向量；
正确答案：将λ=-2代入(λE-A)X=0，即(2E+A)X=0，由2E+A=得λ=-2对应的线性无关的特征向量为α1=将λ=1代入(λE-A)X=0，即(E-A)X=0，由E-A=得λ=1对应的线性无关的特征向量为α2= 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
29． 求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵．
正确答案：令P= 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
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